ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการพหุนามในรูปแบบ โดยที่เป็นพหุนาม (ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด) เรียกว่าฟังก์ชันพีชคณิตตัวอย่างพื้นฐานของฟังก์ชันพีชคณิต ได้แก่ฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันตรรกยะ ฟังก์ชัน รากที่ nและฟังก์ชันที่ได้จากการประกอบและการดำเนินการทางพีชคณิต (การบวก การคูณ การลบ และการหาร) ดังนั้น ตัวอย่างของฟังก์ชันพีชคณิตคือฟังก์ชัน(สำหรับ) ซึ่งกราฟของมันคือครึ่งบนของวงกลมหน่วย มาตรฐาน ฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับ ฟังก์ชันพีชคณิตแตกต่างจากฟังก์ชันอดิศัยเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังลอการิทึมและฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle a_{n}(x)f(x)^{n}+a_{n-1}(x)f(x)^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)f(x)+a_{0}(x)=0}$$${\displaystyle a_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle -1<x<1}$${\displaystyle x^{2}+f(x)^{2}-1=0}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันพีชคณิตมักถูกมองว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่าตัวอย่างของแสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้ เนื่องจากรวมทั้งครึ่งวงกลมบนและครึ่งวงกลมล่างไว้ในแพ็คเกจเดียวกัน ฟังก์ชันพีชคณิตมักถูกศึกษาบนจำนวนเชิงซ้อนในทางรูปธรรม ฟังก์ชันพีชคณิตบนจำนวนเชิงซ้อนถูกนิยามให้เป็นฟังก์ชันหลายค่าที่สอดคล้องกับสมการพหุนาม โดยที่เป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ ของตัวแปรสองตัว มีดีกรีเป็นบวกในและมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน^{[ 1 ]}ตัวอย่างของ สามารถแสดงได้ว่ามี สาขาค่าเดียวสองสาขาและโดยมีจุดแยกสาขาที่สาขาทั้งสองมาบรรจบกันที่ฟังก์ชันเฉพาะนี้สามารถเขียนได้โดยใช้การดำเนินการทางพีชคณิตจำนวนจำกัดและการดึงราก แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้น เช่นเดียวกับ ราก ของBringบนจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันพีชคณิตมี สาขา โฮโลมอร์ฟิก เฉพาะที่ห่างจากจุดแยกสาขาและ ขั้วจำนวนจำกัดและโดยธรรมชาติแล้วจะถูกศึกษาในฐานะฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนพื้นผิวรีมันน์แบบ กะทัดรัด ^{[ 2 ]}${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle P(x,y)=0}$$${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle x=\pm 1}$

โดยทั่วไปแล้ว บนฟิลด์ ฟังก์ชันพีชคณิตในตัวแปรเดียวจะถูกนิยามทางพีชคณิตว่าเป็นองค์ประกอบพีชคณิตบนฟิลด์ฟังก์ชันตรรกยะหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สอดคล้องกับสมการพหุนามดีกรีบวกใน ${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K(x)}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0,}$

โดยที่สัมประสิทธิ์เป็นพหุนามในที่มีสัมประสิทธิ์ในถ้าพหุนามนิยามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้มีดีกรีในฟังก์ชันพีชคณิตนั้นจะกล่าวได้ว่ามีดีกรี ${\displaystyle a_{i}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$

ฟังก์ชันพีชคณิตในตัวแปร${\displaystyle m}$เหนือคือองค์ประกอบพีชคณิตเหนือฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สอดคล้องกับสมการพหุนาม ${\displaystyle K}$${\displaystyle K(x_{1},\ldots ,x_{m})}$

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.}$

ในตัวแปรเดียว ฟังก์ชันพีชคณิตมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเส้นโค้งพีชคณิตและฟิลด์ฟังก์ชัน ของเส้นโค้งเหล่านั้น ใน กรณี ที่แยกออกจากกันได้ฟังก์ชันเหล่านี้ยังสามารถศึกษาได้ผ่านปกคลุมแบบจำกัดหรือแบบแตกแขนงของเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​3 ]}

ฟังก์ชันพหุนามและฟังก์ชันตรรกยะเป็นฟังก์ชันพีชคณิต ฟังก์ชันพหุนามต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ต่อไปนี้${\displaystyle y=p(x)}$

${\displaystyle yp(x)=0.}$

ฟังก์ชันตรรกยะเป็นไป ตามเงื่อนไข${\displaystyle y=p(x)/q(x)}$

${\displaystyle q(x)yp(x)=0,}$

โดยมีขั้วอยู่ที่ศูนย์ของโดยทั่วไปแล้วรากที่ n ของพหุนามหรือฟังก์ชันตรรกยะจะเป็นรากพีชคณิต เนื่องจากสอดคล้องกับสมการ เช่น ${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

