ในทางคณิตศาสตร์ค่าเฉลี่ยของกลุ่มหรือชุดข้อมูล คือค่าที่อยู่ตรงกลาง มากที่สุด เป็นค่าทั่วไปมากที่สุด หรือเป็นค่าที่แสดงถึงลักษณะ โดยรวมของกลุ่มนั้น ในทางคณิตศาสตร์ มักหมายถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่ก็อาจหมายถึงค่า เฉลี่ยประเภทอื่น ๆมัธยฐานหรือฐานนิยม ได้ เช่นกัน

นิยามของค่าเฉลี่ยที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต^{[ 2 ]}กล่าวคือ ผลรวมหารด้วยจำนวน ดังนั้น "ค่าเฉลี่ย" ของรายการตัวเลข [2, 3, 4, 7, 9] โดยทั่วไปถือว่าเท่ากับ (2+3+4+7+9)/5 = 25/5 = 5

อย่างไรก็ตาม บางครั้งมีการใช้ความหมายอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับบริบท ซึ่งอาจนำไปสู่ความสับสน ตัวอย่างเช่น ในการสอน คำว่า "ค่าเฉลี่ย" บางครั้งหมายถึง "ค่าเฉลี่ย 3 ค่า" ได้แก่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตค่ามัธยฐานและค่าฐานนิยม^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

ค่ามัธยฐานซึ่งกำหนดให้เป็นค่าตรงกลางหลังจากจัดเรียงกลุ่มแล้ว มักใช้เป็นค่าเฉลี่ยในสถานการณ์ที่ข้อมูลเบี่ยงเบนหรือมีค่าผิดปกติเพื่อเน้นส่วนหลักของกลุ่มมากกว่าส่วนหางยาวตัวอย่างเช่นรายได้ส่วนบุคคล เฉลี่ย มักจะแสดงเป็นรายได้มัธยฐานเพื่อให้เป็นตัวแทนของประชากรส่วนใหญ่แทนที่จะได้รับอิทธิพลมากเกินไปจากรายได้ที่สูงกว่ามากของคนรวยเพียงไม่กี่คน^{[ 10 ]}

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกซึ่งกำหนดให้เป็นส่วนกลับของค่าเฉลี่ยของส่วนกลับ ถูกนำมาใช้ในสถานการณ์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับอัตราหรืออัตราส่วนเช่น การคำนวณความเร็วเฉลี่ยจากการวัดหลายครั้งในระยะทางเดียวกัน^{[ 11 ]}อันที่จริง แตกต่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือค่ามัธยฐานของความเร็ว ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของความเร็วจะให้ค่าความเร็วคงที่ที่จะทำให้เดินทางในระยะทางเดียวกันในเวลาเท่ากัน

โหมด แสดงถึงค่า ที่พบได้บ่อยที่สุดในกลุ่ม สามารถใช้ได้เมื่อข้อมูลเป็นหมวดหมู่มากกว่าตัวเลข [ ^{12 ]}เมื่อความถี่ของแต่ละค่ามีความเกี่ยวข้อง (เช่น เมื่อ มีการอ้างอิงถึง ฮิสโตแกรมแผนภูมิแท่งหรือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะ^เป็น ) ^{[ 13 ]}หรือเพื่อหาค่าที่แสดงถึงกลุ่มส่วนใหญ่^{[ 14 ]}

สถิติอื่นๆที่สามารถใช้เป็นค่าเฉลี่ยได้ ได้แก่ค่ากึ่งกลางพิสัยค่าเฉลี่ยกำลังสองหรือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตแต่โดยทั่วไปแล้วมักไม่เรียกค่าเหล่านี้ว่า "ค่าเฉลี่ย"

ปริมาณต่างๆ เหล่านี้ล้วนประมาณค่าแนวโน้มศูนย์กลาง ของกลุ่ม โดยแต่ละปริมาณมีข้อดีและข้อเสียแตก ต่างกันไป ในทางคณิตศาสตร์ อาจมองได้ว่าเป็นการแก้ปัญหาแปรผันที่แตกต่างกัน

