ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของแอร์โรว์เป็นผลลัพธ์สำคัญในทฤษฎีการเลือกทางสังคมซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยนักเศรษฐศาสตร์ชาวอเมริกันเคนเนธ แอร์โรว์แสดงให้เห็นว่าไม่มีขั้นตอนใดสำหรับการตัดสินใจของกลุ่มภายใต้อรรถประโยชน์เชิงลำดับที่สามารถตอบสนองความต้องการของทฤษฎีการเลือกอย่างมีเหตุผลได้ [ ^{1 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่ง ไม่มีกฎใดที่สามารถตอบสนองความเป็นอิสระของทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งเป็นหลักการที่ว่าการเลือกระหว่างสองทางเลือกAและBไม่ควรขึ้นอยู่กับคุณภาพของทางเลือกที่สามที่ไม่เกี่ยวข้องC ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

ผลลัพธ์นี้มักถูกอ้างถึงในการอภิปรายเกี่ยวกับกฎการลงคะแนน [ ^{5 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่าไม่มี^กฎการลงคะแนนแบบจัดลำดับ ใดที่สามารถขจัด ผลกระทบของสปอยเลอร์ได้^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} ผลลัพธ์นี้ได้รับการแสดงครั้งแรกโดยมาร์กีส์ เดอ คอนดอร์เซต์ ซึ่ง ความขัดแย้งในการลงคะแนนของเขาแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของกฎเสียงข้างมาก ที่สอดคล้องกับตรรกะ ทฤษฎีบทของแอร์โรว์ได้ขยายผลการค้นพบของคอนดอร์เซต์ให้ครอบคลุมถึงกฎที่ไม่ใช่เสียงข้างมาก เช่นภาวะผู้นำร่วมกันหรือการตัดสินใจโดยฉันทามติ^{[ 1 ]}

แม้ว่าทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้จะแสดงให้เห็นว่ากฎการลงคะแนนแบบจัดลำดับทั้งหมดจะต้องมีผู้ก่อกวน แต่ความถี่ของผู้ก่อกวนนั้นแตกต่างกันอย่างมากตามกฎ วิธี การลงคะแนนแบบเสียงข้าง มาก เช่นการเลือกหนึ่งเดียวและการลงคะแนนแบบจัดลำดับ (การลงคะแนนแบบรอบสองทันที)มีความไวต่อผู้ก่อกวนสูง^{[ 9 ] [ 10 ]}ทำให้เกิดผู้ก่อกวนแม้ในบางสถานการณ์ที่ไม่จำเป็นทางคณิตศาสตร์ (เช่น ในการบีบอัดศูนย์กลาง ) ^{[ 11 ] [ 12 ]}ในทางตรงกันข้าม วิธี การลงคะแนนแบบจัดลำดับ โดย ใช้กฎเสียงข้างมาก (Condorcet) จะลดจำนวนการเลือกตั้งที่เสียให้น้อยที่สุด^{[ 12 ]}โดยจำกัดให้อยู่ในรอบการลงคะแนน^{[ 11 ]}ซึ่งหายากในการเลือกตั้งที่ขับเคลื่อนด้วยอุดมการณ์^{[ 13 ] [ 14 ]}ภายใต้แบบจำลอง บางอย่าง ของความชอบของผู้ลงคะแนน (เช่น สเปกตรัมซ้าย-ขวาที่สมมติไว้ในทฤษฎีบทผู้ลงคะแนนมัธยฐาน ) ผู้ก่อกวนจะหายไปอย่างสิ้นเชิงสำหรับวิธีการเหล่านี้^{[ 15 ] [ 16 ]}

กฎการลงคะแนนแบบให้คะแนนซึ่งผู้ลงคะแนนจะกำหนดเกรดแยกต่างหากให้กับผู้สมัครแต่ละคนนั้น ไม่ได้รับผลกระทบจากทฤษฎีบทของแอร์โรว์^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ในตอนแรก แอร์โรว์ยืนยันว่าข้อมูลที่ได้รับจากระบบเหล่านี้ไม่มีความหมาย ดังนั้นจึงไม่สามารถนำมาใช้เพื่อป้องกันความขัดแย้งได้ ทำให้เขาละเลยระบบเหล่านี้ไป^{[ 20 ]}อย่างไรก็ตาม ต่อมา แอร์โรว์ได้อธิบายว่านี่เป็นความผิดพลาด^{[ 21 ] [ 22 ]}โดยยอมรับว่ากฎที่อิงตามอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ (เช่น การลง คะแนนแบบให้คะแนนและการลงคะแนนอนุมัติ ) นั้นไม่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทของเขา^{[ 23 ] [ 24 ]}

เมื่อKenneth Arrowพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในปี 1950 มันได้เปิดสาขาใหม่ของทฤษฎีทางเลือกทางสังคมซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการที่ศึกษาถึงกลไกในการรวบรวมความชอบและความเชื่อต่างๆทั่วทั้งสังคม^{[ 25 ]}กลไกการศึกษาดังกล่าวอาจเป็นตลาดระบบการลงคะแนนเสียงรัฐธรรมนูญหรือแม้แต่กรอบศีลธรรมหรือจริยธรรม^{[ 1 ]}

ในบริบทของทฤษฎีบทของแอร์โรว์นั้น สันนิษฐานว่าพลเมืองมีลำดับความชอบ กล่าวคือการจัดลำดับผู้สมัครถ้าAและBเป็นผู้สมัครหรือทางเลือกที่แตกต่างกันแสดงว่าAเป็นที่ต้องการมากกว่าBความชอบส่วนบุคคล (หรือคะแนนเสียง) จำเป็นต้องเป็นไปตามคุณสมบัติเชิงสัญชาตญาณของการจัดลำดับ เช่น ต้องเป็นคุณสมบัติถ่ายทอดได้ — ถ้าและแล้วฟังก์ชันการเลือกทางสังคมจึงเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่แปลงลำดับความชอบส่วนบุคคลไปสู่ลำดับใหม่ที่แสดงถึงความชอบของสังคมทั้งหมด ${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle A\succeq B}$${\displaystyle B\succeq C}$${\displaystyle A\succeq C}$

ทฤษฎีบทของ Arrow ถือว่า กฎการเลือกทางสังคม ที่ไม่เสื่อมถอย ใดๆ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ^{[ 26 ]}

