กราฟพันธะ (Bond graph)คือภาพกราฟิกที่แสดงถึง การไหล ของพลังงานผ่านและระหว่างระบบพลวัตทาง กายภาพ ซึ่งรวมถึงระบบในด้านไฟฟ้ากลศาสตร์ ไฮ ดรอลิกความร้อน และเคมีใช้ในการจำลองและวิเคราะห์ระบบที่เกี่ยวข้องกับวิศวกรรมและชีววิทยาระบบ

เนื่องจากแนวคิดเรื่องพลังงานเป็นสิ่งที่พบได้ทั่วไปในทุกสาขาทางฟิสิกส์ แผนภาพพันธะจึงให้คำอธิบายที่เป็นเอกภาพของสาขาพลังงานเหล่านี้ทั้งหมด และสามารถมองได้ว่าเป็นการใช้หลักการเปรียบเทียบทางฟิสิกส์อย่างเป็นระบบ ซึ่งนำเสนอโดยนักวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 อย่างเจมส์ คลาร์ก-แม็กซ์เวลล์และลอร์ด เคลวินการเปรียบเทียบระหว่างกลศาสตร์และไฟฟ้าเป็นตัวอย่างหนึ่งของการเปรียบเทียบทางฟิสิกส์

กราฟพันธะใช้แนวคิดของตัวแปรคู่ควบ กำลังที่คล้ายคลึงกัน ซึ่งผลคูณของตัวแปรเหล่านี้คือการไหลของพลังงาน หรือกำลัง ตัวแปรคู่เหล่านี้เรียกว่า แรงพยายามและการไหล และตัวอย่างเช่น จะสอดคล้องกับแรงดันไฟฟ้าและกระแส ไฟฟ้า ในโดเมนไฟฟ้า และแรงและความเร็วในโดเมนกลศาสตร์ ตัวแปรคู่ควบกำลังเหล่านี้ถูกส่งผ่านโดยพันธะที่เชื่อมต่อส่วนประกอบของกราฟพันธะเข้าด้วยกัน

ส่วนประกอบของกราฟบอนด์ยังอิงตามหลักการเปรียบเทียบ โดยใช้โดเมนทางไฟฟ้าและทางกลเป็นตัวอย่าง ได้แก่ ส่วนประกอบ C เพื่อแทนทั้งสปริงเชิงกลและตัวเก็บ ประจุไฟฟ้า ส่วนประกอบ I เพื่อแทนทั้งความเฉื่อย เชิงกลและ ตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้าและส่วนประกอบ R เพื่อแทนทั้งตัวหน่วง เชิงกล และตัวต้านทานไฟฟ้า

แนวคิดวงจรไฟฟ้าของการต่อแบบขนานและแบบอนุกรมถูกสรุปเป็น 0-junction และ 1-junction ในศัพท์เฉพาะของกราฟพันธะ และถูกนำมาใช้เป็นอนาล็อกของการเชื่อมต่อสำหรับแต่ละโดเมนทางกายภาพอีกครั้ง

ส่วนประกอบทรานส์ฟอร์เมอร์ (TF) และไจเรเตอร์ (GY) ในแผนภาพบอนด์แสดงถึงการแปลงพลังงานภายในและระหว่างโดเมน ดังนั้นเกียร์ทดรอบในอุดมคติในโดเมนกลไกการหมุนจึงแสดงด้วยส่วนประกอบ TF และมอเตอร์กระแสตรงใน อุดมคติ ที่แปลงพลังงานไฟฟ้าเป็นพลังงานกลจะแสดงด้วยส่วนประกอบ GY ส่วนทรานสดิวเซอร์ที่ไม่เป็นอุดมคติที่มีความยืดหยุ่น ความเฉื่อย และแรงเสียดทาน จะถูกจำลองโดยการรวมส่วนประกอบ C, I และ R เข้าไปด้วย

แนวคิดเรื่องความเป็นเหตุเป็นผลในบริบทของกราฟพันธะ ไม่เพียงแต่ใช้ในการสร้างสมการระบบในรูปแบบต่างๆ รวมถึงสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) รูปแบบ ปริภูมิสถานะและสมการเชิงอนุพันธ์พีชคณิต (DAE) ที่เหมาะสมสำหรับการจำลองเท่านั้น แต่ยังใช้ในการตรวจสอบคุณสมบัติของระบบพลวัต เช่น ความสามารถในการผกผันและพลวัตเป็นศูนย์ อีกด้วย นอกจากนี้ ความเป็นเหตุเป็นผลยังสามารถใช้เป็นแนวทางและแก้ไขการเลือกแบบจำลองได้อีกด้วย

การใช้กราฟพันธะในการแสดงการไหลของพลังงานนำไปสู่การสร้างแบบจำลองลำดับชั้นอย่างเป็นระบบของระบบหลายโดเมนขนาดใหญ่ ดังนั้นวิธีการกราฟพันธะจึงเป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์ขนาดใหญ่ หรือแฝดดิจิทัลของระบบทางกายภาพหลายโดเมน ซึ่งรวมถึงระบบที่เกี่ยวข้องไม่เพียงแต่กับวิศวกรรม เท่านั้น แต่ยังรวมถึงชีววิทยาเชิงระบบและวิทยาศาสตร์ชีวภาพด้วย

แนวทางการสร้างกราฟพันธะมีความเกี่ยวข้องกับ แนวทาง การสร้างแบบจำลองพฤติกรรมของJan C Willemsและแนวทางพอร์ต-แฮมิลโทเนียนของArjan van der Schaftและ BM Maschke

วิธีการกราฟพันธะ (Bond Graph Method) เดิมทีเสนอโดยเฮนรี เพย์นเตอร์ซึ่งนำวิธีการนี้ไปประยุกต์ใช้กับระบบทางวิศวกรรม ส่วนการใช้กราฟพันธะเพื่อสร้างแบบจำลอง ระบบ ทางชีวฟิสิกส์นั้น ริเริ่มโดยอาฮารอน คัทชัลสกีจอร์จ ออสเตอร์และอลัน เพอร์เรลสัน ในช่วงต้นทศวรรษ 1970

ลอร์ดเคลวินและเจมส์ คลาร์ก-แม็กซ์เวลล์ได้กล่าวถึงความสำคัญของการเปรียบเทียบระหว่างโดเมนทางกายภาพ^{[ 1 ] [ 2 ]}กราฟพันธะสามารถคิดได้ว่าเป็นแนวทางที่เป็นระบบสำหรับการเปรียบเทียบ^{[ 3 ]}ส่วนนี้เน้นคุณลักษณะสำคัญของการเปรียบเทียบกราฟพันธะ รายละเอียดเพิ่มเติมปรากฏในตำราเรียนและเอกสารการสอนจำนวนมาก^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 3 ]}

เพื่อเป็นการแนะนำคุณลักษณะสำคัญของกราฟพันธะ รูปภาพแสดงกราฟพันธะของระบบที่คล้ายคลึงกันสองระบบ ได้แก่ ระบบไฟฟ้าและระบบกลไก คำอธิบายโดยย่อมีอยู่ในที่นี้และจะขยายความในส่วนต่อไป