ฟังก์ชันพีชคณิตพื้นฐานจำนวนมากสามารถได้มาจากฟังก์ชันตรรกยะโดยใช้การดำเนินการทางพีชคณิตและการถอดราก อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันพีชคณิตมีความทั่วไปมากกว่าฟังก์ชันที่แสดงได้ด้วยราก ตามทฤษฎีของกาลัว รากของสมการพหุนามทั่วไปที่มีดีกรีห้าขึ้นไปไม่สามารถแสดงได้ด้วยราก

ในบริเวณที่มีสาขาผกผันเฉพาะที่ของฟังก์ชันพีชคณิตอยู่ ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นพีชคณิตเช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว ถ้าและสอดคล้องกับความสัมพันธ์พหุนาม การสลับบทบาทของและจะทำให้เกิดการจับคู่แบบพีชคณิต ซึ่งสาขาต่างๆ ของการจับคู่นั้นรวมถึงสาขาผกผันเฉพาะที่ด้วย เซตคำตอบเป็นเส้นโค้งพีชคณิต นอกเหนือจากจุดพิเศษแล้ว สาขาเฉพาะที่ของเส้นโค้งนี้อาจแสดงเป็นกราฟบนเส้นตรง ได้${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P(x,y)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P(x,y)=0}$${\displaystyle x}$

จากมุมมองทางพีชคณิต จำนวนเชิงซ้อนเข้ามามีบทบาทอย่างเป็นธรรมชาติในการศึกษาฟังก์ชันพีชคณิต ประการแรก ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟิลด์ปิดทางพีชคณิตดังนั้น สำหรับแต่ละค่าของที่ทำให้เป็นพหุนามที่ไม่คงที่ซึ่งมีดีกรีในสมการจะมีรากเชิงซ้อนนับรวมความซ้ำซ้อน ค่าพิเศษของเช่น ค่าศูนย์ของสัมประสิทธิ์นำหน้าหรือของดิสครีมิแนนต์จะเป็นสาเหตุของขั้ว รากซ้ำ และจุดแตกแขนง ${\displaystyle x}$${\displaystyle p(x,y)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p(x,y)=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

นอกจากนี้ แม้ว่าในท้ายที่สุดแล้วเราจะสนใจฟังก์ชันพีชคณิตที่แท้จริง แต่ก็อาจไม่มีวิธีใดที่จะแสดงฟังก์ชันนั้นในรูปของการบวก การคูณ การหาร และการถอด ราก ที่ nโดยไม่ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อน (ดูcasus irreducibilis ) ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชันพีชคณิตที่กำหนดโดยสมการ

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

เมื่อใช้สูตรลูกบาศก์เราจะได้

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

เนื่องจากรากที่สองเป็นจำนวนจริง ดังนั้นรากที่สามจึงสามารถหาค่าได้ชัดเจน โดยให้ค่ารากที่เป็นจำนวนจริงเพียงค่าเดียว ในทางกลับกัน เนื่องจากรากที่สองไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้นจึงต้องเลือกค่ารากที่สองที่เป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้นรากที่สามจึงต้องเลือกจากจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริงสามจำนวน หากเลือกค่าเดียวกันในสองพจน์ของสูตร ค่ารากที่สามทั้งสามค่าจะให้ผลลัพธ์เป็นสามสาขาตามที่แสดงในภาพประกอบ ${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$

อาจพิสูจน์ได้ว่าไม่มีวิธีใดที่จะแสดงฟังก์ชันนี้ในรูปของ ราก ที่ nโดยใช้จำนวนจริงเพียงอย่างเดียว แม้ว่าฟังก์ชันที่ได้จะเป็นฟังก์ชันค่าจริงบนโดเมนของกราฟที่แสดงก็ตาม

ในระดับทฤษฎีที่สำคัญกว่านั้น การใช้จำนวนเชิงซ้อนทำให้เราสามารถใช้เทคนิคอันทรงพลังของการวิเคราะห์เชิงซ้อนเพื่ออธิบายฟังก์ชันพีชคณิตได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลักการอาร์กิวเมนต์ สามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันพีชคณิตใด ๆ ก็เป็น ฟังก์ชันวิเคราะห์ด้วยเช่นกันอย่างน้อยก็ในความหมายที่มีหลายค่า

