อีกเรื่องราวหนึ่งเกี่ยวกับปัญหาที่อาร์คิมีดีสได้รับการยกย่องว่าแก้ไขได้ในการรับใช้ฮิเอโรที่ 2 คือ "ปัญหาพวงมาลัย" ^{[ 7 ]}ตามที่วิทรูเวียสเขียนไว้ประมาณสองศตวรรษหลังจากที่อาร์คิมีดีสเสียชีวิตกษัตริย์ฮิเอโรที่ 2 แห่งซีราคิวส์ได้สั่งให้ทำพวงมาลัยทองคำสำหรับวิหารของเทพเจ้าอมตะ และได้จัดหาทองคำบริสุทธิ์ให้ช่างทองใช้^{[ 8 ]}อย่างไรก็ตาม กษัตริย์เริ่มสงสัยว่าช่างทองได้ใช้เงินราคาถูกกว่ามาแทนและเก็บทองคำบริสุทธิ์ไว้บางส่วน และเมื่อไม่สามารถทำให้ช่างทองสารภาพได้ จึงขอให้อาร์คิมีดีสตรวจสอบ^{[ 9 ]}ต่อมา ขณะที่กำลังอาบน้ำ อาร์คิมีดีสสังเกตเห็นว่าระดับน้ำในอ่างสูงขึ้นเมื่อเขายิ่งจมลงไปในอ่าง และเมื่อตระหนักว่าผลกระทบนี้สามารถใช้เพื่อกำหนดปริมาตร ของมงกุฎทองคำ ได้ เขาก็ตื่นเต้นมากจนออกไปที่ถนนเปลือยกายโดยลืมแต่งตัว ร้องว่า " ยูเรกา !" ^{[ b ]}ซึ่งหมายความว่า "ฉันพบ [มัน] แล้ว!" ^{[ 9 ]}ตามที่วิทรูวิอุสกล่าวไว้ อาร์คิมิดีสจึงนำทองคำก้อนหนึ่งและเงินก้อนหนึ่งซึ่งมีน้ำหนักเท่ากับพวงมาลัย และเมื่อวางแต่ละก้อนลงในอ่างอาบน้ำ ก็พบว่าพวงมาลัยทำให้น้ำแทนที่มากกว่าทองคำและน้อยกว่าเงิน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าพวงมาลัยนั้นทำจากทองคำผสมกับเงิน^{[ 9 ]}

เรื่องราวที่แตกต่างออกไปปรากฏอยู่ในCarmen de Ponderibus [ ^{10 ] ซึ่ง เป็น}บทกวีสอนภาษาละตินในศตวรรษที่ 5 ที่ไม่ระบุชื่อผู้แต่ง เกี่ยวกับน้ำหนักและการวัด ซึ่งครั้งหนึ่งเคยถูกระบุว่าเป็นผลงานของนักไวยากรณ์Priscian [ ^{9 ] ใน}บทกวีนี้ ก้อนทองคำและเงินถูกวางบนตาชั่ง จากนั้นอุปกรณ์ทั้งหมดก็ถูกจุ่มลงในน้ำ ความแตกต่างของความหนาแน่นระหว่างทองคำและเงิน หรือระหว่างทองคำและมงกุฎ ทำให้ตาชั่งเอียงไปตามนั้น^{[ 11 ]}แตกต่างจากเรื่องราวอ่างอาบน้ำที่มีชื่อเสียงกว่าของ Vitruvius เรื่องราวในบทกวีนี้ใช้ หลักการ อุทกสถิตซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อหลักการของอาร์คิมิดีสซึ่งพบได้ในตำราOn Floating Bodies ของเขา โดยที่วัตถุที่จุ่มอยู่ในของเหลวจะได้รับแรงลอยตัวเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่มันแทนที่^{[ 12 ]}กาลิเลโอ กาลิเลอีผู้ประดิษฐ์เครื่องชั่งไฮโดรสแตติกในปี 1586 โดยได้รับแรงบันดาลใจจากงานของอาร์คิมิดีส ถือว่า "เป็นไปได้ว่าวิธีการนี้เป็นวิธีเดียวกับที่อาร์คิมิดีสปฏิบัติตาม เนื่องจากนอกจากจะมีความแม่นยำสูงแล้ว ยังอิงตามการพิสูจน์ที่อาร์คิมิดีสค้นพบเองด้วย" ^{[ 13 ]}