• ส่วนประกอบ C ในกราฟพันธะแสดงถึงตัวเก็บ ประจุไฟฟ้า C หรือสปริงเชิงกล K
• ส่วนประกอบ I ในกราฟความสัมพันธ์แสดงถึงตัวเหนี่ยวนำ ไฟฟ้า L หรือ มวลเชิงกลM
• ส่วนประกอบ R ในกราฟความสัมพันธ์แสดงถึงตัวต้านทาน ไฟฟ้า R หรือ ตัวหน่วงเชิงกลD
• สัญลักษณ์ฉมวกแสดงถึงพันธะที่ถ่ายโอนพลังงาน ทิศทางของฉมวกสอดคล้องกับการไหลของพลังงานในทิศทางบวก และเป็นเพียงข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายตัวแปรคู่ควบจะแสดงอยู่บนแต่ละพันธะเพื่อเป็นตัวอย่างประกอบ
• จุดเชื่อมต่อ 1 จุด แสดงถึงการต่อแบบอนุกรมของวงจรไฟฟ้าที่กระแสไฟฟ้า i ไหลผ่านแต่ละส่วนประกอบเท่ากัน และการเชื่อมต่อของส่วนประกอบทั้งสามในระบบกลไกที่ใช้ความเร็วร่วมกัน ดังนั้น ส่วนประกอบในกราฟความสัมพันธ์จึงมีกระแสไฟฟ้า f เท่ากัน แต่แรงกระทำแตกต่างกัน โดยสอดคล้องกับแรงดันไฟฟ้าและแรงของส่วนประกอบทางไฟฟ้าและกลไกตามลำดับ พลังงานจะถูกอนุรักษ์ไว้ที่จุดเชื่อมต่อโดยกำหนดให้แรงกระทำทั้งสามรวมกันเป็นศูนย์

แผนภาพความสัมพันธ์ใช้การเปรียบเทียบสามประเภท ได้แก่ การเปรียบเทียบระหว่างตัวแปร การเปรียบเทียบระหว่างส่วนประกอบ และการเปรียบเทียบระหว่างการเชื่อมต่อของส่วนประกอบ ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อถัดไป

กราฟพันธะใช้การไหลของพลังงานหรือกำลังเป็นพื้นฐานสำหรับการเปรียบเทียบเชิงนามธรรมระหว่างโดเมนทางกายภาพที่แตกต่างกัน^{[ 4 ]}ตัวแปรคู่ควบกำลังคือตัวแปรสองตัวที่มีผลคูณเป็นกำลัง และรายการของตัวแปรเหล่านี้ปรากฏในตารางสำหรับโดเมนทางกายภาพต่างๆ ดังที่ระบุไว้ในตาราง กราฟพันธะใช้การเปรียบเทียบความพยายาม/การไหลเพื่อจัดหมวดหมู่ตัวแปรคู่ควบทั้งสองตัว การเปรียบเทียบข้าม/ผ่านก็เป็นไปได้เช่นกัน แต่ไม่ค่อยได้ใช้^{[ 7 ] [ 8 ]}สัญลักษณ์กราฟพันธะแบบดั้งเดิมสำหรับความพยายามคือ e และสำหรับการไหลคือ f ^{[ 4 ]}

นอกจากตัวแปรกำลังคู่ควบ e และ f แล้ว กราฟพันธะยังใช้ตัวแปรบูรณาการสองตัวคือ p และ q โดยที่:

${\displaystyle p=\int ^{t}e(\tau )d\tau ~~~{\text{และ}}~~~q=\int ^{t}f(\tau )d\tau }$

หรือเทียบเท่า:

${\displaystyle {\dot {p}}={\frac {dp}{dt}}=e~~~{\text{และ}}~~~{\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}=f}$

สัญลักษณ์ฉมวกที่แสดงในรูปแทนพันธะพลังงาน หรือพันธะที่ถ่ายโอนพลังงาน ทิศทางของฉมวกสอดคล้องกับการไหลของพลังงานในทิศทางบวกและสอดคล้องกับข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมาย ตัวแปรคู่ควบจะแสดงอยู่บนแต่ละพันธะเพื่อเป็นตัวอย่างประกอบ

คำจำกัดความที่เชื่อมโยง p กับ e และ q กับ f จะแสดงเป็นแผนภาพ คุณสมบัติทางกายภาพถูกรวบรวมไว้ในสมการเชิงโครงสร้างที่เชื่อมโยงตัวแปรพลังงานและกำลัง ในแผนภาพ C แทนสมการเชิงโครงสร้างที่เชื่อมโยง q กับ e, I แทนสมการเชิงโครงสร้างที่เชื่อมโยง p กับ f และ R แทนสมการเชิงโครงสร้างที่เชื่อมโยง e กับ f แทนที่จะวาง e, f, p และ q ไว้ที่มุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังในแผนภาพ พวกมันสามารถวางไว้ที่จุดยอดทั้งสี่ของทรงสี่หน้า ได้เช่นกัน แผนภาพดังกล่าวเรียกว่าทรงสี่หน้าแห่งสถานะ^{[ 4 ]}

สมการองค์ประกอบทั้งสามนี้สอดคล้องกับส่วนประกอบสามส่วนที่เชื่อมโยง e และ f เข้าด้วยกัน ได้แก่ ส่วนประกอบไดนามิกสองส่วน C และ I ซึ่งรวมถึงอินทิเกรเตอร์และส่วนประกอบ R ^{[ 4 ]}ส่วนประกอบ C และ I จะเก็บพลังงานแต่ไม่กระจายพลังงาน ส่วน R จะกระจายพลังงานแต่ไม่เก็บพลังงาน นอกจากนี้ยังสามารถกำหนด ส่วนประกอบ เมมริสเตอร์ที่เชื่อมโยง p และ q ได้ แต่ส่วนประกอบนี้ไม่ค่อยได้ใช้กัน^{[ 9 ]}${\displaystyle \Phi _{C},\Phi _{I}~{\text{และ}}~\Phi _{R}}$

${\displaystyle \Phi _{C},\Phi _{I}~{\text{และ}}~\Phi _{R}}$อาจเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นหรือฟังก์ชันไม่เชิงเส้นที่เชื่อมโยงตัวแปรต่างๆ ดังนี้: 

${\displaystyle q=\Phi _{C}(e),~~p=\Phi _{I}(f)~~{\text{และ}}~~e=\Phi _{R}(f)}$

ในกรณีเชิงเส้น:

${\displaystyle q=Ce,~~p=If,~~e=Rf}$

โดยที่เป็นค่าคงที่สเกลาร์ที่แสดงถึงความจุทั่วไป ความเฉื่อย และความต้านทาน ตามลำดับ ${\displaystyle C,~I,~{\text{และ}}~R}$

เนื่องจาก e และ f เป็นตัวแปรคู่ควบ จึงอยู่บนพันธะเดียวกัน ดังนั้นส่วนประกอบทั้งสาม C, I และ R จึงเชื่อมต่อกันด้วยพันธะเดียว และมีช่องทางพลังงานเดียวที่พลังงานไหลผ่าน ส่วนประกอบและพันธะที่กระทบกันแสดงอยู่ในรูป ตามธรรมเนียม พันธะจะชี้ไปยังส่วนประกอบทั้งสามนี้

บางครั้งมีการใช้เครื่องหมายโคลอน (:) เพื่ออ้างถึงส่วนประกอบต่างๆ ตัวอย่างเช่น I:M, C:K และ R:D อาจถูกใช้ในแผนภาพความสัมพันธ์ของระบบมวล-สปริง-แดมเปอร์ เพื่อเน้นย้ำความเชื่อมโยงระหว่างส่วนประกอบในแผนภาพความสัมพันธ์กับส่วนประกอบทางกายภาพที่เทียบเคียงได้

แผนภาพวงจรไฟฟ้ามีการเชื่อมต่อสองประเภท: แบบขนานและแบบอนุกรม หรือแรงดันร่วมและกระแสร่วม โดยจะกระจายพลังงาน แต่ไม่เก็บหรือสูญเสียพลังงาน การเปรียบเทียบกราฟบอนด์ของการเชื่อมต่อแรงดันร่วมและกระแสร่วมคือจุดเชื่อมต่อ 0 (แรงร่วม) และจุดเชื่อมต่อ 1 (กระแสร่วม) ตามลำดับ โดยทั้งสองจะกระจายพลังงาน แต่ไม่เก็บหรือสูญเสียพลังงาน^{[ 4 ]}