• ขอบเขตที่ไม่จำกัด – ฟังก์ชันการเลือกทางสังคมเป็นฟังก์ชันทั้งหมดที่ครอบคลุมขอบเขตของการเรียงลำดับผลลัพธ์ไม่ใช่เพียงฟังก์ชันบางส่วน
  • กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระบบจะต้องทำการเลือกเสมอและไม่สามารถ "ยอมแพ้" ได้ง่ายๆ เมื่อผู้มีสิทธิเลือกตั้งมีความคิดเห็นที่แตกต่างออกไป
  • หากไม่มีสมมติฐานนี้กฎเสียงข้างมากจะสอดคล้องกับสัจพจน์ของ Arrow โดย "ยอมแพ้" เมื่อใดก็ตามที่มีวงจร Condorcet ^{[ 12 ]}
• การไม่เผด็จการ – ระบบไม่ขึ้นอยู่กับการลงคะแนนเสียงของผู้มีสิทธิเลือกตั้งเพียงคนเดียว ^{[ 3 ]}
  • สิ่งนี้บั่นทอนความเป็นนิรนาม ( หนึ่งเสียง หนึ่งค่า ) และทำให้เกิดกฎเกณฑ์ที่ปฏิบัติต่อผู้มีสิทธิเลือกตั้งอย่างไม่เท่าเทียมกัน
  • โดยพื้นฐานแล้ว นิยามของ ทางเลือก ทางสังคมว่าเป็นสิ่งที่ขึ้นอยู่กับการป้อนข้อมูลของบุคคลมากกว่าหนึ่งคน^{[ 3 ]}
• การไม่บังคับ – ระบบจะไม่เพิกเฉยต่อผู้มีสิทธิเลือกตั้งโดยสิ้นเชิงเมื่อเลือกผู้สมัครบางคู่ ^{[ 4 ] [ 27 ]}
  • กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นไปได้ที่ผู้สมัครคนใดคนหนึ่งจะเอาชนะผู้สมัครคนอื่นได้ หากมีการรวมคะแนนเสียงบางส่วน^{[ 4 ] [ 27 ] [ 28 ]}
  • สิ่งนี้มักถูกแทนที่ด้วย สัจพจน์ ประสิทธิภาพพาเรโต ที่แข็งแกร่งกว่า : หากผู้ลงคะแนนทุกคนชอบAมากกว่าBแล้วAควรเอาชนะB ได้ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขที่ไม่บังคับที่อ่อนกว่าก็เพียงพอแล้ว^{[ 4 ]}

ข้อความดั้งเดิมของทฤษฎีบทของ Arrow รวมถึงการตอบสนองที่ไม่เป็นลบเป็นเงื่อนไข กล่าวคือการเพิ่มอันดับของผลลัพธ์ไม่ควรทำให้ผลลัพธ์นั้นเสียไป —กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ กฎการลงคะแนนไม่ควรลงโทษผู้สมัครที่ได้รับความนิยมมากกว่า^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม ข้อสมมตินี้ไม่จำเป็นหรือไม่ได้ใช้ในบทพิสูจน์ของเขา (ยกเว้นเพื่อหาเงื่อนไขที่อ่อนกว่าของประสิทธิภาพ Pareto) และ Arrow ได้แก้ไขข้อความของทฤษฎีบทในภายหลังเพื่อลบการรวมเงื่อนไขนี้ออก^{[ 3 ] [ 29 ]}

หลักการที่ถือว่าเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปของการเลือกอย่างมีเหตุผลคือความเป็นอิสระของทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้อง (IIA) ซึ่งกล่าวว่าเมื่อตัดสินใจเลือกระหว่างAและBความคิดเห็นเกี่ยวกับตัวเลือกที่สามCไม่ควรส่งผลต่อการตัดสินใจ^{[ 2 ]}

• ความเป็นอิสระจากทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้อง (IIA) – ความชอบทางสังคมระหว่างผู้สมัคร Aและผู้สมัคร Bควรขึ้นอยู่กับความชอบส่วนบุคคลระหว่าง Aและ Bเท่านั้น
  • กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความชอบทางสังคมไม่ควรเปลี่ยนจากเป็นหากผู้ลงคะแนนเปลี่ยนความชอบเกี่ยวกับว่า^{[ 3 ]}${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle B\succ A}$${\displaystyle A\succ C}$
  • สิ่งนี้เทียบเท่ากับข้ออ้างเกี่ยวกับความเป็นอิสระของ^ผู้สมัครสปอยเลอร์เมื่อใช้การสร้างมาตรฐานของฟังก์ชันการจัดวาง^{[ 28} ]

บางครั้ง IIA ก็มีภาพประกอบเป็นเรื่องตลกสั้นๆ ซึ่งอาจมีการอ้างอิงถึงนักปรัชญาSidney Morgenbesser ^{[ 30 ]}ก็ได้^{[ 31 ]}

ขณะที่มอร์เกนเบสเซอร์กำลังสั่งของหวาน พนักงานเสิร์ฟบอกว่าเขาสามารถเลือกได้ระหว่างพายบลูเบอร์รี่หรือพายแอปเปิล เขาจึงเลือกพายแอปเปิล ไม่นานพนักงานเสิร์ฟก็กลับมาและอธิบายว่าพายเชอร์รี่ก็เป็นอีกตัวเลือกหนึ่ง มอร์เกนเบสเซอร์จึงตอบว่า "ถ้าอย่างนั้นผมขอเลือกพายบลูเบอร์รี่ครับ"

ทฤษฎีบทของแอร์โรว์แสดงให้เห็นว่า หากสังคมต้องการตัดสินใจโดยหลีกเลี่ยงความขัดแย้งในตัวเองดังกล่าวอยู่เสมอ สังคมนั้นไม่สามารถใช้ข้อมูลที่จัดลำดับไว้เพียงอย่างเดียวได้^{[ 32 ]}

ตัวอย่างของ Condorcetก็เพียงพอแล้วที่จะเห็นความเป็นไปไม่ได้ของระบบการลงคะแนนแบบจัดอันดับ ที่เป็นธรรม เนื่องจากมีเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าสำหรับความยุติธรรมมากกว่าที่ทฤษฎีบทของ Arrow สมมติไว้^{[ 33 ]}สมมติว่าเรามีผู้สมัครสามคน ( , , และ) และผู้ลงคะแนนสามคนที่มีความชอบดังต่อไปนี้: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

หากเลือกให้เป็นผู้ชนะ อาจกล่าวได้ว่าระบบการลงคะแนนที่เป็นธรรมใดๆ ก็ตามจะบอกว่าควรเป็นผู้ชนะแทน เนื่องจากผู้ลงคะแนนสองคน (1 และ 2) ชอบและมีผู้ลงคะแนนเพียงคนเดียว (3) ที่ชอบอย่างไรก็ตามด้วยเหตุผลเดียวกันนี้ก็เป็นที่ชื่นชอบมากกว่าและก็เป็นที่ชื่นชอบมากกว่าด้วยอัตราส่วนสองต่อหนึ่งในแต่ละครั้ง ดังนั้น แม้ว่าผู้ลงคะแนนแต่ละคนจะมีลำดับความชอบที่สอดคล้องกัน แต่ลำดับความชอบของสังคมกลับขัดแย้งกัน กล่าวคือ เป็นที่ชื่นชอบมากกว่าซึ่งเป็นที่ชื่นชอบมากกว่าซึ่งเป็นที่ชื่นชอบมากกว่า ${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$