ค่าเฉลี่ยทั้งหมดของชุดข้อมูลจะอยู่ภายในขอบเขตของชุดข้อมูล นั้น (และสำหรับจำนวนจริง จะอยู่ระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด ) ดังนั้น หากชุดข้อมูลประกอบด้วยค่าเดียวกันทั้งหมด ค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลนั้นก็คือค่าดังกล่าว^{[ 15 ]}

ค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่^{[ a ]}เป็นแบบโมโนโทนิก กล่าวคือ การเคลื่อนสมาชิกไปในทิศทางหนึ่งจะทำให้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนไปในทิศทางเดียวกัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าชุดตัวเลขสองชุดAและBมีจำนวนองค์ประกอบ เท่ากัน และสามารถจัดเรียงได้เพื่อให้แต่ละรายการในA ≥ รายการที่สอดคล้องกันในBแล้วค่าเฉลี่ยของA ≥ ค่าเฉลี่ยของB

ค่าเฉลี่ยที่ใช้กันทั่วไปทั้งหมดเป็นค่าเฉลี่ยเชิง เส้นเอก พันธุ์ กล่าว คือการคูณ ทุกค่าด้วยตัว คูณเดียวกันจะทำให้ค่าเฉลี่ยถูกคูณด้วยตัวคูณเดียวกันนั้นด้วย

ค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่^{[ b ]}ยังคงเหมือนเดิมเมื่อสลับรายการกล่าวคือ ลำดับไม่สำคัญ

