ในทางเรขาคณิตระบบพิกัดแบบแบรีเซนทริกคือระบบพิกัดที่ระบุตำแหน่งของจุดโดยอ้างอิงจากซิมเพล็กซ์ ( สามเหลี่ยมสำหรับจุดในระนาบทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสำหรับจุดในปริภูมิสามมิติเป็นต้น) พิกัดแบรีเซนทริกของจุดสามารถตีความได้ว่าเป็นมวลที่วางอยู่ที่จุดยอดของซิมเพล็กซ์ โดยที่จุดนั้นเป็นศูนย์กลางมวล (หรือแบรีเซ็นเตอร์ ) ของมวลเหล่านี้ มวลเหล่านี้อาจเป็นศูนย์หรือลบได้ โดยจะมีค่าเป็นบวกก็ต่อเมื่อจุดนั้นอยู่ภายในซิมเพล็กซ์อย่างแท้จริง

ทุกจุดมีพิกัดแบรีเซนทริก และผลรวมของพิกัดเหล่านั้นจะไม่เป็นศูนย์ พิกัดแบรีเซนทริกสองชุดจะระบุจุดเดียวกันได้ก็ต่อเมื่อพิกัดทั้งสองชุดเป็นสัดส่วนกัน กล่าวคือ พิกัดชุดหนึ่งสามารถหาได้จากการคูณองค์ประกอบของพิกัดอีกชุดหนึ่งด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน ดังนั้น พิกัดแบรีเซนทริกจึงถือว่าถูกกำหนดไว้แล้วโดยขึ้นอยู่กับการคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ หรือถูกทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ผลรวมเท่ากับหนึ่ง

พิกัดแบรีเซนทริกได้รับการแนะนำโดยออกัสต์ โมเบียสในปี พ.ศ. 2360 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} พิกัดเหล่านี้เป็น พิกัดเอกพันธุ์พิเศษพิกัดแบรีเซนทริกมีความสัมพันธ์อย่างมากกับพิกัดคาร์ทีเซียนและโดยทั่วไปแล้วกับพิกัดแอฟฟิน ( )

พิกัดแบรีเซนทริกมีประโยชน์อย่างยิ่งในเรขาคณิตสามเหลี่ยมสำหรับการศึกษาคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นอยู่กับมุมของสามเหลี่ยม เช่นทฤษฎีบทของ Cevaทฤษฎีบทของ Routhและทฤษฎีบทของ Menelausในการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย พิกัด เหล่านี้มีประโยชน์สำหรับการกำหนดพื้น ผิวBézierบางประเภท^{[ 4 ] [ 5 ]}

ให้n + 1จุดในปริภูมิยุคลิดปริภูมิราบหรือปริภูมิ แอฟ ฟินที่มีมิติnซึ่งเป็นอิสระเชิงแอฟ ฟิน ซึ่งหมายความว่าไม่มีปริภูมิย่อยแอฟฟินที่มีมิติn − 1ที่มีจุดทั้งหมด^{[ 6 ]}หรือเทียบเท่ากับจุดที่กำหนดซิมเพล็กซ์เมื่อกำหนดจุดใด ๆจะมีสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด เช่น สำหรับจุดO ใด ๆ (ตามปกติ สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์การแปลหรือเวกเตอร์อิสระที่แมปจุดAไปยังจุดB ) ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle P\in \mathbf {A} ,}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$$${\displaystyle (a_{0}+\cdots +a_{n}){\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}},}$$${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}}$

องค์ประกอบของทูเปิล( n + 1)ที่สอดคล้องกับสมการนี้เรียกว่าพิกัดแบรีเซนทริกของPเทียบกับการใช้เครื่องหมายโคลอนในสัญลักษณ์ของทูเปิลหมายความว่าพิกัดแบรีเซนทริกเป็นพิกัดเอกพันธุ์ ชนิด หนึ่ง กล่าวคือ จุดจะไม่เปลี่ยนแปลงหากพิกัดทั้งหมดถูกคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น พิกัดแบรีเซนทริกจะไม่เปลี่ยนแปลงหากจุดช่วยOซึ่งเป็นจุดกำเนิดเปลี่ยนไป ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}.}$

พิกัดแบรีเซนทริกของจุดหนึ่งๆ จะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวยกเว้น การปรับขนาดนั่นคือ คู่ลำดับและเป็นพิกัดแบรีเซนทริกของจุดเดียวกันก็ต่อเมื่อมีค่าสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ ที่ทำให้สำหรับทุกi${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$${\displaystyle (b_{0}:\dotsc :b_{n})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}}$

ในบางบริบท การจำกัดพิกัดแบรีเซนทริกของจุดให้เป็นเอกลักษณ์นั้นมีประโยชน์ โดยปกติจะทำได้โดยการกำหนดเงื่อนไข หรือเทียบเท่าโดยการหารทุกค่าด้วยผลรวมของทุกค่าพิกัดแบรีเซนทริกเฉพาะเหล่านี้เรียกว่า พิกัดแบรีเซนทริก แบบนอร์มาไลซ์หรือแบบสัมบูรณ์^{[ 7 ]}บางครั้งก็เรียกว่าพิกัดแอฟฟินแม้ว่าคำนี้โดยทั่วไปจะหมายถึงแนวคิดที่แตกต่างกันเล็กน้อย $${\displaystyle \sum a_{i}=1,}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{i}.}$

