ทฤษฎีบทของเบลล์เป็นคำที่ครอบคลุมผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกันหลายประการในวิชาฟิสิกส์ซึ่งทั้งหมดนี้ระบุว่ากลศาสตร์ควอนตัมไม่สอดคล้องกับทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่โดยอาศัยสมมติฐานพื้นฐานบางประการเกี่ยวกับธรรมชาติของการวัด ผลลัพธ์แรกดังกล่าวได้รับการนำเสนอโดยจอห์น สจ๊วต เบลล์ในปี 1964 โดยต่อยอดจากปริศนาของไอน์สไตน์-โพดอลสกี-โรเซนซึ่งได้ดึงความสนใจไปที่ปรากฏการณ์การพัวพันควอนตัม

ในบริบทของทฤษฎีบทของเบลล์ คำว่า "ท้องถิ่น" หมายถึงหลักการของความเป็นท้องถิ่นแนวคิดที่ว่าอนุภาคจะได้รับอิทธิพลจากสภาพแวดล้อมโดยรอบเท่านั้น และปฏิสัมพันธ์ที่ส่งผ่านสนามทางกายภาพไม่สามารถแพร่กระจายได้เร็วกว่าความเร็วแสง " ตัวแปรที่ซ่อนอยู่ " คือคุณสมบัติที่สันนิษฐานของอนุภาคควอนตัมซึ่งไม่ได้รวมอยู่ในทฤษฎีควอนตัม แต่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทดลอง ในคำพูดของเบลล์ "ถ้า [ทฤษฎีตัวแปรที่ซ่อนอยู่] เป็นแบบท้องถิ่น มันจะไม่สอดคล้องกับกลศาสตร์ควอนตัม และถ้ามันสอดคล้องกับกลศาสตร์ควอนตัม มันจะไม่ใช่แบบท้องถิ่น" ^{[ 1 ]}

ในบทความต้นฉบับของเขา เบลล์ได้วิเคราะห์การวัดอิสระบนอนุภาคที่แยกจากกันในเชิงพื้นที่สองอนุภาคของคู่ที่พันกัน^{[ 2 ]}เขาตั้งสมมติฐานว่าผลลัพธ์แต่ละอย่างถูกกำหนดโดยตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่ ภายใต้สมมติฐานนี้ ความสัมพันธ์ระหว่างผลลัพธ์จะต้องเป็นไปตามข้อจำกัดทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจง ข้อจำกัดดังกล่าวจะถูกตั้งชื่อในภายหลัง ว่า อสมการเบลล์จากนั้นเบลล์ได้แสดงให้เห็นว่าฟิสิกส์ควอนตัมทำนายความสัมพันธ์ที่ละเมิดอสมการ นี้ มีการนำเสนอทฤษฎีบทของเบลล์หลายรูปแบบในช่วงหลายปีหลังจากบทความต้นฉบับของเขา โดยใช้สมมติฐานที่แตกต่างกันและได้อสมการเบลล์ (หรือ "แบบเบลล์") ที่แตกต่างกัน

การทดลองในห้องปฏิบัติการครั้งแรกที่สังเกตเห็นการละเมิดอสมการเบลล์ดำเนินการโดยJohn ClauserและStuart Freedmanซึ่งตีพิมพ์ผลลัพธ์ของพวกเขาในปี 1970 ^{[ 3 ]}การทดลองขั้นสูงกว่า ซึ่งเรียกรวมกันว่าการทดสอบเบลล์ ได้ถูกดำเนินการหลายครั้งนับตั้งแต่นั้นมา บ่อยครั้งที่การทดลองเหล่านี้มีเป้าหมายเพื่อ "ปิดช่องโหว่" กล่าวคือ การปรับปรุงปัญหาของการออกแบบหรือการตั้งค่าการทดลองที่อาจส่งผลต่อความถูกต้องของผลการค้นพบของการทดสอบเบลล์ก่อนหน้านี้ การทดสอบเบลล์พบอย่างสม่ำเสมอว่าระบบทางกายภาพปฏิบัติตามกลศาสตร์ควอนตัมและละเมิดอสมการเบลล์ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการทดลองเหล่านี้ไม่สอดคล้องกับทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่^{[ 4 ] [ 5 ]}

ลักษณะที่แท้จริงของข้อสมมติที่จำเป็นในการพิสูจน์ข้อจำกัดแบบเบลล์เกี่ยวกับความสัมพันธ์นั้นเป็นประเด็นถกเถียงกันในหมู่นักฟิสิกส์และนักปรัชญาแม้ว่าความสำคัญของทฤษฎีบทของเบลล์จะไม่มีข้อสงสัย แต่การตีความกลศาสตร์ควอนตัม ที่แตกต่างกัน ก็มีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับความหมายที่แท้จริงของทฤษฎีบทนี้

มีรูปแบบต่างๆ มากมายบนแนวคิดพื้นฐาน โดยบางรูปแบบใช้สมมติฐานทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดกว่ารูปแบบอื่นๆ^{[ 6 ]}ที่สำคัญ ทฤษฎีบทแบบเบลล์ไม่ได้อ้างอิงถึงทฤษฎีเฉพาะใดๆ ของตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ แต่แสดงให้เห็นว่าฟิสิกส์ควอนตัมละเมิดสมมติฐานทั่วไปที่อยู่เบื้องหลังภาพคลาสสิกของธรรมชาติ ทฤษฎีบทดั้งเดิมที่เบลล์พิสูจน์ในปี 1964 นั้นไม่สามารถทดลองได้ง่ายนัก และเป็นการสะดวกที่จะแนะนำประเภทของอสมการแบบเบลล์ด้วยตัวอย่างในภายหลัง^{[ 7 ]}

สมมุติว่าอลิซและบ็อบยืนอยู่คนละสถานที่ เพื่อนร่วมงานของพวกเขา วิคเตอร์ เตรียมอนุภาคสองตัวและส่งตัวหนึ่งไปให้อลิซและอีกตัวไปให้บ็อบ เมื่ออลิซได้รับอนุภาคของเธอ เธอเลือกที่จะทำการวัดอย่างใดอย่างหนึ่งจากสองอย่าง (อาจโดยการโยนเหรียญเพื่อตัดสินใจว่าจะวัดอะไร) ให้การวัดเหล่านี้เป็นและทั้งและเป็นการ วัด แบบไบนารีผลลัพธ์ของคือหรือ และเช่นเดียวกันสำหรับ เมื่อบ็อบได้รับอนุภาคของเขา เขาเลือกการวัดอย่างใดอย่างหนึ่งจากสองอย่าง คือและซึ่งทั้งสองอย่างก็เป็นการวัดแบบไบนารี เช่นกัน${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle B_{1}}$