ชื่อ	สมการหรือคำอธิบาย	เพื่อเป็นแนวทางแก้ไขปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x-x_{i})^{2}}$
ค่ามัธยฐาน	ค่ากลางที่แบ่งชุดข้อมูลออกเป็นครึ่งบนและครึ่งล่าง อาจไม่ซ้ำกันหากชุดข้อมูลมีจำนวนจุดเป็นเลขคู่	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}|x-x_{i}|}$
ค่ามัธยฐานทางเรขาคณิต	ส่วนขยายของค่ามัธยฐานที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการหมุน สำหรับจุดใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$	${\displaystyle {\underset {{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}||{\vec {x}}-{\vec {x}}_{i}||_{2}}$
ค่ามัธยฐานของทูคีย์	การขยายค่ามัธยฐานที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการหมุนอีกแบบหนึ่งสำหรับจุดใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$—จุดที่เพิ่มความลึกของ Tukey ให้สูงสุด	${\displaystyle {\underset {{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}{\operatorname {argmax} }}\,{\underset {{\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{d}}{\operatorname {min} }}\,\sum _{i=1}^{n}\left({\begin{cases}1,{\text{ if }}({\vec {x}}_{i}-{\vec {x}})\cdot {\vec {u}}\geq 0\\0,{\text{ otherwise}}\end{cases}}\right)}$
โหมด	ค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุดในชุดข้อมูล	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmax} }}\,\sum _{i=1}^{n}\left({\begin{cases}1,{\text{ if }}x=x_{i}\\0,{\text{ if }}x\neq x_{i}\end{cases}}\right)}$
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{>0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(\ln(x)-\ln(x_{i}))^{2},\qquad {\text{if }}x_{i}>0\,\forall \,i\in \{1,\dots ,n\}}$
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก	${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{\neq 0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{2}}$
ค่าเฉลี่ยคอนทราฮาร์โมนิก	${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{{x_{1}}+{x_{2}}+\cdots +{x_{n}}}}}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}x_{i}(x-x_{i})^{2}}$
เลห์เมอร์มีน	${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p-1}}}}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p-1}(x-x_{i})^{2}}$
ค่าเฉลี่ยกำลังสอง (หรือ RMS)	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x^{2}-x_{i}^{2})^{2}}$
ค่าเฉลี่ยลูกบาศก์	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\right)}}}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x^{3}-x_{i}^{3})^{2},\qquad {\text{if }}x_{i}\geq 0\,\forall \,i\in \{1,\dots ,n\}}$
ค่าเฉลี่ยทั่วไป	${\displaystyle {\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}}}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x^{p}-x_{i}^{p})^{2},\qquad {\text{if }}x_{i}\geq 0\,\forall \,i\in \{1,\dots ,n\}}$
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตกึ่ง	${\displaystyle f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\right)}$	${\displaystyle {\underset {x\in \operatorname {dom} (f)}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(f(x)-f(x_{i}))^{2},\qquad {\text{if }}f}$เป็นโมโนโทนิก
ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก	${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}w_{i}(x-x_{i})^{2}}$
ค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอน	ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าข้อมูลหลังจากตัดค่าข้อมูลสูงสุดและต่ำสุดออกไปจำนวนหนึ่งหรือในสัดส่วนที่กำหนด
ค่าเฉลี่ยระหว่างควาร์ไทล์	กรณีพิเศษของค่าเฉลี่ยแบบตัดทอน โดยใช้ช่วงควาร์ไทล์กรณีพิเศษของค่าเฉลี่ยแบบตัดทอนระหว่างควาร์ไทล์ ซึ่งดำเนินการกับควาร์ไทล์ (มักจะ เป็น เดซิไล์หรือเปอร์เซ็นไทล์ ) ที่มีระยะห่างเท่ากัน แต่คนละด้านของค่า มัธยฐาน
ช่วงกลาง	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\max x+\min x\right)}$	${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,{\underset {i\in \{1,\dots ,n\}}{\operatorname {max} }}\,|x-x_{i}|}$
ค่าเฉลี่ยแบบวินซอร์ไรซ์	คล้ายกับค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอน แต่แทนที่จะลบค่าสุดขั้วออกไป จะกำหนดค่าเหล่านั้นให้เท่ากับค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดที่เหลืออยู่
เมดอยด์	วัตถุที่เป็นตัวแทนของชุด${\displaystyle {\mathcal {X}}}$วัตถุที่มีผลรวมของความแตกต่างน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับวัตถุทั้งหมดในชุด โดยพิจารณาจากฟังก์ชันความแตกต่างบางอย่าง${\displaystyle d}$.	${\displaystyle {\underset {y\in {\mathcal {X}}}{\operatorname {argmin} }}\sum _{i=1}^{n}d(y,x_{i})}$

ถึงแม้ว่าอาจจะไม่ใช่ค่าเฉลี่ยก็ตาม${\displaystyle \tau }$ควอนไทล์ที่ th ( สถิติสรุป อีกตัวหนึ่ง ที่ขยายความจากค่ามัธยฐาน) สามารถแสดงออกมาในรูปของคำตอบของปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดได้เช่นกัน

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}\max {\big (}(1-\tau )(x_{i}-x),\,\tau (x-x_{i}){\big )}={\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}{\big (}|x-x_{i}|+(1-2\tau )\,x{\big )}}$,

ซึ่งมีเป้าหมายเพื่อลดการสูญเสียค่าสัมบูรณ์ที่เอียง โดยรวม (หรือ การสูญเสีย ควอนไทล์หรือ การสูญเสีย พินบอล ) ให้เหลือน้อยที่สุด

ค่าเฉลี่ยที่ซับซ้อนกว่าอื่นๆ ได้แก่trimmore sophistiean , trimedianและnormalized meanพร้อมด้วยการสรุปทั่วไป^{[ 16 ]}

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถสร้างค่าเฉลี่ยของเราเองได้โดยใช้ค่าเฉลี่ย แบบ fทั่วไป :

${\displaystyle y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)}$

โดยที่fคือฟังก์ชันที่ผกผันได้ใดๆ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างหนึ่งของการใช้f ( x ) = 1/ xและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง โดยใช้f ( x ) = log x 