บางครั้ง พิกัดแบรีเซนทริกแบบนอร์มาไลซ์ก็ถูกเรียกว่าพิกัดแบรีเซนทริกในกรณีนี้ พิกัดที่กำหนดไว้ข้างต้นเรียกว่าพิกัดแบรีเซนทริกแบบเอกพันธุ์

จากสัญลักษณ์ข้างต้น พิกัดแบรีเซนทริกเอกพันธุ์ของA _iจะเป็นศูนย์ทั้งหมด ยกเว้นพิกัดที่มีดัชนีiเมื่อทำงานกับจำนวนจริง (นิยามข้างต้นยังใช้กับปริภูมิเชิงเส้นบนฟิลด์ ใดๆ ด้วย ) จุดที่มีพิกัดแบรีเซนทริกปกติทั้งหมดเป็นค่าไม่เป็นลบ จะประกอบกันเป็นเปลือกนูนของ ปริภูมิ นั้น ซึ่ง ซิ มเพล็กซ์ที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดก็คือเปลือกนูนนั้นเอง ${\displaystyle \{A_{0},\ldots ,A_{n}\},}$

จากสัญลักษณ์ข้างต้น ทูเปิลดังกล่าว ไม่ได้กำหนดจุดใดๆ แต่เวกเตอร์นั้น เป็นอิสระจากจุดกำเนิดOเนื่องจากทิศทางของเวกเตอร์นี้ไม่เปลี่ยนแปลงหากคูณด้วยสเกลาร์เดียวกันทั้งหมด ทูเปิลเอกพันธุ์จึงกำหนดทิศทางของเส้นตรง นั่นคือจุดที่อนันต์ดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}=0}$$$${\displaystyle a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}}}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$

พิกัดแบรีเซนทริกมีความสัมพันธ์อย่างมากกับพิกัดคาร์ทีเซียนและโดยทั่วไปแล้วกับพิกัดแอฟฟินสำหรับปริภูมิที่มีมิติnระบบพิกัดเหล่านี้ถูกกำหนดโดยสัมพันธ์กับจุดOซึ่ง เป็น จุดกำเนิดที่มีพิกัดเป็นศูนย์ และจุดn จุด ที่มีพิกัดเป็นศูนย์ ยกเว้นจุดที่มีดัชนีiเท่ากับหนึ่ง ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$

จุดจะมีพิกัด สำหรับระบบพิกัดดังกล่าวได้ก็ต่อเมื่อพิกัดแบรีเซนทริกแบบนอร์มาไลซ์ของจุดนั้นมี ความสัมพันธ์กับจุดอื่นๆ$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$$${\displaystyle (1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle O,A_{1},\ldots ,A_{n}.}$

ข้อดีหลักของระบบพิกัดแบบแบรีเซนทริกคือมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดกำหนดn + 1 จุด ดังนั้นจึงมักมีประโยชน์สำหรับการศึกษาคุณสมบัติที่มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุด n + 1จุด ในทางกลับกัน ระยะทางและมุมนั้นยากที่จะแสดงในระบบพิกัดแบบแบรีเซนทริกทั่วไป และเมื่อเกี่ยวข้องกับสิ่งเหล่านี้ โดยทั่วไปแล้วการใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะง่ายกว่า

พิกัดแบรีเซนทริกเอกพันธุ์มีความสัมพันธ์อย่างแน่นแฟ้นกับพิกัดเชิงโปรเจคทีฟ บางประเภท อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์นี้มีความซับซ้อนกว่าในกรณีของพิกัดแอฟฟิน และเพื่อให้เข้าใจได้อย่างชัดเจน จำเป็นต้องมีการนิยาม การเติมเต็มเชิงโปรเจคทีฟของปริภูมิแอ ฟฟิน โดยไม่ขึ้นกับพิกัดและการนิยามกรอบเชิงโปรเจคทีฟด้วย

การเติมเต็มเชิงโปรเจกทีฟของปริภูมิแอฟฟินมิติnคือปริภูมิโปรเจกทีฟที่มีมิติเดียวกันซึ่งมีปริภูมิแอฟฟินเป็นส่วนเติม เต็ม ของ ไฮ เปอร์เพลน การเติมเต็มเชิงโปรเจกทีฟมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม ไฮเปอร์เพลนนี้เรียกว่าไฮเปอร์เพลนที่อนันต์และจุดของไฮเปอร์เพลนนี้คือจุดที่อนันต์ของปริภูมิแอฟฟิน^{[ 8 ]}

เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงฉายที่มีมิติnแล้วเฟรมเชิงฉายจะเป็นเซตเรียงลำดับของ จุด n + 2จุดที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เฟรมเชิงฉายจะกำหนดระบบพิกัดเชิงฉายโดยที่พิกัดของ จุดที่ ( n + 2)ของเฟรมจะมีค่าเท่ากันทั้งหมด และในทางกลับกัน พิกัดทั้งหมดของ จุดที่ iจะเป็นศูนย์ ยกเว้น จุดที่ iเอง^{[ 8 ]}

