ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีเมทริกซ์ เมทริกซ์แถบหรือเมทริกซ์แบบแถบคือเมทริกซ์เบาบางที่มีค่าที่ไม่เป็นศูนย์จำกัดอยู่บนแถบแนว ทแยงมุม ซึ่งประกอบด้วยแนวทแยงมุมหลักและแนวทแยงมุมด้านข้างอีกศูนย์หรือมากกว่าหนึ่งเส้น

ในเชิงรูปธรรม ให้พิจารณาเมทริกซ์n × n A =( a _i,j ) ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นศูนย์นอกแถบที่มีเส้นทแยงมุมล้อมรอบ ซึ่งช่วงของแถบนั้นถูกกำหนดโดยค่าคงที่k ₁และk ₂ :

${\displaystyle a_{i,j}=0\quad {\mbox{ถ้า}}\quad j<i-k_{1}\quad {\mbox{ หรือ }}\quad j>i+k_{2};\quad k_{1},k_{2}\geq 0.\,}$

ดังนั้นปริมาณk ₁และk ₂จึงเรียกว่าแบนด์วิดท์ต่ำกว่าและแบนด์วิด ท์บนตามลำดับ ^{[ 1 ]}แบนด์วิดท์ของเมทริกซ์คือค่าสูงสุดของk₁และk₂กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็นจำนวน ^kเช่นนั้นถ้า[ ^{2 ]}${\displaystyle a_{i,j}=0}$${\displaystyle |ij|>k}$

• เมทริกซ์แถบที่มีk ₁ = k ₂ = 0 คือเมทริกซ์แนวทแยงที่มีแบนด์วิดท์เป็น 0
• เมทริกซ์แถบที่มีk ₁ = k ₂ = 1 คือเมทริกซ์สามแถวที่มีแบนด์วิดท์เท่ากับ 1
• สำหรับk ₁ = k ₂ = 2 จะได้เมทริกซ์ห้าแนวทแยงมุม และอื่นๆ
• เมทริกซ์สามเหลี่ยม
  • สำหรับk ₁ = 0, k ₂ = n −1 จะได้นิยามของเมทริกซ์สามเหลี่ยม บน
  • ในทำนองเดียวกัน สำหรับk ₁ = n −1, k ₂ = 0 จะได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง
• เมทริกซ์เฮสเซนเบิร์กบนและล่าง
• เมทริกซ์ Toeplitzเมื่อแบนด์วิดท์มีจำกัด
• เมทริกซ์บล็อกแนวทแยง
• เมทริกซ์การเลื่อนและเมทริกซ์การเฉือน
• เมทริกซ์ในรูปแบบปกติของจอร์แดน
• เมทริกซ์เส้นขอบฟ้าหรือเรียกอีกอย่างว่า "เมทริกซ์แถบตัวแปร" – เป็นการขยายความของเมทริกซ์แถบ
• เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์เลห์เมอร์เป็นเมทริกซ์สามแถวคงที่ และดังนั้นจึงเป็นเมทริกซ์แถบ

ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเมทริกซ์จาก ปัญหา ไฟไนต์เอเลเมนต์หรือไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์มักจะเป็นเมทริกซ์แบบแถบ เมทริกซ์ดังกล่าวสามารถมองได้ว่าเป็นคำอธิบายของการเชื่อมโยงระหว่างตัวแปรของปัญหา คุณสมบัติแบบแถบสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าตัวแปรไม่ได้เชื่อมโยงกันในระยะทางที่ไกลมาก ๆ เมทริกซ์ดังกล่าวสามารถแบ่งย่อยได้อีก เช่น เมทริกซ์แบบแถบจะมีอยู่ซึ่งทุกองค์ประกอบในแถบนั้นมีค่าไม่เป็นศูนย์

ปัญหาในมิติที่สูงขึ้นยังนำไปสู่เมทริกซ์แบบแถบ ซึ่งในกรณีนี้แถบนั้นเองก็มีแนวโน้มที่จะเบาบางด้วย ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบนโดเมนสี่เหลี่ยมจัตุรัส (โดยใช้ความแตกต่างแบบศูนย์กลาง) จะให้เมทริกซ์ที่มีแบนด์วิดท์เท่ากับรากที่สองของมิติของเมทริกซ์ แต่ภายในแถบจะมีเพียง 5 เส้นทแยงมุมเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ น่าเสียดายที่การใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียน (หรือเทียบเท่ากับการแยกตัวประกอบ LU ) กับเมทริกซ์ดังกล่าวจะทำให้แถบนั้นเต็มไปด้วยองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนมาก

โดยปกติเมทริกซ์แถบจะถูกจัดเก็บโดยการจัดเก็บค่าในแนวทแยงมุมของแถบ ส่วนที่เหลือจะมีค่าเป็นศูนย์โดยปริยาย

ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์สามแถวมีแบนด์วิดท์เท่ากับ 1 เมทริกซ์ขนาด 6x6

${\displaystyle {\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&0&\cdots &\cdots &0\\B_{21}&B_{22}&B_{23}&\ddots &\ddots &\vdots \\0&B_{32}&B_{33}&B_{34}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &B_{43}&B_{44}&B_{45}&0\\\vdots &\ddots &\ddots &B_{54}&B_{55}&B_{56}\\0&\cdots &\cdots &0&B_{65}&B_{66}\end{bmatrix}}}$

ถูกจัดเก็บในรูปแบบเมทริกซ์ 6x3

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}&B_{23}\\B_{32}&B_{33}&B_{34}\\B_{43}&B_{44}&B_{45}\\B_{54}&B_{55}&B_{56}\\B_{65}&B_{66}&0\end{bmatrix}}.}$

สามารถประหยัดพื้นที่ได้มากขึ้นเมื่อเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์สมมาตร ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์สมมาตรขนาด 6x6 ที่มีแบนด์วิดท์บนเท่ากับ 2:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&0&\cdots &0\\&A_{22}&A_{23}&A_{24}&\ddots &\vdots \\&&A_{33}&A_{34}&A_{35}&0\\&&&A_{44}&A_{45}&A_{46}\\&sym&&&A_{55}&A_{56}\\&&&&&A_{66}\end{bmatrix}}.}$

เมทริกซ์นี้ถูกจัดเก็บในรูปแบบเมทริกซ์ 6x3:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}&A_{24}\\A_{33}&A_{34}&A_{35}\\A_{44}&A_{45}&A_{46}\\A_{55}&A_{56}&0\\A_{66}&0&0\end{bmatrix}}.}$

จากมุมมองด้านการคำนวณ การทำงานกับเมทริกซ์แถบนั้นดีกว่าการทำงานกับเมทริกซ์จัตุรัส ที่มีมิติใกล้เคียงกันเสมอ เมทริกซ์แถบมีความซับซ้อนเทียบเท่ากับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีมิติของแถวเท่ากับแบนด์วิดท์ของเมทริกซ์แถบ ดังนั้นปริมาณงานที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการต่างๆ เช่น การคูณ จึงลดลงอย่างมาก ซึ่งมักนำไปสู่การประหยัดเวลาและ ความซับซ้อนในการคำนวณอย่างมหาศาล

เนื่องจากเมทริกซ์แบบเบาบางช่วยให้การคำนวณมีประสิทธิภาพมากกว่าเมทริกซ์แบบหนาแน่น รวมถึงการใช้พื้นที่จัดเก็บข้อมูลคอมพิวเตอร์อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น จึงมีการวิจัยมากมายที่มุ่งเน้นการหาแนวทางในการลดแบนด์วิดท์ (หรือลดการเติมข้อมูลโดยตรง) โดยการใช้การเรียงสับเปลี่ยนกับเมทริกซ์ หรือการแปลงความเท่าเทียมกันหรือความคล้ายคลึงกันอื่นๆ^{[ 3 ]}

อัลกอริทึม Cuthill–McKeeสามารถใช้ลดแบนด์วิดท์ของเมทริกซ์สมมาตร แบบเบาบาง ได้ อย่างไรก็ตาม มีเมทริกซ์บางประเภทที่อัลกอริทึม Cuthill–McKee แบบย้อนกลับทำงานได้ดีกว่า นอกจากนี้ยังมีวิธีการอื่นๆ อีกมากมายที่ใช้กันอยู่

ปัญหาของการค้นหาการแสดงแทนของเมทริกซ์ที่มีแบนด์วิดท์น้อยที่สุดโดยใช้การเรียงสับเปลี่ยนแถวและคอลัมน์เป็นปัญหาNP- hard ^{[ 4 ]}

• เมทริกซ์แนวทแยง
• แบนด์วิดท์กราฟ
• เมทริกซ์สุ่ม

• ข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับ LAPACK และเมทริกซ์แบนด์
• คู่มือเกี่ยวกับเมทริกซ์แบบแถบและรูปแบบเมทริกซ์แบบเบาบางอื่นๆ