เนื่องจากตัวอย่างนี้ ผู้เขียนบางคนจึงให้เครดิตคอนดอร์เซต์ว่าได้ให้ข้อโต้แย้งเชิงสัญชาตญาณที่นำเสนอแก่นของทฤษฎีบทของแอร์โรว์^{[ 33 ]}อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทของแอร์โรว์มีความทั่วไปมากกว่ามาก โดยสามารถนำไปใช้กับวิธีการตัดสินใจอื่นๆ นอกเหนือจากการเลือกตั้งแบบหนึ่งคนหนึ่งเสียง เช่นตลาดหรือการลงคะแนนแบบถ่วงน้ำหนักโดยอิงจากบัตรลงคะแนนที่จัดลำดับ

ให้เป็นเซตของทางเลือกต่างๆ ลำดับ ความชอบของผู้ลงคะแนนเสียงที่มีต่อเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคที่สมบูรณ์และถ่ายทอดได้บน(บางครั้งเรียกว่าลำดับก่อนทั้งหมด ) กล่าวคือ เป็นเซตย่อยของที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\times A}$

1. (สมบัติการถ่ายทอด) ถ้าอยู่ในและอยู่ในแล้ว ก็อยู่ในด้วย${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle R}$
2. (ความครบถ้วน) อย่างน้อยหนึ่งข้อจากหรือต้องมีอยู่ใน.${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$${\displaystyle R}$

องค์ประกอบที่อยู่ใน นั้นตีความได้ว่าทางเลือกหนึ่งเป็นที่ต้องการมากกว่าหรือไม่มีความสัมพันธ์กับทางเลือกอื่นสถานการณ์นี้มักจะแสดงด้วยหรือส่วนสมมาตรของจะให้ความสัมพันธ์ของความไม่แตกต่างซึ่งเขียนได้ว่าหรือก็ต่อเมื่อ และอยู่ใน ทั้งคู่ส่วนอสมมาตรของจะให้ความสัมพันธ์ของความชอบ (อย่างเคร่งครัด) ซึ่งเขียนได้ว่า หรือก็ต่อเมื่อ อยู่ในและไม่อยู่ใน ในส่วนต่อไปนี้ ความชอบของทางเลือกหนึ่งเหนืออีกทางเลือกหนึ่งหมายถึงความชอบอย่างเคร่งครัด ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \succsim \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} R\mathbf {b} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {a} \sim \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} ฉัน\mathbf {b} }$${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {a} \succ \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} P\mathbf {b} }$${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$${\displaystyle R}$

กำหนดให้เซตของความชอบทั้งหมดบนเป็นหรือเทียบเท่ากับเป็นเซตของการจัดอันดับทางเลือกในจากบนลงล่าง โดยอนุญาตให้มีลำดับที่เท่ากันได้ ให้ เป็นจำนวนเต็มบวกฟังก์ชันสวัสดิการสังคมเชิงลำดับ (จัดอันดับ)คือฟังก์ชัน^{[ 2 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \Pi (A)}$${\displaystyle \Pi (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \mathrm {F} :\Pi (A)^{N}\to \Pi (A)}$

ซึ่งรวบรวมความชอบของผู้ลง คะแนน เข้าไว้ ในความชอบเดียวชุดความชอบของผู้ลงคะแนนเรียกว่าโปรไฟล์ ความชอบ${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$

ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของ Arrow : หากมีทางเลือกอย่างน้อยสามทาง จะไม่มีฟังก์ชันสวัสดิการสังคมใดที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งสามข้อที่ระบุไว้ด้านล่าง: ^{[ 34 ]}

ประสิทธิภาพแบบพาเรโต

หากทางเลือกอื่นเป็นที่ต้องการมากกว่าสำหรับการสั่งซื้อทั้งหมดแสดงว่า ทางเลือก อื่นเป็นที่ต้องการมากกว่า^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{N}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$

ระบอบที่ไม่ใช่เผด็จการ

ไม่มีบุคคลใดที่ความชอบของตนจะชนะเสมอไป กล่าวคือ ไม่มีบุคคลใดที่สำหรับทุกๆและทุกๆและเมื่อถูกเลือกโดยแล้ว จะ ถูกเลือกโดย^{[ 2 ]}${\displaystyle i}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,N\}}$${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$

ความเป็นอิสระจากทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้อง

สำหรับโปรไฟล์ความชอบสองแบบและเช่นนั้นสำหรับบุคคลทั้งหมดทางเลือกและมีลำดับเดียวกันในเช่นเดียวกับในทางเลือกและมีลำดับเดียวกันใน เช่น เดียวกับใน^{[ 2 ]}${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})}$${\displaystyle (S_{1},\ldots ,S_{N})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},\ldots ,R_{N})}$${\displaystyle F(S_{1},\ldots ,S_{N})}$