พันธะทั้งหมดที่กระทบกับจุดเชื่อมต่อ 0 จะมีแรงกระทำเท่ากัน เนื่องจากพลังงานมีการกระจายตัว ไม่ใช่สูญเสียไป ดังนั้น ผลรวมของพลังงานขาเข้า (แสดงโดยพันธะที่ชี้เข้า) จะต้องเท่ากับผลรวมของพลังงานขาออก (แสดงโดยพันธะที่ชี้ออก) ดังนั้น หากแรงกระทำร่วมคือ e ข้อจำกัดการไหลของพลังงานจะบ่งชี้ว่า ผลรวมของพลังงานขาเข้าจะต้องเท่ากับผลรวมของพลังงานขา ออก${\displaystyle m}$${\displaystyle f_{i}^{in}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{j}^{out}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}f_{i}^{in}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}^{out}}$

โดยใช้เหตุผลเดียวกัน ความพยายามที่ส่งผลกระทบต่อทางแยก 1 ทาง จะถูกจำกัดโดย:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}e_{i}^{in}=\sum _{j=1}^{n}e_{j}^{out}}$

ระบบต่างๆ เช่น ระบบไฟฟ้าและกลไกอย่างง่ายในรูปนั้นไม่มีการเชื่อมต่อกับสิ่งแวดล้อม การเชื่อมต่อดังกล่าวอาจรวมถึงแรงดันไฟฟ้าภายนอกและแรงภายนอก (นั่นคือความพยายาม) และกระแสไฟฟ้าภายนอกและความเร็วภายนอก (นั่นคือการไหล) ในทำนองเดียวกัน การวัดความพยายามและการไหลภายนอกก็มีความสำคัญเช่นกัน เพื่อวัตถุประสงค์ในการสร้างระบบลำดับชั้น จึงสะดวกที่จะกำหนดพอร์ตพลังงานที่พลังงานสามารถไหลผ่านระหว่างระบบได้ ความเป็นไปได้ทั้งห้าประการนี้สอดคล้องกับส่วนประกอบกราฟพันธะห้าส่วน: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ${\displaystyle {\text{S}}_{e}}$แหล่งที่มาของแรงที่เทียบได้กับการใช้แรงดันไฟฟ้าภายนอกและแรงภายนอก
• ${\displaystyle {\text{S}}_{f}}$แหล่งกำเนิดการไหลที่คล้ายกับการใช้กระแสไฟฟ้าและความเร็วภายนอก
• ${\displaystyle {\text{D}}_{e}}$เซ็นเซอร์ (ตัวตรวจจับ) แรงที่ใช้วัด ซึ่งคล้ายกับการวัดแรงดันไฟฟ้าและแรง
• ${\displaystyle {\text{D}}_{f}}$เซ็นเซอร์วัดการไหล (ตัวตรวจจับ) ที่คล้ายกับการวัดกระแสและความเร็ว
• ${\displaystyle {\text{SS}}}$ส่วนประกอบแหล่งกำเนิด/เซ็นเซอร์ซึ่งทำหน้าที่ทั้งเป็นคู่และพอร์ตพลังงานสำหรับการเชื่อมต่อภายนอก^{[ 3 ]}${\displaystyle {\text{S}}_{e}}$${\displaystyle {\text{D}}_{f}}$${\displaystyle {\text{S}}_{f}}$${\displaystyle {\text{D}}_{e}}$

ตัวอย่างเช่น ระบบมวล-สปริง-แดมเปอร์สามารถเสริมด้วยแรงที่กระทำต่อมวลและการวัดความเร็วของมวลโดยใช้ส่วนประกอบ SS เพียงตัวเดียว มีการใช้สัญลักษณ์โคลอน โดย SS:io หมายถึงข้อเท็จจริงที่ว่าคู่ของแรงและความเร็วสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นอินพุตและเอาต์พุตของระบบ ${\displaystyle F}$${\displaystyle v}$

ตัวแปรความพยายามและการไหลแบบคู่กันมีหน่วยที่แตกต่างกันในแต่ละโดเมนพลังงาน ดังนั้นแบบจำลองในโดเมนหนึ่งจึงไม่สามารถเชื่อมต่อโดยตรงด้วยพันธะกับโดเมนพลังงานอื่นได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากกำลังมีหน่วยเดียวกัน (J/s หรือ W) ในแต่ละโดเมน จึงสามารถใช้ส่วนประกอบการแปลงพลังงานแบบสองพอร์ต TF และ GY เพื่อให้การเชื่อมต่อดังกล่าวได้^{[ 4 ]}เนื่องจากส่วนประกอบทั้งสองส่งผ่านพลังงาน แต่ไม่เก็บหรือกระจายพลังงาน ดังนั้นพลังงานที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรคู่กันของพันธะด้านซ้ายและด้านขวาจะต้องเท่ากัน

${\displaystyle e_{2}f_{2}=e_{1}f_{1}}$

แต่ละองค์ประกอบจะมีค่าสัมบูรณ์ที่เกี่ยวข้อง ในกรณีขององค์ประกอบ TF: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle e_{2}=me_{1}~~{\text{and}}~~f_{1}=mf_{2}}$

ในกรณีของส่วนประกอบ GY:

${\displaystyle e_{2}=mf_{1}~~{\text{and}}~~e_{1}=mf_{2}}$

ตัวอย่างเช่น ลูกสูบไร้แรงเสียดทานและไร้มวลที่มีพื้นที่หน้าตัดเท่ากับ 1 จะแปลงพลังงานไฮดรอลิกเป็นพลังงานกล โดยที่ความดันไฮดรอลิกมีความสัมพันธ์กับแรงกลดังนี้: ${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=AP}$

และอัตราการไหลของไฮดรอลิกต่อความเร็วของลูกสูบโดย: ${\displaystyle V}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle V=Av}$

ดังนั้น การ เปรียบเทียบ กราฟพันธะจึงเป็นส่วนประกอบ TF ที่มีโมดูลัสโดยที่และ${\displaystyle m=A}$${\displaystyle e_{1}=P,~~f_{1}=V}$${\displaystyle e_{2}=F,~~f_{2}=v}$

ตัวอย่างเช่น มอเตอร์กระแสตรงในอุดมคติจะแปลงพลังงานไฟฟ้าเป็นพลังงานกลแบบหมุน โดยที่แรงบิดเชิงกล มีความสัมพันธ์กับกระแสไฟฟ้าดังนี้: ${\displaystyle T}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle T=ki}$

และแปลง EMF ย้อนกลับ (แรงดันไฟฟ้า) เป็นความเร็วเชิงมุมโดย ${\displaystyle E}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle E=k\Omega }$

ดังนั้น การเปรียบเทียบกราฟพันธะจึงเป็นส่วนประกอบ GY ที่มีโมดูลัสโดย ที่และ${\displaystyle m=k}$${\displaystyle e_{1}=E,~~f_{1}=i}$${\displaystyle e_{2}=T,~~f_{2}=\Omega }$

ในทั้งสองกรณี พฤติกรรมการแปลงสัญญาณที่ไม่เป็นไปตามอุดมคติสามารถจำลองได้โดยการรวมส่วนประกอบกราฟพันธะ C, I และ R เข้าไว้ในแบบจำลอง

กราฟพันธะถูกนำมาใช้เพื่อสร้างแบบจำลองระบบที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์ชีวภาพ รวมถึงสรีรวิทยาและชีววิทยา^{[ 10 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การใช้กราฟพันธะเพื่อสร้างแบบจำลอง ระบบ ทางชีวฟิสิกส์ได้รับการแนะนำโดยAharon Katchalsky , George Osterและ Alan Perelson ในช่วงต้นทศวรรษ 1970 ^{[ 11 ] [ 12 ]} เมื่อไม่นานมานี้ แนวคิดเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในบริบทของชีววิทยาระบบเพื่อให้ได้แนวทางที่ใช้พลังงานในการสร้างแบบจำลองระบบปฏิกิริยาชีวเคมีของชีววิทยาเซลล์^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}และเพื่อสร้างแบบจำลองสรีรวิทยา โดยรวม ^{[ 16 ]}