งานด้านวิศวกรรมส่วนใหญ่ของอาร์คิมิดีสน่าจะเกิดจากการตอบสนองความต้องการของเมืองบ้านเกิดของเขาคือซีราคิวส์ [ ^{14 ] อา}เธเนอุสแห่งนอคราติสในหนังสือเดปโนโซฟิสเต ของเขา อ้างถึงมอสคิออนบางคนเกี่ยวกับคำอธิบายว่ากษัตริย์ฮิเอโรที่ 2 ทรงสั่งให้สร้างเรือขนาดใหญ่ชื่อซีราคิวเซียซึ่งกล่าวกันว่าเป็นเรือที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างขึ้นในสมัยโบราณคลาสสิกและตามบันทึกของมอสคิออน เรือลำนี้ถูกปล่อยลงน้ำโดยอาร์คิมิดีส^{[ 15 ]}พลูตาร์คเล่าเรื่องที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย^{[ 16 ]}โดยเล่าว่าอาร์คิมิดีสโอ้อวดกับฮิเอโรว่าเขาสามารถเคลื่อนย้ายน้ำหนักมากได้ ซึ่งในขณะนั้นฮิเอโรจึงท้าให้เขาเคลื่อนย้ายเรือ^{[ 17 ]}เรื่องราวเหล่านี้มีรายละเอียดที่น่าทึ่งมากมายซึ่งเป็นไปไม่ได้ในเชิงประวัติศาสตร์ และผู้เขียนเรื่องราวเหล่านี้เสนอแนวคิดที่ขัดแย้งกันเกี่ยวกับวิธีการทำงานนี้ให้สำเร็จ: ^{[ 17 ]}พลูตาร์คกล่าวว่าอาร์คิมิดีสสร้างระบบรอกและเชือกใน ขณะที่ ฮีโรแห่งอเล็กซานเดรียกล่าวว่าความสำเร็จเดียวกันนี้เกิดจากการประดิษฐ์บารูลคอสของอาร์คิมิดีส ซึ่ง เป็นเครื่องกว้านชนิดหนึ่ง^{[ 18 ]}ปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรียกล่าวว่าความสำเร็จนี้เกิดจากการใช้ประโยชน์จากกลไกของ อาร์คิมิดี ส^{[ 17 ]}หลักการของคานงัดเพื่อยกวัตถุที่หนักเกินกว่าจะเคลื่อนย้ายได้ โดยอ้างถึงคำพูดที่มักถูกอ้างถึงของเขาว่า: "จงให้ที่ยืนแก่ข้า แล้วข้าจะเคลื่อนโลก" ^{[ c ] [ 19 ]}

Athenaeus ซึ่งน่าจะบิดเบือนรายละเอียดของเรื่องราวของ Hero เกี่ยวกับ baroulkos ^{[ 20 ]}ยังกล่าวถึงว่า Archimedes ใช้ "สกรู" เพื่อกำจัดน้ำที่อาจรั่วซึมผ่านตัวเรือSyracusiaแม้ว่าอุปกรณ์นี้บางครั้งจะถูกเรียกว่าสกรูของ Archimedes แต่ก็เป็นไปได้ว่ามันมีมาก่อนเขาเป็นเวลานาน และไม่มีบุคคลร่วมสมัยที่ใกล้ชิดที่สุดของเขาที่อธิบายการใช้งาน ( Philo แห่งไบแซนเทียม , StraboและVitruvius ) ระบุว่าเขาเป็นผู้ใช้^{[ 17 ]}

ชื่อเสียงที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่อาร์คิมิดีสได้รับในสมัยโบราณคือการปกป้องเมืองของเขาจากชาวโรมันระหว่างการล้อมเมืองซีราคิวส์ [ ^{21 ] ตาม}ที่พลูตาร์คกล่าวไว้^{[ 22 ]}อาร์คิมิดีสได้สร้างเครื่องจักรสงครามให้กับฮิเอโรที่ 2 แต่ไม่เคยได้รับโอกาสใช้เครื่องจักรเหล่านั้นในระหว่างที่ฮิเอโรยังมีชีวิตอยู่ อย่างไรก็ตาม ในปี 214 ก่อนคริสต์ศักราช ในช่วงสงครามปุนิกครั้งที่สองเมื่อซีราคิวส์เปลี่ยนข้างจากโรมไปเป็นคาร์เธจกองทัพโรมันภายใต้ การนำของ มาร์คัส คลอเดียส มาร์เซลลัสพยายามยึดเมือง อาร์คิมิดีสกล่าวกันว่าได้ดูแลการใช้เครื่องจักรสงครามเหล่านี้ในการป้องกันเมืองด้วยตนเอง ทำให้ชาวโรมันต้องล่าช้าออกไปอย่างมาก และในที่สุดก็สามารถยึดเมืองได้หลังจากล้อมเมืองเป็นเวลานาน^{[ 23 ]}นักประวัติศาสตร์สามคน ได้แก่พลูตาร์คลิวีและโพลิบิอุสให้หลักฐานเกี่ยวกับเครื่องจักรสงครามเหล่านี้ โดยอธิบายถึงเครื่องยิงหินที่ได้รับการปรับปรุงเครนที่ปล่อยชิ้นส่วนตะกั่วหนักๆ ลงบนเรือโรมัน หรือซึ่งใช้กรงเล็บ เหล็ก ยกขึ้นจากน้ำ แล้วปล่อยลงไปเพื่อให้จม^{[ d ] [ 25 ]}

เรื่องราวที่ดูไม่น่าเป็นไปได้มากกว่า ซึ่งไม่พบในบันทึกสามฉบับแรก (พลูตาร์ค โพลิบิอุส หรือลิวี) อธิบายว่าอาร์คิมิดีสใช้ "กระจกที่ลุกไหม้" เพื่อรวมแสงอาทิตย์ไปที่เรือโรมันที่โจมตี ทำให้เรือลุกไหม้^{[ 21 ]}บันทึกที่เก่าแก่ที่สุดที่กล่าวถึงเรือที่ถูกไฟไหม้ โดยลูเซียนแห่งซาโมซาตา นักเสียดสีในศตวรรษที่ 2 [ ^{26 ]}ไม่ได้กล่าวถึงกระจก และกล่าวเพียงว่าเรือถูกไฟไหม้ด้วยวิธีการประดิษฐ์ ซึ่งอาจหมายความว่ามีการใช้กระสุนที่ลุกไหม้^{[ 21 ] ผู้}เขียนคนแรกที่กล่าวถึงกระจกคือกาเลนซึ่งเขียนขึ้นในศตวรรษเดียวกัน^{[ 27 ]}เกือบสี่ร้อยปีหลังจากลูเซียนและกาเลน แอนเธมิอุสแม้จะมีข้อสงสัย ก็พยายามสร้างรูปทรงเรขาคณิตสะท้อนแสงตามสมมติฐานของอาร์คิ มิดีสขึ้นมาใหม่ ^{[ 28 ] [ 29 ]}อุปกรณ์ที่กล่าวอ้างนี้ บางครั้งเรียกว่า " ลำแสงความร้อนของอาร์คิมิดีส " เป็นหัวข้อของการถกเถียงอย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับความน่าเชื่อถือมาตั้งแต่ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา [ ^{30 ] เร}เน่ เดส์การ์ตส์ปฏิเสธว่ามันเป็นเท็จ^{[ 31 ]}ในขณะที่นักวิจัยสมัยใหม่พยายามที่จะสร้างผลกระทบขึ้นมาใหม่โดยใช้เพียงวิธีการที่อาร์คิมิดีสมี ซึ่งได้ผลลัพธ์ที่หลากหลาย^{[ 32 ]}