พิสูจน์โดยการแสดงให้เห็นว่ามีผู้มีสิทธิเลือกตั้งสำคัญเพียงคนเดียวเท่านั้น

การพิสูจน์โดยใช้แนวคิดของผู้ลงคะแนนเสียงสำคัญมีต้นกำเนิดมาจาก Salvador Barberá ในปี 1980 [ 37 ]การพิสูจน์ที่ให้ไว้ในที่นี้เป็นเวอร์ชันที่เรียบง่ายขึ้นโดยอิงจากการพิสูจน์สองฉบับที่ตีพิมพ์ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์[ 34 ] [ 38 ] การตั้งค่า สมมติว่ามี ผู้มีสิทธิเลือกตั้ง nคน เรากำหนดหมายเลขประจำตัวแบบสุ่มให้กับผู้มีสิทธิเลือกตั้งเหล่านี้ทั้งหมด โดยมีค่าตั้งแต่1ถึงnซึ่งเราสามารถใช้เพื่อติดตามตัวตนของผู้มีสิทธิเลือกตั้งแต่ละคนในขณะที่เราพิจารณาสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อพวกเขามีการเปลี่ยนแปลงการลงคะแนนเสียงโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปเราสามารถกล่าวได้ว่ามีผู้สมัครสามคนที่เราเรียกว่าA , BและC (เนื่องจาก IIA การรวมผู้สมัครมากกว่า 3 คนจึงไม่ส่งผลกระทบต่อการพิสูจน์) เราจะพิสูจน์ว่ากฎเกณฑ์การเลือกทางสังคมใดๆ ที่เคารพฉันทามติและความเป็นอิสระจากทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้อง (IIA) นั้นเป็นระบอบเผด็จการ การพิสูจน์มีสามส่วน: เราระบุผู้มีสิทธิเลือกตั้งคนสำคัญสำหรับแต่ละการแข่งขัน ( AกับB , BกับCและAกับC ) คะแนนเสียงของพวกเขามีผลต่อผลลัพธ์ทางสังคม เราพิสูจน์ได้ว่าผู้ลงคะแนนคนนี้เป็น เผด็จการ บางส่วนกล่าวคือ พวกเขามีสิทธิ์ตัดสินใจว่า A หรือ B จะได้รับการจัดอันดับสูงกว่าในผลลัพธ์ เราพิสูจน์ได้ว่าผู้ลงคะแนนคนนี้เป็นคนเดียวกัน ดังนั้นผู้ลงคะแนนคนนี้จึงเป็นเผด็จการ ส่วนที่หนึ่ง: มีผู้ลงคะแนนเสียงคนสำคัญที่ชี้ขาดระหว่างตัวเลือก A กับ B พิจารณาสถานการณ์ที่ทุกคนชอบAมากกว่าBและทุกคนก็ชอบCมากกว่าB ด้วย โดยฉันทามติ สังคมจึงต้องชอบทั้งAและCมากกว่าBเรียกสถานการณ์นี้ว่าโปรไฟล์[0, x ] ในทางกลับกัน ถ้าทุกคนชอบBมากกว่าสิ่งอื่นใด สังคมก็จะต้องชอบBมากกว่าสิ่งอื่นใดด้วยความเห็นพ้องเป็นเอกฉันท์ ทีนี้ลองจัดเรียงผู้ลงคะแนนทั้งหมดตามลำดับที่กำหนดไว้ตายตัว แล้วสำหรับแต่ละiให้โปรไฟล์ iเหมือนกับโปรไฟล์ 0แต่ให้ย้ายBไปไว้ด้านบนสุดของบัตรลงคะแนนสำหรับผู้ลงคะแนน 1 ถึงiดังนั้นโปรไฟล์ 1จะมีBอยู่ด้านบนสุดของบัตรลงคะแนนสำหรับผู้ลงคะแนน 1 แต่ไม่ใช่สำหรับผู้ลงคะแนนคนอื่นๆโปรไฟล์ 2จะมีBอยู่ด้านบนสุดสำหรับผู้ลงคะแนน 1 และ 2 แต่ไม่ใช่สำหรับคนอื่นๆ และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป เนื่องจากBจะค่อยๆ ขยับขึ้นมาอยู่อันดับต้นๆ ของความนิยมในสังคมเมื่อหมายเลขโปรไฟล์เพิ่มขึ้น ดังนั้นจึงต้องมีโปรไฟล์หมายเลขk บาง โปรไฟล์ที่ ทำให้ B ขยับขึ้นมาอยู่เหนือA ในลำดับความนิยมในสังคม เป็นครั้งแรกเราเรียกผู้ลงคะแนนเสียงkที่การเปลี่ยนแปลงบัตรลงคะแนนของเขาทำให้เกิดเหตุการณ์นี้ขึ้น ว่า ผู้ลงคะแนนเสียงสำคัญ ที่ทำให้ Bเหนือกว่าAโปรดทราบว่าผู้ลงคะแนนเสียงสำคัญที่ทำให้Bเหนือกว่าAนั้น ไม่ใช่คนเดียวกับผู้ลงคะคะแนนเสียงสำคัญที่ทำให้Aเหนือกว่าBในส่วนที่สามของการพิสูจน์ เราจะแสดงให้เห็นว่าในที่สุดแล้วทั้งสองคนนี้ก็คือคนเดียวกัน โปรดทราบด้วยว่า ตามหลักการ IIA ข้อโต้แย้งเดียวกันนี้ใช้ได้เช่นกัน หากโปรไฟล์ 0คือโปรไฟล์ใดๆ ที่Aได้รับการจัดอันดับสูงกว่าBโดยผู้ลงคะแนนทุกคน และผู้ลงคะแนนคนสำคัญที่เลือกBมากกว่าAก็ยังคงเป็นผู้ลงคะแนนkเราจะใช้ข้อสังเกตนี้ในส่วนต่อไป ตอนที่สอง: ผู้ลงคะแนนเสียงคนสำคัญที่เลือก B มากกว่า A คือผู้มีอำนาจเผด็จการที่เลือก B มากกว่า C ในส่วนนี้ของการพิสูจน์ เราจะเรียกผู้ลงคะแนนเสียงkซึ่งเป็นผู้ลงคะแนนเสียงสำคัญที่เลือกBมากกว่าAว่าเป็นผู้ลงคะแนนเสียงสำคัญเพื่อความง่าย เราจะแสดงให้เห็นว่าผู้ลงคะแนนเสียงสำคัญเป็นผู้กำหนดการตัดสินใจของสังคมที่เลือกBมากกว่าCกล่าวคือ เราจะแสดงให้เห็นว่าไม่ว่าสังคมส่วนที่เหลือจะลงคะแนนอย่างไร หากผู้ลงคะแนนเสียงสำคัญจัดอันดับBมากกว่าCผลลัพธ์ของสังคมก็จะเป็นเช่นนั้น โปรดสังเกตอีกครั้งว่า ผู้กำหนดการตัดสินใจที่เลือกBมากกว่าCนั้นไม่เหมือนกับผู้กำหนดการตัดสินใจที่เลือกCมากกว่าB ใน เบื้องต้น ในส่วนที่สามของการพิสูจน์ เราจะเห็นว่าในที่สุดแล้วทั้งสองอย่างนี้ก็เหมือนกัน ต่อไปนี้ เราจะเรียกผู้มีสิทธิเลือกตั้งหมายเลข 1 ถึงk − 1ว่ากลุ่มที่หนึ่งและผู้มีสิทธิเลือกตั้งหมายเลข k + 1ถึงNว่ากลุ่มที่สองเริ่มต้นด้วยการสมมติว่าบัตรเลือกตั้งมีดังต่อไปนี้: ผู้ มีสิทธิเลือกตั้งทุกคนในกลุ่มที่หนึ่งจัดอันดับBสูงกว่าCและCสูงกว่าA ผู้มีสิทธิเลือกตั้งคนสำคัญจัดอันดับA สูงกว่าBและBสูงกว่าC ผู้ มีสิทธิเลือกตั้งทุกคนในกลุ่มที่สองจัดอันดับAสูงกว่าBและBสูงกว่าC จากเหตุผลในส่วนที่หนึ่ง (และข้อสังเกตสุดท้ายในส่วนนั้น) ผลลัพธ์ทางสังคมจะต้องจัดลำดับAไว้สูงกว่าBเนื่องจาก ยกเว้นการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของCแล้ว โปรไฟล์นี้เหมือนกับโปรไฟล์ k − 1จากส่วนที่หนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น ด้วยฉันทามติ ผลลัพธ์ทางสังคมจะต้องจัดลำดับBไว้สูงกว่าCดังนั้น เราจึงทราบผลลัพธ์ในกรณีนี้อย่างสมบูรณ์ สมมติว่าผู้ลงคะแนนคนสำคัญย้ายB ขึ้น ไปอยู่เหนือAแต่คงC ไว้ ในตำแหน่งเดิม และลองจินตนาการว่าผู้ลงคะแนนคนอื่นๆ จำนวนหนึ่ง (หรือแม้แต่ทั้งหมด!) เปลี่ยนบัตรลงคะแนนของตนเพื่อย้ายBลงไปอยู่ต่ำกว่าCโดยไม่เปลี่ยนตำแหน่งของAในกรณีนี้ นอกจากการเปลี่ยนตำแหน่งของC แล้ว ผลลัพธ์ จะเหมือนกับโปรไฟล์ kจากส่วนที่หนึ่ง ดังนั้นผลลัพธ์ทางสังคมจึงจัดอันดับBไว้เหนือAยิ่งไปกว่านั้น ตามหลักการ IIA ผลลัพธ์ทางสังคมจะต้องจัดอันดับAไว้เหนือCเช่นเดียวกับในกรณีที่ผ่านมา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลลัพธ์ทางสังคมจัดอันดับBไว้เหนือCแม้ว่าผู้ลงคะแนนคนสำคัญอาจเป็น ผู้ลงคะแนนเพียงคน เดียวที่จัดอันดับBไว้เหนือCก็ตามตามหลักการ IIA ข้อสรุปนี้เป็นจริงโดยไม่ขึ้นอยู่กับ ตำแหน่ง ของ Aในบัตรลงคะแนน ดังนั้นผู้ลงคะแนนคนสำคัญจึงเป็นผู้มีอำนาจเหนือกว่าสำหรับBเหนือC ตอนที่สาม: มีเผด็จการอยู่จริง ในส่วนนี้ของการโต้แย้ง เราจะอ้างอิงกลับไปยังลำดับเดิมของผู้ลงคะแนน และเปรียบเทียบตำแหน่งของผู้ลงคะแนนสำคัญต่างๆ (ที่ระบุโดยการใช้ส่วนที่หนึ่งและส่วนที่สองกับคู่ผู้สมัครอื่นๆ) ประการแรก ผู้ลงคะแนนสำคัญที่เลือกBมากกว่าCจะต้องปรากฏก่อนหน้า (หรืออยู่ในตำแหน่งเดียวกัน) ในลำดับของผู้ลงคะแนนที่เลือกBมากกว่าC : เมื่อเราพิจารณาการโต้แย้งในส่วนที่หนึ่งที่ใช้กับBและCโดยค่อยๆ เลื่อนBไปอยู่ด้านบนสุดของบัตรลงคะแนนของผู้ลงคะแนน จุดเปลี่ยนที่สังคมจัดอันดับBสูงกว่าCจะต้องเกิดขึ้นที่หรือก่อนที่เราจะถึงผู้ลงคะแนนที่เลือกBมากกว่าCในทำนองเดียวกัน การสลับบทบาทของBและCผู้ลงคะแนนสำคัญที่เลือกCมากกว่าBจะต้องอยู่ที่หรือหลังจากผู้ลงคะแนนที่เลือกBมากกว่าC กล่าว โดยสรุป ถ้าk แทนตำแหน่งของผู้ลงคะแนนสำคัญที่เลือกXมากกว่าY (สำหรับผู้สมัครสองคนใดๆXและY ) แล้วเราได้แสดงให้เห็นแล้วว่า k ≤ k ≤ k . ทีนี้ลองทำซ้ำขั้นตอนทั้งหมดข้างต้นโดย สลับ BและCดู เราก็จะได้ว่า k ≤ k . ดังนั้น เราจึงมี k = k = k และการใช้เหตุผลเดียวกันนี้กับคู่ผู้สมัครอื่นๆ ก็แสดงให้เห็นว่า ผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่มีบทบาทสำคัญ (และด้วยเหตุนี้ ผู้มีอำนาจเบ็ดเสร็จทั้งหมด) ปรากฏอยู่ในตำแหน่งเดียวกันในรายชื่อผู้มีสิทธิเลือกตั้ง ผู้มีสิทธิเลือกตั้งคนนี้คือผู้มีอำนาจเบ็ดเสร็จในการเลือกตั้งทั้งหมด

ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของ Arrow ยังคงใช้ได้หากประสิทธิภาพ Pareto อ่อนลงเป็นเงื่อนไขต่อไปนี้: ^{[ 4 ]}

การไม่บังคับใช้

สำหรับทางเลือกสองทางใดๆaและbจะมีโปรไฟล์ความชอบR , …, R อยู่ ซึ่งaจะถูกเลือกมากกว่าbโดยF( R , R , …, R )

ทฤษฎีบทของ Arrow ระบุว่าไม่มีกฎการลงคะแนนแบบจัดอันดับใดที่สามารถ ตอบสนองความเป็นอิสระจากทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้องได้ เสมอไปแต่ไม่ได้กล่าวถึงความถี่ของสปอยเลอร์ สิ่งนี้ทำให้ Arrow ตั้งข้อสังเกตว่า "ระบบส่วนใหญ่จะไม่ทำงานผิดพลาดตลอดเวลา สิ่งที่ฉันพิสูจน์ได้ก็คือระบบทั้งหมดสามารถทำงานได้ผิดพลาดในบางครั้ง" ^{[ 39 ] [ 40 ]}

ความพยายามในการจัดการกับผลกระทบของทฤษฎีบทของ Arrow มีสองแนวทาง คือ ยอมรับกฎของเขาและค้นหาวิธีการที่มีโอกาสเกิดสปอยล์น้อยที่สุด หรือละทิ้งสมมติฐานของเขาอย่างน้อยหนึ่งข้อ เช่น โดยการมุ่งเน้นไปที่กฎ การ ลงคะแนนที่มีคะแนน^{[ 32 ]}

วิธีการชุดแรกที่นักเศรษฐศาสตร์ศึกษาคือวิธีการเสียงข้างมาก หรือวิธีการของคอนดอร์เซ ต์ กฎเหล่านี้จำกัดผู้ก่อกวนไว้เฉพาะสถานการณ์ที่กฎเสียงข้างมากขัดแย้งในตัวเอง เรียกว่าวงจรคอนดอร์เซต์และส่งผลให้ลดโอกาสของผลกระทบจากผู้ก่อกวนในกฎที่มีลำดับชั้นได้อย่างเป็นเอกลักษณ์ (อันที่จริง ฟังก์ชันสวัสดิการสังคมที่แตกต่างกันมากมายสามารถตรงตามเงื่อนไขของแอร์โรว์ภายใต้ข้อจำกัดของโดเมนดังกล่าว อย่างไรก็ตาม ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าภายใต้ข้อจำกัดดังกล่าว หากมีฟังก์ชันสวัสดิการสังคมใด ๆ ที่สอดคล้องกับเกณฑ์ของแอร์โรว์วิธีการของคอนดอร์เซต์ก็จะสอดคล้องกับเกณฑ์ของแอร์โรว์เช่นกัน^{[ 12 ]} ) คอนดอร์เซต์เชื่อว่ากฎการลงคะแนนควรเป็นไปตามทั้งความเป็นอิสระของทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้องและหลักการเสียงข้างมาก กล่าว คือ หากผู้ลงคะแนนส่วนใหญ่จัดอันดับอลิซไว้เหนือบ็อบอลิซควรเอาชนะบ็อบในการเลือกตั้ง^{[ 33 ]}

