ในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟการเรียงตัวเป็นเส้นตรง (collineation) คือแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ( bijection ) จากปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ หนึ่ง ไปยังอีกปริภูมิหนึ่ง หรือจากปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟหนึ่งไปยังตัวมันเอง โดยที่ภาพของ จุด ที่เรียงตัวเป็นเส้นตรงเดียวกันนั้นก็เรียงตัวเป็นเส้นตรงเดียวกันด้วย ดังนั้น การเรียงตัวเป็นเส้นตรงจึงเป็นการสมสัณฐานระหว่างปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ หรือเป็นออโตมอร์ฟิซึมจากปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟหนึ่งไปยังตัวมันเอง ผู้เขียนบางคนจำกัดนิยามของการเรียงตัวเป็นเส้นตรงไว้เฉพาะกรณีที่เป็นออโตมอร์ฟิซึม^{[ 1 ]}เซต ของการเรียง ตัวเป็นเส้นตรงทั้งหมดของปริภูมิหนึ่งไปยังตัวมันเองก่อตัวเป็นกลุ่มเรียกว่ากลุ่มการเรียงตัวเป็นเส้นตรง (collineation group )

กล่าวโดยง่าย การจับคู่เส้นตรง (collineation) คือแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากปริภูมิเชิงฉายหนึ่งไปยังอีกปริภูมิเชิงฉายหนึ่ง หรือจากปริภูมิเชิงฉายหนึ่งไปยังตัวมันเอง โดยที่ภาพของจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันด้วย เราสามารถกำหนดรูปแบบอย่างเป็นทางการได้โดยใช้วิธีการนำเสนอปริภูมิเชิงฉายหลายวิธี นอกจากนี้ กรณีของเส้นตรงเชิงฉายเป็นกรณีพิเศษ จึงมักได้รับการปฏิบัติแตกต่างออกไป

สำหรับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่นิยามโดยใช้พีชคณิตเชิงเส้น (ในฐานะที่เป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟของปริภูมิเวกเตอร์ ) การแปลงเชิงเส้น (collineation) คือแผนที่ระหว่างปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่รักษาลำดับไว้โดยสัมพันธ์กับการรวมปริภูมิย่อย

ในทางทฤษฎี ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์KและWเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์LพิจารณาปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟPG ( V ) และPG ( W ) ซึ่งประกอบด้วยเส้นเวกเตอร์ของVและWเรียกD ( V ) และD ( W ) ว่าเซตของปริภูมิย่อยของVและWตามลำดับ การแปลงเชิงเส้นจากPG ( V ) ไปยังPG ( W ) คือแผนที่ α : D ( V ) → D ( W ) โดยที่:

• α เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection)
• A ⊆ B ⇔ α( A ) ⊆ α( B ) สำหรับทุกA , BในD ( V ) ^{[ 2 ]}

เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่กำหนดโดยสัจพจน์ในแง่ของโครงสร้างเหตุการณ์ (เซตของจุดPเส้นLและความสัมพันธ์เหตุการณ์Iที่ระบุว่าจุดใดอยู่บนเส้นใด โดยเป็นไปตามสัจพจน์บางประการ) การเรียงตัวเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่กำหนดดังกล่าวจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งfระหว่างเซตของจุดและฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งgระหว่างเซตของเส้น ซึ่งรักษาความสัมพันธ์เหตุการณ์ไว้^{[ 3 ]}

ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟทุกปริภูมิที่มีมิติมากกว่าหรือเท่ากับสามจะสม isomorphic กับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟของปริภูมิเชิงเส้นเหนือวงแหวนหารดังนั้นในมิติเหล่านี้ นิยามนี้จึงไม่ทั่วไปไปกว่านิยามเชิงพีชคณิตเชิงเส้นข้างต้น แต่ในมิติสองมีระนาบเชิงโปรเจกทีฟอื่น ๆ นั่นคือระนาบที่ไม่ใช่เดซาร์เกสและนิยามนี้ทำให้สามารถกำหนด collineations ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟดังกล่าวได้

