บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เชิงเทคนิคสำหรับลอการิทึม ทุกๆ กรณีของ${\displaystyle \log(x)}$ฐานที่ไม่มีตัวห้อยควรตีความว่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งมักเขียนว่า${\displaystyle \ln(x)}$หรือ${\displaystyle \log _{e}(x)}$.

ในทฤษฎีจำนวนสัจพจน์ของเบอร์ทรานด์คือทฤษฎีบทที่ว่า สำหรับจำนวนเต็ม ใดๆ${\displaystyle n>3}$มีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน อยู่เสมอ${\displaystyle p}$กับ

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

รูปแบบที่ยืดหยุ่นกว่าคือ: สำหรับทุกๆ${\displaystyle n>1}$จะมีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวนเสมอ${\displaystyle p}$โดยที่

${\displaystyle n<p<2n.}$

อีกรูปแบบหนึ่งคือ${\displaystyle p_{n}}$คือ${\displaystyle n}$จำนวนเฉพาะลำดับที่ -th คือ: สำหรับ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$^{[ 1 ]}

สมมติฐานนี้ได้รับการตั้งข้อสันนิษฐาน ครั้งแรก ในปี พ.ศ. 2388 โดยJoseph Bertrand [ ^{2 ] ซึ่งตรวจสอบ แล้ว}สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดจนถึง 3,000,000

เชบิเชฟพิสูจน์ได้ในปี พ.ศ. 2395 ^{[ 3 ]}ดังนั้นจึงเรียกทฤษฎีบทนี้ว่าทฤษฎีบทเบอร์ทรานด์-เชบิเชฟหรือทฤษฎีบทของเชบิเชฟทฤษฎีบทของเชบิเชฟยังสามารถระบุได้ว่าเป็นความสัมพันธ์กับ${\displaystyle \pi (x)}$ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ )${\displaystyle x}$):

${\displaystyle \pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1,{\text{ สำหรับทุก }}x\geq 2.}$

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (PNT) บ่งชี้ว่าจำนวนของจำนวนเฉพาะไม่เกิน${\displaystyle x}$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle \pi (x)}$โดยประมาณคือ${\displaystyle x/{\text{log}}(x)}$ดังนั้นหากเราแทนที่${\displaystyle x}$กับ${\displaystyle 2x}$จากนั้นเราจะเห็นจำนวนเฉพาะจนถึง${\displaystyle 2x}$มีค่าประมาณสองเท่าของจำนวนเฉพาะจนถึง${\displaystyle x}$(เงื่อนไข)${\displaystyle {\text{log}}(2x)}$และ${\displaystyle {\text{log}}(x)}$(เทียบเท่าเชิงอะซิมโทติก) ดังนั้น จำนวนจำนวนเฉพาะระหว่าง${\displaystyle n}$และ${\displaystyle 2n}$โดยประมาณ${\displaystyle n/{\text{log}}(n)}$เมื่อไร${\displaystyle n}$มีขนาดใหญ่ ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งจึงมีจำนวนเฉพาะในช่วง นี้ มากกว่าที่รับประกันโดยสัจพจน์ของเบอร์ทรานด์ ดังนั้นสัจพจน์ของเบอร์ทรานด์จึงอ่อนกว่าทฤษฎีบทพอลินคอล์น (PNT) แต่ก็ให้ข้ออ้างที่แม่นยำเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นสำหรับค่าเล็กๆ ของ${\displaystyle n}$.

ข้อสันนิษฐานของเลอจองเดอร์ที่คล้ายคลึงกันและยังหาคำตอบไม่ได้นั้น ถามว่าสำหรับทุกๆ${\displaystyle n\geq 1}$มีจำนวนเฉพาะ${\displaystyle p}$โดยที่${\displaystyle n^{2}<p<(n+1)^{2}}$อีกครั้งที่เราคาดว่าจะมีจำนวนเฉพาะไม่เพียงแค่หนึ่งจำนวน แต่จะมีจำนวนเฉพาะหลายจำนวนอยู่ระหว่างนั้น${\displaystyle n^{2}}$และ${\displaystyle (n+1)^{2}}$แต่ในกรณีนี้ PNT ไม่ได้ช่วยอะไร: จำนวนจำนวนเฉพาะจนถึง${\displaystyle x^{2}}$เป็นค่าประมาณเชิงเส้นกำกับของ${\displaystyle x^{2}/{\text{log}}(x^{2})}$ในขณะที่จำนวนของจำนวนเฉพาะจนถึง${\displaystyle (x+1)^{2}}$เป็นค่าประมาณเชิงเส้นกำกับของ${\displaystyle (x+1)^{2}/{\text{log}}((x+1)^{2})}$ซึ่งเป็นค่าประมาณเชิงเส้นกำกับของจำนวนเฉพาะจนถึง${\displaystyle x^{2}}$ดังนั้น จึงแตกต่างจากกรณีที่ผ่านมาของ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle 2x}$เราไม่ได้รับหลักฐานพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของเลอจองเดอร์สำหรับค่าขนาดใหญ่${\displaystyle n}$การประมาณค่าความคลาดเคลื่อนบนทฤษฎีบทพอลินคอล์น (PNT) ไม่เพียงพอ (และไม่สามารถเพียงพอ) ที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนเฉพาะแม้เพียงจำนวนเดียวในช่วงนี้ กล่าวโดยละเอียดแล้ว ทฤษฎีบทพอลินคอล์น (PNT) ช่วยให้สามารถประมาณขอบเขตสำหรับทุกจำนวนเฉพาะได้${\displaystyle \varepsilon >0}$มีอยู่จริง${\displaystyle S}$โดยที่สำหรับ${\displaystyle x>S}$:

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x^{2}}{2\log x}}\;<\;\pi (x^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x^{2}}{2\log x}}\;,}$

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}}{2\log(x+1)}}\;<\;\pi ((x+1)^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}}{2\log(x+1)}}\;.}$

อัตราส่วนระหว่างขอบล่าง${\textstyle \pi ((x+1)^{2})}$และขอบเขตบนของ${\textstyle \pi (x^{2})}$เป็น

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {\log x}{\log(x+1)}}\cdot {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\;.}$

โปรดทราบว่าเนื่องจาก${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}}}\rightarrow 1}$เมื่อไร${\displaystyle x\rightarrow \infty }$,${\displaystyle {\frac {\log x}{\log(x+1)}}<1}$สำหรับทุกx > 0และ${\displaystyle {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}<1}$สำหรับค่าคงที่${\displaystyle \varepsilon }$มีอยู่จริง${\displaystyle R}$โดยที่อัตราส่วนข้างต้นมีค่าน้อยกว่า 1 สำหรับทุกกรณี${\displaystyle x>R}$ดังนั้น จึงไม่รับประกันว่าจะมีจำนวนเฉพาะอยู่ระหว่างนั้น${\textstyle \pi (x^{2})}$และ${\textstyle \pi ((x+1)^{2})}$โดยทั่วไปแล้ว ขอบเขตอย่างง่ายเหล่านี้ไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่ระหว่างนั้น${\textstyle \pi (x^{n})}$และ${\textstyle \pi ((x+1)^{n})}$สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ${\displaystyle n>1}$.

ในปี พ.ศ. 2462 รามานุจัน (พ.ศ. 2430-2463) ใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันแกมมาเพื่อพิสูจน์ได้ง่ายกว่าเชบิเชฟ^{[ 4 ]}บทความสั้น ๆ ของเขารวมถึงการสรุปทั่วไปของสมมติฐาน ซึ่งต่อมาได้ก่อให้เกิดแนวคิดของจำนวนเฉพาะรามานุจันการสรุปทั่วไปเพิ่มเติมของจำนวนเฉพาะรามานุจันยังได้รับการค้นพบอีกด้วย ตัวอย่างเช่น มีการพิสูจน์ว่า

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }}i>k{\text{ where }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

กับ${\displaystyle p_{k}}$ที่${\displaystyle k}$จำนวนเฉพาะลำดับที่ - และ${\displaystyle R_{n}}$ที่${\displaystyle n}$-th Ramanujan prime.

การสรุปทั่วไปอื่นๆ ของสมมติฐานของแบร์ทรองด์ได้มาจากการใช้วิธีการพื้นฐาน (ต่อไปนี้)${\displaystyle n}$(วิ่งผ่านเซตของจำนวนเต็มบวก) ในปี 1973 เดนิส แฮนสันพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่ระหว่าง${\displaystyle 3n}$และ${\displaystyle 4n}$[ ^{5 ]} ในปี พ.ศ. 2549 ดูเหมือนว่า M. El Bachraoui จะไม่ทราบ ^{ผลลัพธ์} ของ Hanson จึงเสนอการพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่ระหว่าง${\displaystyle 2n}$และ${\displaystyle 3n}$[ ^{6 ]}การพิสูจน์ของ El Bachraoui เป็นการขยายข้อโต้แย้งของ Erdős สำหรับจำนวนเฉพาะ^{ระหว่าง}${\displaystyle n}$และ${\displaystyle 2n}$. Shevelev, Greathouse และ Moses (2013) อภิปรายผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องสำหรับช่วงเวลาที่คล้ายกัน^{[ 7 ]}