มีเรื่องเล่าที่แตกต่างกันหลายเรื่องเกี่ยวกับการเสียชีวิตของอาร์คิมิดีสระหว่างการปล้นสะดมเมืองซีราคิวส์หลังจากที่ตกอยู่ภายใต้การปกครองของชาวโรมัน: ^{[ 33 ]}เรื่องเล่าที่เก่าแก่ที่สุดจากลิวี [ ^{34 ] กล่าว}ว่า ขณะที่กำลังวาดรูปบนพื้นฝุ่น อาร์คิมิดีสถูกทหารโรมันฆ่าตายเพราะทหารคนนั้นไม่รู้ว่าเขาคืออาร์คิมิดีส ตามที่พลูตาร์คกล่าว^{[ 35 ]}ทหารคนนั้นเรียกร้องให้อาร์คิมิดีสไปกับเขา แต่อาร์คิมิดีสปฏิเสธ โดยบอกว่าเขาต้องทำงานให้เสร็จ และทหารคนนั้นก็ใช้ดาบฆ่าอาร์คิมิดีส อีกเรื่องเล่าหนึ่งจากพลูตาร์คกล่าวว่าอาร์คิมิดีสกำลังถือเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อยู่ก่อนที่จะถูกฆ่าตายเพราะทหารคนนั้นคิดว่าเครื่องมือเหล่านั้นมีค่า^{[ 33 ]}นักเขียนชาวโรมันอีกคนหนึ่งคือวาเลริอุส แม็กซิมัส (มีชีวิตอยู่ราวปี ค.ศ. 30) ได้เขียนไว้ในหนังสือMemorable Doings and Sayingsว่าคำพูดสุดท้ายของอาร์คิมิดีสก่อนที่ทหารจะฆ่าเขาคือ "...แต่ปกป้องฝุ่นด้วยมือของเขาแล้วพูดว่า 'ข้าขอร้องท่าน อย่ารบกวนสิ่งนี้เลย'" ซึ่งคล้ายกับคำพูดสุดท้ายที่มักกล่าวกันว่าเป็นคำพูดของเขาในปัจจุบันว่า " อย่ารบกวนวงกลมของข้า " ซึ่งไม่ปรากฏในแหล่งข้อมูลโบราณใดๆ^{[ 33 ]}

มี รายงานว่ามาร์เซลลัสโกรธแค้นต่อการตายของอาร์คิมิดีส เนื่องจากเขามองว่าอาร์คิมิดีสเป็นบุคคลสำคัญทางวิทยาศาสตร์ (เขาเรียกอาร์คิมิดีสว่า " ไบรอาเรียส แห่งเรขาคณิต ") และได้สั่งห้ามมิให้ทำร้ายเขา^{[ 36 ] [ 37 ]}ซิเซโร (106–43 ปีก่อนคริสตกาล) กล่าวถึงว่ามาร์เซลลัสได้นำท้องฟ้าจำลองสองแห่งที่อาร์คิมิดีสสร้างขึ้น มายังกรุงโรม ^{[ 38 ]}ซึ่งอาร์คิมิดีสเป็นผู้สร้างและแสดงการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดาวเคราะห์ห้าดวง โดยเขาบริจาคหนึ่งแห่งให้กับวิหารแห่งคุณธรรมในกรุงโรม และอีกแห่งหนึ่งเขาอ้างว่าเก็บไว้เป็นของส่วนตัวเพียงชิ้นเดียวที่ปล้นมาจากซีราคิวส์” ^{[ 39 ]}ปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรียรายงานเกี่ยวกับตำราที่สูญหายไปแล้วของอาร์คิมิดีส เรื่อง “เกี่ยว กับการสร้างทรงกลม”ซึ่งอาจเกี่ยวข้องกับการสร้างกลไกเหล่านี้^{[ 25 ]}การสร้างกลไกประเภทนี้จะต้องใช้ความรู้ที่ซับซ้อนเกี่ยวกับเฟืองทดกำลังซึ่งครั้งหนึ่งเคยคิดว่าอยู่นอกเหนือขอบเขตของเทคโนโลยีที่มีอยู่ในสมัยโบราณ แต่การค้นพบกลไกแอนติคิเธราในปี 1902 ซึ่งเป็นอุปกรณ์อีกชิ้นหนึ่งที่สร้างขึ้นประมาณ100ปีก่อนคริสตกาล ออกแบบมาเพื่อจุดประสงค์ที่คล้ายคลึงกัน ได้ยืนยันว่าอุปกรณ์ประเภทนี้เป็นที่รู้จักของชาวกรีกโบราณ^{[ 40 ]}โดยนักวิชาการบางคนถือว่าอุปกรณ์ของอาร์คิมิดีสเป็นต้นแบบ^{[ 41 ] [ 42 ]}

