แหล่งที่มา: ^{[ 4 ]}

แหล่งที่มา: ^{[ 5 ]}

เรากำหนดตัวดำเนินการการแปล $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}}$$ กับ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$$ เราใช้สมมติฐานของศักยภาพคาบเฉลี่ย $${\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )}$$ และการประมาณอิเล็กตรอนอิสระด้วยแฮมิลโทเนียน $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )}$$ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน จึงสามารถสลับตำแหน่งกับตัวดำเนินการเลื่อนได้ $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0}$$ และตัวดำเนินการทั้งสองจะมีชุดฟังก์ชันเฉพาะร่วมกัน ดังนั้น เราจึงเริ่มพิจารณาฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการการแปล: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )}$$ ที่ให้ไว้${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }}$เป็นตัวดำเนินการบวก $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )}$$ ถ้าเราแทนสมการค่าลักษณะเฉพาะลงไปตรงนี้ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$เรามี $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}}$$

นี่เป็นเรื่องจริงสำหรับ $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }}$$ ที่ไหน${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$หากเราใช้เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานกับเซลล์พื้นฐานเดี่ยวที่มีปริมาตร V $${\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} }$$ และด้วยเหตุนี้ $${\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}}$$และ$${\displaystyle s=ik}$$ที่ไหน${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$. ในที่สุด, $${\displaystyle \mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),}$$ ซึ่งเป็นความจริงสำหรับคลื่นบล็อก เช่น สำหรับ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$กับ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )}$

การแปลทั้งหมดเป็นแบบเอกภาพและแบบอาเบเลียนการแปลสามารถเขียนได้ในรูปของเวกเตอร์หน่วย $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}}$$ เราอาจมองว่าสิ่งเหล่านี้เป็นผู้ให้บริการขนส่งผู้โดยสารระหว่างเมือง $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}}$$ที่ไหน$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}}$$

คุณสมบัติการสลับที่ของ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}}$ตัวดำเนินการให้กลุ่มย่อยวัฏจักรที่สลับกันได้สามกลุ่ม (โดยที่สามารถสร้างได้โดยใช้องค์ประกอบเพียงตัวเดียว) ซึ่งเป็นอนันต์ มิติเดียว และอาเบเลียน การแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ทั้งหมดของกลุ่มอาเบเลียนมีมิติเดียว^{[ 8 ]}

เนื่องจากเป็นกลุ่มมิติเดียว เมทริกซ์แทนกลุ่มและอักขระจึงเหมือนกัน อักขระคือการแทนกลุ่มด้วยจำนวนเชิงซ้อน หรืออาจกล่าวได้ว่าเป็นร่องรอยของการแทนกลุ่มซึ่งในกรณีนี้คือเมทริกซ์มิติเดียว กลุ่มย่อยทั้งหมดเหล่านี้ เนื่องจากเป็นกลุ่มวัฏจักร จึงมีอักขระที่เป็นรากของเอกภาพ ที่เหมาะสม ที่จริงแล้วพวกมันมีตัวสร้างเพียงตัวเดียว${\displaystyle \gamma }$ซึ่งจะต้องเชื่อฟัง${\displaystyle \gamma ^{n}=1}$และด้วยเหตุนี้จึงมีลักษณะนิสัย${\displaystyle \chi (\gamma )^{n}=1}$โปรดทราบว่าในกรณีของกลุ่มวัฏจักรจำกัดนั้นทำได้ง่าย แต่ในกรณีของกลุ่มวัฏจักร อนันต์ที่นับได้ (เช่น กลุ่มการแปลในที่นี้) จะมีขีดจำกัดสำหรับ${\displaystyle n\to \infty }$โดยที่ตัวละครยังคงมีขอบเขตจำกัด

เนื่องจากตัวอักษรเป็นรากฐานของความเป็นเอกภาพ ดังนั้นสำหรับแต่ละกลุ่มย่อย ตัวอักษรจึงสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}$$

ถ้าเรานำเงื่อนไขขอบเขต Born–von Karman มา ใช้กับศักยภาพ: $${\displaystyle V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )}$$ โดยที่Lคือคาบเวลาในระดับมหภาคในทิศทาง${\displaystyle \mathbf {a} }$ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นผลคูณของ${\displaystyle a_{i}}$ที่ไหน${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

การแทนที่สม การชโรดิงเกอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาด้วยแฮมิลโทเนียนที่มีประสิทธิภาพอย่างง่าย นี้$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}$$ ทำให้เกิดความเป็นคาบด้วยฟังก์ชันคลื่น: $${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )}$$

และสำหรับแต่ละมิติจะมีตัวดำเนินการแปลที่มีคาบL$${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}$$

จากตรงนี้เราจะเห็นได้ว่าตัวอักษรนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการแปล${\displaystyle L_{i}}$: $${\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}$$ และจากสมการสุดท้าย เราจะได้เงื่อนไขเป็นคาบสำหรับแต่ละมิติ: $${\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}}$$ ที่ไหน${\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }$เป็นจำนวนเต็มและ${\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}$

เวกเตอร์คลื่น${\displaystyle k_{1}}$ระบุการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ในลักษณะเดียวกับ${\displaystyle m_{1}}$, และ${\displaystyle L_{1}}$คือความยาวคาบระดับมหภาคของผลึกในทิศทาง${\displaystyle a_{1}}$ในบริบทนี้ เวกเตอร์คลื่นทำหน้าที่เป็นเลขควอนตัมสำหรับตัวดำเนินการการแปล

เราสามารถสรุปหลักการนี้ได้ใน 3 มิติ ${\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}}$ และสูตรทั่วไปสำหรับฟังก์ชันคลื่นจะเป็นดังนี้: $${\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)}$$ เช่น การเชี่ยวชาญเฉพาะด้านสำหรับการแปล $${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})}$$ และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของบล็อกแล้ว