แนวทางการสร้างกราฟพันธะมีคุณสมบัติหลายประการที่ทำให้เป็นพื้นฐานที่ดีสำหรับการสร้างแบบจำลองการคำนวณ ขนาดใหญ่ของ สรีรวิทยาของร่างกาย

• มันมีพื้นฐานมาจากพลังงาน ซึ่งหมายความว่า:
  • แบบจำลองมีความสมเหตุสมผลทางกายภาพ^{[ 17 ]}
  • สมดุลโดยละเอียด (เงื่อนไขของ Wegscheider) สำหรับจลนศาสตร์ปฏิกิริยาเป็นไปตามเงื่อนไขโดยอัตโนมัติ^{[ 18 ]}
  • สามารถพิจารณาการไหลเวียน การใช้งาน และการสูญเสียพลังงานได้โดยตรง
• เป็นแบบโมดูลาร์ : ส่วนประกอบกราฟพันธะสามารถเป็นกราฟพันธะได้ด้วยตัวเอง^{[ 19 ] [ 20 ]}
• การถ่ายโอนพลังงานระหว่างโดเมนทางกายภาพแสดงได้ง่ายๆ ดังนี้^{[ 16 ]} - ดูด้านล่าง
• รหัสเชิงสัญลักษณ์ซึ่งอาจใช้สำหรับการจำลองสามารถสร้างขึ้นโดยอัตโนมัติ^{[ 21 ]}

ตัวแปรในกราฟพันธะสำหรับระบบชีวเคมีมีดังนี้:

• การแทนที่: ปริมาณของสารเคมีที่วัดเป็นโมลสัญลักษณ์ (mol)${\displaystyle x}$
• อัตราการไหล: อัตราการเปลี่ยนแปลงของชนิดสารเคมี สัญลักษณ์ (โมล/วินาที)${\displaystyle v}$
• ความพยายาม: ศักยภาพทางเคมีหรือพลังงานกิบส์ต่อโมลของสารเคมี สัญลักษณ์(J/mol) ^{[ 22 ]}${\displaystyle \mu }$

โปรดทราบว่า ผลคูณของแรงพยายามและอัตราการไหล (μv) นั้น เท่ากับกำลัง (J/s) เสมอในรูปแบบการเขียนกราฟพันธะ

ดังรายละเอียดด้านล่าง คุณสมบัติหลักของส่วนประกอบที่ใช้ในการจำลองระบบชีวเคมีมีดังนี้: ส่วนประกอบ R และ C ไม่เป็นเชิงเส้น ไม่จำเป็นต้องมีส่วนประกอบ I และส่วนประกอบ R ถูกแทนที่ด้วยส่วนประกอบ Re สองพอร์ต^{[ 15 ]}

ส่วนประกอบของกราฟพันธะศูนย์ (0) และหนึ่ง (1) ไม่แตกต่างกันในบริบทนี้

ส่วนประกอบ C จะรวมการไหลเพื่อให้ได้ปริมาณของชนิดต่างๆ: ${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x(t)=\int ^{t}v(\tau )d\tau }$

ความพยายาม ศักยภาพทางเคมีกำหนดโดยสูตร: ^{[ 15 ] [ 22 ]}${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =\mu ^{0}+RT\ln {\frac {x}{x^{0}}}}$

โดยที่คือศักย์ทางเคมีที่สอดคล้องกับคือค่าคงที่ของแก๊สและคืออุณหภูมิสัมบูรณ์ในหน่วยองศาเคลวิน ${\displaystyle \mu ^{0}}$${\displaystyle x=x^{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$

สูตรสำหรับสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้ดังนี้: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =RT\ln Kx}$ที่ไหน${\displaystyle K={\frac {1}{x^{0}}}\exp {\frac {\mu ^{0}}{RT}}}$

เนื่องจากองค์ประกอบ C ชนิดพิเศษนี้มีรูปแบบเฉพาะ จึงบางครั้งจึงได้รับชื่อพิเศษว่า Ce ในลักษณะเดียวกับองค์ประกอบ Re ที่มีลักษณะพิเศษเช่นกัน

ส่วนประกอบ Re (ปฏิกิริยา) มีพอร์ตพลังงานสองพอร์ตที่สอดคล้องกับด้านซ้าย (ไปข้างหน้า) และด้านขวา (ย้อนกลับ) ของปฏิกิริยาเคมี ความสัมพันธ์ไปข้างหน้าและย้อนกลับถูกกำหนดให้เป็นศักยภาพทางเคมีสุทธิเนื่องจากชนิดของสารทางด้านซ้ายและด้านขวาของปฏิกิริยาตามลำดับ จากนั้นส่วนประกอบ Re จะให้การไหลของปฏิกิริยาดังนี้: ^{[ 15 ]}${\displaystyle A^{f}}$${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=\kappa \left(\exp {\frac {A^{f}}{RT}}-\exp {\frac {A^{r}}{RT}}\right)}$

โดยที่(mol/s) คือค่าคงที่อัตรา ${\displaystyle \kappa }$

โปรดทราบว่าไม่สามารถใช้ส่วนประกอบ R ปกติกับสูตร 1-junction ได้ เนื่องจากการไหลขึ้นอยู่กับทั้งความสัมพันธ์ไปข้างหน้าและย้อนกลับมากกว่าความแตกต่าง^{[ 13 ]}${\displaystyle A^{f}}$${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle A^{f}-A^{r}}$

แหล่งที่มา: ^{[ 13 ] [ 15 ]}

ปฏิกิริยาอย่างง่ายนี้แสดงได้ด้วยส่วนประกอบสามอย่าง: ${\displaystyle {\ce {A <=> B}}}$

• C:A แทนชนิด A ที่มีศักยภาพทางเคมีโดยมีการไหลเป็น.${\displaystyle \mu _{A}}$${\displaystyle -v}$
• C:B แทนชนิด B ที่มีศักยภาพทางเคมีโดยมีการไหลเป็น.${\displaystyle \mu _{B}}$${\displaystyle v}$
• Re_r1 แสดงถึงปฏิกิริยาที่มีการไหลความสัมพันธ์ไปข้างหน้าและความสัมพันธ์ย้อนกลับ${\displaystyle v}$${\displaystyle A^{f}=\mu _{A}}$${\displaystyle A^{r}=\mu _{B}}$
• พันธะและจุดเชื่อมต่อถ่ายโอนพลังงานเคมีโดยมีตัวแปรด้านแรงและอัตราการไหลตามที่ระบุไว้

เมื่อใช้สมการข้างต้น อัตราการไหลจะกำหนดโดย ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=\kappa \left(\exp {\frac {\mu _{A}}{RT}}-\exp {\frac {\mu _{B}}{RT}}\right)=\kappa \left(K_{A}x_{A}-K_{B}x_{B}\right)}$

โดยที่ตัวห้อยแสดงถึงชนิดของสาร นี่คือ สม การปฏิกิริยามวล อย่างง่าย :

${\displaystyle v=k^{+}x_{A}-k^{-}x_{B}}$

ที่ไหน. ${\displaystyle k^{+}=\kappa K_{A}{\text{ and }}k^{-}=\kappa K_{B}}$

ตามที่ได้กล่าวไว้ในส่วนที่ 1.4 ของ Keener & Sneyd ^{[ 22 ]}ปฏิกิริยาที่เร่งด้วยเอนไซม์ซึ่งเปลี่ยนสปีชีส์ไปเป็นสปีชีส์แบบ ย้อนกลับได้ ผ่านทางเอนไซม์และเอนไซม์คอมเพล็กซ์สามารถเขียนได้เป็นคู่ของปฏิกิริยาดังนี้: ${\displaystyle {\ce {A}}}$${\displaystyle {\ce {B}}}$${\displaystyle {\ce {E}}}$${\displaystyle {\ce {C}}}$