สมมติว่าการวัดแต่ละครั้งเผยให้เห็นคุณสมบัติที่อนุภาคมีอยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น ถ้าอลิซเลือกที่จะวัดและได้ผลลัพธ์แสดงว่าอนุภาคที่เธอได้รับมีค่าเป็นสำหรับคุณสมบัติ^{[หมายเหตุ 1 ]}พิจารณาการรวมกันเนื่องจากทั้งและมีค่าเป็นดังนั้นหรือในกรณีแรก ปริมาณต้องเท่ากับ 0 ในขณะที่ในกรณีหลังดังนั้น หนึ่งในพจน์ทางด้านขวามือของนิพจน์ข้างต้นจะหายไป และอีกพจน์หนึ่งจะเท่ากับดังนั้น หากทำการทดลองซ้ำหลายครั้ง โดยที่วิคเตอร์เตรียมอนุภาคคู่ใหม่ ค่าสัมบูรณ์ของค่าเฉลี่ยของการรวมกันในทุกการทดลองจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 การทดลอง เพียงครั้งเดียว ไม่ สามารถวัดปริมาณนี้ได้ เพราะอลิซและบ็อบสามารถเลือกการวัดได้เพียงคนละหนึ่งครั้งเท่านั้น แต่ภายใต้สมมติฐานว่าคุณสมบัติพื้นฐานมีอยู่ ค่าเฉลี่ยของผลรวมก็คือผลรวมของค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละพจน์ การใช้วงเล็บมุมเพื่อแสดงค่าเฉลี่ย นี่คืออสมการเบลล์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอสมการ CHSH ^{[ 7 ] : 115} การได้มาซึ่งสิ่งนี้ขึ้นอยู่กับสมมติฐานสองประการ ประการแรกคือ คุณสมบัติทางกายภาพพื้นฐานและมีอยู่โดยอิสระจากการสังเกตหรือการวัด (บางครั้งเรียกว่าสมมติฐานของความเป็นจริง ) และประการที่สองคือ การเลือกการกระทำของอลิซไม่สามารถส่งผลต่อผลลัพธ์ของบ็อบหรือในทางกลับกัน (มักเรียกว่าสมมติฐานของความเป็นท้องถิ่น ) ^{[ 7 ] : 117} ${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle a_{0}}$$${\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}=(a_{0}+a_{1})b_{0}+(a_{0}-a_{1})b_{1}\,.}$$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle a_{0}=a_{1}}$${\displaystyle a_{0}=-a_{1}}$${\displaystyle (a_{0}-a_{1})b_{1}}$${\displaystyle (a_{0}+a_{1})b_{0}=0}$${\displaystyle \pm 2}$${\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}}$$${\displaystyle |\langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle |\leq 2\,.}$$${\displaystyle a_{0},a_{1},b_{0},}$${\displaystyle b_{1}}$

กลศาสตร์ควอนตัมสามารถละเมิดอสมการ CHSH ได้ดังนี้ วิคเตอร์เตรียมคู่ของคิวบิตซึ่งเขาอธิบายด้วยสถานะเบลล์ โดยที่และเป็นสถานะเฉพาะของเมทริกซ์เปาลีเมทริกซ์ หนึ่ง จากนั้นวิคเตอร์ส่งคิวบิตแรกให้กับอลิซและคิวบิตที่สองให้กับบ็อบ ตัวเลือกการวัด ที่เป็นไปได้ของอลิซและบ็อบ ก็ถูกกำหนดในแง่ของเมทริกซ์เปาลีเช่นกัน อลิซวัดค่าสังเกตได้สองค่าใดค่า หนึ่ง และและ บ็อบวัดค่าสังเกตได้สองค่าใดค่าหนึ่ง วิคเตอร์สามารถคำนวณค่าคาดหวังควอนตัมสำหรับคู่ของค่าสังเกตได้เหล่านี้โดยใช้กฎของบอร์น : ในขณะที่สามารถทำการวัดได้เพียงหนึ่งในสี่ค่านี้ในการทดลองแต่ละครั้ง ผลรวม จะให้ผลรวมของค่าเฉลี่ยที่วิคเตอร์คาดว่าจะพบในการทดลองหลายครั้ง ค่านี้เกินขอบเขตบนแบบคลาสสิกที่ 2 ซึ่งได้มาจากการสมมติฐานของตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่^{[ 7 ] : 116} ค่านี้แท้จริงแล้วเป็นค่าสูงสุดที่ฟิสิกส์ควอนตัมอนุญาตสำหรับการรวมกันของค่าคาดหวังนี้ ทำให้เป็นขอบเขต Tsirelson [ ^{10 ] : 140} $${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|0\rangle \otimes |1\rangle -|1\rangle \otimes |0\rangle }{\sqrt {2}}},}$$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$$${\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle \sigma _{z}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$$${\displaystyle A_{0}=\sigma _{z},\ A_{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};}$$$${\displaystyle B_{0}=-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{z}}{\sqrt {2}}},\ B_{1}={\frac {\sigma _{x}-\sigma _{z}}{\sqrt {2}}}.}$$$${\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$$$${\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle +\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle +\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle -\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =2{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

อสมการ CHSH สามารถคิดได้ว่าเป็นเกมที่อลิซและบ็อบพยายามประสานการกระทำของพวกเขา [ ^{11 ] [ 12 ] วิ}คเตอร์เตรียมบิตสองบิตและอย่างอิสระและแบบสุ่ม เขาส่งบิตให้กับอลิซและบิตให้กับบ็อบ อลิซและบ็อบจะชนะหากพวกเขาส่งบิตคำตอบและ กลับ ไปยังวิคเตอร์ ซึ่งสอดคล้องกับ หรือเทียบเท่ากับ อลิซและบ็อบจะชนะหากตรรกะ ANDของและเป็นตรรกะ XORของและอลิซและบ็อบสามารถตกลงกลยุทธ์ใดๆ ก็ได้ที่พวกเขาต้องการก่อนเริ่มเกม แต่พวกเขาไม่สามารถสื่อสารกันได้เมื่อเกมเริ่มต้นขึ้น ในทฤษฎีใดๆ ที่อิงตามตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ ความน่าจะเป็นที่อลิซและบ็อบจะชนะจะไม่เกินไม่ว่าพวกเขาจะตกลงกลยุทธ์ใดไว้ล่วงหน้าก็ตาม อย่างไรก็ตาม หากพวกเขามีสถานะควอนตัมที่พันกัน ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะชนะอาจมีขนาดใหญ่ถึง${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle xy=a+b\mod 2\,.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 3/4}$$${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.85\,.}$$