น่าเสียดายที่คอนดอร์เซต์พิสูจน์แล้วว่ากฎนี้อาจไม่สามารถถ่ายทอดได้ในบางโปรไฟล์ความชอบ^{[ 41 ]}ดังนั้น คอนดอร์เซต์จึงพิสูจน์ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของแอร์โรว์ในรูปแบบที่อ่อนกว่ามานานก่อนแอร์โรว์ ภายใต้สมมติฐานที่เข้มงวดกว่าที่ว่าระบบการลงคะแนนในกรณีผู้สมัครสองคนจะสอดคล้องกับการลงคะแนนเสียงข้างมากธรรมดา^{[ 33 ]}

แตกต่างจากกฎแบบพหุภาคี เช่นการลงคะแนนแบบตัดออกทันทีหรือการลงคะแนนแบบเสียงข้างมาก [ ^{9 ] วิธี}การของคอนดอร์เซต์หลีกเลี่ยงผลกระทบของผู้ทำลายคะแนนเสียงในการเลือกตั้งที่ไม่เป็นวัฏจักร ซึ่งผู้สมัครสามารถถูกเลือกโดยกฎเสียงข้างมาก นักวิทยาศาสตร์ทางการเมืองพบว่าวัฏจักรดังกล่าวค่อนข้างหายาก ซึ่งบ่งชี้ว่าอาจมีความสำคัญในทางปฏิบัติจำกัด^{[ 14 ]}แบบจำลองการลงคะแนนเชิงพื้นที่ยังชี้ให้เห็นว่าความขัดแย้งดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก^{[ 42 ] [ 13 ]}หรืออาจไม่มีอยู่เลย^{[ 15 ]}

หลังจากที่ Arrow เผยแพร่ทฤษฎีบทของเขาไม่นานDuncan Black ก็ได้แสดงผลลัพธ์ที่น่าทึ่งของเขาเอง นั่นคือทฤษฎีบทผู้ลงคะแนนเสียงกลางทฤษฎีบทนี้พิสูจน์ว่าหากผู้ลงคะแนนเสียงและผู้สมัครถูกจัดเรียงตามสเปกตรัมซ้าย-ขวาเงื่อนไขของ Arrow ทั้งหมดจะเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ และจะได้รับการตอบสนองโดยกฎใดๆ ที่สอดคล้องกับหลักการเสียงข้างมากของ Condorcet ^{[ 15 ] [ 16 ]}

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ทฤษฎีบทของแบล็กถือว่าความชอบมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวกล่าวคือ ความสุขของผู้ลงคะแนนที่มีต่อผู้สมัครจะเพิ่มขึ้นแล้วลดลงเมื่อผู้สมัครเคลื่อนที่ไปตามสเปกตรัมบางอย่าง ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มเพื่อนที่เลือกระดับเสียงสำหรับดนตรี เพื่อนแต่ละคนน่าจะมีระดับเสียงที่เหมาะสมของตนเอง เมื่อระดับเสียงดังหรือเบาเกินไป พวกเขาก็จะไม่พอใจมากขึ้นเรื่อยๆ หากขอบเขตจำกัดอยู่ที่โปรไฟล์ที่แต่ละบุคคลมีความชอบที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวเมื่อเทียบกับการเรียงลำดับเชิงเส้น ความชอบทางสังคมก็จะไม่มีวัฏจักร ในสถานการณ์นี้ วิธีการของคอนดอร์เซต์ตอบสนองคุณสมบัติที่พึงปรารถนามากมาย รวมถึงการป้องกันการสปอยล์ได้อย่างสมบูรณ์^{[ 15 ] [ 16 ] [ 12 ]}

กฎนี้ไม่ได้สรุปผลจากสเปกตรัมทางการเมืองไปสู่เข็มทิศทางการเมืองอย่างสมบูรณ์ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีความโกลาหลของ McKelvey-Schofield [ ^{15 ] [ 43 ] อย่างไรก็ตาม}ผู้ชนะ Condorcet ที่กำหนดไว้อย่างดีนั้นมีอยู่จริง หากการกระจายของผู้ลงคะแนนมีความสมมาตรแบบหมุนหรือมีค่ามัธยฐานที่กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง [ ^{44 ] [ 45 ] ใน}สถานการณ์จริงส่วนใหญ่ ที่ความคิดเห็นของผู้ลงคะแนนเป็นไปตามการกระจายแบบปกติ โดยประมาณ หรือสามารถสรุปได้อย่างแม่นยำด้วยมิติหนึ่งหรือสองมิติ วงจร Condorcet นั้นหายาก (แม้ว่าจะไม่ใช่เรื่องที่ไม่เคยได้ยินมาก่อน) ^{[ 42 ] [ 11 ]}

ทฤษฎีบทแคมป์เบลล์-เคลลีแสดงให้เห็นว่าวิธีการคอนดอร์เซต์เป็นระบบการลงคะแนนแบบจัดอันดับที่มีความต้านทานต่อสปอยเลอร์มากที่สุด: เมื่อใดก็ตามที่ระบบการลงคะแนนแบบจัดอันดับบางระบบสามารถหลีกเลี่ยงผลกระทบจากสปอยเลอร์ได้ วิธีการคอนดอร์เซต์ก็จะทำเช่นนั้น^{[ 12 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแทนที่วิธีการจัดอันดับด้วยรูปแบบคอนดอร์เซต์ (เช่น เลือกผู้ชนะคอนดอร์เซต์หากมีอยู่ และมิฉะนั้นให้ดำเนินการตามวิธีการ) บางครั้งจะช่วยป้องกันผลกระทบจากสปอยเลอร์ได้ แต่จะไม่สามารถสร้างผลกระทบใหม่ได้^{[ 12 ]}

ในปี พ.ศ. 2520 Ehud KalaiและEitan Mullerได้ให้ลักษณะเฉพาะที่สมบูรณ์ของข้อจำกัดของโดเมนที่ยอมรับฟังก์ชันสวัสดิการสังคมที่ไม่เผด็จการและป้องกันกลยุทธ์ซึ่งสอดคล้องกับความชอบที่มีผู้ชนะ Condorcet ^{[ 46 ]}

ฮอลลิเดย์และแพคูอิทได้คิดค้นระบบการลงคะแนนเสียงที่พิสูจน์ได้ว่าช่วยลดจำนวนผู้สมัครที่สามารถทำให้การเลือกตั้งเสียหายได้ แม้ว่าจะต้องแลกมาด้วยความล้ม เหลวในการลง คะแนนเสียง ที่เป็นบวกในบางครั้ง (แต่ในอัตราที่ต่ำกว่ามากเมื่อเทียบกับการลงคะแนนแบบรันออฟทันที ) ^{[ 11 ]}