ในการสร้างการเติมเต็มเชิงโปรเจคทีฟจากระบบพิกัดเชิงเส้นตรง มักจะกำหนดโดยสัมพันธ์กับกรอบโปรเจคทีฟที่ประกอบด้วยจุดตัดกับระนาบอนันต์ของแกนพิกัด จุดกำเนิดของปริภูมิเชิงเส้นตรง และจุดที่มีพิกัดเชิงเส้นตรงทั้งหมดเท่ากับหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าจุดที่อนันต์จะมีพิกัดสุดท้ายเท่ากับศูนย์ และพิกัดเชิงโปรเจคทีฟของจุดในปริภูมิเชิงเส้นตรงได้มาจากการเติมเต็มพิกัดเชิงเส้นตรงด้วยพิกัด ที่ ( n + 1) หนึ่ง

เมื่อมี จุด n + 1จุดในปริภูมิเชิงเส้นตรงที่กำหนดระบบพิกัดแบบแบรีเซนทริก นี่คือกรอบโปรเจคทีฟอีกกรอบหนึ่งของการเติมเต็มเชิงโปรเจคทีฟที่สะดวกในการเลือก กรอบนี้ประกอบด้วยจุดเหล่านี้และจุดศูนย์กลางมวล ของพวกมัน นั่นคือจุดที่มีพิกัดแบรีเซนทริกทั้งหมดเท่ากัน ในกรณีนี้ พิกัดแบรีเซนทริกเอกพันธุ์ของจุดในปริภูมิเชิงเส้นตรงจะเหมือนกับพิกัดเชิงโปรเจคทีฟของจุดนั้น จุดจะอยู่ที่อนันต์ก็ต่อเมื่อผลรวมของพิกัดของจุดนั้นเป็นศูนย์ จุดนี้อยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ที่กำหนดไว้ในตอนท้ายของหัวข้อ §นิยาม

ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมพิกัดแบรีเซนทริกยังเรียกอีกอย่างว่าพิกัดพื้นที่หรือพิกัดเชิงพื้นที่เนื่องจากพิกัดของจุดPเทียบกับรูปสามเหลี่ยมABCนั้นเทียบเท่ากับอัตราส่วน (มีเครื่องหมาย) ของพื้นที่ของPBC , PCAและPABต่อพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมอ้างอิงABC พิกัด เชิงพื้นที่และพิกัดสามมิติถูกนำมาใช้เพื่อวัตถุประสงค์ที่คล้ายคลึงกันในเรขาคณิต

พิกัดแบบแบรีเซนทริกหรือพิกัดพื้นที่นั้นมีประโยชน์อย่างยิ่งในงานวิศวกรรมที่เกี่ยวข้องกับโดเมนย่อยรูปสามเหลี่ยมพิกัดเหล่านี้ทำให้ การคำนวณ อินทิก รัลเชิง วิเคราะห์ง่ายขึ้น และ ตาราง การหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียนมักแสดงในรูปของพิกัดพื้นที่

พิจารณาสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด, , อยู่ในระนาบ x,y เราอาจมองจุดในสามเหลี่ยมนี้เป็นเวกเตอร์ ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะบวกหรือลบจุดเหล่านั้น และคูณด้วยสเกลาร์ ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle A=(a_{1},a_{2})}$${\displaystyle B=(b_{1},b_{2})}$${\displaystyle C=(c_{1},c_{2})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

แต่ละสามเหลี่ยมจะมีพื้นที่ที่ระบุด้วยเครื่องหมายหรือsareaซึ่งเป็นค่าบวกหรือลบของพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้น: ${\displaystyle ABC}$

${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABC)=\pm \operatorname {area} (ABC).}$

เครื่องหมายจะเป็นบวกหากเส้นทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งแล้ววนกลับมายังจุดเดิมนั้น วนรอบสามเหลี่ยมในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา เครื่องหมายจะเป็นลบหากเส้นทางวนรอบในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$

ให้เป็นจุดในระนาบ และให้เป็นพิกัดแบรีเซนทริกมาตรฐาน ของจุดนั้น เทียบกับสามเหลี่ยมดังนั้น ${\displaystyle P}$${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$${\displaystyle ABC}$

${\displaystyle P=\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C}$

และ

${\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}.}$

พิกัดแบรีเซนทริกแบบนอร์ มาไลซ์ เรียกอีกอย่างว่าพิกัดเชิงพื้นที่เนื่องจากแสดงถึงอัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีเครื่องหมาย: ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{2}&=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{3}&=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC).\end{aligned}}}$

เราสามารถพิสูจน์สูตรอัตราส่วนเหล่านี้ได้โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่ารูปสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นคำนวณได้ง่ายโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้

${\displaystyle D=-A+B+C.}$

${\displaystyle ABCD}$เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะด้านตรงข้ามแต่ละคู่ ซึ่งแทนด้วยเวกเตอร์การกระจัดคู่, และนั้นขนานกันและเท่ากันทุกประการ ${\displaystyle D-C=B-A}$${\displaystyle D-B=C-A}$

รูปสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานดังนั้นพื้นที่สองเท่าของรูปสามเหลี่ยมจึงเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งกำหนดโดยดีเทอร์มิแนนต์ที่มีคอลัมน์เป็นเวกเตอร์การกระจัดและ: ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle ABDC}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \det(B-A,C-A)}$${\displaystyle B-A}$${\displaystyle C-A}$

$${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABCD)=\det {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}&c_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}&c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}}$$

เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้คุณสมบัติการสลับและการเป็นเชิงเส้นหลายตัวจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B-A,C-A)&=\det(B,C)-\det(A,C)-\det(B,A)+\det(A,A)\\&=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A)\end{aligned}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (ABC)=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A).}$

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (PBC)=\det(P,B)+\det(B,C)+\det(C,P)}$, 

เพื่อให้ได้อัตราส่วนของพื้นที่ที่มีเครื่องหมายเหล่านี้ ให้แสดงในสูตรที่สองในรูปของพิกัดศูนย์กลางมวล: ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\det(\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C,B)+\det(B,C)+\det(C,\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{3}\det(C,B)+\det(B,C)+\lambda _{1}\det(C,A)+\lambda _{2}\det(C,B)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{1}\det(C,A)+(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})\det(B,C)\end{aligned}}.}$

พิกัดแบรีเซนทริกได้รับการทำให้เป็นมาตรฐาน ดังนั้นจึง ได้ แทนค่านี้ลงในบรรทัดก่อนหน้าเพื่อหา ${\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{1}=(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\lambda _{1}(\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A))\\&=(\lambda _{1})(2\operatorname {sarea} (ABC)).\end{aligned}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle \lambda _{1}=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)}$. 

การคำนวณในลักษณะเดียวกันนี้พิสูจน์สูตรอีกสองสูตรได้

${\displaystyle \lambda _{2}=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)}$${\displaystyle \lambda _{3}=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC)}$. 

พิกัดสามมิติ ของคือระยะทางที่มีเครื่องหมายจากไปยังเส้นตรง BC, AC และ AB ตามลำดับ เครื่องหมายของจะเป็นบวกถ้าและอยู่ด้านเดียวกันของ BC และเป็นลบถ้าเป็นอย่างอื่น เครื่องหมายของและจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ให้ ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{3}}$

${\displaystyle a=\operatorname {length} (BC)}$, , . ${\displaystyle b=\operatorname {length} (CA)}$${\displaystyle c=\operatorname {length} (AB)}$

แล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}a&=\pm 2\operatorname {sarea} (PBC)\\\gamma _{2}b&=\pm 2\operatorname {sarea} (APC)\\\gamma _{3}c&=\pm 2\operatorname {sarea} (ABP)\end{aligned}}}$

โดยที่ sarea หมายถึงพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย ดังที่กล่าวมาข้างต้น เครื่องหมายทั้งสามจะเป็นบวกหากสามเหลี่ยม ABC มีทิศทางเป็นบวก และเป็นลบในกรณีอื่น ๆ ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดสามมิติและพิกัดศูนย์กลางมวลได้มาจากการแทนสูตรเหล่านี้ลงในสูตรข้างต้นที่แสดงพิกัดศูนย์กลางมวลในรูปของอัตราส่วนของพื้นที่

การสลับไปมาระหว่างพิกัดแบบแบรีเซนทริกและระบบพิกัดอื่นๆ ทำให้การแก้ปัญหาบางอย่างง่ายขึ้นมาก

เมื่อกำหนดจุดในระนาบของสามเหลี่ยม เราสามารถหาพิกัดแบรีเซนทริกได้จากพิกัดคาร์ทีเซียนหรือในทางกลับกัน ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle (x,y)}$

เราสามารถเขียนพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดในรูปของส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของจุดยอดของสามเหลี่ยม, , โดยที่และ ในรูปของพิกัดแบรีเซนทริกของเป็น ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\end{aligned}}}$$

กล่าวคือ พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดใดๆ จะเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอดของสามเหลี่ยม โดยน้ำหนักคือพิกัดแบรีเซนทริกของจุดนั้น ซึ่งรวมกันแล้วได้เท่ากับหนึ่ง

ในการหาการแปลงย้อนกลับจากพิกัดคาร์ทีเซียนไปเป็นพิกัดแบรีเซนทริก เราต้องแทนค่าลงในสมการข้างต้นก่อนเพื่อให้ได้ ${\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\end{aligned}}}$$

เมื่อจัดเรียงใหม่แล้ว นี่คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x&=0\\[2pt]\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-\,y_{3})+y_{3}-\,y&=0\end{aligned}}}$$

การแปลงเชิงเส้นนี้สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}}$$

โดยที่เป็นเวกเตอร์ของพิกัดแบรีเซนทริกสองพิกัดแรกเป็นเวกเตอร์ของพิกัดคาร์ทีเซียนและเป็นเมทริกซ์ที่กำหนดโดย ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{matrix}}\right)}$$