ใน ทางทฤษฎีให้p ( x , y ) เป็นพหุนามเชิงซ้อนในตัวแปรเชิงซ้อนxและyสมมติว่า x₀ ∈ _Cเป็นเช่นนั้น พหุนามp ( x₀ _, y ) ของyมี รากที่แตกต่างกัน nราก เราจะแสดงว่าฟังก์ชันพีชคณิตเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในบริเวณใกล้เคียงของx₀เลือกวงกลม Δi จำนวน_nวงที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งบรรจุรากแต่ละรากเหล่านี้ จากนั้นโดยหลักการ _{อาร์กิวเมนต์}

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.}$

โดยหลักความต่อเนื่อง ข้อนี้ยังใช้ได้กับx ทุกตัว ในบริเวณใกล้เคียงx ₀ ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งp ( x , y ) มีรากเพียงรากเดียวใน Δ _iซึ่งกำหนดโดยทฤษฎีบทเศษเหลือ :

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy}$

ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์

ที่ค่าวิกฤต สาขาท้องถิ่นไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันค่าเดียวของแต่หลังจากแนะนำพารามิเตอร์ท้องถิ่นด้วยสาขาต่างๆ สามารถแสดงได้ด้วยอนุกรม Puiseux ที่ลู่เข้า ^{[ 1 ]} จำนวนเต็มอธิบายการแตกแขนงของสาขา ฟังก์ชันพีชคณิตไม่มีจุดเอกฐานอื่นใดนอกจากขั้วและจุดสาขาพีชคณิต ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x-x_{0}=t^{e}}$$${\displaystyle y=\sum _{j=j_{0}}^{\infty }a_{j}t^{j}=\sum _{j=j_{0}}^{\infty }a_{j}(x-x_{0})^{j/e}.}$$${\displaystyle e}$

โปรดทราบว่าการพิสูจน์ความเป็นเชิงวิเคราะห์ข้างต้นได้มาจากนิพจน์สำหรับระบบขององค์ประกอบฟังก์ชันที่แตกต่างกันn ตัว f _i ( x ) โดยมีเงื่อนไขว่าxไม่ใช่ค่าวิกฤตของการฉายภาพไปยังเส้น-line ค่าวิกฤตคือค่าของที่จำนวนศูนย์ที่แตกต่างกันของมีค่าน้อยกว่าดีกรีของในซึ่งเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อสัมประสิทธิ์นำหน้าในหรือดิสครีมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงมีค่าดังกล่าวเพียงจำนวนจำกัดc ₁ , ..., c _mเท่านั้น ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p(x,y)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

การวิเคราะห์คุณสมบัติขององค์ประกอบฟังก์ชันf _i อย่างละเอียด ใกล้ค่าวิกฤต สามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่า การปกคลุมแบบโมโนโดรมี นั้น มีการแตกแขนงเหนือค่าวิกฤต (และอาจรวมถึงจุดที่อนันต์ด้วย ) ดังนั้น การขยายเชิง โฮโลมอร์ฟิกของf _iจึงมีขั้วพีชคณิตที่แย่ที่สุดและการแตกแขนงพีชคณิตธรรมดาเหนือค่าวิกฤต

โปรดทราบว่า เมื่อห่างจากค่าวิกฤต เราจะมี

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))}$

เนื่องจากf _iตามนิยามแล้วคือศูนย์ที่แตกต่างกันของpการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของสาขาเฉพาะที่รอบวงวนโดยหลีกเลี่ยงค่าวิกฤตจะสลับสาขาเหล่านั้น การสลับตำแหน่งเหล่านี้ก่อให้เกิดกลุ่มโมโนโดรมีของฟังก์ชันพีชคณิต ( การกระทำของโมโนโดรมีบนปริภูมิปกคลุมสากลมีความเกี่ยวข้องแต่เป็นแนวคิดที่แตกต่างกันในทฤษฎีของพื้นผิวรีมันน์ )

ในทางพีชคณิต ถ้าเป็นฟิลด์แยกส่วนของเหนือซึ่งเทียบเท่ากับการปิดกาโลอิสของส่วนขยายที่สร้างขึ้นโดยกิ่งหนึ่งกิ่งกลุ่มกาโลอิสจะกระทำโดยการสลับรากภายใต้การจับคู่ระหว่างการปกคลุมแบบกิ่งจำกัดของทรงกลมรีมันน์และส่วนขยายแบบจำกัดของกลุ่มกาโลอิสนี้จะถูกระบุว่าเป็นกลุ่มโมโนโดรมีของการปกคลุม ดังนั้นการกระทำของโมโนโดรมีจึงทำให้กลุ่มกาโลอิสของฟิลด์แยกส่วนกลายเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนบนกิ่ง ${\displaystyle L}$${\displaystyle p(x,y)}$${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {C} (x))}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$