ขณะปฏิบัติหน้าที่เป็นเสนาบดีในซิซิลี ซิเซโรได้พบสิ่งที่สันนิษฐานว่าเป็นสุสานของอาร์คิมิดีสใกล้ประตูอากริเจนไทน์ในซีราคิวส์ ซึ่งอยู่ในสภาพทรุดโทรมและรกไปด้วยพุ่มไม้ ซิเซโรได้สั่งให้ทำความสะอาดสุสานและสามารถเห็นงานแกะสลักและอ่านบทกวีบางส่วนที่ถูกจารึกไว้ สุสานมีประติมากรรมที่แสดงถึงการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่อาร์คิมิดีสชื่นชอบนั่นคือปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมเป็นสองในสามของทรงกระบอกที่ล้อมรอบรวมถึงฐานด้วย^{[ 43 ]}

ในการหาพื้นที่ของพาราโบลาอาร์คิมิดีสกล่าวว่าข้อเสนอบางอย่างในElementsของยูคลิดที่แสดงให้เห็นว่าพื้นที่ของวงกลมเป็นสัดส่วนกับเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นได้รับการพิสูจน์โดยใช้บทพิสูจน์ย่อยที่รู้จักกันในชื่อคุณสมบัติของอาร์คิมิดีสซึ่งก็คือ “ส่วนเกินที่พื้นที่ที่ใหญ่กว่าของพื้นที่สองพื้นที่ที่ไม่เท่ากันเกินกว่าพื้นที่ที่เล็กกว่า หากนำมาบวกกับตัวเองแล้ว สามารถเกินกว่าพื้นที่ที่มีขอบเขตที่กำหนดได้” ก่อนหน้าอาร์คิมิดีส ยูโดซัสแห่งคนิดัสและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ในยุคก่อนหน้า^{[ e ]}ได้นำบทพิสูจน์ย่อยนี้มาใช้ ซึ่งเป็นเทคนิคที่เรียกว่า “วิธีการหาปริมาตร” เพื่อหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยม ด้าน เท่าทรงกระบอกทรงกรวยและทรงกลมซึ่งมีการพิสูจน์ไว้ในหนังสือเล่มที่ 12 ของElements ของยูคลิด^{[ 44 ]}

ในการวัดวงกลมอาร์คิมิดีสใช้วิธีนี้เพื่อแสดงว่าพื้นที่ของวงกลมเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีฐานและความสูงเท่ากับรัศมีและเส้นรอบวง^{[ 45 ]}จากนั้นเขาประมาณอัตราส่วนระหว่างรัศมีและเส้นรอบวง ซึ่งก็คือค่าของπโดยการวาดรูปหกเหลี่ยมปกติ ขนาดใหญ่กว่า ไว้ด้านนอกวงกลม แล้ววาดรูปหกเหลี่ยมปกติขนาดเล็กกว่าไว้ด้านในวงกลม และค่อยๆ เพิ่มจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ แต่ละรูปเป็นสอง เท่า โดยคำนวณความยาวด้านของรูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปในแต่ละขั้นตอน เมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้น การประมาณค่าของวงกลมก็จะแม่นยำมากขึ้น หลังจากสี่ขั้นตอนดังกล่าว เมื่อรูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปมี 96 ด้าน เขาก็สามารถกำหนดได้ว่าค่าของπอยู่ระหว่าง 3 ⁠1/7(ประมาณ 3.1429) และ 310/71(ประมาณ 3.1408) ซึ่งสอดคล้องกับค่าจริงประมาณ 3.1416 ^{[ 46 ]}ในตำราเล่มเดียวกันนี้ เขายังยืนยันอีกว่าค่าของรากที่สองของ 3 อยู่ระหว่าง ⁠265/153(ประมาณ 1.7320261)และ1351/780(ประมาณ 1.7320512) ซึ่งเขาอาจได้รับมาจากวิธีการที่คล้ายกัน ^{[ 47 ]}

ในหนังสือการหาพื้นที่ของพาราโบลาอาร์คิมิดีสใช้เทคนิคนี้เพื่อพิสูจน์ว่าพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลาและเส้นตรงนั้นเท่ากัน4/3คูณด้วยพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า ที่สอดคล้องกัน ดังแสดงในรูปด้านขวา โดยแสดงคำตอบของปัญหาเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ที่มีอัตราส่วนร่วม1/4: ^{[ 48 ]}​

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.\;}$

ถ้าพจน์แรกในอนุกรมนี้คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม พจน์ที่สองจะเป็นผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่มีฐานเป็นเส้นตัด สองเส้นที่เล็กกว่า และจุดยอดที่สามคือจุดที่เส้นตรงที่ขนานกับแกนของพาราโบลาและผ่านจุดกึ่งกลางของฐานตัดกับพาราโบลา เป็นต้น การพิสูจน์นี้ใช้รูปแบบหนึ่งของอนุกรม1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·ซึ่งรวมกันได้เป็น⁠ 1/3⁠ .

