สมการพหุนามดีกรีหนึ่ง

${\displaystyle y=ax+b\;}$

เส้นตรงคือเส้นตรงที่มีความชัน เท่ากับ aเส้นตรงจะเชื่อมต่อจุดสองจุดใดๆ ดังนั้นสมการพหุนามดีกรีหนึ่งจึงเป็นสมการที่ลากผ่านจุดสองจุดใดๆ ที่มีพิกัด x ต่างกันได้อย่างพอดี

หากเพิ่มอันดับของสมการเป็นพหุนามดีกรีสอง จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\;.}$

เส้นนี้จะพอดีกับเส้นโค้งอย่างง่ายที่จุดสามจุดอย่างแม่นยำ

หากเพิ่มอันดับของสมการเป็นพหุนามดีกรีสาม จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;.}$

นี่จะพอดีกับจุดสี่จุดพอดี

กล่าวโดยทั่วไปแล้ว เส้นโค้งนั้นจะตรงตามข้อจำกัด สี่ข้ออย่างแม่นยำ แต่ละข้อจำกัดอาจเป็นจุดมุมหรือความโค้ง (ซึ่งเป็นส่วนกลับของรัศมีของวงกลมสัมผัส ) ข้อจำกัดเกี่ยวกับมุมและความโค้งมักจะถูกเพิ่มเข้าไปที่ปลายของเส้นโค้ง และในกรณีเช่นนี้เรียกว่าเงื่อนไขปลายเงื่อนไขปลายที่เหมือนกันมักใช้เพื่อให้แน่ใจว่าการเปลี่ยนผ่านระหว่างเส้นโค้งพหุนามภายในสปลาย เดียวเป็นไป อย่างราบรื่น ข้อจำกัดลำดับสูงกว่า เช่น "การเปลี่ยนแปลงอัตราความโค้ง" ก็สามารถเพิ่มเข้าไปได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้จะมีประโยชน์ใน การออกแบบทาง แยกต่าง ระดับบนทางหลวง เพื่อทำความเข้าใจอัตราการเปลี่ยนแปลงของแรงที่กระทำต่อรถยนต์ (ดูการกระชาก ) ขณะที่รถวิ่งผ่านทางแยกต่างระดับ และเพื่อกำหนดขีดจำกัดความเร็วที่เหมาะสมตามนั้น

สมการพหุนามดีกรีหนึ่งอาจเหมาะสมอย่างแม่นยำสำหรับจุดเดียวและมุมหนึ่ง ในขณะที่สมการพหุนามดีกรีสามอาจเหมาะสมอย่างแม่นยำสำหรับสองจุด ข้อจำกัดของมุม และข้อจำกัดของความโค้ง นอกจากนี้ยังสามารถใช้ข้อจำกัดอื่นๆ ได้อีกหลายแบบสำหรับสมการเหล่านี้และสมการพหุนามดีกรีสูงกว่า

หากมีข้อจำกัดมากกว่าn  +  1 ข้อ ( โดยที่ nคือดีกรีของพหุนาม) เส้นโค้งพหุนามก็ยังสามารถผ่านข้อจำกัดเหล่านั้นได้ การที่เส้นโค้งพอดีกับข้อจำกัดทั้งหมดอย่างแม่นยำนั้นไม่แน่นอน (แต่ก็อาจเกิดขึ้นได้ เช่น ในกรณีที่พหุนามดีกรีหนึ่งพอดีกับจุดสามจุดที่เรียงตัวกัน อย่างแม่นยำ ) อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว จำเป็นต้องมีวิธีการบางอย่างในการประเมินค่าประมาณแต่ละค่า วิธี การกำลังสองน้อยที่สุดเป็นวิธีหนึ่งในการเปรียบเทียบความคลาดเคลื่อน

มีเหตุผลหลายประการที่ทำให้ต้องใช้ค่าประมาณในการปรับสมการพหุนาม ทั้งๆ ที่สามารถเพิ่มดีกรีของสมการพหุนามเพื่อให้ได้ค่าที่ตรงกันอย่างแม่นยำได้:

• ถึงแม้ว่าจะมีการจับคู่ที่ตรงกันอย่างสมบูรณ์ แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าจะสามารถค้นหาได้โดยง่ายเสมอไป ขึ้นอยู่กับอัลกอริทึมที่ใช้ อาจมีกรณีที่แตกต่างกันออกไป ซึ่งไม่สามารถคำนวณการจับคู่ที่ตรงกันอย่างสมบูรณ์ได้ หรืออาจต้องใช้เวลาในการคำนวณมากเกินไปในการหาคำตอบ สถานการณ์เช่นนี้อาจต้องใช้คำตอบโดยประมาณ
• การหาค่าเฉลี่ยของจุดข้อมูลที่น่าสงสัยในตัวอย่าง แทนที่จะบิดเบือนเส้นโค้งเพื่อให้ตรงกับจุดข้อมูลเหล่านั้นอย่างแม่นยำ อาจเป็นผลที่พึงประสงค์
• ปรากฏการณ์ของรันเก : พหุนามอันดับสูงมักมีการแกว่งสูงมาก หากเส้นโค้งลากผ่านจุดสองจุดAและBก็คาดได้ว่าเส้นโค้งนั้นจะอยู่ใกล้จุดกึ่งกลางของAและBด้วยเช่นกัน แต่สิ่งนี้อาจไม่เกิดขึ้นกับเส้นโค้งพหุนามอันดับสูง ค่าของเส้นโค้งอาจมีขนาดใหญ่มากทั้งในค่าบวกหรือค่าลบในขณะที่พหุนามอันดับต่ำ เส้นโค้งมักจะอยู่ใกล้จุดกึ่งกลางมากกว่า (และรับประกันได้ว่าจะผ่านจุดกึ่งกลางอย่างแม่นยำสำหรับพหุนามดีกรี 1)
• เส้นโค้งพหุนามอันดับต่ำมักจะเรียบ ในขณะที่เส้นโค้งพหุนามอันดับสูงมักจะ "เป็นลอน" เพื่ออธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้น จำนวนจุดเปลี่ยนเว้า สูงสุด ที่เป็นไปได้ในเส้นโค้งพหุนามคือn-2โดยที่nคืออันดับของสมการพหุนาม จุดเปลี่ยนเว้าคือตำแหน่งบนเส้นโค้งที่รัศมีเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ เราอาจกล่าวได้ว่านี่คือจุดที่เส้นโค้งเปลี่ยนจาก "กักเก็บน้ำ" เป็น "ระบายน้ำ" โปรดทราบว่าพหุนามอันดับสูงนั้น "เป็นไปได้" ที่จะมีลักษณะเป็นลอน มันอาจจะเรียบก็ได้ แต่ไม่มีการรับประกัน ต่างจากเส้นโค้งพหุนามอันดับต่ำ พหุนามดีกรีสิบห้าอาจมีจุดเปลี่ยนเว้าได้มากที่สุดสิบสามจุด แต่ก็อาจมีสิบเอ็ดจุด เก้าจุด หรือจำนวนคี่ใดๆ ก็ได้ลงไปจนถึงหนึ่งจุด (พหุนามที่มีดีกรีเป็นเลขคู่สามารถมีจุดเปลี่ยนเว้าได้จำนวนคู่ใดๆ ก็ได้ตั้งแต่n  -  2 ลงไปจนถึงศูนย์)

ระดับของเส้นโค้งพหุนามที่สูงกว่าที่จำเป็นสำหรับการจับคู่ที่แม่นยำนั้นไม่เป็นที่พึงประสงค์ด้วยเหตุผลทั้งหมดที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้สำหรับพหุนามอันดับสูง แต่ยังนำไปสู่กรณีที่มีคำตอบเป็นอนันต์อีกด้วย ตัวอย่างเช่น พหุนามดีกรีหนึ่ง (เส้นตรง) ที่ถูกจำกัดด้วยจุดเพียงจุดเดียว แทนที่จะเป็นสองจุดตามปกติ จะให้คำตอบเป็นอนันต์ ซึ่งนำมาซึ่งปัญหาว่าจะเปรียบเทียบและเลือกคำตอบเพียงหนึ่งเดียวได้อย่างไร ซึ่งอาจเป็นปัญหาสำหรับทั้งซอฟต์แวร์และมนุษย์ ด้วยเหตุนี้ โดยทั่วไปแล้วจึงควรเลือกดีกรีที่ต่ำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับการจับคู่ที่แม่นยำกับข้อจำกัดทั้งหมด และอาจเลือกดีกรีที่ต่ำกว่านั้นอีกหากการจับคู่โดยประมาณเป็นที่ยอมรับได้