บทความของเบลล์ในปี 1964 แสดงให้เห็นว่าแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ที่เรียบง่ายมากสามารถสร้างการคาดการณ์ของกลศาสตร์ควอนตัมได้ภายใต้เงื่อนไขที่จำกัด แต่จากนั้นเขาก็แสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้วแบบจำลองดังกล่าวให้การคาดการณ์ที่แตกต่างกัน ^{[ 2 ] [ 13 ] : 806} เบลล์พิจารณาการปรับปรุงโดยเดวิด โบห์มของการทดลองทางความคิดของไอน์สไตน์-โพดอลสกี-โรเซน (EPR) ในสถานการณ์นี้ อนุภาคคู่หนึ่งถูกสร้างขึ้นด้วยกันในลักษณะที่พวกมันถูกอธิบายโดยสถานะสปินซิงเกล็ต (ซึ่งเป็นตัวอย่างของสถานะพันกัน) จากนั้นอนุภาคจะเคลื่อนที่ออกจากกันในทิศทางตรงกันข้าม อนุภาคแต่ละตัวถูกวัดโดยอุปกรณ์สเติร์น-เกอร์แลค ซึ่งเป็นเครื่องมือวัดที่สามารถวางแนวในทิศทางต่างๆ ได้และรายงานผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 อย่าง ซึ่งแทนด้วยและการกำหนดค่าของเครื่องมือวัดแต่ละชิ้นแสดงด้วยเวกเตอร์ หน่วย และการทำนายทางกลศาสตร์ควอนตัมสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างตัวตรวจจับสองตัวที่มีการตั้งค่าและคือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากทิศทางของตัวตรวจจับทั้งสองเหมือนกัน ( ) ผลลัพธ์ของการวัดหนึ่งจะแน่นอนว่าเป็นค่าลบของผลลัพธ์ของการวัดอีกครั้ง ทำให้ได้และหากทิศทางของตัวตรวจจับทั้งสองตั้งฉากกัน ( ) ผลลัพธ์จะไม่สัมพันธ์กัน และเบลล์พิสูจน์โดยยกตัวอย่างว่ากรณีพิเศษเหล่านี้สามารถอธิบายได้ในแง่ของตัวแปรที่ซ่อนอยู่ จากนั้นจึงแสดงให้เห็นว่าความเป็นไปได้ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับมุมกลางนั้นไม่สามารถอธิบายได้ ${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}.}$$${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {a}})=-1}$${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0}$

เบลล์ตั้งสมมติฐานว่าแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่สำหรับความสัมพันธ์เหล่านี้จะอธิบายความสัมพันธ์เหล่านั้นในแง่ของปริพันธ์เหนือค่าที่เป็นไปได้ของพารามิเตอร์ซ่อนเร้นบางตัวโดย ที่เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันและให้การตอบสนองของตัวตรวจจับทั้งสองตัวโดยพิจารณาจากเวกเตอร์การวางแนวและตัวแปรซ่อนเร้น ที่สำคัญคือ ผลลัพธ์ของตัวตรวจจับ ไม่ขึ้นอยู่กับและในทำนองเดียวกัน ผลลัพธ์ของก็ไม่ขึ้นอยู่กับเนื่องจากตัวตรวจจับทั้งสองแยกจากกันทางกายภาพ ตอนนี้เราสมมติว่าผู้ทำการทดลองมีตัวเลือกการตั้งค่าสำหรับตัวตรวจจับตัวที่สอง: สามารถตั้งค่าเป็น หรือเป็น ก็ได้จากสมมติฐานที่ว่า นั่นคือ สังเกตเห็นความสัมพันธ์แบบผกผันที่สมบูรณ์แบบสำหรับการตั้งค่าเดียวกัน เบลล์พิสูจน์ว่า อย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องง่ายที่จะพบสถานการณ์ที่กลศาสตร์ควอนตัมละเมิดอสมการของเบลล์ในขณะที่แสดงความสัมพันธ์แบบผกผันที่สมบูรณ์แบบ^{[ 14 ] : 425–426} ตัวอย่างเช่น ให้เวกเตอร์และตั้งฉากกัน และให้อยู่ในระนาบเดียวกันที่มุม 45° จากทั้งสองเวกเตอร์ จากนั้นใน ขณะที่ แต่ ดังนั้นจึงไม่มีแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นในท้องถิ่นใดที่สามารถสร้างการคาดการณ์ของกลศาสตร์ควอนตัมสำหรับตัวเลือกทั้งหมดของ, , และผลการทดลองขัดแย้งกับเส้นโค้งแบบคลาสสิกและตรงกับเส้นโค้งที่ทำนายโดยกลศาสตร์ควอนตัมตราบใดที่ข้อบกพร่องในการทดลองได้รับการพิจารณา^{[ 6 ]}${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=\int d\lambda \,\rho (\lambda )A({\vec {a}},\lambda )B({\vec {b}},\lambda ),}$$${\displaystyle \rho (\lambda )}$${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )}$${\displaystyle B({\vec {b}},\lambda )}$$${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=\pm 1,\,B({\vec {b}},\lambda )=\pm 1.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {c}}}$${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=-B({\vec {a}},\lambda )}$$${\displaystyle |P({\vec {a}},{\vec {b}})-P({\vec {a}},{\vec {c}})|\leq 1+P({\vec {b}},{\vec {c}}).}$$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {c}}}$$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0,}$$$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {c}})=P({\vec {b}},{\vec {c}})=-{\frac {\sqrt {2}}{2}},}$$$${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\nleq 1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {c}}.}$

ทฤษฎีบทของเบลล์ในปี 1964 ต้องการความเป็นไปได้ของการต่อต้านความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์แบบ: ความสามารถในการทำนายผลลัพธ์จากเครื่องตรวจจับตัวที่สองได้อย่างแน่นอน โดยรู้ผลลัพธ์จากเครื่องตรวจจับตัวแรก^{[ 6 ]}ทฤษฎีบทนี้สร้างขึ้นจาก "เกณฑ์ความเป็นจริง EPR" ซึ่งเป็นแนวคิดที่นำเสนอในบทความปี 1935 โดยไอน์สไตน์ โพดอลสกี และโรเซน บทความนี้ตั้งสมมติฐานว่า: "ถ้าเราสามารถทำนายค่าของปริมาณทางกายภาพได้อย่างแน่นอน (เช่น ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง) โดยไม่รบกวนระบบใดๆ แล้วจะมีองค์ประกอบของความเป็นจริงที่สอดคล้องกับปริมาณนั้น" ^{[ 15 ]}เบลล์ตั้งข้อสังเกตว่าสิ่งนี้ใช้ได้เมื่อเครื่องตรวจจับทั้งสองวางตัวในทิศทางเดียวกัน ( ) ดังนั้นเกณฑ์ EPR จะหมายความว่าองค์ประกอบของความเป็นจริงบางอย่างจะต้องกำหนดผลการวัดไว้ล่วงหน้า เนื่องจากคำอธิบายควอนตัมของอนุภาคไม่ได้รวมองค์ประกอบดังกล่าวไว้ คำอธิบายควอนตัมจึงต้องไม่สมบูรณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง บทความของเบลล์ในปี 1964 แสดงให้เห็นว่า หากสมมติว่ามีความเฉพาะที่ เกณฑ์ EPR จะบ่งชี้ถึงตัวแปรที่ซ่อนอยู่ จากนั้นเขาก็แสดงให้เห็นว่าตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่นั้นไม่เข้ากันกับกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 16 ] [ 17 ]}เนื่องจากในทางปฏิบัติ การทดลองไม่สามารถบรรลุความสัมพันธ์หรือความสัมพันธ์แบบผกผันที่สมบูรณ์แบบได้ จึงมีการทดสอบความไม่เท่าเทียมกันแบบเบลล์โดยอาศัยการอนุมานที่ผ่อนคลายสมมติฐานนี้แทน^{[ 6 ]}${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}$