อย่างไรก็ตาม วิธีการสร้างค่าเฉลี่ยนี้ไม่ครอบคลุมเพียงพอที่จะครอบคลุมค่าเฉลี่ยทั้งหมด วิธีการที่ทั่วไปกว่า^{[ 17 ]}สำหรับการกำหนดค่าเฉลี่ยจะใช้ฟังก์ชันg ( x , x , ..., x ) ของรายการอาร์กิวเมนต์ที่ต่อเนื่องเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในแต่ละอาร์กิวเมนต์ และสมมาตร (ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับตำแหน่งของอาร์กิวเมนต์) ค่าเฉลี่ยyคือค่าที่เมื่อแทนที่สมาชิกแต่ละตัวในรายการแล้วจะได้ค่าฟังก์ชันเดียวกัน: g ( y , y , ..., y ) = g ( x , x , ..., x )คำจำกัดความที่ครอบคลุมที่สุดนี้ยังคงครอบคลุมคุณสมบัติที่สำคัญของค่าเฉลี่ยทั้งหมด นั่นคือค่าเฉลี่ยของรายการองค์ประกอบที่เหมือนกันคือองค์ประกอบนั้นเอง ฟังก์ชันg ( x , x , ..., x ) = x + x + ··· + x ให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ฟังก์ชันg ( x , x , ..., x ) = x x ··· x (โดยที่องค์ประกอบในรายการเป็นจำนวนบวก) ให้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ฟังก์ชันg ( x , x , ..., x ) = ( x ⁻¹ + x ⁻¹ + ··· + x ⁻¹ ) ⁻¹ ) (โดยที่องค์ประกอบในรายการเป็นจำนวนบวก) ให้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก^{[ 17 ]}   

เมื่อพิจารณาอนุกรมเวลาเช่น ราคาหุ้นรายวันหรืออุณหภูมิรายปี ผู้คนมักต้องการสร้างอนุกรมที่ราบเรียบกว่า^{[ 18 ]}ซึ่งจะช่วยแสดงแนวโน้มพื้นฐานหรือพฤติกรรมเป็นช่วงๆ วิธีง่ายๆ ในการทำเช่นนี้คือค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ : เลือกตัวเลขnและสร้างอนุกรมใหม่โดยการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ ค่า n แรก จากนั้นเลื่อนไปข้างหน้าหนึ่งตำแหน่งโดยตัดค่าที่เก่าที่สุดออกและแนะนำค่าใหม่ที่ปลายอีกด้านของรายการ และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ นี่คือรูปแบบที่ง่ายที่สุดของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ รูปแบบที่ซับซ้อนกว่านั้นเกี่ยวข้องกับการใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก การถ่วงน้ำหนักสามารถใช้เพื่อเพิ่มหรือลดพฤติกรรมเป็นช่วงๆ ต่างๆ และมีการวิเคราะห์อย่างละเอียดเกี่ยวกับน้ำหนักที่จะใช้ในเอกสารเกี่ยวกับการกรองในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลคำว่า "ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่" ถูกใช้แม้ว่าผลรวมของน้ำหนักจะไม่ใช่ 1.0 (ดังนั้นอนุกรมเอาต์พุตจึงเป็นเวอร์ชันที่ปรับขนาดของค่าเฉลี่ย) ^{[ 19 ]}เหตุผลก็คือนักวิเคราะห์มักจะสนใจเฉพาะแนวโน้มหรือพฤติกรรมเป็นช่วงๆ เท่านั้น