ดังที่แสดงไว้ข้างต้น การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Arrow ขึ้นอยู่กับสมมติฐานของการลงคะแนนแบบจัดอันดับ อย่างมาก และไม่สามารถนำไปใช้กับระบบการลงคะแนนแบบให้คะแนนได้ระบบเหล่านี้ขอให้ผู้ลงคะแนนให้คะแนนผู้สมัครในระดับตัวเลข (เช่น จาก 0–10) แล้วเลือกผู้สมัครที่มีค่าเฉลี่ยสูงสุด (สำหรับการลงคะแนนแบบให้คะแนน) หรือค่ามัธยฐาน ( การตัดสินเสียงข้างมากแบบไล่ระดับ ) ^{[ 47 ] : 4–5} สิ่งนี้เปิดโอกาสให้ค้นหาขั้นตอนการเลือกทางสังคมอื่นที่สอดคล้องกับความเป็นอิสระของทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้อง^{[ 48 ]}ดังนั้น ทฤษฎีบทของ Arrow จึงสามารถถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทอรรถประโยชน์ของ Harsanyiและทฤษฎีบทการแสดงอรรถประโยชน์ อื่นๆ เช่นทฤษฎีบท VNMซึ่งแสดงให้เห็นว่าพฤติกรรมที่มีเหตุผลต้องการอรรถประโยชน์เชิงปริมาณที่ สอดคล้องกัน ^{[ 49 ] [ 50 ]}

แม้ว่าทฤษฎีบทของ Arrow จะไม่สามารถนำไปใช้กับระบบที่มีการจัดลำดับได้ แต่ทฤษฎีบทของ Gibbardก็ยังคงใช้ได้อยู่ กล่าวคือ ไม่มีเกมการลงคะแนนใดที่จะตรงไปตรงมาได้ (เช่น มีกลยุทธ์เดียวที่ชัดเจนและดีที่สุดเสมอ) ^{[ 51 ]}

กรอบแนวคิดของ Arrow ถือว่าความชอบส่วนบุคคลและสังคมเป็นการเรียงลำดับหรือการจัดอันดับกล่าวคือ เป็นข้อความเกี่ยวกับผลลัพธ์ใดดีกว่าหรือแย่กว่าผลลัพธ์อื่น^{[ 52 ]}โดยได้รับแรงบันดาลใจจาก แนวทาง พฤติกรรมนิยมนักปรัชญาและนักเศรษฐศาสตร์บางคนปฏิเสธแนวคิดเรื่องการเปรียบเทียบประสบการณ์ภายในของมนุษย์เกี่ยวกับความเป็นอยู่ที่ดี [ ^{53 ] [ 32 ] นัก}ปรัชญาเหล่านี้อ้างว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะเปรียบเทียบความแข็งแกร่งของความชอบระหว่างผู้คนที่เห็นต่างกันSenยกตัวอย่างว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะรู้ว่าไฟไหม้ครั้งใหญ่ในกรุงโรมนั้นดีหรือไม่ดี เพราะถึงแม้จะคร่าชีวิตชาวโรมันไปหลายพันคน แต่ก็มีผลดีที่ทำให้เนโร สามารถ ขยายพระราชวังของเขาได้^{[ 54 ]}

เดิมที Arrow เห็นด้วยกับจุดยืนเหล่านี้ โดยปฏิเสธความหมายของ^{อรรถประโยชน์}เชิงปริมาณ [ ^{3 ] [ 53 ]}จึงตีความทฤษฎีบทของเขาว่าเป็นการพิสูจน์ลัทธินิฮิลิสม์หรือลัทธิเห็นแก่ตัว^{[ 32 ] [ 52 ]}อย่างไรก็ตาม ต่อมาเขากล่าวว่าวิธีการเชิงปริมาณสามารถให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพิ่มเติมได้ และทฤษฎีบทของเขาไม่สามารถนำไปใช้กับวิธีการเหล่านั้นได้^{[ 39 ] [ 55 ]}ในทำนองเดียวกันAmartya Senอ้างในตอนแรกว่าความสามารถในการเปรียบเทียบระหว่างบุคคลเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับ IIA แต่ต่อมาได้โต้แย้งสนับสนุนวิธีการเชิงปริมาณสำหรับการประเมินทางเลือกทางสังคม โดยโต้แย้งว่าวิธีการเหล่านั้นต้องการเพียง "ระดับความสามารถในการเปรียบเทียบบางส่วนที่ค่อนข้างจำกัด" เท่านั้นจึงจะใช้ได้จริง^{[ 56 ]}

นักวิชาการคนอื่นๆ ได้ตั้งข้อสังเกตว่า การเปรียบเทียบประโยชน์ระหว่างบุคคลไม่ได้เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของการลงคะแนนแบบคาร์ดินัล แต่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับกระบวนการเลือกที่ไม่ใช่แบบเผด็จการ ใดๆ โดยกฎการลงคะแนน ^แบบคาร์ดินัลจะทำให้การเปรียบเทียบเหล่านี้ชัดเจนขึ้นเดวิด เพียร์ซระบุว่าการตีความแบบนิฮิลิสต์ดั้งเดิมของแอร์โรว์มีลักษณะของการให้เหตุผลแบบวนลูป [ ^{32 ]}โดยฮิลเดรธชี้ให้เห็นว่า "กระบวนการใดๆ ที่ขยายลำดับบางส่วนของ [ ประสิทธิภาพพาเรโต ] จะต้องเกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบประโยชน์ระหว่างบุคคล" ^{[ 57 ]}ข้อสังเกตที่คล้ายกันนี้ได้นำไปสู่ แนวทาง การลงคะแนนแบบอรรถประโยชน์โดยปริยาย ซึ่งพยายามทำให้สมมติฐานของกระบวนการจัดอันดับชัดเจนยิ่งขึ้นโดยการจำลองให้เป็นค่าประมาณของกฎอรรถประโยชน์ (หรือการลงคะแนนตามคะแนน ) ^{[ 58 ]}

ในด้านจิตวิทยาการวัดมีฉันทามติทั่วไปว่าการให้คะแนนที่รายงานด้วยตนเอง (เช่นมาตราส่วนลิเคิร์ต ) มีความหมายและให้ข้อมูลมากกว่าการจัดอันดับเพียงอย่างเดียว รวมทั้งยังแสดงให้เห็นถึงความถูกต้องและความน่า เชื่อถือที่สูง กว่า^{[ 59 ]}มาตราส่วนการ ให้คะแนนเชิงปริมาณ (เช่นมาตราส่วนลิเคิร์ต ) ให้ข้อมูลมากกว่าการจัดอันดับเพียงอย่างเดียว^{[ 60 ] [ 61 ]}การทบทวนโดย Kaiser และ Oswald พบว่าการให้คะแนนสามารถทำนายการตัดสินใจที่สำคัญ (เช่น การย้ายถิ่นฐานระหว่างประเทศและการหย่าร้าง) ได้ดีกว่า ตัวทำนาย ทางเศรษฐกิจ และสังคมมาตรฐาน เช่น รายได้และข้อมูลประชากร^{[ 62 ]}โดยเขียนว่า "ความสัมพันธ์ระหว่างความรู้สึกกับการกระทำนี้มีรูปแบบทั่วไป สามารถทำซ้ำได้อย่างสม่ำเสมอ และมีโครงสร้างที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับเชิงเส้น ดังนั้นดูเหมือนว่ามนุษย์สามารถนำมาตราส่วนจำนวนเต็มมาใช้ในการปฏิบัติงานสำหรับความรู้สึกได้อย่างประสบความสำเร็จ" ^{[ 62 ]}

