จำนวน ที่ประมาณค่าได้ไม่ดีคือจำนวนxที่มีค่าคงที่บวกc อยู่ ซึ่งสำหรับจำนวนตรรกยะp / q ทุกตัว เราจะได้ว่า

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

จำนวนที่ไม่สามารถประมาณค่าได้อย่างแม่นยำคือจำนวนที่มี^ผลหารย่อยที่จำกัด [ ^{6 ]}

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนใดๆ จะประมาณค่าได้ไม่ดีก็ต่อเมื่อค่าคงที่มาร์คอฟของจำนวนนั้นมีค่าจำกัด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่ายของจำนวนนั้นมีขอบเขตจำกัด

จำนวนตรรกยะ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$อาจประมาณได้อย่างชัดเจนและสมบูรณ์แบบโดย${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$สำหรับจำนวนเต็มบวกi ทุก ตัว

ถ้า${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$เรามี

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

เพราะ${\displaystyle |aq-bp|}$เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นจึงไม่ต่ำกว่า 1 ด้วยเหตุนี้ ความแม่นยำของการประมาณจึงไม่ดีเมื่อเทียบกับจำนวนอตรรกยะ (ดูในส่วนถัดไป)

อาจกล่าวได้ว่า การพิสูจน์ก่อนหน้านี้ใช้หลักการรังนกพิราบ แบบดัดแปลง กล่าว คือ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่ไม่ใช่ 0 จะไม่น้อยกว่า 1 ข้อสังเกตที่ดูเหมือนธรรมดานี้ถูกนำไปใช้ในการพิสูจน์ขอบล่างของการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์เกือบทุกกรณี แม้แต่การพิสูจน์ที่ซับซ้อนที่สุดก็ตาม

โดยสรุปแล้ว จำนวนตรรกยะสามารถประมาณค่าได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยตัวมันเอง แต่สามารถประมาณค่าได้ไม่ดีนักด้วยจำนวนตรรกยะอื่น ๆ

ในช่วงทศวรรษ 1840 โจเซฟ ลิอูวิลล์ได้กำหนดขอบเขตล่างแรกสำหรับการประมาณค่าจำนวนพีชคณิต โดยระบุ ว่า ถ้าxเป็นจำนวนพีชคณิตอตรรกยะดีกรีnบนจำนวนตรรกยะ แล้วจะมีค่าคงที่c ( x ) > 0 อยู่ค่าหนึ่ง ซึ่งทำให้

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

ใช้ได้กับจำนวนเต็มpและq ทุกตัว โดยที่q > 0

ผลลัพธ์นี้ทำให้เขาสามารถสร้างตัวอย่างแรกที่ได้รับการพิสูจน์แล้วของจำนวนอดิศัย ซึ่งก็คือค่าคงที่ของลิอูวิลล์

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

ซึ่งไม่สอดคล้องกับทฤษฎีบทของ Liouville ไม่ว่าจะเลือก ดีกรี n ใดก็ตาม

ความเชื่อมโยงระหว่างการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์และทฤษฎีจำนวนอดิศัยยังคงดำเนินมาจนถึงปัจจุบัน เทคนิคการพิสูจน์หลายอย่างใช้ร่วมกันระหว่างสองสาขานี้

ตลอดระยะเวลากว่าหนึ่งศตวรรษ มีความพยายามมากมายในการปรับปรุงทฤษฎีบทของ Liouville: การปรับปรุงขอบเขตแต่ละครั้งทำให้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีจำนวนอดิศัยมากขึ้น การปรับปรุงหลักๆ มาจากAxel Thue ( 1909 ) , Siegel ( 1921 ) , Freeman Dyson ( 1947 )และKlaus Roth ( 1955 )ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีบท Thue–Siegel–Roth ในที่สุด: ถ้าxเป็นจำนวนพีชคณิตอตรรกยะและε > 0แล้วจะมีจำนวนจริงบวกc ( x , ε ) อยู่จริง ซึ่งทำให้    

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

ใช้ได้กับจำนวนเต็มpและq ทุกตัว ที่q > 0

ในแง่หนึ่ง ผลลัพธ์นี้ถือว่าเหมาะสมที่สุด เนื่องจากทฤษฎีบทนี้จะไม่เป็นจริงหากε  =  0 นี่เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากขอบเขตบนที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ต่อมาWolfgang M. Schmidtได้ขยายแนวคิดนี้ไปยังกรณีของการประมาณค่าพร้อมกัน โดยพิสูจน์ว่า: ถ้าx , ..., x เป็นจำนวนพีชคณิตที่1, x , ..., x เป็นอิสระเชิงเส้นเหนือจำนวนตรรกยะ และεเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ แล้วจะมีคู่ลำดับn ตรรกยะ ( p / q , ..., p / q ) เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ที่ทำให้

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์นี้ถือว่าเหมาะสมที่สุดในแง่ที่ว่าเราไม่สามารถนำε ออก จากเลขชี้กำลังได้