เนื่องจากคำว่า "ค่าเฉลี่ย" มีลักษณะเป็นภาษาพูด จึงสามารถใช้คำนี้เพื่อบิดเบือนความหมายที่แท้จริงของข้อมูลและเสนอคำตอบที่แตกต่างกันสำหรับคำถามต่างๆ โดยขึ้นอยู่กับวิธีการหาค่าเฉลี่ย (ส่วนใหญ่คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน หรือฐานนิยม) ที่ใช้ ในบทความของเขาเรื่อง "Framed for Lying: Statistics as In/Artistic Proof" แดเนียล ลิเบอร์ทซ์ อาจารย์จากมหาวิทยาลัยพิตต์สเบิร์ก แสดงความคิดเห็นว่าข้อมูลทางสถิติมักถูกมองข้ามไปในการโต้แย้งเชิงวาทศิลป์ด้วยเหตุผลนี้ ^{[ 27 ]}อย่างไรก็ตาม เนื่องจากพลังในการโน้มน้าวใจ ค่าเฉลี่ยและค่าทางสถิติอื่นๆ จึงไม่ควรถูกทิ้งไปโดยสิ้นเชิง แต่ควรใช้และตีความอย่างระมัดระวัง ลิเบอร์ทซ์เชิญชวนให้เรามีส่วนร่วมอย่างมีวิจารณญาณไม่เพียงแต่กับข้อมูลทางสถิติ เช่น ค่าเฉลี่ยเท่านั้น แต่ยังรวมถึงภาษาที่ใช้ในการอธิบายข้อมูลและการใช้งานด้วย โดยกล่าวว่า "หากสถิติขึ้นอยู่กับการตีความ นักวาทศิลป์ควรเชิญชวนให้ผู้ชมตีความแทนที่จะยืนกรานให้มีการตีความ" ^{[ 27 ]}ในหลายกรณี มีการให้ข้อมูลและการคำนวณเฉพาะเพื่อช่วยอำนวยความสะดวกในการตีความตามกลุ่มเป้าหมายนี้

• ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย
• ทฤษฎีบทลิมิตกลาง
• ค่าที่คาดหวัง
• กฎของค่าเฉลี่ย
• ค่าเฉลี่ยประชากร
• ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

• Bakker, Arthur (มีนาคม 2546). "ประวัติศาสตร์ช่วงต้นของค่าเฉลี่ยและนัยสำคัญต่อการศึกษา"วารสารการศึกษาสถิติ 11 ( 1). doi : 10.1080/10691898.2003.11910694 .
• Edgeworth, FY (1889) [อ่านเมื่อ 25 พฤษภาคม 1885]. "VII. การสังเกตและสถิติ บทความเกี่ยวกับทฤษฎีข้อผิดพลาดของการสังเกตและหลักการพื้นฐานของสถิติ" วารสารของสมาคมปรัชญาเคมบริดจ์ XIV ( II): 138– 169. Google Books TdIsAAAAYAAJ . บันทึกHathiTrust 000526741 , รายการmdp.39015008919659 ; บันทึก100324784 , รายการhvd.32044092879402 .
  • Edgeworth, FY (25 พฤษภาคม 1885). "(4) การสังเกตและสถิติ : บทคัดย่อ". การดำเนินการของสมาคมปรัชญาเคมบริดจ์ V ( IV): 310– 312. Google Books KdIsAAAAYAAJ , zpw1AAAAIAAJ . บันทึกHathiTrust 100528415 , รายการhvd.hwhqbe . Internet Archive proceedingscambr05camb , proceedingsofcam5188386camb , proceedingscamb09socigoog .
  • "คำแก้ไขเพิ่มเติมเกี่ยวกับบทความของนาย FY Edgeworth" Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . VI (II): 101– 102. 30 พฤษภาคม 1887. Google Books E501AAAAIAAJ . Internet Archive proceedingscamb12socigoog .
• เคนเนดี, คริสโตเฟอร์; สแตนลีย์, เจสัน (กรกฎาคม 2552). "โดยเฉลี่ย"" .มายด์ . 118 (471): 583– 646. doi : 10.1093/mind/ fzp094. eISSN 1460-2113 . ISSN 0026-4423  

• การคำนวณและการเปรียบเทียบระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของสองค่า