เขายังใช้เทคนิคนี้เพื่อวัดพื้นที่ผิวของทรงกลมและกรวย^{[ 49 ]}เพื่อคำนวณพื้นที่ของวงรี^{[ 50 ]}และเพื่อหาพื้นที่ที่อยู่ภายในเกลียวอาร์คิมีเดียน^{[ 51 ] [ 45 ]}

เพราะการที่ได้มีความรู้เกี่ยวกับเรื่องที่กำลังตรวจสอบอยู่แล้วผ่านวิธีการดังกล่าว ย่อมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ง่ายกว่าการสืบสวนโดยที่ไม่รู้อะไรเลย

นอกจากจะพัฒนาต่อยอดจากผลงานของนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนๆ ด้วยวิธีการหาค่าโดยประมาณแล้ว อาร์คิมิดีสยังเป็นผู้บุกเบิกเทคนิคใหม่โดยใช้กฎของคานเพื่อวัดพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงโดยใช้วิธีการทางกายภาพ เขาได้ให้โครงร่างของการพิสูจน์นี้ไว้ในQuadrature of the Parabolaควบคู่ไปกับการพิสูจน์ทางเรขาคณิต แต่เขาได้ให้คำอธิบายที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นในThe Method of Mechanical Theorems [ ^{48 ] ตาม}ที่อาร์คิมิดีสกล่าว เขาพิสูจน์ผลลัพธ์ในตำราคณิตศาสตร์ของเขาโดยใช้วิธีนี้ก่อน จากนั้นจึงทำงานย้อนกลับ โดยใช้วิธีการหาค่าโดยประมาณหลังจากที่เขาคำนวณค่าโดยประมาณของคำตอบได้แล้ว^{[ 53 ]}

นอกจากนี้ อาร์คิมิดีสยังได้พัฒนาวิธีการแสดงจำนวนขนาดใหญ่ด้วย

ในหนังสือ The Sand Reckonerอาร์คิมิดีสได้คิดค้นระบบการนับโดยใช้จำนวนหมื่น^{( myriad )}ซึ่ง^เป็นคำภาษากรีกสำหรับเลข 10,000 เพื่อคำนวณจำนวนที่มากกว่าจำนวนเม็ดทรายที่จำเป็นต้องใช้ในการเติมเต็มจักรวาล เขาเสนอระบบตัวเลขโดยใช้กำลังของจำนวนหมื่น (100 ล้าน หรือ 10,000 x 10,000) และสรุปว่าจำนวนเม็ดทรายที่จำเป็นต้องใช้ในการเติมเต็มจักรวาลคือ 8 วิกินทิลเลียนหรือ 8 × 10^{63. [ 54 ]} ในการทำเช่นนั้น เขาได้แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์สามารถแทนจำนวนที่มาก ได้ตามอำเภอใจ

ในปัญหาเรื่องโค อาร์คิมิดีสท้าทายนักคณิตศาสตร์ที่หอสมุดแห่งอเล็กซานเดรียให้คำนวณจำนวนโคในฝูงโคแห่งดวงอาทิตย์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแก้สมการ ไดโอแฟนไทน์หลายสมการพร้อมกันเวอร์ชันที่ยากกว่าของปัญหานี้คือคำตอบบางส่วนต้องเป็นจำนวนกำลังสองและคำตอบที่ได้คือจำนวนมหาศาลประมาณ 7.760271 × 10²³^{206 544} . ^{[ 55 ]}

ในงานเขียนที่สูญหายซึ่งบรรยายโดยปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรีย อาร์คิมิดีสพิสูจน์ว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ อยู่สิบสามรูป พอดี^{[ 56 ]}

ต่อไปนี้เรียงลำดับตามลำดับเวลาตามเกณฑ์คำศัพท์และประวัติศาสตร์ใหม่ที่กำหนดโดย Knorr (1978) และ Sato (1986) ^{[ 59 ] [ 60 ]}

บนทรงกลมและทรงกระบอก

ในตำราสองเล่มที่เขียนถึงโดซิเทอุสนี้ อาร์คิมิดีสได้ค้นพบผลลัพธ์ที่เขาภาคภูมิใจที่สุด นั่นคือความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมกับทรงกระบอกที่ล้อมรอบทรงกลม โดยมีความสูงและ เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากันปริมาตรคือ⁠4/3⁠ π r ³สำหรับทรงกลม และ 2 π r ³สำหรับทรงกระบอก พื้นที่ผิวคือ 4 π r ²สำหรับทรงกลม และ 6 π r ²สำหรับทรงกระบอก (รวมฐานทั้งสอง) โดยที่ rคือรัศมีของทรงกลมและทรงกระบอก ^{[ 71 ] [ 72 ]}

ออสโตมาคิออน

หรือที่รู้จักกันในชื่อLoculus of ArchimedesหรือArchimedes' Box [ ^{80 ]}นี่คือปริศนาการแยกชิ้นส่วน^ที่คล้ายกับTangramและตำราที่อธิบายปริศนานี้พบในรูปแบบที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นในArchimedes Palimpsestอาร์คิมิดีสคำนวณพื้นที่ของชิ้นส่วนทั้ง 14 ชิ้น ซึ่งสามารถประกอบกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้Reviel Netzจากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดโต้แย้งในปี 2003 ว่าอาร์คิมิดีสกำลังพยายามหาจำนวนวิธีที่ชิ้นส่วนสามารถประกอบกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ Netz คำนวณว่าชิ้นส่วนสามารถประกอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ 17,152 วิธี^{[ 81 ]}จำนวนการจัดเรียงคือ 536 เมื่อไม่รวมวิธีแก้ปัญหาที่เทียบเท่ากันโดยการหมุนและการสะท้อน^{[ 82 ]}ปริศนานี้เป็นตัวอย่างของปัญหาในยุคแรกๆ ใน ด้าน คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง

ที่มาของชื่อปริศนานั้นไม่ชัดเจน และมีการเสนอแนะว่ามาจาก คำภาษา กรีกโบราณที่แปลว่า "คอ" หรือ "หลอดลม" stomachos ( στόμαχος ) ^{[ 83 ]} Ausoniusเรียกปริศนานี้ว่าOstomachionซึ่งเป็นคำประสมภาษากรีกที่เกิดจากรากศัพท์ของosteon ( ὀστέον , ' กระดูก' ) และmachē ( μάχη , ' การต่อสู้' ) ^{[ 80 ]}