ฟังก์ชันพีชคณิตมีคุณสมบัติปิดภายใต้การบวก การลบ การคูณ การหาร และการประกอบ ในทุกที่ที่มีการกำหนดการดำเนินการ ในทางพีชคณิต สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าและเป็นฟังก์ชันพีชคณิตเหนือแล้วฟิลด์จะเป็นส่วนขยายพีชคณิตจำกัดของดังนั้นนิพจน์ตรรกยะใดๆ ในและ จึง เป็นฟังก์ชันพีชคณิตเหนือ อีกด้วย ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นฟังก์ชันพีชคณิตเหนือและเป็นฟังก์ชันพีชคณิตเหนือแล้วภายใต้การตีความสาขาที่เหมาะสมก็จะเป็นฟังก์ชันพีชคณิตอีกด้วย หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าฟังก์ชันพีชคณิตถูกมองว่าเป็นความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตบนเส้นโปรเจกทีฟ ความสัมพันธ์เชิงประกอบก็จะเป็นฟังก์ชันพีชคณิตอีกด้วย ถ้าและกำหนดความสัมพันธ์ดังกล่าวสองอย่าง ความสัมพันธ์เชิงประกอบของพวกมันจะบรรจุอยู่ในความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตที่ได้จากการกำจัดเช่น โดยผลลัพธ์ ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K(x)}$${\displaystyle K(x,u,v)}$${\displaystyle K(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K(t)}$${\displaystyle f(g(t))}$${\displaystyle P(x,y)=0}$${\displaystyle Q(t,x)=0}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}(Q(t,x),P(x,y))=0.}$^{[ 4 ]}

บนสาขาที่ไม่เอกฐาน อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตก็จะเป็นฟังก์ชันพีชคณิตเช่นกัน การหาอนุพันธ์โดยปริยายให้ ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle P(x,y)=0}$

${\displaystyle y'=-{P_{x}(x,y) \over P_{y}(x,y)},}$

โดยที่นิพจน์นี้ใช้ได้ห่างจากจุดที่ ในทางตรงกันข้าม อนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันพีชคณิตไม่จำเป็นต้องเป็นพีชคณิต อินทิกรัลของฟังก์ชันพีชคณิตโดยทั่วไปนำไปสู่อินทิกรัลอาเบเลียนเช่นอินทิกรัลเชิงวงรี^{[ 5 ]}${\displaystyle P_{y}=0}$

แนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันพีชคณิตมีมาอย่างน้อยก็ตั้งแต่สมัยเรเน่ เดส์การ์ต การอภิปรายเกี่ยวกับฟังก์ชันพีชคณิตครั้งแรกดูเหมือนจะปรากฏในหนังสือAn Essay on the Principles of Human Knowledge ของ เอ็ดเวิร์ด วอริ่งในปี 1794 ซึ่งเขาเขียนไว้ว่า:

ให้ปริมาณหนึ่งแทนแกนตั้ง และอีกปริมาณหนึ่งแทนแกนx ด้วยฟังก์ชันพีชคณิตของแกน x โดยใช้วิธีการหารและการถอดรากทั่วไป ลดทอนฟังก์ชันนี้ให้เป็นอนุกรมอนันต์ที่เรียงลำดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อยตามมิติของxแล้วหาปริพันธ์ของแต่ละพจน์ที่ได้

• นิพจน์พีชคณิต
• ฟังก์ชันวิเคราะห์
• การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน
• ฟังก์ชันพื้นฐาน
• ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
• ฟังก์ชันทั่วไป
• รายชื่อชื่อที่ตั้งตามชื่อบุคคลของหน้าที่พิเศษ
• รายการประเภทของฟังก์ชัน
• พหุนาม
• ฟังก์ชันเชิงตรรกะ
• ฟังก์ชันพิเศษ
• หน้าที่เหนือธรรมชาติ

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันพีชคณิต

• นิยามของ "ฟังก์ชันพีชคณิต"ในสารานุกรมคณิตศาสตร์
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันพีชคณิต" . แมธเวิลด์ .
• ฟังก์ชันพีชคณิตที่PlanetMath
• นิยามของ "ฟังก์ชันพีชคณิต" เก็บถาวรเมื่อวันที่ 26 ตุลาคม 2020 ในWayback Machineในสารานุกรมวิทยาศาสตร์ออนไลน์ของDavid J. Darling