สำหรับมิติที่หนึ่ง เซตของจุดที่อยู่บนเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟเส้นเดียวจะกำหนดปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ และแนวคิดของการเรียงตัวเป็นเส้นตรงที่ได้นั้นก็คือการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งของเซตนั้นนั่นเอง

สำหรับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟมิติหนึ่ง (เส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ; การแปลงปริภูมิเวกเตอร์มิติสองเป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ) จุดทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นกลุ่มการเรียงตัวของจุดบนเส้นตรงเดียวกันจึงเป็นกลุ่มสมมาตรของจุดบนเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งแตกต่างจากพฤติกรรมในมิติที่สูงกว่า ดังนั้นจึงต้องมีการกำหนดนิยามที่เข้มงวดมากขึ้น เพื่อให้ทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟยังคงใช้ได้

ในนิยามนี้ เมื่อVมีมิติสอง การแปลงเชิงเส้นจากPG ( V ) ไปยังPG ( W ) คือแผนที่α  : D ( V ) → D ( W )โดยที่:

• ซับสเปซศูนย์ของV ถูกแม ปไปยังซับสเปซศูนย์ของW
• VถูกแมปไปยังW
• มีแผนที่กึ่งเชิงเส้น ที่ไม่เอกฐาน βจากVไปยังWโดยที่สำหรับทุกvในV$${\displaystyle \alpha (\langle v\rangle )=\langle \beta (v)\rangle }$$

ข้อกำหนดสุดท้ายนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าการจัดเรียงเส้นทั้งหมดเป็นการแมปแบบกึ่งเชิงเส้น

ตัวอย่างหลักของการเรียงตัวเชิงเส้น (collineations) ได้แก่ การแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ (หรือที่เรียกว่าโฮโมกราฟี ) และ การเรียงตัวเชิง เส้นแบบอัตโนมัติ (automorphic collineations ) สำหรับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่มาจากปริภูมิเชิงเส้นทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟกล่าวว่า การเรียงตัวเชิงเส้นทั้งหมดเป็นการรวมกันของสิ่งเหล่านี้ ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง

การแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟ (โฮโมกราฟี) คือการเรียงตัวของเส้นตรง (ระนาบในปริภูมิเวกเตอร์สอดคล้องกับเส้นตรงในปริภูมิโปรเจคทีฟที่เกี่ยวข้อง และการแปลงเชิงเส้นจะแมประนาบไปยังระนาบ ดังนั้นการแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟจึงแมปเส้นตรงไปยังเส้นตรง) แต่โดยทั่วไปแล้ว การเรียงตัวของเส้นตรงทั้งหมดไม่ใช่การแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟ กลุ่มของการแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟ ( PGL ) โดยทั่วไปเป็นกลุ่มย่อย ที่แท้จริง ของกลุ่มการเรียงตัวของเส้นตรง

หนึ่งการจัดเรียงเชิงเส้นอัตโนมัติ (Automorphic collineation)คือแผนที่ที่ในระบบพิกัด เป็นการแปลงเชิงเส้นอัตโนมัติของฟิลด์ที่ประยุกต์ใช้กับพิกัดเหล่านั้น

ถ้ามิติทางเรขาคณิตของ ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟแบบ ปัปเปียนมีค่าอย่างน้อย 2 แล้ว การเรียงตัวเชิงเส้นทุกแบบจะเป็นผลคูณของโฮโมกราฟี (การแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ) และการเรียงตัวเชิงเส้นแบบอัตโนมัติ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น กลุ่มการเรียงตัวเชิงเส้นคือกลุ่มกึ่งเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟซึ่งเป็นผลคูณกึ่งตรงของโฮโมกราฟีโดยการเรียงตัวเชิงเส้นแบบอัตโนมัติ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเรียงตัวเชิงเส้นของระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงPG(2, R )ก็คือโฮโมกราฟีนั่นเอง เนื่องจากRไม่มีออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่เป็นศูนย์ (ดูAutomorphism#ExamplesและเชิงอรรถdในReal number )