ตอนนี้เมทริกซ์สามารถผกผันได้เนื่องจากและเป็นอิสระเชิงเส้น (ถ้าไม่เป็นเช่นนั้น, , และจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจะไม่เกิดเป็นรูปสามเหลี่ยม) ดังนั้น เราสามารถจัดเรียงสมการข้างต้นใหม่เพื่อให้ได้ ${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})}$$

ดังนั้น การหาพิกัดแบรีเซนทริกจึงลดลงเหลือเพียงการหาเมทริกซ์ผกผันขนาด 2×2ของ ซึ่งเป็นปัญหาที่ง่าย ${\displaystyle \mathbf {T} }$

กล่าวโดยละเอียด สูตรสำหรับพิกัดแบรีเซนทริกของจุดในรูปพิกัดคาร์ทีเซียน ( x, y ) และในรูปพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอดของสามเหลี่ยมมีดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\ {\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{2}=&\ {\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{3}=&\ 1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\\[4pt]&=1-{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\end{aligned}}}$$เมื่อทำความเข้าใจบรรทัดสุดท้ายของสมการ โปรดสังเกตเอกลักษณ์นั้น ${\displaystyle (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )=(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}$

อีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาการแปลงจากพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นพิกัดแบรีเซนทริก คือการเขียนความสัมพันธ์ในรูปแบบเมทริก ซ์ ด้วยและเช่นเพื่อให้ได้คำตอบที่เป็นมาตรฐานที่ไม่ซ้ำกัน เราจำเป็นต้องเพิ่มเงื่อนไขพิกัดแบรีเซนทริกจึงเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นซึ่งคือโดยที่คือสองเท่าของพื้นที่ที่มีเครื่องหมายของสามเหลี่ยม การตีความพื้นที่ของพิกัดแบรีเซนทริกสามารถกู้คืนได้โดยการใช้กฎของเครเมอร์กับระบบสมการเชิงเส้นนี้ $${\displaystyle \mathbf {R} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\,\mathbf {r} _{1}\,|\,\mathbf {r} _{2}\,|\,\mathbf {r} _{3}\right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top },}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$$${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2A}}{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}&y_{2}-y_{3}&x_{3}-x_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}&y_{3}-y_{1}&x_{1}-x_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}&y_{1}-y_{2}&x_{2}-x_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle 2A=\det(1|R)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}$$

จุดที่มีพิกัดสามเหลี่ยมx  : y  : zจะมีพิกัดศูนย์กลางมวลax  : by  : czโดยที่a , b , cคือความยาวด้านของสามเหลี่ยม ในทางกลับกัน จุดที่มีพิกัดศูนย์กลางมวลจะมีพิกัดสามเหลี่ยม${\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.}$

ด้านทั้งสามด้านa, b, cตามลำดับมีสมการ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.}$$

สมการของ เส้นออยเลอร์ของสามเหลี่ยมคือ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.}$$

โดยใช้การแปลงระหว่างพิกัดแบรีเซนทริกและพิกัดไตรลิเนียร์ที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ สมการต่างๆ ที่ระบุไว้ในหัวข้อ พิกัดไตรลิเนียร์#สูตรสามารถเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปของพิกัดแบรีเซนทริกได้

เวกเตอร์การกระจัดของจุดสองจุดที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานคือ^{[ 10 ]}${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},p_{3})}$${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},q_{3})}$

$${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},q_{3}-p_{3}).}$$

ระยะทางdระหว่างPและQหรือความยาวของเวกเตอร์การกระจัดคือ ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(x,y,z),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}&=|PQ|^{2}\\[2pt]&=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right].\end{aligned}}}$$

โดยที่a, b, cคือความยาวด้านของสามเหลี่ยม ความเท่าเทียมกันของนิพจน์สองนิพจน์สุดท้ายเป็นผลมาจากซึ่งเป็นจริงเพราะ ${\displaystyle x+y+z=0,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\\[2pt]&=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})\\[2pt]&=1-1=0.\end{aligned}}}$$

พิกัดแบรีเซนทริกของจุดสามารถคำนวณได้จากระยะทาง_diไปยังจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยม โดยการแก้สมการ $${\displaystyle \left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^{2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).}$$

แม้ว่าพิกัดแบรีเซนทริกจะใช้กันทั่วไปในการจัดการกับจุดที่อยู่ภายในสามเหลี่ยม แต่ก็สามารถใช้เพื่ออธิบายจุดที่อยู่นอกสามเหลี่ยมได้เช่นกัน หากจุดนั้นไม่ได้อยู่ภายในสามเหลี่ยม เรายังคงสามารถใช้สูตรข้างต้นในการคำนวณพิกัดแบรีเซนทริกได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากจุดนั้นอยู่นอกสามเหลี่ยม อย่างน้อยหนึ่งในพิกัดจะขัดแย้งกับสมมติฐานดั้งเดิมของเราที่ว่าในความเป็นจริง เมื่อกำหนดจุดใดๆ ในพิกัดคาร์ทีเซียน เราสามารถใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่อกำหนดตำแหน่งของจุดนั้นเทียบกับสามเหลี่ยมได้ ${\displaystyle \lambda _{1...3}\geq 0}$