Daniel Greenberger , Michael A. HorneและAnton Zeilingerได้นำเสนอการทดลองทางความคิดแบบสี่อนุภาคในปี 1990 ซึ่งต่อมาDavid Mermin ได้ทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้เพียงสามอนุภาค ^{[ 18 ] [ 19 ]}ในการทดลองทางความคิดนี้ Victor สร้างชุดอนุภาคสปิน 1/2 สามชุดที่อธิบายโดยสถานะควอนตัม โดยที่และเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ Pauli ดังที่กล่าวมาข้างต้น Victor ส่งอนุภาคหนึ่งตัวไปยัง Alice, Bob และ Charlie ซึ่งรออยู่ที่ตำแหน่งที่ห่างไกลกัน Alice วัดค่าหรือบนอนุภาคของเธอ เช่นเดียวกับ Bob และ Charlie ผลลัพธ์ของการวัดแต่ละครั้งคือ หรือ เมื่อใช้กฎของ Born กับสถานะสามคิวบิตVictor ทำนายว่าเมื่อใดก็ตามที่การวัดทั้งสามครั้งรวมถึง หนึ่งและสองค่า ผลคูณของผลลัพธ์จะเป็น เสมอซึ่งเป็นผลมาจากเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของที่มีค่าลักษณะเฉพาะและเช่นเดียวกันสำหรับและดังนั้น เมื่อรู้ผลการวัดของอลิซและผลการวัดของบ็อบแล้ววิคเตอร์จึงสามารถทำนายได้ด้วยความน่าจะเป็น 1 ว่าชาร์ลีจะให้ผลลัพธ์การวัดแบบใด ตามเกณฑ์ความเป็นจริงของ EPR จะมี "องค์ประกอบของความเป็นจริง" ที่สอดคล้องกับผลลัพธ์ของการวัดบนคิวบิตของชาร์ลี แท้จริงแล้ว ตรรกะเดียวกันนี้ใช้ได้กับการวัดทั้งสองแบบและคิวบิตทั้งสามตัว ตามเกณฑ์ความเป็นจริงของ EPR แล้ว อนุภาคแต่ละตัวจะมี "ชุดคำสั่ง" ที่กำหนดผลลัพธ์ของการวัดแบบหรือบนอนุภาคนั้น ชุดของอนุภาคทั้งสามจะถูกอธิบายด้วยชุดคำสั่ง โดยแต่ละรายการจะเป็นหรือและ การวัดแบบ หรือ แต่ละครั้ง จะส่งคืนค่าที่เหมาะสม $${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle -|111\rangle )\,,}$$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \sigma _{z}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$$${\displaystyle (a_{x},a_{y},b_{x},b_{y},c_{x},c_{y})\,,}$$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

ถ้าอลิซ บ็อบ และชาร์ลีทำการวัดทั้งหมด ผลคูณของผลลัพธ์ของพวกเขาจะเป็นค่านี้สามารถอนุมานได้จาก เพราะกำลังสองของหรือคือแต่ละตัวประกอบในวงเล็บเท่ากับดังนั้น และผลคูณของผลลัพธ์ของอลิซ บ็อบ และชาร์ลีจะเป็นด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง แต่สิ่งนี้ไม่สอดคล้องกับฟิสิกส์ควอนตัม: วิคเตอร์สามารถทำนายโดยใช้สถานะว่าการวัดจะให้ผลลัพธ์เป็นด้วยความน่าจะเป็นหนึ่งแทน ${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}}$$${\displaystyle (a_{x}b_{y}c_{y})(a_{y}b_{x}c_{y})(a_{y}b_{y}c_{x})=a_{x}b_{x}c_{x}a_{y}^{2}b_{y}^{2}c_{y}^{2}=a_{x}b_{x}c_{x}\,,}$$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle +1}$$${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,,}$$${\displaystyle +1}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}}$${\displaystyle -1}$

การทดลองทางความคิดนี้ยังสามารถนำมาปรับเปลี่ยนเป็นอสมการเบลล์แบบดั้งเดิม หรือเทียบเท่ากับเกมที่ไม่ใช่แบบโลคอลในลักษณะเดียวกับเกม CHSH ได้อีกด้วย^{[ 20 ]}ในเกมนี้ อลิซ บ็อบ และชาร์ลีได้รับบิตจากวิคเตอร์ โดยสัญญาว่าจะต้องมีจำนวนเลขหนึ่งเป็นเลขคู่เสมอ นั่นคือและส่งบิตกลับไปให้เขาพวกเขาจะชนะเกมหากมีจำนวนเลขหนึ่งเป็นเลขคี่สำหรับอินพุตทั้งหมด ยกเว้นเมื่อพวกเขาจำเป็นต้องมีจำนวนเลขหนึ่งเป็นเลขคู่ นั่นคือ พวกเขาจะชนะเกมก็ต่อเมื่อด้วยตัวแปรที่ซ่อนอยู่แบบโลคอล ความน่าจะเป็นสูงสุดของชัยชนะที่พวกเขาสามารถมีได้คือ 3/4 ในขณะที่การใช้กลยุทธ์ควอนตัมข้างต้น พวกเขาจะชนะได้อย่างแน่นอน นี่เป็นตัวอย่างของ การสื่อสารทางจิตแบบควอน ตั ม${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle x\oplus y\oplus z=0}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle x=y=z=0}$${\displaystyle a\oplus b\oplus c=x\lor y\lor z}$

ในทฤษฎีควอนตัม ฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตแสดงถึงการวัดที่สามารถกระทำได้กับระบบที่มีปริภูมิฮิลเบิร์ตนั้น เวกเตอร์แต่ละตัวในฐานแสดงถึงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการวัดนั้น^{[หมายเหตุ 2 ]}สมมติว่ามีตัวแปรซ่อนอยู่ ดังนั้นการรู้ค่าของ ตัวแปรซ่อน จะหมายถึงความแน่นอนเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการวัดใดๆ เมื่อกำหนดค่าของ ตัวแปรซ่อนแล้ว ผลลัพธ์ของการวัดแต่ละครั้ง นั่นคือ เวกเตอร์แต่ละตัวในปริภูมิฮิลเบิร์ต จะเป็นไปไม่ได้หรือรับประกันได้การกำหนดค่า Kochen–Specker คือเซตจำกัดของเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยฐานที่เชื่อมต่อกันหลายฐาน โดยมีคุณสมบัติว่าเวกเตอร์ในเซตนั้นจะเป็นไปไม่ได้ เสมอ เมื่อพิจารณาว่าอยู่ในฐานหนึ่ง และรับประกันได้เมื่อพิจารณาว่าอยู่ในฐานอื่น กล่าวอีกนัยหนึ่ง การกำหนดค่า Kochen–Specker คือ "เซตที่ไม่สามารถระบายสีได้" ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของการสมมติว่าตัวแปรซ่อนสามารถควบคุมผลลัพธ์ของการวัดได้^{[ 25 ] : 196–201} ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