สมมติว่าφเป็นแผนที่กึ่งเชิงเส้นที่ไม่เอกฐานจากVไปยังWโดยที่มิติของVอย่างน้อยสาม กำหนดα  : D ( V ) → D ( W )โดยกล่าวว่าZ ^α = { φ ( z ) : z ∈ Z }สำหรับทุกZในD ( V ) เนื่องจากφเป็นแผนที่กึ่งเชิงเส้น จึงตรวจสอบได้ง่ายว่าแผนที่นี้ถูกกำหนดอย่างถูกต้อง และยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากφไม่เอกฐาน จึงเป็นแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เห็นได้ชัดว่าα เป็นคอลไลน์เนชัน เรากล่าวว่าαเกิดจากการเหนี่ยวนำโดยφ

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงฉายกล่าวถึงสิ่งที่ตรงกันข้าม:

สมมติว่าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Kที่มีมิติอย่างน้อยสาม, Wเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Lและαเป็นการแปลงเชิงเส้นจาก PG( V ) ไปยัง PG( W ) ซึ่งหมายความว่าKและLเป็นฟิลด์ที่สม isomorphic กัน, VและWมีมิติเท่ากัน และมีแผนที่กึ่งเชิงเส้นφที่φเหนี่ยวนำให้เกิด α

สำหรับn ≥ 3กลุ่มคอลลิเนชันคือกลุ่มกึ่งเชิงเส้นเชิงโปรเจ ก ที ฟ PΓL – ซึ่งก็คือ PGL ที่บิดเบี้ยวด้วยออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์กล่าวคือผลคูณกึ่งตรงPΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k )โดยที่kคือฟิลด์เฉพาะสำหรับK

ดังนั้น สำหรับKที่เป็นฟิลด์เฉพาะ ( หรือ) เราจะได้PGL = PΓLแต่สำหรับKที่ไม่ใช่ฟิลด์เฉพาะ (เช่นหรือสำหรับn ≥ 2 ) กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟโดยทั่วไปจะเป็นกลุ่มย่อยที่แท้จริงของกลุ่มคอลลิเนชัน ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็น "การแปลงที่รักษา โครงสร้าง กึ่งเชิงเส้น เชิงโปรเจกที ฟ" ในทำนองเดียวกัน กลุ่มผลหารPΓL / PGL ≅ Gal( K / k )สอดคล้องกับ "การเลือกโครงสร้างเชิงเส้น" โดยมีเอกลักษณ์ (จุดฐาน) คือโครงสร้างเชิงเส้นที่มีอยู่ เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟโดยไม่มีการระบุเป็นโปรเจกทีฟของปริภูมิเชิงเส้น จะไม่มีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติระหว่างกลุ่มคอลลิเนชันและ PΓL และการเลือกโครงสร้างเชิงเส้น (การทำให้เป็นจริงในฐานะโปรเจกทีฟของปริภูมิเชิงเส้น) สอดคล้องกับการเลือกกลุ่มย่อยPGL < PΓLการเลือกเหล่านี้ก่อให้เกิดทอร์เซอร์เหนือ Gal( K / k ) ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$

แนวคิดของเส้นตรงถูกสรุปเป็นความสัมพันธ์แบบไตรภาคที่กำหนดโดยความเป็นเส้นตรงเดียวกัน (จุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) ตามที่Wilhelm Blaschke ^{[ 4 ]} กล่าวไว้ August Möbiusเป็นคนแรกที่สรุปสาระสำคัญของการแปลงทางเรขาคณิตนี้