ขอบเขตล่างที่กล่าวมาทั้งหมดไม่มีประสิทธิภาพในแง่ที่ว่าการพิสูจน์ไม่ได้ให้วิธีการใด ๆ ในการคำนวณค่าคงที่ที่แฝงอยู่ในข้อความเหล่านั้น ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถใช้ผลลัพธ์หรือการพิสูจน์เหล่านั้นเพื่อหาขอบเขตของขนาดคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ที่เกี่ยวข้องได้ อย่างไรก็ตาม เทคนิคและผลลัพธ์เหล่านี้มักสามารถใช้เพื่อหาขอบเขตของจำนวนคำตอบของสมการดังกล่าวได้

อย่างไรก็ตาม การปรับปรุงทฤษฎีบทของเบเกอร์โดยเฟลด์แมนให้ขอบเขตที่มีประสิทธิภาพ: ถ้าxเป็นจำนวนพีชคณิตดีกรีnบนจำนวนตรรกยะ แล้วจะมีค่าคงที่ที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพc ( x )  >  0 และ 0  < d ( x ) < nอยู่จริง ซึ่งทำให้   

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

ใช้ได้กับจำนวนเต็มตรรกยะทุกจำนวน

อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับทฤษฎีบทของเบเกอร์ทุกเวอร์ชันที่มีประสิทธิภาพ ค่าคงที่dและ 1/ cมีขนาดใหญ่มากจนผลลัพธ์ที่มีประสิทธิภาพนี้ไม่สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้

ผลลัพธ์สำคัญประการแรกเกี่ยวกับขอบเขตบนสำหรับการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์คือทฤษฎีบทการประมาณค่าของดิริชเลต์ซึ่งบ่งชี้ว่า สำหรับจำนวนอตรรกยะα ทุกจำนวน จะมีเศษส่วนจำนวนอนันต์${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$โดยที่

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

สิ่งนี้หมายความโดยทันทีว่าเราไม่สามารถละเว้นεในข้อความของทฤษฎีบท Thue-Siegel-Roth ได้

Adolf Hurwitz (1891) ^{[ 7 ]}ได้เสริมความแข็งแกร่งให้กับผลลัพธ์นี้ โดยพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนอตรรกยะα ทุกจำนวน จะมีเศษส่วนจำนวนอนันต์${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$โดยที่

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

ดังนั้น,${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$เป็นค่าขอบเขตบนสำหรับการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ของจำนวนอตรรกยะใดๆ ค่าคงที่ในผลลัพธ์นี้อาจไม่สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้อีกโดยไม่ตัดจำนวนอตรรกยะบางจำนวนออก (ดูด้านล่าง)

Émile Borel (1903) ^{[ 8 ]}แสดงให้เห็นว่าในความเป็นจริง เมื่อกำหนดจำนวนอตรรกยะα ใดๆ และเมื่อกำหนดค่าลู่เข้าสามค่าที่ต่อเนื่องกันของαอย่างน้อยหนึ่งค่าจะต้องสอดคล้องกับอสมการที่กำหนดในทฤษฎีบทของ Hurwitz

นิยาม : จำนวนจริงสองจำนวน${\displaystyle x,y}$เรียกว่าเทียบเท่า^{[ 9 ] [ 10 ]}ถ้ามีจำนวนเต็ม${\displaystyle a,b,c,d\;}$กับ${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$โดยที่:

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

ดังนั้น ความสมมูลจึงถูกกำหนดโดย การแปลงโมเบียสจำนวนเต็มบนจำนวนจริง หรือโดยสมาชิกของกลุ่มมอดูลาร์${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$เซตของเมทริกซ์ผกผันขนาด 2 × 2 บนจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนเทียบเท่ากับ 0 ดังนั้นจำนวนตรรกยะจึงเป็นชั้นสมมูลสำหรับความสัมพันธ์นี้

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถอ่านได้จากการแสดงเศษส่วนต่อเนื่องแบบปกติ ดังแสดงโดยทฤษฎีบทของเซร์เร็ต ดังต่อไปนี้ :

ทฤษฎีบท : จำนวนอตรรกยะสองจำนวนxและyสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็มบวกสองจำนวนhและkที่ทำให้ การแสดง เศษส่วนต่อเนื่อง ปกติ ของxและy เป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าว

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}}$

ทำให้พึงพอใจ

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทุก^ตัว i [ ^{11 ]}

ดังนั้น ยกเว้นลำดับเริ่มต้นที่มีจำนวนจำกัด ตัวเลขที่เทียบเท่ากันจะมีรูปแบบเศษส่วนต่อเนื่องเหมือนกัน

จำนวนที่เท่ากันสามารถประมาณค่าได้ในระดับเดียวกัน ในแง่ที่ว่าพวกมันมีค่าคงที่ของมาร์คอฟเท่า กัน

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ค่าคงที่ในทฤษฎีบทของโบเรลอาจไม่สามารถปรับปรุงได้ ดังที่อดอล์ฟ ฮูร์วิตซ์ แสดงให้เห็น ในปี พ.ศ. 2434 ^{[ 12 ]} ให้${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ให้ เป็นอัตราส่วนทองคำแล้วสำหรับค่าคงที่จริงใดๆcที่มี${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$มีจำนวนตรรกยะp / q เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ที่ทำให้