การโต้แย้งแบบ Kochen–Specker โดยใช้การกำหนดค่าฐานที่เชื่อมต่อกัน สามารถรวมเข้ากับแนวคิดของการวัดคู่ที่พันกันซึ่งเป็นพื้นฐานของความไม่เท่าเทียมกันแบบ Bell ได้ Kochen ^{[ 26 ]} Heywood และ Redhead ^{[ 27 ]} Stairs ^{[ 28 ]}และ Brown และ Svetlichny ^{[ 29 ]} ได้ตั้งข้อสังเกตเรื่องนี้ตั้งแต่ช่วงปี 1970 ตามที่ EPR ชี้ให้เห็น การได้ผลลัพธ์การวัดบนครึ่งหนึ่งของคู่ที่พันกันนั้นหมายถึงความแน่นอนเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการวัดที่สอดคล้องกันบนอีกครึ่งหนึ่ง "เกณฑ์ความเป็นจริงของ EPR" ตั้งสมมติฐานว่า เนื่องจากครึ่งหลังของคู่ไม่ได้ถูกรบกวน ความแน่นอนนั้นจึงต้องเกิดจากคุณสมบัติทางกายภาพที่เป็นของมัน^{[ 30 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามเกณฑ์นี้ ตัวแปรที่ซ่อนอยู่จะต้องมีอยู่ภายในครึ่งที่สองของคู่ที่ยังไม่ได้วัด จะไม่เกิดข้อขัดแย้งหากพิจารณาเพียงการวัดเพียงครั้งเดียวบนครึ่งแรก อย่างไรก็ตาม หากผู้สังเกตการณ์มีตัวเลือกในการวัดที่เป็นไปได้หลายแบบ และเวกเตอร์ที่กำหนดการวัดเหล่านั้นก่อให้เกิดการจัดเรียงแบบ Kochen–Specker แล้ว ผลลัพธ์บางอย่างในครึ่งหลังจะทั้งเป็นไปไม่ได้และรับประกันได้ในเวลาเดียวกัน ${\displaystyle \lambda }$

การโต้แย้งประเภทนี้ได้รับความสนใจเมื่อ จอห์น คอนเวย์และไซมอน โคเชนได้นำเสนอตัวอย่างหนึ่งภายใต้ชื่อทฤษฎีบทเจตจำนงเสรี^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} ทฤษฎีบทคอนเวย์-โคเชนใช้คู่ของ คิวทริตที่พันกันและโครงสร้างโคเชน-สเปคเกอร์ที่ค้นพบโดยแอชเชอร์ เพเรส^{[ 34 ]}

ดังที่เบลล์ชี้ให้เห็น การคาดการณ์บางอย่างของกลศาสตร์ควอนตัมสามารถจำลองได้ในแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ รวมถึงกรณีพิเศษของความสัมพันธ์ที่เกิดจากการพัวพัน หัวข้อนี้ได้รับการศึกษาอย่างเป็นระบบในช่วงหลายปีที่ผ่านมานับตั้งแต่ทฤษฎีบทของเบลล์ ในปี 1989 ไรน์ฮาร์ด เวอร์เนอร์ได้แนะนำสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าสถานะเวอร์เนอร์ซึ่งเป็นสถานะควอนตัมร่วมสำหรับระบบคู่หนึ่งที่ให้ความสัมพันธ์แบบ EPR แต่ยังยอมรับแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นด้วย^{[ 35 ]}สถานะเวอร์เนอร์เป็นสถานะควอนตัมแบบทวิภาคที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้เอกภาพ ในรูป แบบผลคูณเทนเซอร์สมมาตร ในปี 2004 โรเบิร์ต สเปกเคนส์ได้แนะนำแบบจำลองของเล่นที่เริ่มต้นด้วยสมมติฐานของระดับความเป็นอิสระเฉพาะที่แบบไม่ต่อเนื่อง จากนั้นกำหนด "หลักการสมดุลความรู้" ที่จำกัดว่าผู้สังเกตการณ์สามารถรู้เกี่ยวกับระดับความเป็นอิสระเหล่านั้นได้มากเพียงใด ทำให้พวกมันกลายเป็นตัวแปรซ่อนเร้น สถานะความรู้ที่อนุญาต ("สถานะทางญาณวิทยา") เกี่ยวกับตัวแปรพื้นฐาน ("สถานะทางภววิทยา") เลียนแบบคุณลักษณะบางอย่างของสถานะควอนตัม ความสัมพันธ์ในแบบจำลองของเล่นสามารถเลียนแบบบางแง่มุมของการพัวพัน เช่น การมีคู่ครองเพียงคนเดียวแต่โดยโครงสร้าง แบบจำลองของเล่นไม่สามารถละเมิดอสมการเบลล์ได้เลย^{[ 36 ] [ 37 ]}$${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger }).}$$

คำถามที่ว่ากลศาสตร์ควอนตัมสามารถ "สมบูรณ์" ได้ด้วยตัวแปรที่ซ่อนอยู่หรือไม่นั้นมีมาตั้งแต่ช่วงแรกๆ ของทฤษฎีควอนตัม ในตำรากลศาสตร์ควอนตัมปี 1932 ของเขา จอห์น ฟอน นอยมันน์ นักปราชญ์ผู้รอบรู้ที่เกิดในฮังการีได้นำเสนอสิ่งที่เขาอ้างว่าเป็นข้อพิสูจน์ว่าไม่มี "พารามิเตอร์ที่ซ่อนอยู่" ความถูกต้องและความแน่นอนของข้อพิสูจน์ของฟอน นอยมันน์ ถูกตั้งคำถามโดยฮันส์ ไรเชนบัคโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยเกรเต เฮอร์มันน์และอาจมีการสนทนากันแม้ว่าจะไม่ได้ตีพิมพ์โดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์^{[หมายเหตุ 3 ]} ( ไซมอน โคเชนและเอิร์นสต์ สเปคเกอร์ปฏิเสธสมมติฐานหลักของฟอน นอยมันน์ตั้งแต่ปี 1961 แต่ไม่ได้ตีพิมพ์คำวิจารณ์จนกระทั่งปี 1967 ^{[ 43 ]} )

ไอน์สไตน์โต้แย้งอย่างต่อเนื่องว่ากลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถเป็นทฤษฎีที่สมบูรณ์ได้ ข้อโต้แย้งที่เขาชื่นชอบนั้นอาศัยหลักการของความเป็นท้องถิ่น:

พิจารณาระบบเชิงกลที่ประกอบด้วยระบบย่อยสองระบบAและBซึ่งมีปฏิสัมพันธ์กันเฉพาะในช่วงเวลาจำกัดเท่านั้น สมมติให้ฟังก์ชัน ψ ก่อนการมีปฏิสัมพันธ์เป็นค่าที่กำหนดสมการชโรดิงเกอร์จะให้ฟังก์ชัน ψ หลังจากปฏิสัมพันธ์เกิดขึ้นแล้ว ต่อไปเราจะกำหนดสภาวะทางกายภาพของระบบย่อยAให้สมบูรณ์ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยการวัด จากนั้นกลศาสตร์ควอนตัมจะช่วยให้เราสามารถกำหนดฟังก์ชัน ψ ของระบบย่อยBจากการวัดที่ได้ และจากฟังก์ชัน ψ ของระบบทั้งหมด อย่างไรก็ตาม การกำหนดนี้จะให้ผลลัพธ์ที่ขึ้นอยู่กับว่าได้ วัดค่า ใดในตัวแปรที่กำหนดสภาวะของA (เช่น พิกัดหรือโมเมนตัม) เนื่องจากมีสภาวะทางกายภาพของB เพียง หนึ่งเดียวหลังจากปฏิสัมพันธ์ และไม่สามารถพิจารณาได้อย่างสมเหตุสมผลว่าขึ้นอยู่กับการวัดเฉพาะที่เราทำกับระบบAที่แยกจากBดังนั้นจึงอาจสรุปได้ว่าฟังก์ชัน ψ ไม่ได้มีความสัมพันธ์อย่างชัดเจนกับสภาวะทางกายภาพ การประสานงานของฟังก์ชัน ψ หลายฟังก์ชันกับเงื่อนไขทางกายภาพเดียวกันของระบบBแสดงให้เห็นอีกครั้งว่าฟังก์ชัน ψ ไม่สามารถตีความได้ว่าเป็นคำอธิบาย (ที่สมบูรณ์) ของเงื่อนไขทางกายภาพของระบบหน่วย^{[ 44 ]}