นักเศรษฐศาสตร์เชิงพฤติกรรมได้แสดงให้เห็นว่าความไม่สมเหตุสมผล ของแต่ละบุคคล เกี่ยวข้องกับการละเมิด IIA (เช่นผลกระทบจากตัวล่อ ) ^{[ 63 ]}ซึ่งชี้ให้เห็นว่าพฤติกรรมของมนุษย์สามารถทำให้เกิดความล้มเหลวของ IIA ได้ แม้ว่าวิธีการลงคะแนนเสียงเองจะไม่เป็นเช่นนั้นก็ตาม^{[ 64 ]}อย่างไรก็ตาม งานวิจัยในอดีตมักพบว่าผลกระทบดังกล่าวค่อนข้างน้อย^{[ 65 ]}และตัวทำลายทางจิตวิทยาดังกล่าวสามารถปรากฏขึ้นได้โดยไม่คำนึงถึงระบบการเลือกตั้งBalinskiและLarakiได้กล่าวถึงเทคนิคการออกแบบบัตรลงคะแนนที่ได้มาจากจิตวิทยาการวัดผลที่ช่วยลดผลกระทบทางจิตวิทยาเหล่านี้ เช่น การขอให้ผู้ลงคะแนนให้คะแนนผู้สมัครแต่ละคนเป็นคำพูด (เช่น "แย่", "เป็นกลาง", "ดี", "ยอดเยี่ยม") และการออกคำแนะนำแก่ผู้ลงคะแนนที่อ้างถึงบัตรลงคะแนนของพวกเขาว่าเป็นคำตัดสินของผู้สมัครแต่ละคน^{[ 47 ]}เทคนิคที่คล้ายกันนี้มักถูกกล่าวถึงในบริบทของ การ ประเมินมูลค่าตามเงื่อนไข^{[ 55 ]}

นอกเหนือจากแนวทางแก้ไขเชิงปฏิบัติข้างต้นแล้ว ยังมีสถานการณ์ที่ไม่ปกติ (ไม่ค่อยเป็นไปได้ในทางปฏิบัติ) ที่ข้อกำหนด IIA ของ Arrow สามารถได้รับการตอบสนองได้

กฎเสียง ข้างมากพิเศษสามารถหลีกเลี่ยงทฤษฎีบทของ Arrow ได้ แต่อาจทำให้การตัดสินใจไม่ดี (เช่น มักจะไม่สามารถส่งคืนผลลัพธ์ได้) ในกรณีนี้ เกณฑ์ที่กำหนดให้ต้องมีเสียงข้างมากสำหรับการเรียงลำดับผลลัพธ์ 3 รายการสำหรับ 4 รายการ เป็นต้น จะไม่ก่อให้เกิดความขัดแย้งในการลงคะแนนเสียง^{[ 66 ]}${\displaystyle 2/3}$${\displaystyle 3/4}$

ในแบบจำลองเชิงพื้นที่ (อุดมการณ์ n มิติ) ของการลงคะแนนเสียงสามารถผ่อนปรนข้อกำหนดนี้ได้ โดยกำหนดให้ต้องใช้คะแนนเสียงเพียง (ประมาณ 64%) เพื่อป้องกันวัฏจักร ตราบใดที่การกระจายตัวของผู้ลงคะแนนเสียงเป็นไปอย่างดี ( กึ่งเว้า ) ^{[ 67 ]}ผลลัพธ์เหล่านี้ให้เหตุผลบางประการสำหรับข้อกำหนดทั่วไปของเสียงข้างมากสองในสามสำหรับการแก้ไขรัฐธรรมนูญ ซึ่งเพียงพอที่จะป้องกันความชอบแบบวัฏจักรในสถานการณ์ส่วนใหญ่^{[ 67 ]}${\displaystyle 1-e^{-1}}$

Fishburnแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขทั้งหมดของ Arrow สามารถเป็นไปตามชุดผู้ลงคะแนนเสียงที่นับไม่ถ้วนได้ โดยพิจารณาจากสัจพจน์ของการเลือก^{[ 68 ]}อย่างไรก็ตาม Kirman และ Sondermann ได้แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้จำเป็นต้องตัดสิทธิ์ สมาชิก เกือบทั้งหมดของสังคม (ผู้มีสิทธิลงคะแนนเสียงเป็นเซตที่มีขนาด 0) ซึ่งทำให้พวกเขาเรียกสังคมดังกล่าวว่า "เผด็จการที่มองไม่เห็น" ^{[ 69 ]}

ทฤษฎีบทของ Arrow ไม่เกี่ยวข้องกับการลงคะแนนเชิงกลยุทธ์ซึ่งไม่ปรากฏในกรอบงานของเขา^{[ 3 ] [ 1 ]}แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะมีนัยสำคัญต่อการลงคะแนนเชิงกลยุทธ์ (โดยถูกใช้เป็นบทพิสูจน์เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Gibbard ^{[ 26 ]} ) กรอบงานสวัสดิการสังคม ของ Arrow ถือว่าทราบความชอบของผู้ลงคะแนนทั้งหมด และปัญหาเดียวคือการรวมความชอบเหล่านั้นเข้าด้วยกัน^{[ 1 ]}

ความสม่ำเสมอ (เรียกว่าการเชื่อมโยงเชิงบวกโดยแอร์โรว์) ไม่ใช่เงื่อนไขของทฤษฎีบทของแอร์โรว์^{[ 3 ]}ความเข้าใจผิดนี้เกิดจากความผิดพลาดของแอร์โรว์เอง ซึ่งรวมสัจพจน์ไว้ในข้อความดั้งเดิมของทฤษฎีบท แต่ไม่ได้ใช้มัน^{[ 2 ]}การละทิ้งสมมติฐานนี้ทำให้ไม่สามารถสร้างฟังก์ชันสวัสดิการสังคมที่ตรงตามเงื่อนไขอื่นๆ ของเขาได้^{[ 3 ]}

ตรงกันข้ามกับความเข้าใจผิดทั่วไป ทฤษฎีบทของ Arrow เกี่ยวข้องกับระบบการลงคะแนนแบบจัดลำดับที่ จำกัด ไม่ใช่ระบบการลงคะแนนโดยรวม^{[ 1 ] [ 70 ]}

• การเปรียบเทียบระบบการเลือกตั้ง
• ปรากฏการณ์คอนดอร์เซต์
• ความขัดแย้งทางหลักคำสอน
• ทฤษฎีบทกิบบาร์ด–แซทเทอร์เวท
• ทฤษฎีบทของกิบเบิร์ด
• ทฤษฎีบทของโฮล์มสตรอม
• ทฤษฎีของเมย์
• ความล้มเหลวของตลาด

• บทความเรื่อง "ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของแอร์โรว์"ในสารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
• บทพิสูจน์โดยเทเรนซ์ เทา โดยสมมติว่ามีรูปแบบการปกครองที่ไม่ใช่เผด็จการที่เข้มงวดกว่ามาก