หนังสือบทพิสูจน์ของอาร์คิ มิดีส หรือLiber Assumptorumเป็นตำราที่มีข้อเสนอ 15 ข้อเกี่ยวกับธรรมชาติของวงกลม สำเนาที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักของข้อความนี้เขียนเป็นภาษาอาหรับทีแอล ฮีธโต้แย้งว่าอาร์คิมิดีสไม่น่าจะเขียนขึ้นในรูปแบบปัจจุบันได้ เนื่องจากมีการอ้างอิงชื่อของอาร์คิมิดีส ซึ่งแสดงให้เห็นว่าบทพิสูจน์เหล่านี้ถูกรวบรวมโดยผู้เขียนในภายหลัง เขาคิดว่าแนวคิดของมัน เช่นเดียวกับArbelosมีต้นกำเนิดมาจากอาร์คิมิดีส^{[ 90 ]}แทนเนอรีสันนิษฐานว่าหากงานดังกล่าวเคยมีอยู่จริง มันคงสูญหายไปแล้วในสมัยของปัปปัสผู้ซึ่งใส่บทพิสูจน์ที่คล้ายกันไว้ในคอลเลกชันโดยเรียกบทพิสูจน์เหล่านั้นว่า "โบราณและมาจากงานต่างๆ" ^{[ 91 ] [ 92 ]}

การอ้างอิงผลงานของอาร์คิมิดีสที่น่าสงสัยอื่นๆ ได้แก่ บทกวีภาษาละตินCarmen de ponderibus et mensuris (ศตวรรษที่ 4 หรือ 5) ซึ่งอธิบายการใช้เครื่องชั่งไฮโดรสแตติก เพื่อแก้ปัญหาเรื่องมงกุฎ และตำรา Mappae claviculaในศตวรรษที่ 12 ซึ่งมีคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการวิเคราะห์โลหะโดยการคำนวณความหนาแน่นจำเพาะ^{[ 93 ] [ 94 ]}

งานเขียนจำนวนมากของอาร์คิมิดีสไม่ได้หลงเหลืออยู่หรือมีอยู่เพียงในรูปแบบชิ้นส่วนที่ได้รับการแก้ไขอย่างมาก: ^{[ 95 ]}ปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรียกล่าวถึงOn Sphere-Makingรวมถึงงานเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติและงานอีกชิ้นหนึ่งเกี่ยวกับเกลียว ในขณะที่ธีออนแห่งอเล็กซานเดรียอ้างถึงข้อสังเกตเกี่ยวกับการหักเหจากCatoptrica ที่สูญหายไปแล้วPrinciplesซึ่งเขียนถึง Zeuxippus อธิบายระบบตัวเลขที่ใช้ในThe Sand Reckonerนอกจากนี้ยังมีOn BalancesและOn Centers of Gravity ^{[ 95 ]}

นักวิชาการในโลกอิสลามยุคกลางยังเชื่อว่าอาร์คิมิดีสได้คิดค้นสูตรคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมจากความยาวของด้าน ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อสูตรของเฮรอนเนื่องจากปรากฏครั้งแรกในงานของเฮรอนแห่งอเล็กซานเดรียในศตวรรษที่ 1 หลังคริสต์ศักราช และอาจได้รับการพิสูจน์ในงานที่สูญหายของอาร์คิมิดีสซึ่งไม่มีอยู่แล้ว^{[ 96 ]}

ในปี ค.ศ. 1906 ศาสตราจารย์ชาวเดนมาร์กโยฮัน ลุดวิก ไฮเบิร์กได้เดินทางไปคอนสแตนติโนเปิล เพื่อตรวจสอบบทสวดมนต์บนแผ่นหนัง แพะจำนวน 174 หน้าซึ่งเขียนขึ้นในศตวรรษที่ 13 หลังจากอ่านคำถอดความฉบับย่อที่ตีพิมพ์เมื่อเจ็ดปีก่อนโดยปาปาโดปูลอส-เคราเมอุส [ ^{97 ] [ 98 ] เขา}ได้ยืนยันว่ามันเป็นพาลิมเซสต์ จริง ๆ ซึ่งเป็นเอกสารที่มีข้อความที่เขียนทับงานเก่าที่ถูกลบออกไป พาลิมเซสต์ถูกสร้างขึ้นโดยการขูดหมึกจากงานที่มีอยู่แล้วและนำกลับมาใช้ใหม่ ซึ่งเป็นวิธีปฏิบัติทั่วไปในยุคกลาง เนื่องจากแผ่นหนังมีราคาแพง งานเก่าในพาลิมเซสต์ได้รับการระบุโดยนักวิชาการว่าเป็นสำเนาในศตวรรษที่ 10 ของตำราที่สูญหายไปก่อนหน้านี้ของอาร์คิมิดีส^{[ 97 ] [ 99 ]}พาลิมเซสต์นี้บรรจุตำราเจ็ดเล่ม รวมถึงสำเนาเดียวที่ยังหลงเหลืออยู่ของOn Floating Bodiesในภาษากรีกดั้งเดิม นี่คือแหล่งข้อมูลเพียงแหล่งเดียวที่ทราบกันดีของ"วิธีการของทฤษฎีบทเชิงกล" ซึ่ง ซุยดาสอ้างถึงและเชื่อกันว่าสูญหายไปตลอดกาล นอกจากนี้ยังพบหนังสือ "สโตมาเคียน"ในต้นฉบับที่เขียนทับซ้อนกัน ซึ่งมีการวิเคราะห์ปริศนาอย่างครบถ้วนกว่าที่เคยพบในตำราก่อนหน้านี้

