ในทางคณิตศาสตร์ไบเวกเตอร์คือส่วนเวกเตอร์ของไบควอเทอร์เนียนสำหรับไบควอเทอร์เนียนq = w + x i + y j + z kนั้นwเรียกว่าบิสคาเลร์และx i + y j + z kคือส่วนไบเวกเตอร์ พิกัดw , x , y , zเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีหน่วยจินตนาการ h:

${\displaystyle x=x_{1}+\mathrm {h} x_{2},\ y=y_{1}+\mathrm {h} y_{2},\ z=z_{1}+\mathrm {h} z_{2},\quad \mathrm {h} ^{2}=-1=\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\คณิตศาสตร์ {k} ^{2}.}$

ไบเวกเตอร์สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของส่วนจริงและส่วนจินตนาการ:

${\displaystyle (x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} )+\mathrm {h} (x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} )}$

โดยที่และเป็นเวกเตอร์ดังนั้น ไบเวกเตอร์^{[ 1 ]}${\displaystyle r_{1}=x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} }$${\displaystyle r_{2}=x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} }$${\displaystyle q=x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k} =r_{1}+\mathrm {h} r_{2}.}$

ในการแสดงเชิงเส้นมาตรฐานของไบควอเทอร์เนียนในรูปเมทริกซ์เชิงซ้อน 2 × 2ที่กระทำบนระนาบเชิงซ้อนที่มีฐาน{1, h}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}hv&w+hx\\-w+hx&-hv\end{pmatrix}}}$แสดงถึงไบเวกเตอร์q = v i + w j + x k

เมทริกซ์ผกผันสังยุคของเมทริกซ์นี้สอดคล้องกับ −q ดังนั้นการแสดงแทนของไบเวกเตอร์qจึงเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนแบบเฉียง

วิลเลียม โรวัน แฮมิลตันเป็นผู้บัญญัติศัพท์ทั้งคำว่าเวกเตอร์และไบเวกเตอร์คำแรกตั้งชื่อตามควอเทอร์เนียน และคำที่สองประมาณหนึ่งทศวรรษต่อมา ดังที่ปรากฏในLectures on Quaternions (1853) ^{[ 1 ] :} 665 วิลลาร์ด กิบบ์สได้รวมบันทึกเกี่ยวกับไบเวกเตอร์ไว้ในElements of Vector Analysis (1884) ของเขา เขาใช้ไบเวกเตอร์สำหรับ ตำรา Vector Analysis (1901) ของเอ็ดวิน บิดเวลล์ วิลสันโดยอิงจากบทบรรยายของเขา^{[ 2 ] : 249} ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดไบเวกเตอร์r = r 1 ₊ h r ₂วงรีที่r ₁และr ₂เป็นคู่ของกึ่งเส้นผ่านศูนย์กลางสั งยุค เรียกว่าวงรีทิศทางของไบเวกเตอร์r ^{[ 2 ] : 436}

Ludwik Silbersteinศึกษาสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่ซับซ้อนE + h Bซึ่งมีส่วนประกอบสามส่วน แต่ละส่วนเป็นจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่าเวกเตอร์ Riemann– Silberstein ^{[ 3 ] [ 4 ]}

การพิจารณา การแทน ค่าไบควอเทอร์เนียนของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโดยใช้ทฤษฎีลีทำให้ไบเวกเตอร์มีความสำคัญมากขึ้น: พีชคณิตลีของกลุ่มลอเรนซ์ถูกแสดงโดยไบเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าr ₁และr ₂เป็นเวกเตอร์ขวาที่ทำให้แล้วเส้นโค้งไบควอเทอร์เนียน{exp θr ₁  : θ ∈ R }จะลากเส้นซ้ำไปซ้ำมาบนวงกลมหน่วยในระนาบ{ x + yr ₁  : x , y ∈ R }วงกลมดังกล่าวสอดคล้องกับพารามิเตอร์การหมุนในอวกาศของกลุ่มลอเรนซ์ ${\displaystyle r_{1}^{2}=-1=r_{2}^{2}}$

ตอนนี้(h r ₂ ) ² = (−1)(−1) = +1และเส้นโค้งไบควอเทอร์เนียน{exp θ (h r ₂ ) : θ ∈ R }เป็นไฮเปอร์โบลาหน่วยในระนาบ{ x + yr ₂  : x , y ∈ R } การแปลงปริภูมิเวลาในกลุ่มลอเรนซ์ที่นำไปสู่การหดตัวของฟิตซ์เจอรัลด์และการยืดเวลาขึ้นอยู่กับ พารามิเตอร์ มุมไฮเปอร์โบลิกตามคำกล่าวของโรนัลด์ ชอว์ "ไบเวกเตอร์คือลอการิทึมของการแปลงลอเรนซ์" ^{[ 5 ]}

ผล คูณคอมมิวเทเตอร์ของพีชคณิตลีนี้ก็คือสองเท่าของผลคูณไขว้บนR³ ^{ตัวอย่าง}เช่น[i,j] = ij − ji = 2kซึ่งก็คือสองเท่าของi × jดังที่ Shaw เขียนไว้ในปี 1970:

เป็นที่ทราบกันดีว่าพีชคณิตลีของกลุ่มลอเรนซ์เอกพันธุ์สามารถถือได้ว่าเป็นพีชคณิตลีของไบเวกเตอร์ภายใต้การสลับตำแหน่ง [...] พีชคณิตลีของไบเวกเตอร์โดยพื้นฐานแล้วคือพีชคณิตลีของเวกเตอร์ 3 มิติเชิงซ้อน โดยผลคูณลีถูกกำหนดให้เป็นผลคูณไขว้ที่คุ้นเคยในปริภูมิ 3 มิติ (เชิงซ้อน) ^{[ 6 ]}

"ไบเวกเตอร์ [...] ช่วยอธิบายคลื่นระนาบที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีการโพลาไรซ์แบบวงรี – เวกเตอร์หนึ่งสำหรับทิศทางการแพร่กระจาย อีกเวกเตอร์หนึ่งสำหรับแอมพลิจูด" ^{[ 7 ]}