ถ้าจุดอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม พิกัดแบรีเซนทริกทั้งหมดจะอยู่ในช่วงเปิด ถ้าจุดอยู่บนขอบของรูปสามเหลี่ยมแต่ไม่ได้อยู่ที่จุดยอด พิกัดพื้นที่หนึ่ง(พิกัดที่เกี่ยวข้องกับจุดยอดตรงข้าม) จะเป็นศูนย์ ในขณะที่อีกสองพิกัดจะอยู่ในช่วงเปิดถ้าจุดอยู่บนจุดยอด พิกัดที่เกี่ยวข้องกับจุดยอดนั้นจะมีค่าเท่ากับ 1 และพิกัดอื่นๆ จะมีค่าเท่ากับศูนย์ สุดท้าย ถ้าจุดอยู่ภายนอกรูปสามเหลี่ยม อย่างน้อยหนึ่งพิกัดจะมีค่าเป็นลบ ${\displaystyle (0,1).}$${\displaystyle \lambda _{1...3}}$${\displaystyle (0,1).}$

โดยสรุปแล้ว

จุดนั้นจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อ ...${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle 0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} }$$อยู่บนขอบหรือมุมของสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อ และ${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}}$${\displaystyle \lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}}$

มิเช่นนั้นจะอยู่นอกรูปสามเหลี่ยม${\displaystyle \mathbf {r} }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากจุดหนึ่งอยู่ฝั่งตรงข้ามของเส้นตรง พิกัดแบรีเซนทริกของจุดในสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงนั้นจะมีค่าเป็นลบ

ถ้าค่าของ เป็นค่าที่ทราบแล้ว แต่ค่าของfภายในสามเหลี่ยมที่กำหนดโดย นั้นไม่ทราบค่า เราสามารถประมาณค่าเหล่านั้นได้โดยใช้การประมาณค่าเชิงเส้น พิกัดแบบแบรีเซนทริกเป็นวิธีที่สะดวกในการคำนวณการประมาณค่านี้ ถ้าเป็นจุดภายในสามเหลี่ยมที่มีพิกัดแบบแบรีเซนทริก, , แล้ว ${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{3}}$

$${\displaystyle f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})}$$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับตารางหรือตาข่ายรูปหลายเหลี่ยม ที่ไม่มีโครงสร้างใดๆ เทคนิคประเภทนี้สามารถใช้ประมาณค่าของfที่ทุกจุดได้ ตราบใดที่ทราบค่าของฟังก์ชันที่จุดยอดทั้งหมดของตาข่าย ในกรณีนี้ เรามีสามเหลี่ยมหลายรูป แต่ละรูปสอดคล้องกับส่วนต่างๆ ของพื้นที่ ในการประมาณค่าฟังก์ชันfที่จุดหนึ่งก่อนอื่นต้องหาสามเหลี่ยมที่บรรจุจุดนั้นไว้ในการทำเช่นนั้นจะถูกแปลงเป็นพิกัดแบรีเซนทริกของแต่ละสามเหลี่ยม หากพบสามเหลี่ยมใดๆ ที่พิกัดเป็นไปตามเงื่อนไขจุดนั้นจะอยู่ในสามเหลี่ยมนั้นหรือบนขอบของสามเหลี่ยมนั้น (อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า) จากนั้นค่าของสามารถประมาณได้ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

วิธีการเหล่านี้มีแอปพลิเคชันมากมาย เช่น วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ (FEM)

การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันเหนือโดเมนของรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนอาจเป็นเรื่องยุ่งยากในการคำนวณ โดยทั่วไปแล้วจะต้องแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วน ซึ่งจะทำให้การคำนวณซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้น การเปลี่ยนตัวแปรไปใช้พิกัดแบรีเซนทริกสองพิกัดใดๆ เช่น มักจะง่ายกว่า ภายใต้การเปลี่ยนตัวแปรนี้ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$

$${\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}}$$

โดยที่Aคือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ผลลัพธ์นี้ได้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าในพิกัดแบรีเซนทริกสอดคล้องกับรูปสี่เหลี่ยมในพิกัดคาร์ทีเซียน และอัตราส่วนของพื้นที่ของรูปทรงที่สอดคล้องกันในระบบพิกัดที่สอดคล้องกันนั้นกำหนดโดย ในทำนองเดียวกัน สำหรับการอินทิเกรตเหนือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า แทนที่จะแบ่งอินทิกรัลออกเป็นสองหรือสามส่วนแยกกัน เราสามารถเปลี่ยนไปใช้พิกัดทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 3 มิติภายใต้การเปลี่ยนตัวแปรได้ ${\displaystyle 2A}$

$${\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}}$$โดยที่Vคือปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า

วิธีการนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับมิติที่สูงขึ้นได้ เพื่อใช้ในการอินทิเกรตเหนือซิมเพล็กซ์ n มิติใดๆ ก็ได้