เอกสารต่างๆ ในต้นฉบับอาร์คิมีดีสที่เขียนทับซ้อนกันมีดังนี้:

• ว่าด้วยสมดุลของระนาบ
• บนเกลียว
• การวัดวงกลม
• บนทรงกลมและทรงกระบอก
• บนวัตถุลอยน้ำ
• วิธีการของทฤษฎีบททางกลศาสตร์
• สโตมาคิออน
• สุนทรพจน์ของ ไฮเปอรีเดสนักการเมืองในศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช
• คำอธิบายเกี่ยวกับหมวดหมู่ของอริสโตเติล
• ผลงานอื่นๆ

แผ่นหนังนี้ถูกเก็บไว้ในห้องสมุดของอารามในคอนสแตนติโนเปิลเป็นเวลาหลายร้อยปีก่อนที่จะถูกขายให้กับนักสะสมส่วนตัวในช่วงทศวรรษ 1920 เมื่อวันที่ 29 ตุลาคม 1998 มันถูกขายในการประมูลให้กับผู้ซื้อนิรนามในราคา 2.2 ล้านดอลลาร์^{[ 100 ] [ 101 ]}แผ่นหนังนี้ถูกเก็บไว้ที่พิพิธภัณฑ์ศิลปะวอลเตอร์สในบัลติมอร์รัฐแมริแลนด์ ซึ่งมันถูกนำไปทดสอบด้วยวิธีการสมัยใหม่หลายอย่าง รวมถึงการใช้แสงอัลตราไวโอเลตและรังสีเอ็กซ์ เพื่ออ่านข้อความที่เขียนทับ^{[ 102 ]}หลังจากนั้นมันก็ถูกส่งคืนให้กับเจ้าของนิรนาม^{[ 103 ] [ 104 ]}

ชื่อเสียงของอาร์คิมิดีสในด้านการประดิษฐ์เชิงกลในสมัยโบราณได้รับการบันทึกไว้อย่างดี^{[ 108 ]}อาเธเนอุส^{[ 109 ]}เล่าในDeipnosophistae ของเขา ว่าอาร์คิมิดีสปล่อยเรือที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่รู้จักในสมัยโบราณคือเรือซีราคูเซียขณะที่อพูเลียส^{[ 110 ]}พูดถึงงานของเขาในด้านคาโทปทริกส์ [ ^{111 ] พลู}ตาร์ค^{[ 112 ]}อ้างว่าอาร์คิมิดีสดูหมิ่นกลศาสตร์และมุ่งเน้นไปที่เรขาคณิตบริสุทธิ์ เป็นหลัก แต่โดยทั่วไปแล้วนักวิชาการสมัยใหม่ถือว่านี่เป็นการตีความผิด ซึ่งสร้างขึ้นเพื่อสนับสนุน ค่านิยม แบบเพลโต ของพลูตาร์คเอง มากกว่าที่จะเป็นการนำเสนออาร์คิมิดีสอย่างถูกต้อง^{[ 113 ]}

งานของอาร์คิมีดีสได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับโดยThābit ibn Qurraและเป็นภาษาละตินผ่านภาษาอาหรับโดยGerard แห่ง Cremonaการแปลโดยตรงจากภาษากรีกเป็นภาษาละตินนั้นทำในภายหลังโดยWilliam แห่ง MoerbekeและIacobus Cremonensis ^{[ 114 ] [ 115 ]}

ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา Editio princeps (ฉบับพิมพ์ครั้งแรก) ได้รับการตีพิมพ์ในบาเซิลในปี 1544 โดยJohann Herwagenพร้อมด้วยผลงานของอาร์คิมิดีสในภาษากรีกและละติน^{[ 116 ]}ซึ่งเป็นแหล่งความคิดที่มีอิทธิพลต่อนักวิทยาศาสตร์ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาและอีกครั้งในศตวรรษที่ 17 ^{[ 117 ] [ 118 ]}

เลโอนาร์โด ดา วินชีแสดงความชื่นชมอาร์คิมีดีสซ้ำแล้วซ้ำเล่า และยกให้สิ่งประดิษฐ์Architonnerre ของเขาเป็นผลงาน ของ อาร์คิมีดีส ^{[ 119 ] [ 120 ] [ 121 ]}กาลิเลโอ กาลิเลอีเรียกเขาว่า "เหนือมนุษย์" และ "อาจารย์ของฉัน" ^{[ 122 ] [ 123 ]}ในขณะที่คริสเตียน ฮุยเกนส์กล่าวว่า "ฉันคิดว่าอาร์คิมีดีสไม่มีใครเทียบได้" โดยตั้งใจเลียนแบบเขาในงานช่วงแรกของเขา^{[ 124 ]}ก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซกล่าวว่า "ผู้ที่เข้าใจอาร์คิมีดีสและอพอลโลนิอุสจะชื่นชมความสำเร็จของบุคคลสำคัญในยุคหลังน้อยลง" ^{[ 125 ]}