การทดลองเชิงความคิดของ EPR ก็คล้ายกัน โดยพิจารณาระบบแยกกันสองระบบAและB ที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นร่วม อย่างไรก็ตาม เอกสาร EPR เพิ่มแนวคิดที่ต่อมาเรียกว่าเกณฑ์ความเป็นจริงของ EPR ซึ่ง ^ระบุว่าความสามารถในการทำนายผลลัพธ์ของการวัดบนB ด้วยความน่าจะเป็น 1 บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของ "องค์ประกอบของความเป็นจริง" ภายในB [ ^{45 ]}

ในปี พ.ศ. 2494 เดวิด โบห์มได้เสนอรูปแบบหนึ่งของการทดลองทางความคิด EPR ซึ่งการวัดมีช่วงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แบบแยกส่วน ซึ่งแตกต่างจากการวัดตำแหน่งและโมเมนตัมที่พิจารณาโดย EPR ^{[ 46 ]}ปีก่อนหน้านั้นเชียน-ชิอุง อู๋และเออร์วิง ชักนอฟ ได้วัดโพลาไรเซชันของโฟตอนที่ผลิตในคู่ที่พันกันได้สำเร็จ ทำให้การทดลองทางความคิด EPR เวอร์ชันของโบห์มสามารถนำไปปฏิบัติได้จริง^{[ 47 ]}

ในช่วงปลายทศวรรษ 1940 นักคณิตศาสตร์George Mackeyเริ่มสนใจในพื้นฐานของฟิสิกส์ควอนตัม และในปี 1957 เขาได้ร่างรายการสมมติฐานที่เขาถือว่าเป็นคำจำกัดความที่แม่นยำของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 48 ]} Mackey ตั้งข้อสันนิษฐานว่าสมมติฐานข้อหนึ่งซ้ำซ้อน และหลังจากนั้นไม่นานAndrew M. Gleasonก็พิสูจน์ได้ว่าสามารถอนุมานได้จากสมมติฐานข้ออื่นๆ^{[ 49 ] [ 50 ]}ทฤษฎีบทของ Gleasonให้ข้อโต้แย้งว่าทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นในวงกว้างไม่เข้ากันกับกลศาสตร์ควอนตัม^{[หมายเหตุ 4 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทของ Gleason ตัดทิ้งแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นที่ "ไม่ขึ้นกับบริบท" แบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นใดๆ สำหรับกลศาสตร์ควอนตัม เพื่อหลีกเลี่ยงผลกระทบของทฤษฎีบทของ Gleason จะต้องมีตัวแปรซ่อนเร้นที่ไม่ใช่คุณสมบัติที่อยู่ในระบบที่วัดได้เพียงอย่างเดียว แต่ยังขึ้นอยู่กับบริบทภายนอกที่ทำการวัดด้วย ความสัมพันธ์แบบนี้มักถูกมองว่าเป็นการประดิษฐ์หรือไม่พึงประสงค์ ในบางกรณี มันไม่สอดคล้องกับ ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษ^{[ 13 ] [ 52 ]}ทฤษฎีบท Kochen–Specker ปรับปรุงข้อความนี้โดยการสร้างเซตย่อยจำกัดเฉพาะของรังสีซึ่งไม่สามารถกำหนดมาตรวัดความน่าจะเป็นดังกล่าวได้^{[ 13 ] [ 53 ]}

Tsung-Dao Leeเกือบจะพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Bell ได้สำเร็จในปี 1960 เขาพิจารณาเหตุการณ์ที่อนุภาคเคออน สองตัว ถูกผลิตขึ้นและเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม และสรุปได้ว่าตัวแปรที่ซ่อนอยู่ไม่สามารถอธิบายความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นได้ในสถานการณ์เช่นนี้ อย่างไรก็ตาม เกิดปัญหาขึ้นเนื่องจากอนุภาคเคออนสลายตัว และเขาไม่ได้ไปไกลถึงขั้นพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันแบบ Bell ^{[ 39 ] : 308}

เบลล์เลือกที่จะตีพิมพ์ทฤษฎีบทของเขาในวารสารที่ไม่ค่อยมีคนรู้จักนัก เพราะวารสารดังกล่าวไม่เรียกเก็บค่าธรรมเนียมหน้ากระดาษและยังจ่ายเงินให้กับผู้เขียนที่ตีพิมพ์บทความในวารสารนั้นในขณะนั้นด้วย อย่างไรก็ตาม เนื่องจากวารสารไม่ได้ให้สำเนาบทความฟรีแก่ผู้เขียนเพื่อนำไปแจกจ่าย เบลล์จึงต้องใช้เงินที่เขาได้รับซื้อสำเนาเพื่อส่งให้แก่นักฟิสิกส์คนอื่นๆ^{[ 54 ]}ในขณะที่บทความที่ตีพิมพ์ในวารสารระบุชื่อสิ่งพิมพ์เพียงแค่Physicsแต่หน้าปกมีชื่อPhysics Physique Физика ซึ่งเป็นชื่อสามภาษา เพื่อสะท้อนให้เห็นว่าวารสารจะตีพิมพ์บทความในภาษาอังกฤษ ฝรั่งเศส และรัสเซีย^{[ 42 ] : 92–100, 289}

ก่อนที่จะพิสูจน์ผลลัพธ์ในปี 1964 เบลล์ยังได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากับทฤษฎีบท Kochen–Specker (ดังนั้นบางครั้งทฤษฎีบทหลังจึงเรียกว่าทฤษฎีบท Bell–Kochen–Specker หรือ Bell–KS) อย่างไรก็ตาม การตีพิมพ์ทฤษฎีบทนี้ถูกเลื่อนออกไปโดยไม่ได้ตั้งใจจนถึงปี 1966 ^{[ 13 ] [ 55 ]}ในบทความนั้น เบลล์โต้แย้งว่าเนื่องจากการอธิบายปรากฏการณ์ควอนตัมในแง่ของตัวแปรที่ซ่อนอยู่จะต้องอาศัยความเป็นไม่เฉพาะที่ ดังนั้นความขัดแย้ง EPR จึง "ได้รับการแก้ไขในแบบที่ไอน์สไตน์ไม่ชอบที่สุด" ^{[ 55 ]}