การแปลงทางเรขาคณิตของเราในปัจจุบันหมายความว่าอย่างไร? มอเบียสได้ตั้งคำถามนี้ไว้แล้วในหนังสือแคลคูลัสแบบแบรีเซนทริก (Barycentric Calculus) ปี 1827 ของเขา ที่นั่นเขาไม่ได้พูดถึงการแปลงแต่พูดถึงการเรียงสับเปลี่ยน (Verwandtschaften) เมื่อเขากล่าวว่าองค์ประกอบสองอย่างที่ดึงมาจากโดเมนจะถูกเรียงสับเปลี่ยนเมื่อถูกสลับโดยสมการใดๆ ในกรณีเฉพาะของเรา สมการเชิงเส้นระหว่างพิกัดจุดเอกพันธุ์ มอเบียสเรียกการเรียงสับเปลี่ยน (Verwandtschaft) ของปริภูมิจุดทั้งสองโดยเฉพาะว่า การเรียงตัวเชิง เส้น (collineation ) ความหมายนี้จะถูกเปลี่ยนในภายหลังโดยชาสเลสเป็นโฮโมกราฟี (homography ) เราสามารถเข้าใจการแสดงออกของมอเบียสได้ทันทีเมื่อเราทำตามมอเบียสในการเรียกจุดที่ อยู่บนเส้นเดียวกันว่า จุด ร่วมเส้น (collinear ) การกำหนดของมอเบียสสามารถแสดงได้โดยการกล่าวว่า จุดร่วมเส้นจะถูกแปลงโดยการเรียงสับเปลี่ยนไปยังจุดร่วมเส้น หรือพูดง่ายๆ ก็คือ เส้นตรงจะยังคงเป็นเส้นตรง

นักคณิตศาสตร์ร่วมสมัยมองเรขาคณิตว่าเป็นโครงสร้างเหตุการณ์ร่วมที่มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมซึ่งประกอบด้วยการแมปของปริภูมิพื้นฐานที่รักษาเหตุการณ์ ร่วม ไว้ การแมปดังกล่าวจะสลับตำแหน่งเส้นของโครงสร้างเหตุการณ์ร่วม และแนวคิดเรื่องเส้นตรงร่วมยังคงอยู่

ตามที่ Blaschke และ Klein กล่าวไว้Michel Chaslesชอบใช้คำว่าhomographyมากกว่าcollineationความแตกต่างระหว่างคำเหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อมีการชี้แจงความแตกต่างระหว่างระนาบโปรเจคทีฟจริงและเส้นโปรเจคทีฟเชิงซ้อนเนื่องจากไม่มีฟิลด์ออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ใช่ฟิลด์ธรรมดาของ ฟิลด์ จำนวนจริง ดังนั้น collineation ทั้งหมดจึงเป็น homographies ในระนาบโปรเจคทีฟจริง^{[ 5 ]}อย่างไรก็ตาม เนื่องจากฟิลด์ออโตมอร์ฟิซึมของการผันเชิงซ้อน collineation ของเส้นโปรเจคทีฟเชิงซ้อนจึงไม่ใช่ homographies ทั้งหมด ในแอปพลิเคชันเช่นคอมพิวเตอร์วิชั่นซึ่งฟิลด์พื้นฐานคือฟิลด์จำนวนจริงhomographyและcollineationสามารถใช้แทนกันได้

การหาค่าสังยุคเชิงซ้อนในระนาบเชิงซ้อนเทียบเท่ากับการสะท้อนในเส้นจำนวนจริงโดยใช้สัญลักษณ์z ^∗แทนค่าสังยุคของz จะได้แอ นติโฮโมกราฟีดังนี้

${\displaystyle f(z)={\frac {az^{*}+b}{cz^{*}+d}}.}$

ดังนั้น แอนติโฮโมกราฟีจึงเป็นการประกอบกันของการผันกับโฮโมกราฟีและเป็นตัวอย่างของการเรียงตัวที่ไม่ใช่โฮโมกราฟี ตัวอย่างเช่น ในทางเรขาคณิต การแมปจะเทียบเท่ากับการผกผันวงกลม^{[ 6 ]}การแปลงเรขาคณิตผกผันของระนาบมักจะถูกอธิบายว่าเป็นชุดของโฮโมกราฟีและแอนติโฮโมกราฟีทั้งหมดของระนาบเชิงซ้อน^{[ 7 ]}${\displaystyle f(z)=1/z^{*}}$

• ความสามารถในการฉายภาพ (Projectivity ) ที่PlanetMath