สัจพจน์ของเบอร์ทรานด์เกี่ยวกับจำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นการขยายแนวคิดเรื่องการกระจายของจำนวนเฉพาะ แต่ในกรณีนี้อยู่บนระนาบเชิงซ้อน ดังนั้น เนื่องจากจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนกระจายอยู่บนระนาบ ไม่ใช่เพียงแค่ตามแนวเส้นตรง และการคูณจำนวนเชิงซ้อน ด้วย 2 ไม่ใช่เพียงแค่การคูณด้วย 2 แต่เป็นการคูณค่ามาตรฐานของจำนวนนั้นด้วย 2 (การคูณด้วย 1/2)${\displaystyle 1+i}$) คำจำกัดความที่แตกต่างกันนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน บางส่วนยังคงเป็นการคาดเดา บางส่วนได้รับการพิสูจน์แล้ว^{[ 8 ]}

สมมติฐานของเบอร์ทรานด์ถูกเสนอขึ้นเพื่อประยุกต์ใช้กับกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนซิลเวสเตอร์ (ค.ศ. 1814–1897) ได้ขยายความข้อความที่อ่อนกว่าด้วยข้อความว่า: ผลคูณของ${\displaystyle k}$จำนวนเต็มที่เรียงติดกันมากกว่า${\displaystyle k}$หารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะที่มากกว่า${\displaystyle k}$ผลลัพธ์นี้ถูกค้นพบโดยอิสระในปี พ.ศ. 2462 โดยIssai Schurและปัจจุบันมักเรียกกันว่าทฤษฎีบท Sylvester– Schur ^{[ 9 ] [ 10 ]}

สมมติฐานของแบร์ทรองด์เป็นผลมาจากผลลัพธ์นี้ โดยการนำ${\displaystyle k=n}$และเมื่อพิจารณาถึง${\displaystyle k}$ตัวเลข${\displaystyle n+1,n+2,\dots ,n+k=2n}$, ที่ไหน${\displaystyle n>1}$ตามหลักการทั่วไปของซิลเวสเตอร์ หนึ่งในจำนวนเหล่านี้มีตัวประกอบเฉพาะที่มากกว่า ${\displaystyle k}$เนื่องจากตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้มีค่าน้อยกว่า${\displaystyle 2(k+1)}$จำนวนที่มีตัวประกอบเฉพาะมากกว่า${\displaystyle k}$มีตัวประกอบเฉพาะเพียงตัวเดียว ดังนั้น จึงเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก${\displaystyle 2n}$ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เรารู้ว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่${\displaystyle p}$กับ${\displaystyle n<p<2n}$.

ในปี ค.ศ. 1932 Erdős (1913–1996) ได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่ง่ายกว่าโดยใช้สัมประสิทธิ์ทวินามและฟังก์ชันเชบิเชฟ${\displaystyle \vartheta }$ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\log(p),}$

โดยที่p ≤ xวิ่งผ่านจำนวนเฉพาะ ดู รายละเอียด ในบทพิสูจน์ของสมมติฐานของเบอร์ทรานด์^{[ 11 ]}

เออร์โดสพิสูจน์ในปี 1934 ว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ${\displaystyle k}$มีจำนวนธรรมชาติ อยู่${\displaystyle N}$โดยที่สำหรับทั้งหมด${\displaystyle n>N}$มีอย่างน้อย${\displaystyle k}$จำนวนเฉพาะระหว่าง${\displaystyle n}$และ${\displaystyle 2n}$ข้อความที่เทียบเท่ากันนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในปี ค.ศ. 1919 โดยรามานุจัน (ดูรามานุจัน ไพรม์ )

จากทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ จะได้ว่าสำหรับจำนวนจริง ใดๆ${\displaystyle \varepsilon >0}$มี${\displaystyle n_{0}>0}$โดยที่สำหรับทั้งหมด${\displaystyle n>n_{0}}$มีไพรม์${\displaystyle p}$โดยที่${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$ตัวอย่างเช่น สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\varepsilon ,}$

ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle \pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}$มีค่าเข้าสู่ค่าอนันต์ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะมีค่ามากกว่า 1 สำหรับค่าที่มากพอ)${\displaystyle n}$). ^{[ 12 ]}

ขอบเขตที่ไม่ใช่เชิงอะซิมโทติกก็ได้รับการพิสูจน์แล้วเช่นกัน ในปี 1952 จิตสึโระ นากุระ ได้พิสูจน์ว่าสำหรับ${\displaystyle n\geq 25}$จะมีจำนวนเฉพาะอยู่ระหว่างนั้นเสมอ${\displaystyle n}$และ${\displaystyle {\bigl (}1+{\tfrac {1}{5}}{\bigr )}n}$[ ^{13 ]​}

ในปี 1976 โลเวลล์ โชเอนเฟลด์ได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับ${\displaystyle n\geq 2\,010\,760}$จะมีจำนวนเฉพาะเสมอ${\displaystyle p}$ในช่วงเวลาเปิด${\displaystyle n<p<{\bigl (}1+{\tfrac {1}{16\,597}}{\bigr )}n}$[ ^{14 ]​}

ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกปี 1998 ปิแอร์ ดูซาร์ทได้ปรับปรุงผลลัพธ์ข้างต้น โดยแสดงให้เห็นว่าสำหรับ${\displaystyle k\geq 463}$, ${\displaystyle p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{p_{k}}}}\right)p_{k}}$และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ${\displaystyle x\geq 3\,275}$มีจำนวนเฉพาะอยู่${\displaystyle p}$ในช่วงเวลา${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{x}}}\right)x}$[ ^{15 ]​}

ในปี 2010 ปิแอร์ ดูซาร์ท ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าสำหรับ${\displaystyle x\geq 396\,738}$มีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน${\displaystyle p}$ในช่วงเวลา${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{25\log ^{2}{x}}}\right)x}$[ ^{16 ]​}

ในปี 2016 ปิแอร์ ดูซาร์ท ได้ปรับปรุงผลลัพธ์ของเขาจากปี 2010 โดยแสดงให้เห็น (ข้อเสนอ 5.4) ว่าถ้า${\displaystyle x\geq 89\,693}$มีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน${\displaystyle p}$ในช่วงเวลา${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{\log ^{3}{x}}}\right)x}$[ ^{17 ] เขายังแสดงให้เห็น (บท สรุป} 5.5) ว่าสำหรับ${\displaystyle x\geq 468\,991\,632}$มีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน${\displaystyle p}$ในช่วงเวลา${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{5\,000\log ^{2}{x}}}\right)x}$.

เบเกอร์ ฮาร์แมน และพินซ์ พิสูจน์แล้วว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่ในช่วงดังกล่าว${\displaystyle [x-x^{0.525},\,x]}$สำหรับขนาดใหญ่พอสมควรทั้งหมด${\displaystyle x}$[ ^{18 ]​}

ดูเดคพิสูจน์ให้เห็นแล้วว่าสำหรับทุกคน${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$มีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวนอยู่ระหว่างนั้น${\displaystyle n^{3}}$และ${\displaystyle (n+1)^{3}}$[ ^{19 ]​}

นอกจากนี้ Dudek ยังพิสูจน์ได้ว่าสมมติฐานของ Riemannบ่งชี้ว่าสำหรับทุกๆ${\displaystyle x\geq 2}$มีไพรม์${\displaystyle p}$น่าพอใจ

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$^{[ 20 ]}

• ลำดับ ของ จำนวนเฉพาะ รวมทั้ง 1 เป็นลำดับสมบูรณ์ กล่าว คือ จำนวนเต็มบวกใดๆ ก็สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะ (และ 1) โดยใช้แต่ละจำนวนเฉพาะได้ไม่เกินหนึ่งครั้ง
• จำนวนฮาร์มอนิกเพียงจำนวนเดียวที่เป็นจำนวนเต็มคือจำนวน 1 ^{[ 21 ]}

• ข้อสันนิษฐานของออปเปอร์มันน์
• ช่องว่างหลัก
• การพิสูจน์สมมติฐานของแบร์ทรองด์
• รามานุจัน ไพรม์

• P. Erdős (1934), "ทฤษฎีบทของ Sylvester และ Schur", วารสารของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน , 9 (4): 282– 288, doi : 10.1112/jlms/s1-9.4.282
• Jitsuro Nagura (1952), "เกี่ยวกับช่วงเวลาที่ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน", Proc. Japan Acad. , 28 (4): 177– 181, doi : 10.3792/pja/1195570997
• คริส คัลด์เวลล์, สมมติฐานของเบอร์แทรนด์ในอภิธานศัพท์ของ Prime Pages
• H. Ricardo (2005), "สมมติฐานของโกลด์บัคบ่งชี้สมมติฐานของเบอร์ทรานด์" , Amer. Math. Monthly , 112 : 492
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). ทฤษฎีจำนวนเชิงการคูณ เล่ม 1 ทฤษฎีคลาสสิก . ชุดเอกสารเคมบริดจ์ด้านคณิตศาสตร์ขั้นสูง เล่มที่ 97. เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 49. ISBN 978-0-521-84903-6.
• J. Sondow (2009), "จำนวนเฉพาะของ Ramanujan และสมมติฐานของ Bertrand", Amer. Math. Monthly , 116 (7): 630– 635, arXiv : 0907.5232 , doi : 10.4169/193009709x458609

• Sondow, Jonathan & Weisstein, Eric W. "สมมติฐานของเบอร์ทรานด์" . MathWorld .
• ตัวอย่างการพิสูจน์เวอร์ชันอ่อนในระบบ Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• สัจพจน์ของแบร์ทรองด์ − การพิสูจน์เวอร์ชันอ่อนที่www.dimostriamogoldbach.it/en/