${\displaystyle {\ce {A + E <=> C <=> B + E}}}$

เอนไซม์เชิงซ้อนเกิดขึ้นจากและสลายตัวเป็นสารประกอบต่างๆ และปล่อยเอนไซม์ออกมาแผนภาพพันธะที่แสดงในรูปแสดงให้เห็นถึงวิธีการนำเอนไซม์กลับมาใช้ใหม่ ${\displaystyle {\ce {C}}}$${\displaystyle {\ce {A + E}}}$${\displaystyle {\ce {B}}}$${\displaystyle {\ce {E}}}$

สามารถใช้กราฟพันธะเพื่อหาคุณสมบัติของปฏิกิริยาเหล่านี้ซึ่งมีรูปแบบMichaelis-Menten ทั่วไป ^{[ 13 ]}

ส่วนประกอบ TF (transformer) ของกราฟพันธะแสดงถึงการถ่ายทอดพลังงานทั้งภายในหรือระหว่างโดเมนพลังงาน^{[ 4 ]} (โปรดทราบว่าส่วนประกอบ TF ถูกเรียกว่าส่วนประกอบ TD (transduction) ^{[ 11 ] [ 12 ]} - TF ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายมากกว่า^{[ 4 ]} ) ส่วนนี้มุ่งเน้นไปที่การถ่ายทอดระหว่างโดเมนทางเคมีที่มีแรงพยายาม(J/mol) และการไหล(mol/s) และโดเมนทั่วไปที่มีแรงพยายามและการไหล ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle v}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$

คุณสมบัติหลักของส่วนประกอบ TF คือการส่งผ่านพลังงานโดยไม่มีการสูญเสีย^{[ 4 ​​]}ดังนั้น เมื่ออ้างอิงถึงรูปภาพ:

${\displaystyle ef=\mu v}$

หม้อแปลงไฟฟ้ามีโมดูลัส m (พร้อมหน่วยที่เหมาะสม) ดังนี้:

${\displaystyle f=mv}$

สูตรพลังงานจึงบ่งชี้ว่า:

${\displaystyle \mu =me}$

สัดส่วนทางเคมีของปฏิกิริยากำหนดจำนวนของสารเคมีแต่ละชนิดที่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ปฏิกิริยาจะเปลี่ยนสารชนิด หนึ่ง 1 โมลไปเป็นสารอีกชนิดหนึ่ง m โมล ${\displaystyle {\ce {A <=> m B}}}$${\displaystyle {\ce {A}}}$${\displaystyle {\ce {B}}}$

กรณีที่สอดคล้องกับปฏิกิริยาง่ายๆ ของตัวอย่างแรกข้างต้น การใช้แนวทางเดียวกันสำหรับทั่วไปการไหลของปฏิกิริยาคือ: ^{[ 13 ] [ 15 ]}${\displaystyle m=1}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle v=\kappa \left(\exp {\frac {\mu _{A}}{RT}}-\exp {\frac {m\mu _{B}}{RT}}\right)=\kappa \left(K_{A}x_{A}-(K_{B}x_{B})^{m}\right)}$

ส่วนนี้จะพิจารณากรณีที่โดเมนทั่วไปเป็นโดเมนไฟฟ้า ดังนั้นแรงกระทำจึงเป็นแรงดันไฟฟ้า( ) และการไหลเป็นกระแสไฟฟ้า ( ) พิจารณาการไหลของไอออน ที่มี ประจุ โดยที่ประจุบนโมเลกุลคือ(คูลอมบ์) โดยที่คือประจุบนอิเล็กตรอนที่วัดในหน่วยคูลอมบ์ ดังนั้นประจุที่เกี่ยวข้องกับไอออนหนึ่งโมลจึงเป็น โดยที่คือค่าคงที่ของอะโวกาโดกระแสไฟฟ้าที่เทียบเท่าจึงเป็น ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle e={\mathcal {V}}}$${\displaystyle f=i}$${\displaystyle v}$${\displaystyle z\epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle z\epsilon N_{A}}$${\displaystyle N_{A}}$

${\displaystyle i=z\epsilon N_{A}v=z{\mathcal {F}}v}$โดยที่ค่าคงที่ฟาราเดย์คือ; ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของ TF ที่สอดคล้องกันคือ: ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\epsilon N_{A}}$

${\displaystyle m=z{\mathcal {F}}}$(C/mol)

กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ

${\displaystyle \mu =me=z{\mathcal {F}}{\mathcal {V}}}$

ในบริบทนี้ ส่วนประกอบ TF ของกราฟพันธะสามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลองการไหลของพลังงานที่เกี่ยวข้องกับ^{ศักยภาพ}การกระทำ^{[ 23 ]}ตัวขนส่งเมมเบรน [ ^{24 ] ศักยภาพ}การกระทำของหัวใจ [ ^{25 ]} และ ห่วงโซ่การขนส่งอิเล็กตรอน ของไมโตคอนเดรีย^{[ 26 ]}

พิจารณาโมเลกุลแข็งยาวเช่นแอคตินซึ่งมีหน่วยย่อยความยาว(ม.) เพิ่มเข้ามาในอัตรา(โมล/วินาที) จากนั้นความเร็วปลายจะกำหนดโดย: ^{[ 27 ]}${\displaystyle \delta }$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\delta N_{A}v}$ค่าคงที่ของอะโวกาโด อยู่ที่ไหน${\displaystyle N_{A}}$

ดังนั้นค่าโมดูลัส(ม./โมล) และ ${\displaystyle m=\delta N_{A}}$

${\displaystyle \mu =mF=\delta N_{A}F}$แรงที่ปลายนั้นอยู่ที่ตำแหน่ง ใด${\displaystyle F}$

สูตรเหล่านี้ถูกนำมาใช้^{[ 27 ]}เพื่อสร้างเส้นโค้งแรง/ความเร็วสำหรับเส้นใยแอคตินวิธีการนี้เป็นทางเลือกที่มีประโยชน์แทนวิธีการ Brownian Ratchet ^{[ 28 ]}เนื่องจากส่วนประกอบ TF ของกราฟพันธะสามารถนำไปใช้กับแบบจำลองกราฟพันธะแบบโมดูลาร์ของระบบเซลล์ได้^{[ 14 ]}

มีการสร้างแบบจำลองระบบจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับชีววิทยาระบบโดยใช้กราฟพันธะ ซึ่งรวมถึง:

• การรักษาสมดุลของเซลล์ลำไส้^{[ 29 ] [ 30 ]}
• การขนส่งกลูโคส^{[ 31 ]}
• การสร้างแบบจำลองทางไฟฟ้าสรีรวิทยาของเซลล์หัวใจ^{[ 30 ]}
• การไหลเวียนของเลือดในสมอง^{[ 32 ]}
• เครือข่ายควบคุมยีน^{[ 33 ]}
• การพอลิเมอไรเซชันของเส้นใยแอคติน^{[ 27 ]}
• ตัวกำเนิดการสั่นทางชีวเคมี^{[ 34 ]}
• การสังเคราะห์แสง^{[ 15 ]}
• การไหลเวียนโลหิต^{[ 35 ]}
• E. coliที่เรียบง่าย^{[ 36 ]}
• ห่วงโซ่การขนส่งอิเล็กตรอนของไมโตคอนเดรีย^{[ 37 ] [ 26 ]}
• ศักยภาพการกระทำ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

คำว่า "ความเป็นเหตุเป็นผล " มีการใช้งานและความหมายแฝงมากมาย อย่างไรก็ตาม ในบริบทของกราฟพันธะ คำนี้มีความหมายที่จำกัด แม่นยำ แต่สำคัญ และช่วยให้สามารถแปลงแบบจำลองกราฟพันธะของระบบเป็นรูปแบบอื่น ๆ ได้หลากหลาย รวมถึงการแสดงสถานะในปริภูมิ (แบบไม่เชิงเส้น) ^{[ 4 ]}แนวคิดเรื่องความเป็นเหตุเป็นผลยังสามารถใช้ในการตรวจสอบคุณสมบัติเชิงโครงสร้าง รวมถึงการผกผันของระบบที่แสดงโดยกราฟพันธะ ตลอดจนการเปิดเผยข้อผิดพลาดในการสร้างแบบจำลอง^{[ 6 ]}