ในปี พ.ศ. 2510 ชื่อที่ไม่ธรรมดาอย่างPhysics Physique ФизикаดึงดูดความสนใจของJohn Clauserซึ่งต่อมาได้ค้นพบเอกสารของ Bell และเริ่มพิจารณาว่าจะทำการทดสอบ Bellในห้องปฏิบัติการ ได้อย่างไร ^{[ 56 ]} Clauser และStuart Freedmanได้ทำการทดสอบ Bell ในปี พ.ศ. 2515 ^{[ 57 ] [ 58 ]}นี่เป็นการทดสอบที่มีข้อจำกัดเท่านั้น เนื่องจากการเลือกการตั้งค่าเครื่องตรวจจับทำก่อนที่โฟตอนจะออกจากแหล่งกำเนิด ในปี พ.ศ. 2525 Alain Aspectและผู้ร่วมงานได้ทำการทดสอบ Bell ครั้งแรกเพื่อขจัดข้อจำกัดนี้^{[ 59 ]}นี่เป็นจุดเริ่มต้นของแนวโน้มการทดสอบ Bell ที่เข้มงวดมากขึ้นเรื่อยๆ การทดลองทางความคิด GHZ ได้รับการนำไปใช้ในทางปฏิบัติโดยใช้โฟตอนสามตัวที่พันกันในปี พ.ศ. 2543 ^{[ 60 ]}ภายในปี พ.ศ. 2545 การทดสอบความไม่เท่าเทียมกันของ CHSH สามารถทำได้ในหลักสูตรห้องปฏิบัติการระดับปริญญาตรี^{[ 61 ]}

ในการทดสอบของเบลล์ อาจมีปัญหาเกี่ยวกับการออกแบบหรือการจัดเตรียมการทดลอง ซึ่งส่งผลต่อความถูกต้องของผลการทดลอง ปัญหาเหล่านี้มักถูกเรียกว่า "ช่องโหว่" จุดประสงค์ของการทดลองคือการทดสอบว่าธรรมชาติสามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่หรือไม่ ซึ่งจะขัดแย้งกับการคาดการณ์ของกลศาสตร์ควอนตัม

ช่องโหว่ที่พบได้บ่อยที่สุดในการทดลองจริงคือช่อง โหว่ การตรวจจับและช่องโหว่เฉพาะที่^{[ 62 ]}ช่องโหว่การตรวจจับเกิดขึ้นเมื่ออนุภาค (โดยปกติคือโฟตอน) จำนวนเล็กน้อยถูกตรวจพบในการทดลอง ทำให้สามารถอธิบายข้อมูลด้วยตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ได้ โดยสมมติว่าอนุภาคที่ตรวจพบเป็นตัวอย่างที่ไม่เป็นตัวแทน ช่องโหว่เฉพาะที่เกิดขึ้นเมื่อการตรวจจับไม่ได้ทำด้วยการแยกแบบสเปซไลค์ทำให้ผลลัพธ์ของการวัดหนึ่งมีอิทธิพลต่อการวัดอื่นได้โดยไม่ขัดแย้งกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ ในการทดลองบางอย่างอาจมีข้อบกพร่องเพิ่มเติมที่ทำให้สามารถอธิบายการละเมิดการทดสอบของเบลล์ด้วยตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ได้^{[ 63 ]}

แม้ว่าช่องโหว่ทั้งด้านตำแหน่งและการตรวจจับจะถูกปิดไปแล้วในการทดลองต่างๆ แต่ความท้าทายที่ยาวนานคือการปิดช่องโหว่ทั้งสองอย่างพร้อมกันในการทดลองเดียวกัน ซึ่งในที่สุดก็ทำได้สำเร็จในการทดลองสามครั้งในปี 2015 ^{[ 64 ] [ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]} เกี่ยวกับผลลัพธ์เหล่านี้Alain Aspectเขียนว่า "ไม่มีการทดลองใด... ที่สามารถกล่าวได้ว่าปราศจากช่องโหว่โดยสิ้นเชิง" แต่เขากล่าวว่าการทดลองเหล่านี้ "ขจัดข้อสงสัยสุดท้ายที่เราควรละทิ้ง" ตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่ และอ้างถึงตัวอย่างของช่องโหว่ที่เหลืออยู่ว่าเป็น "เกินจริง" และ "แปลกไปจากวิธีการให้เหตุผลตามปกติในฟิสิกส์" ^{[ 69 ]}

ความพยายามเหล่านี้ในการตรวจสอบการละเมิดความไม่เท่าเทียมกันของเบลล์ในเชิงทดลองจะส่งผลให้ Clauser, Aspect และAnton Zeilingerได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ประจำ ปี 2022 ในเวลาต่อมา ^{[ 70 ]}

ปฏิกิริยาต่อทฤษฎีบทของเบลล์มีมากมายและหลากหลาย Maximilian Schlosshauer, Johannes Kofler และ Zeilinger เขียนว่าความไม่เท่าเทียมกันของเบลล์เป็น "ตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมของวิธีที่เราสามารถมีผลลัพธ์ทางทฤษฎีที่เข้มงวดซึ่งได้รับการทดสอบโดยการทดลองจำนวนมาก และยังคงมีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับนัยยะ" ^{[ 71 ]}

โดยทั่วไป การตีความแบบโคเปนเฮเกนถือว่าการละเมิดความไม่เท่าเทียมกันของเบลล์เป็นเหตุผลในการปฏิเสธสมมติฐานที่มักเรียกว่าความแน่นอนเชิงสมมติหรือ "สัจนิยม" ซึ่งไม่จำเป็นต้องเหมือนกับการละทิ้งสัจนิยมในความหมายทางปรัชญาที่กว้างขึ้น^{[ 72 ] [ 73 ]}ตัวอย่างเช่นโรลันด์ ออมเนสโต้แย้งให้ปฏิเสธตัวแปรที่ซ่อนอยู่และสรุปว่า "กลศาสตร์ควอนตัมน่าจะเป็นทฤษฎีที่สมจริงที่สุดเท่าที่ทฤษฎีใดๆ ในขอบเขตและความสมบูรณ์ของมันจะเป็นได้" ^{[ 74 ] : 531} ในทำนองเดียวกันรูดอล์ฟ ไพเออร์ลส์ตีความข้อความของทฤษฎีบทของเบลล์ว่า เนื่องจากสมมติฐานของความเป็นท้องถิ่นนั้นสมเหตุสมผลทางกายภาพ "ตัวแปรที่ซ่อนอยู่ไม่สามารถนำมาใช้ได้โดยไม่ละทิ้งผลลัพธ์บางอย่างของกลศาสตร์ควอนตัม" ^{[ 75 ] [ 76 ]}

^{นี่เป็นเส้นทางที่การตีความที่ สืบทอด}มาจากประเพณีโคเปนเฮเกนใช้เช่นกัน เช่นประวัติศาสตร์ที่สอดคล้องกัน (มักโฆษณาว่าเป็น "โคเปนเฮเกนที่ถูกต้อง") ^{[ 77 ] : 2839}เช่นเดียวกับQBism [ ^{78 ]}