ในระบบพิกัดศูนย์กลางมวลเอกพันธุ์ที่กำหนดโดยสัมพันธ์กับรูปสามเหลี่ยมข้อความต่อไปนี้เกี่ยวกับจุดพิเศษต่างๆ ยังคงเป็นจริง ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle ABC}$

เมื่อปรับพิกัดที่จุดยอดให้เป็นมาตรฐานจุดยอด ทั้งสาม A , BและCจะมีพิกัดดังนี้: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}A=&1&:&0&:&0\\B=&0&:&1&:&0\\C=&0&:&0&:&1\end{array}}}$$

จุดศูนย์กลางจะอยู่ ที่^{[ 9 ]}${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$

ถ้าa , b , cคือความยาวด้าน , , ตามลำดับ, , , , คือขนาดของมุม , , , และตามลำดับ และsคือครึ่งเส้นรอบรูปของแล้วข้อความต่อไปนี้เกี่ยวกับจุดพิเศษของก็เป็นจริงเช่นกัน ${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \angle CAB}$${\displaystyle \angle ABC}$${\displaystyle \angle BCA}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle ABC}$

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบมีพิกัด^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\sin 2\alpha &:&\sin 2\beta &:&\sin 2\gamma \\[2pt]=&1-\cot \beta \cot \gamma &:&1-\cot \gamma \cot \alpha &:&1-\cot \alpha \cot \beta \\[2pt]=&a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})&:&b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\end{array}}}$$

จุดออร์โธเซ็นเตอร์มีพิกัด^{[ 9 ] [ 10 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\tan \alpha &:&\tan \beta &:&\tan \gamma \\[2pt]=&a\cos \beta \cos \gamma &:&b\cos \gamma \cos \alpha &:&c\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]=&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})&:&(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\end{array}}}$$

จุดศูนย์กลางภายในมีพิกัด^{[ 10 ] [ 13 ]}${\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .}$

ศูนย์กลางภายนอกมีพิกัด^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-a&:&b&:&c\\J_{B}=&a&:&-b&:&c\\J_{C}=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

จุดศูนย์กลางเก้าจุดมีพิกัด^{[ 9 ] [ 13 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&a\cos(\beta -\gamma )&:&b\cos(\gamma -\alpha )&:&c\cos(\alpha -\beta )\\[4pt]=&1+\cot \beta \cot \gamma &:&1+\cot \gamma \cot \alpha &:&1+\cot \alpha \cot \beta \\[4pt]=&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}&:&b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}&:&c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\end{array}}}$$

จุดGergonneมีพิกัดดังนี้ ${\displaystyle (s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)}$

จุดNagelมีพิกัดดังนี้ ${\displaystyle s-a:s-b:s-c}$

จุดซิมมีเดียนมีพิกัด. ^{[ 12 ]}${\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}$

พิกัดแบรีเซนทริกสามารถขยายไปยังสามมิติ ได้อย่างง่ายดาย ซิม เพล็กซ์ สาม มิติ เป็นทรงสี่เหลี่ยมหน้าตัดซึ่งเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าสามเหลี่ยมสี่หน้าและจุดยอดสี่จุด อีกครั้ง พิกัดแบรีเซนทริกทั้งสี่ถูกกำหนดขึ้นเพื่อให้จุดยอดแรกแมปไปยังพิกัดแบรีเซนทริก, , เป็นต้น ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \lambda =(1,0,0,0)}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)}$

นี่เป็นการแปลงเชิงเส้นอีกครั้ง และเราอาจขยายขั้นตอนข้างต้นสำหรับรูปสามเหลี่ยมเพื่อหาพิกัดแบรีเซนทริกของจุดเทียบกับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})}$$

ซึ่งตอนนี้เป็นเมทริกซ์ขนาด 3x3: ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)}$$

และด้วยพิกัดคาร์ทีเซียนที่สอดคล้องกัน: อีกครั้งหนึ่ง ปัญหาของการหาพิกัดแบรีเซนทริกได้ถูกลดทอนลงเหลือเพียง การหาเมทริกซ์ผกผัน ขนาด 3×3${\displaystyle \lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y&=\lambda _{1}y_{1}+\,\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z&=\lambda _{1}z_{1}+\,\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{4}\end{aligned}}}$$

พิกัดแบรีเซนทริก 3 มิติ อาจใช้ในการพิจารณาว่าจุดใดจุดหนึ่งอยู่ภายในปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าหรือไม่ และใช้ในการประมาณค่าฟังก์ชันภายในตาข่ายทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับกระบวนการ 2 มิติ ตาข่ายทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ามักใช้ในการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัดเนื่องจาก1การใช้พิกัดแบรีเซนทริกสามารถทำให้การประมาณค่าแบบ 3 มิติ ง่ายขึ้นอย่างมาก

พิกัดแบรีเซนทริกของจุดที่กำหนดโดยอ้างอิงจาก เซต ของจุดk จุด จำนวนจำกัดแทนที่จะเป็นซิมเพล็กซ์เรียกว่าพิกัดแบรีเซนทริกแบบทั่วไปสำหรับพิกัดเหล่านี้ สมการคือ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})}$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}}$$