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

ดังนั้น การปรับปรุงจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อตัวเลขที่เทียบเท่ากับ${\displaystyle \phi }$ถูกยกเว้น กล่าวโดยละเอียด: ^{[ 13 ] [ 14 ]} สำหรับจำนวนอตรรกยะทุกจำนวน${\displaystyle \alpha }$ซึ่งไม่เท่ากับ${\displaystyle \phi }$มีเศษส่วนจำนวนอนันต์${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$โดยที่

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

โดยการยกเว้นทีละขั้นตอน — ต่อไปต้องยกเว้นตัวเลขที่เทียบเท่ากับ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$— ยิ่งมีคลาสของความเท่าเทียมกันมากขึ้นเท่าไร ขอบล่างก็ยิ่งขยายออกไปได้อีกเท่านั้น ค่าที่อาจสร้างขึ้นในลักษณะนี้คือจำนวนลากรางจ์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสเปกตรัมลากรางจ์พวกมันลู่เข้าสู่จำนวน 3 และเกี่ยวข้องกับจำนวนมาร์คอฟ^{[ 15 ] [ 16 ]}

ตัวอย่างที่สำคัญของฟังก์ชัน${\displaystyle \psi }$ฟังก์ชันที่สามารถนำทฤษฎีบทของคินชินมาประยุกต์ใช้ได้คือฟังก์ชัน${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$โดยที่c  >  1 เป็นจำนวนจริง สำหรับฟังก์ชันนี้ อนุกรมที่เกี่ยวข้องจะลู่เข้า ดังนั้นทฤษฎีบทของ Khinchin จึงบอกเราว่าเกือบทุกจุดไม่ใช่${\displaystyle \psi _{c}}$-ประมาณค่าได้ ดังนั้น เซตของตัวเลขซึ่งเป็น${\displaystyle \psi _{c}}$-approximable เป็นเซตย่อยของเส้นจำนวนจริงที่มีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ ทฤษฎีบท Jarník-Besicovitch ซึ่งคิดค้นโดยV. JarníkและAS Besicovitchกล่าวว่ามิติเฮาส์ดอร์ฟของเซตนี้เท่ากับ${\displaystyle 1/c}$[ ^{19 ] โดยเฉพาะ อย่าง}ยิ่ง เซตของตัวเลขซึ่งเป็น${\displaystyle \psi _{c}}$-ประมาณค่าได้สำหรับบางกรณี${\displaystyle c>1}$(ซึ่งรู้จักกันในชื่อเซตของจำนวนที่ประมาณค่าได้ดีมาก ) มีมิติเฮาส์ดอร์ฟเท่ากับหนึ่ง ในขณะที่เซตของจำนวนซึ่งเป็น${\displaystyle \psi _{c}}$-ประมาณค่าได้สำหรับทุกคน${\displaystyle c>1}$(ซึ่งรู้จักกันในชื่อเซตของจำนวน Liouville ) มีมิติ Hausdorff เป็นศูนย์

อีกตัวอย่างที่สำคัญคือฟังก์ชัน${\displaystyle \psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}}$, ที่ไหน${\displaystyle \varepsilon >0}$เป็นจำนวนจริง สำหรับฟังก์ชันนี้ อนุกรมที่เกี่ยวข้องจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ ดังนั้นทฤษฎีบทของคินชินจึงบอกเราว่าเกือบทุกจำนวนเป็น${\displaystyle \psi _{\varepsilon }}$-ประมาณค่าได้ นี่ก็เหมือนกับการกล่าวว่าทุกจำนวนดังกล่าวสามารถประมาณค่าได้ดีโดยที่จำนวนนั้นเรียกว่าประมาณค่าได้ดีหากไม่ใช่จำนวนที่ประมาณค่าได้ไม่ดี ดังนั้น สิ่งที่เทียบเคียงได้กับทฤษฎีบท Jarník-Besicovitch ที่เหมาะสมควรเกี่ยวข้องกับมิติ Hausdorff ของเซตของจำนวนที่ประมาณค่าได้ไม่ดี และในความเป็นจริง V. Jarník ได้พิสูจน์แล้วว่ามิติ Hausdorff ของเซตนี้เท่ากับหนึ่ง ผลลัพธ์นี้ได้รับการปรับปรุงโดยWM Schmidtซึ่งแสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนที่ประมาณค่าได้ไม่ดีนั้นไม่สามารถบีบอัดได้หมายความว่าถ้า${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$เป็นลำดับของ แผนที่ ไบลิปชิตซ์จากนั้นเซตของตัวเลขxซึ่ง${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$ทั้งหมดนั้นประมาณค่าได้ไม่ดีนักและมีมิติเฮาส์ดอร์ฟเท่ากับหนึ่ง ชไมด์ยังได้ขยายทฤษฎีบทของจาร์นิกไปสู่มิติที่สูงขึ้น ซึ่งเป็นความสำเร็จที่สำคัญ เพราะข้อโต้แย้งของจาร์นิกนั้นโดยพื้นฐานแล้วเป็นแบบมิติเดียว ขึ้นอยู่กับกลไกของเศษส่วนต่อเนื่อง