การตีความโลกหลายมิติหรือที่รู้จักกันในชื่อ การตีความ ของเอเวอเร็ตต์เป็นแบบโลคอลแบบไดนามิก หมายความว่าไม่จำเป็นต้องมีการกระทำจากระยะไกล [ ^{79 ] : 17} และเป็นแบบกำหนดได้ เพราะประกอบด้วยส่วนที่เป็นเอกภาพของกลศาสตร์ควอนตัมโดยไม่มีการยุบตัว สามารถสร้างความสัมพันธ์ที่ละเมิดอสมการของเบลล์ได้ เพราะเป็นการละเมิดสมมติฐานโดยปริยายของเบลล์ที่ว่าการวัดมีผลลัพธ์เดียว ในความเป็นจริง ทฤษฎีบทของเบลล์สามารถพิสูจน์ได้ในกรอบงานโลกหลายมิติจากสมมติฐานที่ว่าการวัดมีผลลัพธ์เดียว ดังนั้น การละเมิดอสมการของเบลล์จึงสามารถตีความได้ว่าเป็นการแสดงให้เห็นว่าการวัดมีผลลัพธ์หลายอย่าง^{[ 80 ]}

คำอธิบายที่ให้ไว้สำหรับความสัมพันธ์ของเบลล์คือ เมื่ออลิซและบ็อบทำการวัด พวกเขาจะแยกออกเป็นสาขาท้องถิ่น จากมุมมองของอลิซแต่ละคน จะมีบ็อบหลายคนที่ได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ดังนั้นบ็อบจึงไม่สามารถมีผลลัพธ์ที่แน่นอนได้ และเช่นเดียวกันจากมุมมองของบ็อบแต่ละคน พวกเขาจะได้รับผลลัพธ์ที่กำหนดร่วมกันได้อย่างดีก็ต่อเมื่อกรวยแสงในอนาคตของพวกเขาทับซ้อนกัน ณ จุดนี้เราสามารถกล่าวได้ว่าความสัมพันธ์ของเบลล์เริ่มมีอยู่ แต่เกิดขึ้นจากกลไกท้องถิ่นล้วนๆ ดังนั้น การละเมิดความไม่เท่าเทียมกันของเบลล์จึงไม่สามารถตีความได้ว่าเป็นหลักฐานของความเป็นไม่เป็นท้องถิ่น^{[ 79 ] : 28}

ผู้สนับสนุนแนวคิดตัวแปรซ่อนเร้นส่วนใหญ่เชื่อว่าการทดลองได้ตัดความเป็นไปได้ของตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ออกไปแล้ว^{[หมายเหตุ 5 ]}พวกเขาพร้อมที่จะละทิ้งความเป็นท้องถิ่น โดยอธิบายการละเมิดอสมการของเบลล์ด้วยทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นที่ ไม่ใช่เฉพาะ ที่ ซึ่งอนุภาคจะแลกเปลี่ยนข้อมูลเกี่ยวกับสถานะของพวกมัน นี่คือพื้นฐานของการตีความกลศาสตร์ควอนตัมของโบห์ม ซึ่งกำหนดให้ทุกอนุภาคในจักรวาลต้องสามารถแลกเปลี่ยนข้อมูลกับอนุภาคอื่นๆ ได้ทันที ความท้าทายอย่างหนึ่งสำหรับทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นที่ไม่ใช่เฉพาะที่คือการอธิบายว่าทำไมการสื่อสารแบบทันทีนี้จึงสามารถเกิดขึ้นได้ในระดับของตัวแปรซ่อนเร้น แต่ไม่สามารถใช้เพื่อส่งสัญญาณได้^{[ 83 ]}การทดลองในปี 2007 ได้ตัดทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นที่ไม่ใช่เฉพาะที่ที่ไม่ใช่โบห์มออกไปเป็นจำนวนมาก แม้ว่าจะไม่ใช่กลศาสตร์โบห์มเองก็ตาม^{[ 84 ]}

การตีความเชิงธุรกรรมซึ่งตั้งสมมติฐานว่าคลื่นเดินทางทั้งไปข้างหน้าและถอยหลังในเวลาก็ไม่ใช่แบบเฉพาะที่เช่นกัน^{[ 85 ]}

ข้อสมมติฐานที่จำเป็นในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเบลล์คือตัวแปรที่ซ่อนอยู่ไม่มีความสัมพันธ์กับการตั้งค่าการวัด ข้อสมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่านักทดลองมี " เจตจำนงเสรี " ในการเลือกการตั้งค่า และเป็นสิ่งจำเป็นในการทำวิทยาศาสตร์ตั้งแต่แรก ทฤษฎี (สมมติฐาน) ที่การเลือกการวัดมีความสัมพันธ์กับระบบที่กำลังวัดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้เรียกว่าทฤษฎีซูเปอร์ดีเทอร์มินิสติก^{[ 62 ]}

ผู้สนับสนุนแบบจำลองเชิงกำหนดบางส่วนยังคงไม่ละทิ้งตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่ ตัวอย่างเช่นGerard 't Hooftได้โต้แย้งว่าไม่สามารถละทิ้งซูเปอร์ดีเทอร์มินิซึมได้^{[ 86 ]}

เนื้อหาต่อไปนี้จัดทำขึ้นสำหรับบุคคลทั่วไป

• Afriat, A.; Selleri, F. (1999). ปรากฏการณ์ไอน์สไตน์ โพดอลสกี และโรเซน . นิวยอร์กและลอนดอน: Plenum Press.
• แบ็กก็อตต์, เจ. (1992). ความหมายของทฤษฎีควอนตัม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.
• กิลเดอร์, ลุยซา (2008). ยุคแห่งการพัวพัน: เมื่อฟิสิกส์ควอนตัมถือกำเนิดใหม่ . นิวยอร์ก: อัลเฟรด เอ. นอฟฟ์.
• กรีน, ไบรอัน (2004). โครงสร้างของจักรวาล . สำนักพิมพ์วินเทจ. ISBN 0-375-72720-5.
• Mermin, N. David (1981). "นำโลกอะตอมมาสู่บ้าน: ปริศนาควอนตัมสำหรับทุกคน". American Journal of Physics . 49 (10): 940– 943. Bibcode : 1981AmJPh..49..940M . doi : 10.1119/1.12594 . S2CID  122724592 .
• Mermin, N. David (เมษายน 1985). "ดวงจันทร์อยู่ที่นั่นเมื่อไม่มีใครมองหรือไม่? ความจริงและทฤษฎีควอนตัม". Physics Today . 38 (4): 38– 47. Bibcode : 1985PhT....38d..38M . doi : 10.1063/1.880968 .
• สการานี, วาเลริโอ (2019). ความไม่เป็นท้องถิ่นของเบลล์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด . ISBN 978-0-19-183032-7.

หัวข้อต่อไปนี้จะเน้นด้านเทคนิคมากกว่า

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: กลศาสตร์ควอนตัม

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเบลล์

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของเบลล์

• เมอร์มิน: การกระทำที่น่าขนลุกจากระยะไกล? การบรรยายของออปเพนไฮเมอร์
• Fieser, James; Dowden, Bradley (บรรณาธิการ). "ทฤษฎีบทของเบลล์" . สารานุกรมปรัชญาออนไลน์ . ISSN  2161-0002 . OCLC  37741658 .
• "อสมการเบลล์" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . EMS Press . 2001 [1994].