นักเหรียญวิทยาและนักโบราณคดีชาวอิตาลี ฟิลิปโป ปารูตา และเลโอนาร์โด อากอสติโนรายงานเกี่ยวกับเหรียญบรอนซ์ในซิซิลีที่มีภาพเหมือนของอาร์คิมีดีสอยู่ด้านหน้า และรูปทรงกระบอกและทรงกลมพร้อมอักษรย่อ ARMD ในภาษาละตินอยู่ด้านหลัง^{[ 126 ]}แม้ว่าเหรียญดังกล่าวจะสูญหายไปแล้วและไม่ทราบวันที่ผลิตอย่างแน่ชัด แต่ไอโว ชไนเดอร์อธิบายด้านหลังของเหรียญว่า "เป็นทรงกลมวางอยู่บนฐาน ซึ่งน่าจะเป็นภาพร่างคร่าวๆ ของดาวเคราะห์ดวงหนึ่งที่สร้างโดยอาร์คิมีดีส" และแนะนำว่าเหรียญนี้อาจถูกผลิตขึ้นในกรุงโรมสำหรับมาร์เซลลัส ซึ่ง "ตามรายงานโบราณ ได้นำทรงกลมสองลูกของอาร์คิมีดีสมาด้วยที่กรุงโรม" ^{[ 127 ]}

วีรบุรุษของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ คือ อาร์คิมีดีสและ นิวตัน [ ^{128 ]}และโมริตซ์ แคนเตอร์ผู้ซึ่งศึกษากับเกาส์ที่^{มหาวิทยาลัย}เกิตติงเงน รายงานว่าเขาเคยกล่าวในการสนทนาว่า "มีนักคณิตศาสตร์ผู้สร้างยุคสมัยเพียงสามคนเท่านั้น ได้แก่ อาร์คิมีดีส นิวตัน และไอเซนสไตน์ " ^{[ 129 ]}ในทำนองเดียวกันอัลเฟรด นอร์ท ไวท์เฮดกล่าวว่า "ในปี 1500 ยุโรปรู้จักน้อยกว่าอาร์คิมีดีสผู้ซึ่งเสียชีวิตในปี 212 ก่อนคริสต์ศักราช" ^{[ 130 ]}นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์เรวิเอล เน็ตซ์ [ ^{131 ] สะท้อน}คำประกาศของไวท์เฮดเกี่ยวกับเพลโตและปรัชญาโดยกล่าวว่า "วิทยาศาสตร์ตะวันตกเป็นเพียงเชิงอรรถของอาร์คิมีดีส" เรียกเขาว่า "นักวิทยาศาสตร์ที่สำคัญที่สุดเท่าที่เคยมีมา" และEric Temple Bell [ ^{132 ] เขียน}ว่า "รายชื่อนักคณิตศาสตร์ที่ 'ยิ่งใหญ่ที่สุด' สามคนในประวัติศาสตร์ทั้งหมดจะต้องมีชื่อของอาร์คิมิดีสรวมอยู่ด้วย อีกสองคนที่มักเกี่ยวข้องกับเขาคือนิวตันและเกาส์ บางคน เมื่อพิจารณาถึงความมั่งคั่ง—หรือความยากจน—ของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์กายภาพในยุคสมัยที่บุคคลสำคัญเหล่านี้มีชีวิตอยู่ และประเมินความสำเร็จของพวกเขาโดยพิจารณาจากบริบทของยุคสมัยนั้น ก็จะจัดให้อาร์คิมิดีสเป็นอันดับแรก"

การค้นพบผลงานที่สูญหายไปก่อนหน้านี้ของอาร์คิมิดีสในArchimedes Palimpsest ในปี พ.ศ. 2449 ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกใหม่เกี่ยวกับวิธีการที่เขาได้รับผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์^{[ 133 ] [ 134 ]}

เหรียญฟิลด์สำหรับความสำเร็จอันโดดเด่นในวิชาคณิตศาสตร์มีรูปเหมือนของอาร์คิมิดีส พร้อมด้วยรูปแกะสลักที่แสดงการพิสูจน์ของเขาบนทรงกลมและทรงกระบอก จารึกรอบศีรษะของอาร์คิมิดีสเป็นคำคมที่เชื่อกันว่าเป็นของกวีมานิลิอุส ในศตวรรษที่ 1 ซึ่งอ่านได้เป็นภาษาละตินว่า: Transire suum pectus mundoque potiri ("จงก้าวข้ามตนเองและคว้าโลก") ^{[ 135 ] [ 136 ] [ 137 ]}

เรือกลไฟเดินทะเลลำแรกของโลกที่มีใบพัดแบบเกลียวคือเรือSS Archimedesซึ่งเปิดตัวในปี พ.ศ. 2382 และตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่อาร์คิมิดีสและผลงานของเขาเกี่ยวกับเกลียว^{[ 138 ]}

อาร์คิมิดีสยังปรากฏบนแสตมป์ที่ออกโดยเยอรมนีตะวันออก (1973), กรีซ (1983), อิตาลี (1983), นิการากัว (1971), ซานมาริโน (1982) และสเปน (1963) อีกด้วย ^{[ 139 ]}

คำอุทาน " ยูเรก้า!"ที่เชื่อกันว่าเป็นของอาร์คิมิดีส เป็นคำขวัญประจำรัฐแคลิฟอร์เนียในกรณีนี้ คำดังกล่าวหมายถึงการค้นพบทองคำใกล้กับซัตเตอร์ส มิลล์ในปี พ.ศ. 2491 ซึ่งจุดประกายให้เกิดการตื่นทองในแคลิฟอร์เนีย^{[ 140 ]}

บนดวงจันทร์มีหลุม อุกกาบาต ชื่ออาร์คิมีดีส ( 29.7°N 4.0°W ) เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา^{[ 141 ]}รวมถึงเทือกเขา บนดวงจันทร์ ชื่อมอนเตส อาร์คิมีดีส ( 25.3°N 4.6°W ) ^{[ 142 ]}29°42′เหนือ4°00′ตะวันตก// 29.7; -4.025°18′เหนือ4°36′ตะวันตก// 25.3; -4.6