ในบางกรณี อาจใช้เส้นโค้งประเภทอื่น เช่นฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เช่น ไซน์และโคไซน์) ได้เช่นกัน

ในวิชาสเปกโทรสโกปี ข้อมูลอาจถูกปรับให้เข้ากับฟังก์ชันเกาส์เซียนลอเรนซ์โวอิกต์และฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง

ในชีววิทยา นิเวศวิทยา ประชากรศาสตร์ ระบาดวิทยา และสาขาวิชาอื่นๆ อีกมากมาย การเติบโตของประชากรการแพร่กระจายของโรคติดต่อ ฯลฯ สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันโลจิสติก

ในด้านการเกษตรฟังก์ชันซิกมอยด์แบบโลจิสติกผกผัน(เส้นโค้งรูปตัว S) ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายความสัมพันธ์ระหว่างผลผลิตพืชและปัจจัยการเจริญเติบโต รูปสีน้ำเงินสร้างขึ้นจากสมการถดถอยซิกมอยด์ของข้อมูลที่วัดได้ในพื้นที่เพาะปลูก จะเห็นได้ว่า ในช่วงเริ่มต้น กล่าวคือ ในดินที่มีความเค็มต่ำ ผลผลิตพืชจะลดลงอย่างช้าๆ เมื่อความเค็มของดินเพิ่มขึ้น ในขณะที่หลังจากนั้น การลดลงจะเกิดขึ้นเร็วขึ้น

Coope ^{[ 23 ]}เข้าถึงปัญหาการพยายามหาความพอดีทางสายตาที่ดีที่สุดของวงกลมกับชุดจุดข้อมูล 2 มิติ วิธีการนี้แปลงปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นตามปกติให้กลายเป็นปัญหาเชิงเส้นที่สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้วิธีการเชิงตัวเลขแบบวนซ้ำ จึงเร็วกว่าเทคนิคก่อนหน้านี้มาก

สมการของภาคตัดกรวย (รวมถึงวงรี) มีรูปแบบดังนี้ ^{[ 24 ]}

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

สำหรับจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน(x,y)บนขอบ สำหรับชุดข้อมูลของจุดที่กระจัดกระจาย(x ,y )และวงรีคงที่ ด้านขวาของสมการนี้จะไม่เป็นศูนย์อีกต่อไป แนวทางหนึ่งในการปรับจุดให้เข้ากับวงรีคือการหาพารามิเตอร์หกตัวAถึงFที่ทำให้ผลรวมของ (กำลังสองของ) ด้านขวาที่เหลืออยู่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งนำไปสู่ปัญหาการปรับแบบกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะแก้ได้โดยการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ เมทริกซ์ 6 x 6 ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งประกอบด้วยผลรวมของกำลังผสมของ( x ,y ) ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

เทคนิคข้างต้นขยายไปสู่วงรีทั่วไป^{[ 29 ]}โดยการเพิ่มขั้นตอนที่ไม่เป็นเชิงเส้น ส่งผลให้ได้วิธีการที่รวดเร็ว แต่ยังคงค้นหาวงรีที่สวยงามตามการวางแนวและการกระจัดแบบใดก็ได้ การปรับให้เข้ากับรูปทรงเรขาคณิตจะลดผลรวมของระยะทางตั้งฉากกำลังสองของจุดข้อมูลไปยังขอบของวงรีให้เหลือน้อยที่สุด ^{[ 30 ] [ 31 ]} วิธีการที่คล้ายกันซึ่งประมาณระยะทางตั้งฉากเหล่านี้ขึ้นอยู่กับเมตริกแซมป์สัน ^{[ 32 ] [ 33 ]}