แนวคิดเรื่องความเป็นเหตุเป็นผลแสดงให้เห็นผ่านสัญลักษณ์เส้นแสดงเหตุเป็นผล^{[ 4 ]}สัญลักษณ์นี้ถูกนำเสนอในรูปทั้งสามรูป โดยที่ส่วนประกอบ R, C และ I เชื่อมต่อกับพันธะที่เสริมด้วยเส้นแสดงเหตุเป็นผล: เส้นสั้นๆ ที่ตั้งฉากกับพันธะและอยู่ที่ปลายด้านใดด้านหนึ่ง (แต่ไม่ใช่ทั้งสองด้าน) ของพันธะ (เพื่อความชัดเจน ตัวเลขเหล่านี้สอดคล้องกับส่วนประกอบเชิงเส้น ในกรณีที่ไม่เป็นเชิงเส้นจะถูกแทนที่ด้วย และ ถูกแทนที่ด้วย และในทำนองเดียวกันสำหรับส่วนประกอบ C และ I ในขณะที่กราฟพันธะแบบไม่มีสาเหตุ (ไม่มีเส้นขีด) แสดงถึงชุดสมการ (ซึ่งด้านซ้ายและด้านขวาของสมการสามารถสลับกันได้โดยไม่เปลี่ยนความหมาย) กราฟพันธะแบบมีสาเหตุ (มีเส้นขีดบนพันธะแต่ละอัน) แสดงถึงชุดคำสั่งกำหนดค่า โดยที่ค่าของด้านซ้ายของคำสั่งกำหนดค่า (แทนด้วย :=) จะกลายเป็นค่าของนิพจน์ทางด้านขวาของคำสั่งกำหนดค่า ดังนั้น ตัวอย่างเช่น สมการองค์ประกอบของตัวต้านทานเชิงเส้นสามารถเขียนได้เป็น และโดยไม่เปลี่ยนความหมาย แต่ในทางตรงกันข้าม คำสั่งกำหนดค่าสองคำสั่ง e := Rf และ f := e/R นั้นแตกต่างกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีแรก ต้องทราบค่า f เพื่อคำนวณ e และในกรณีที่สอง ต้องทราบค่า e เพื่อคำนวณ f) ${\displaystyle Rf}$${\displaystyle \Phi _{R}(f)}$${\displaystyle e/R}$${\displaystyle \Phi _{R}^{-1}(e)}$${\displaystyle e=Rf}$${\displaystyle f=e/R}$

การแสดงคำสั่งการกำหนดค่าสามารถแสดงภาพกราฟิกได้เป็นแผนภาพบล็อก โดยที่คำสั่งการกำหนดค่าแต่ละคำสั่งจะแสดงเป็นบล็อก โดยอินพุตจะแสดงเป็นด้านขวาของคำสั่งการกำหนดค่า และเอาต์พุตจะแสดงเป็นด้านซ้ายของคำสั่งการกำหนดค่า^{[ 3 ] [ 4 ]}แผนภาพบล็อกสำหรับแต่ละความสัมพันธ์เชิงสาเหตุจะแสดงอยู่ในรูปภาพสำหรับแต่ละส่วนประกอบ โปรดทราบว่าความสัมพันธ์เชิงสาเหตุของส่วนประกอบแต่ละส่วนจะนำไปสู่แผนภาพบล็อกที่แตกต่างกัน

ภาพแสดงความสัมพันธ์เชิงสาเหตุของส่วนประกอบ R ด้วยสมการเชิงเส้น (a) การไหลถูกกำหนดให้กับ R และ R กำหนดแรงกระทำ ซึ่งสอดคล้องกับคำสั่งกำหนดค่า e := Rf และแผนภาพบล็อก (b) แรงกระทำถูกกำหนดให้กับ R และ R กำหนดการไหล ซึ่งสอดคล้องกับคำสั่งกำหนดค่า f := e/R และแผนภาพบล็อกที่เกี่ยวข้อง

ภาพแสดงความสัมพันธ์เชิงสาเหตุของส่วนประกอบ C ด้วยสมการเชิงโครงสร้างเชิงเส้น (a) มีการกำหนดการไหลให้กับ C และ C กำหนดแรงกระทำ ซึ่งสอดคล้องกับคำสั่งการกำหนดค่าและแผนภาพบล็อกที่เกี่ยวข้อง เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบอินทิกรัล (b) มีการกำหนดแรงกระทำให้กับ C และ C กำหนดการไหล ซึ่งสอดคล้องกับคำสั่งการกำหนดค่า และแผนภาพบล็อกที่เกี่ยวข้อง เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบอนุพันธ์ ${\displaystyle e:=q/C~~{\text{and}}~~q:=\int ^{t}f(\tau )d\tau }$${\displaystyle q:=Ce~~{\text{and}}~~f:={\frac {dq}{dt}}}$

ภาพแสดงความสัมพันธ์เชิงสาเหตุขององค์ประกอบ I ด้วยสมการเชิงเส้น (a) แรงกระทำถูกกำหนดให้กับ I และ I กำหนดให้มีการไหล ซึ่งสอดคล้องกับข้อความการกำหนดค่า และแผนภาพบล็อกที่เกี่ยวข้อง นี่เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบอินทิกรัล (b) การไหลถูกกำหนดให้กับ I และ I กำหนดให้มีแรงกระทำ ซึ่งสอดคล้องกับข้อความการกำหนดค่าและแผนภาพบล็อกที่เกี่ยวข้อง นี่เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบอนุพันธ์ ${\displaystyle f:=p/I~~{\text{and}}~~p:=\int ^{t}e(\tau )d\tau }$${\displaystyle p:=If~~{\text{and}}~~e:={\frac {dp}{dt}}}$

ส่วนประกอบ SS (source sensor) ทำหน้าที่เป็นทั้งแหล่งกำเนิดแรง ( ) และตัวตรวจจับการไหล ( ) เมื่อจังหวะที่เป็นสาเหตุอยู่ห่างจากส่วนประกอบ SS และในทางกลับกันรูปแสดงความสัมพันธ์เชิงสาเหตุของส่วนประกอบ SS (แหล่งกำเนิด/เซ็นเซอร์) (a) SS ทำหน้าที่เป็นทั้งแหล่งกำเนิดแรง ( ) และตัวตรวจจับการไหล ( ) (b) SS ทำหน้าที่เป็นทั้งแหล่งกำเนิดการไหล ( ) และตัวตรวจจับแรง ( ) ${\displaystyle S_{e}}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle S_{e}}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle S_{f}}$${\displaystyle D_{e}}$

ตามนิยามแล้ว ความพยายามทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับพันธะที่ส่งผลต่อจุดเชื่อมต่อ 0 นั้นเหมือนกัน ดังนั้นจึงสรุปได้ว่ามีเพียงพันธะเดียวเท่านั้นที่สามารถกำหนดสาเหตุของความพยายามได้ ในทำนองเดียวกัน กระแสทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับพันธะที่ส่งผลต่อจุดเชื่อมต่อ 1 นั้นเหมือนกัน ดังนั้นจึงสรุปได้ว่ามีเพียงพันธะเดียวเท่านั้นที่สามารถกำหนดสาเหตุของกระแสได้ ดังนั้น หากพันธะหนึ่งกำหนดสาเหตุของความพยายามที่จุดเชื่อมต่อ 0 จุดเชื่อมต่อดังกล่าวก็จะกำหนดความพยายามให้กับพันธะอื่นๆ และหากพันธะหนึ่งกำหนดสาเหตุของกระแสที่จุดเชื่อมต่อ 1 จุดเชื่อมต่อดังกล่าวก็จะกำหนดกระแสให้กับพันธะอื่นๆ