ยังคงต้องถือไว้^{[ 14 ]}โดยปกติจะใช้พิกัดมาตรฐานสำหรับกรณีของซิมเพล็กซ์ จุดที่มีพิกัดทั่วไปมาตรฐาน ที่ไม่เป็นลบ ( ) จะก่อตัวเป็นเปลือกนูนของx ₁ , ..., x _nหากมีจุดมากกว่าในซิมเพล็กซ์เต็ม ( ) พิกัดแบรีเซนทริกทั่วไปของจุดจะไม่เป็นเอกลักษณ์ เนื่องจากระบบเชิงเส้นที่กำหนด (ในที่นี้สำหรับ n=2) นั้นมีตัวกำหนดไม่ครบตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือรูปสี่เหลี่ยมในระนาบ สามารถใช้ข้อจำกัดเพิ่มเติมหลายประเภทเพื่อกำหนดพิกัดแบรีเซนทริกที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 15 ]}${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1}$${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$${\displaystyle k>n+1}$$${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&...\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$

กล่าวโดยสรุป พิกัดแบรีเซนทริกแบบทั่วไปแสดงรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีnจุดยอด โดยไม่คำนึงถึงมิติ ใน รูปของ ภาพของซิมเพล็กซ์มาตรฐานซึ่งมีnจุดยอด – ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันทั่วถึง: ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นเป็นซิมเพล็กซ์ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึม ซึ่งสอดคล้องกับจุดที่ไม่มี พิกัดแบรีเซนทริกแบบ ทั่วไปที่ไม่ซ้ำกันยกเว้นเมื่อ P เป็นซิมเพล็กซ์ ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

ตัวแปรความหย่อน ( slack variables ) เป็น ตัวแปรคู่ขนานกับพิกัดแบรีเซนทริกทั่วไปซึ่งใช้วัดว่าจุดนั้นสอดคล้องกับข้อจำกัดเชิงเส้นมากน้อยเพียงใด และให้การฝังตัวลง ในออร์แธนต์ f โดยที่fคือจำนวนหน้า (คู่ขนานกับจุดยอด) แผนที่นี้เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (ตัวแปรความหย่อนถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน) แต่ไม่ใช่แบบทั่วถึง (ไม่สามารถสร้างชุดค่าผสมทั้งหมดได้) ${\displaystyle P\hookrightarrow (\mathbf {R} _{\geq 0})^{f}}$

การใช้ซิมเพล็กซ์มาตรฐานและ ออร์แธนต์ fเป็นวัตถุมาตรฐานที่แมปไปยังโพลีโทปหรือที่โพลีโทปแมปเข้าไปนั้น ควรนำมาเปรียบเทียบกับการใช้ปริภูมิเวกเตอร์มาตรฐานเป็นวัตถุมาตรฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ และระนาบไฮเปอร์ มาตรฐาน เป็นวัตถุมาตรฐานสำหรับปริภูมิแอฟฟิน ซึ่งในแต่ละกรณี การเลือกฐานเชิงเส้นหรือฐานแอฟฟินจะให้ไอโซมอร์ฟิซึมทำให้สามารถคิดถึงปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิแอฟฟินทั้งหมดในแง่ของปริภูมิมาตรฐานเหล่านี้ แทนที่จะเป็นการแมปแบบทั่วถึงหรือแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (ไม่ใช่ทุกโพลีโทปจะเป็นซิมเพล็กซ์) นอกจากนี้ ออร์แธ นต์ n ยัง เป็นวัตถุมาตรฐานที่แมปไปยังกรวย ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}}$

พิกัดแบรีเซนทริกทั่วไปมีการประยุกต์ใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิต [ ^{16 ] บ่อย}ครั้งที่แบบจำลองสามมิติสามารถประมาณได้ด้วยรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยที่พิกัดแบรีเซนทริกทั่วไปที่สัมพันธ์กับรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นมีความหมายทางเรขาคณิต ด้วยวิธีนี้ การประมวลผลแบบจำลองสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้พิกัดที่มีความหมายเหล่านี้ พิกัดแบรีเซนทริกยังใช้ในธรณีฟิสิกส์อีก ด้วย ^{[ 17 ]}

• พล็อตสามเหลี่ยม
• การผสมผสานแบบนูน
• ปริศนาการเทน้ำ
• พิกัดเอกพันธุ์
• พีชคณิตแบบแบรีเซนทริก

• กฎของคาน
• พิกัดแบรีเซนทริก – รวมบทความทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับพิกัดแบรีเซนทริก (แบบทั่วไป)
• พิกัดแบรีเซนทริก: การประยุกต์ใช้ที่น่าสนใจ(การแก้ปัญหา "แก้วสามใบ")ที่cut-the-knot
• จุดที่แม่นยำในการทดสอบสามเหลี่ยม
• พิกัดแบรีเซนทริกในเรขาคณิตโอลิมปิกเก็บรักษาไว้เมื่อวันที่ 18 สิงหาคม 2014 ที่Wayback Machineโดย Evan Chen และ Max Schindler
• คำสั่ง Barycenterและ คำ สั่งTriangleCurveในGeogebra