เมื่อส่วนประกอบพอร์ตเดียว (แหล่งที่มา, C, I และ R) เชื่อมต่อกันด้วยโครงสร้างจุดเชื่อมต่อที่ประกอบด้วยจุดเชื่อมต่อ 0, จุดเชื่อมต่อ 1, TF และ GY ความเป็นเหตุเป็นผลที่กำหนดให้กับส่วนประกอบพอร์ตเดียวแต่ละส่วนจะแพร่กระจายผ่านโครงสร้างจุดเชื่อมต่อเนื่องจากข้อจำกัดเชิงสาเหตุที่กำหนดโดยส่วนประกอบของโครงสร้างจุดเชื่อมต่อ การแพร่กระจายนี้สามารถนำไปใช้อย่างเป็นระบบโดยใช้ขั้นตอนการกำหนดความเป็นเหตุเป็นผลตามลำดับ (SCAP): ^{[ 4 ]}

1. เลือกแหล่งที่มาใดก็ได้ (SS, Se หรือ Sf) และกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุที่ต้องการ จากนั้นขยายความสัมพันธ์เชิงสาเหตุผ่านกราฟพันธะให้ไกลที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยใช้ข้อจำกัดขององค์ประกอบจุดเชื่อมต่อ (0 และ 1) และองค์ประกอบ TF และ GY
2. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 สำหรับส่วนประกอบต้นทางทั้งหมด
3. เลือกองค์ประกอบการจัดเก็บใดก็ได้ (C หรือ I) และกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบอินทิกรัล จากนั้นขยายความสัมพันธ์เชิงสาเหตุผ่านกราฟพันธะให้ไกลที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยใช้ข้อจำกัดขององค์ประกอบจุดเชื่อมต่อ (0 และ 1) และองค์ประกอบ TF และ GY
4. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 จนกว่าองค์ประกอบ C และ I ทั้งหมดจะได้รับการกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแล้ว

รูปแสดงผลลัพธ์ของกระบวนการนี้ในตัวอย่างง่ายๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ส่วนประกอบ I กำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบการไหลไปยังจุดเชื่อมต่อ 1 จุด ดังนั้นจุดเชื่อมต่อ 1 จุดจึงกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบการไหลไปยังส่วนประกอบอีกสามส่วน ได้แก่ SS, C และ R ซึ่งหมายความว่าส่วนประกอบ C, R และ SS กำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบความพยายามไปยังจุดเชื่อมต่อ 1 จุด ดังนั้นส่วนประกอบ C จึงมีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบอินทิกรัล และส่วนประกอบ R สอดคล้องกับการกำหนดค่า ${\displaystyle e_{R}:=Rf}$

แม้ว่าขั้นตอนดังกล่าวจะสามารถทำได้ด้วยตนเองสำหรับระบบขนาดเล็ก แต่โดยทั่วไปแล้ววิธีการที่ใช้คอมพิวเตอร์จะมีประโยชน์มากกว่า

ขั้นตอนดังกล่าวมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สามประการ

1. ระบบนี้สมบูรณ์ด้วยส่วนประกอบ C และ I ทั้งหมดในเชิงสาเหตุแบบบูรณาการ และกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุของพันธะทั้งหมด ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบกราฟพันธะเชิงสาเหตุ และสามารถแปลงเป็นระบบปริภูมิสถานะได้
2. พันธะทั้งหมดมีการกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ แต่ส่วนประกอบ C หรือ I อย่างน้อยหนึ่งส่วนจะมีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบอนุพันธ์
3. ส่วนประกอบ C และ I ทั้งหมดมีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบบูรณาการ แต่บางพันธะไม่มีการกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ

ในขณะที่กรณีที่ 1 นำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ode) ใน รูปแบบ ปริภูมิสถานะกรณีที่ 2 ก่อให้เกิดสมการเชิงอนุพันธ์พีชคณิต (dae) ขึ้นอยู่กับบริบท อาจเป็นการดีกว่าที่จะพิจารณาระบบทางกายภาพพื้นฐานใหม่เพื่อหลีกเลี่ยง dae ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}หรืออาจเป็นไปได้ที่จะลด dae ให้เป็น ode ^{[ 6 ] [ 38 ]}หรือ dae สามารถแก้ไขได้โดยใช้ตัวแก้ dae ที่เหมาะสม

กระบวนการกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบลำดับ (SCAP) ถูกออกแบบมาเพื่อสร้าง สมการ สถานะซึ่งเหมาะสมสำหรับการวิเคราะห์ระบบการคำนวณหรือระบบควบคุมอย่างไรก็ตาม ยังมีการวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุในรูปแบบอื่นๆ ที่ออกแบบมาเพื่อแก้ไขปัญหาอื่นๆ รวมถึง:

• สาเหตุสองประการ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}
• สาเหตุอนุพันธ์^{[ 43 ] [ 44 ]}
• การกำหนดสมการทางเลือกอื่นๆ รวมถึงของแฮมิลตันและลากรองจ์^{[ 45 ]}

การแสดงผลระบบกราฟพันธะประกอบด้วยสมการองค์ประกอบของแต่ละส่วนประกอบ ซึ่งฝังอยู่ในโครงสร้างของพันธะและจุดเชื่อมต่อ

คำถามเกี่ยวกับวิธีการจัดการชุดสมการให้เป็นรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณแบบอนาล็อกได้รับการตั้งขึ้น และลอร์ดเคลวินได้ตอบคำถามบางส่วน^{[ 46 ]}แนวทางนี้เป็นพื้นฐานของการแปลงแบบจำลองกราฟพันธะไป เป็นการแสดง สถานะในปริภูมิที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณแบบดิจิทัล^{[ 47 ]}

กราฟพันธะใช้แนวคิดเรื่องความเป็นเหตุเป็นผล (ของกราฟพันธะ) เพื่อให้วิธีการที่เป็นระบบและสร้างสรรค์ในการตรวจสอบว่ามีการแสดงแทนพื้นที่สถานะอยู่หรือไม่ และถ้ามี การแสดงแทนนั้นคืออะไร แนวทางความเป็นเหตุเป็นผลนี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการนำไปใช้ในการคำนวณ และมีการแสดงผลที่เข้าใจง่ายบนกราฟพันธะเองโดยใช้สัญกรณ์เส้นแสดงความเป็นเหตุเป็นผล

กราฟพันธะเชิงสาเหตุสามารถแปลงเป็นรูปแบบปริภูมิสถานะได้หาก: ^{[ 4 ]}

• ทุกความสัมพันธ์ล้วนมีสาเหตุและผลกระทบ
• ทุกองค์ประกอบล้วนเอื้อต่อความเป็นเหตุเป็นผล
• ส่วนประกอบ C และ I ทั้งหมดมีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบบูรณาการ

ขั้นตอนการกำหนดสาเหตุตามลำดับ (SCAP) ให้แนวทางกราฟิกในการพิจารณาว่าระบบที่แสดงด้วยกราฟพันธะมีการแสดงพื้นที่สถานะหรือไม่^{[ 4 ] [ 6 ]}

แผนภาพพันธะมีความคล้ายคลึงกับระบบต่างๆ มากมาย เพื่อความชัดเจน จึงใช้ระบบทางกลเป็นตัวอย่าง แต่หลักการเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับโดเมนทางไฟฟ้าและทางฟิสิกส์อื่นๆ ได้เช่นกัน

เป็นการสะดวกที่จะเลือกสถานะของระบบเป็นตัวแปรแบบบูรณาการที่สอดคล้องกับส่วนประกอบในความเป็นเหตุเป็นผลแบบบูรณาการ ในกรณีตัวอย่างง่ายๆ นี้ มีสองสถานะ ได้แก่ สถานะที่สอดคล้องกับมวล M และสถานะที่สอดคล้องกับสปริง อินพุตและเอาต์พุตของระบบสอดคล้องกับส่วนประกอบ Se, Sf และ SS ในกรณีนี้ มีอินพุตหนึ่งตัวและเอาต์พุตหนึ่งตัวที่สอดคล้องกับส่วนประกอบ SS ได้แก่ แรงพยายาม (แรงที่ใช้) และการไหลที่วัดได้ (ความเร็ว) โดยอาศัยความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ อนุพันธ์ของสถานะ (แรงพยายามที่ใช้กับส่วนประกอบ I การไหลที่ใช้กับส่วนประกอบ C) สามารถเขียนได้ในรูปของสถานะ ดังนี้: ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle F}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}&=f={\frac {p}{m}}\\{\dot {p}}&=F-e_{c}-e_{r}=F-kq-df=F-kq-d{\frac {p}{m}}\end{aligned}}}$

สามารถเขียนในรูปแบบปริภูมิสถานะเชิงเส้นมาตรฐานได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu\\y&=Cx\end{aligned}}}$

โดยที่ ข้อมูลนำเข้าและข้อมูลส่งออกของรัฐกำหนดโดย: ${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}},\;u=F{\text{ and }}y=v}$

และเมทริกซ์, และกำหนดโดย: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{m}}\\-k&-{\frac {d}{m}}\end{pmatrix}},\;B={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\;C={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{m}}\end{pmatrix}}}$

สมการสถานะมีพารามิเตอร์สามตัว ได้แก่ มวลค่าคงที่สปริงและค่าคงที่การหน่วง ${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$

เมื่อใช้สัญลักษณ์ การแปลงลาปลาสตามปกติใน ทฤษฎี ระบบควบคุมฟังก์ชันถ่ายโอนระบบที่เชื่อมโยงอินพุตกับเอาต์พุตคือ: ${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {s \over {\left(k+ds+ms^{2}\right)}}}$

แม้ว่าการหาที่มาของสูตรเหล่านี้ด้วยมืออาจเป็นประโยชน์ แต่บ่อยครั้งที่การใช้พีชคณิตคอมพิวเตอร์เพื่อทำหน้าที่เดียวกันนั้นสะดวกกว่า

พฤติกรรมของระบบเชิงเส้นไม่ได้ถูกกำหนดโดยตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบเท่านั้น แต่ยังถูกกำหนดโดยตัวเศษด้วย ในกรณีที่ไม่เป็นเชิงเส้น แนวคิดของตัวเศษของฟังก์ชันถ่ายโอนจะถูกแทนที่ด้วยแนวคิดของไดนามิกศูนย์การตีความทางกายภาพของไดนามิกศูนย์มีประโยชน์ในการออกแบบและปรับปรุงระบบไดนามิก ด้วยเหตุนี้ จึงได้มีการพัฒนาแนวทางกราฟพันธะเพื่อการผกผันของระบบ^{[ 48 ] [ 49 ] [ 41 ]}

ขั้นตอนดังกล่าวแสดงให้เห็นโดยใช้กราฟความสัมพันธ์ของระบบมวล-สปริง-แดมเปอร์อย่างง่าย ซึ่งแม้จะเป็นเชิงเส้น แต่ก็แสดงให้เห็นถึงแนวคิดหลักได้อย่างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การผกผันระบบจะดำเนินการโดยการกลับทิศทางของความเป็นเหตุเป็นผลในส่วนประกอบแหล่งกำเนิด-เซ็นเซอร์ ดังนั้นบทบาทของอินพุตและเอาต์พุตจึงกลับทิศทาง ในกรณีนี้ การกลับทิศทางของความเป็นเหตุเป็นผลของส่วนประกอบ SS หมายความว่าความเป็นเหตุเป็นผลของส่วนประกอบ I ก็ต้องกลับทิศทางด้วยเช่นกัน เนื่องจากมีเพียงส่วนประกอบเดียวเท่านั้นที่สามารถสร้างการไหลไปยังจุดเชื่อมต่อ 1 ได้ ดังนั้นมีเพียงส่วนประกอบเดียว คือส่วนประกอบ C เท่านั้นที่ยังคงอยู่ในความเป็นเหตุเป็นผลแบบสมบูรณ์ ดังนั้นพลวัตศูนย์จึงเป็นอันดับหนึ่ง ซึ่งในกรณีง่ายๆ นี้ สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบดั้งเดิมมีตัวเศษเป็นอันดับหนึ่ง

หลังจากพิจารณาความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแล้ว สถานะที่เหลือสามารถเขียนได้ในรูปของอินพุตของระบบผกผัน ${\displaystyle q}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\dot {q}}=v}$

${\displaystyle p}$ไม่ใช่สถานะอีกต่อไปแล้ว แต่สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle p=mv}$

ผลลัพธ์ของระบบผกผันคือ: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=kp+dv+{\dot {p}}=kp+dv+m{\dot {v}}}$

แนวทางนี้อาศัยสมมติฐานที่ว่าอินพุตและเอาต์พุตของระบบอยู่บนส่วนประกอบ SS เดียวกัน – กล่าวคือ อินพุตและเอาต์พุตอยู่ร่วมกัน หากไม่เป็นเช่นนั้น จะต้องใช้แนวคิดเรื่องความเป็นสองสาเหตุ (bicausality) แทน

แม้ว่าความเป็นเหตุเป็นผล (มาตรฐาน) จะเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการตรวจสอบการผกผันของระบบพลวัตที่อธิบายโดยกราฟพันธะ แต่ก็มีข้อจำกัดอยู่ที่คู่แหล่งกำเนิด-เซ็นเซอร์ที่อยู่ร่วมกัน โดยที่อินพุตและเอาต์พุตอยู่บนส่วนประกอบ SS เดียว เพื่อขจัดข้อจำกัดนี้ จึงมีการนำแนวคิดของความเป็นเหตุเป็นผลสองทางมาใช้^{[ 50 ]}และนำไปใช้กับปัญหาการผกผันต่างๆ^{[ 48 ] [ 41 ] [ 51 ]}ความเป็นเหตุเป็นผลสองทางยังถูกนำมาใช้ในบริบทของการตรวจจับความผิดพลาด^{[ 40 ] [ 52 ]}การวิเคราะห์คุณสมบัติโครงสร้างของระบบพลวัต^{[ 53 ] [ 54 ]}การออกแบบระบบควบคุม^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]}และการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้น^{[ 60 ]}

ส่วนประกอบ SS (แหล่งกำเนิด-เซ็นเซอร์) มี การกำหนดค่า เชิงสาเหตุ ที่เป็นไปได้สองแบบ ที่สอดคล้องกับ Se/Df (แหล่งกำเนิดแรง, เซ็นเซอร์การไหล) และ De/Sf (เซ็นเซอร์แรง, แหล่งกำเนิดการไหล) ดังแสดงในรูป ส่วนประกอบ SS มี การกำหนดค่า แบบ สองสาเหตุสองแบบ ที่สอดคล้องกับ Se/Sf (แหล่งกำเนิดแรง, แหล่งกำเนิดการไหล) และ De/Df (เซ็นเซอร์แรง, เซ็นเซอร์การไหล) สิ่งนี้แสดงให้เห็นในเชิงกราฟิกโดยใช้ครึ่งเส้น เชิงสาเหตุ โดยครึ่งเส้นด้านหอกของพันธะสอดคล้องกับการไหล และครึ่งเส้นอีกด้านหนึ่งของพันธะสอดคล้องกับแรง

กฎสำหรับความสัมพันธ์แบบสองสาเหตุ (bicausality) ของจุดเชื่อมต่อจะเหมือนกับกฎสำหรับความสัมพันธ์แบบสาเหตุ (causality) กล่าวคือ มีเพียงพันธะเดียวเท่านั้นที่ส่งแรงกระทำไปยังจุดเชื่อมต่อแบบ 0 และมีเพียงพันธะเดียวเท่านั้นที่ส่งกระแสไหลไปยังจุดเชื่อมต่อแบบ 1 ในบริบทของการผกผัน พันธะที่เชื่อมต่อกับ I, C และส่วนประกอบต่างๆ ไม่สามารถมีความสัมพันธ์แบบสองสาเหตุได้

แนวคิดเหล่านี้ได้รับการอธิบายโดยใช้ตัวอย่างที่แหล่งกำเนิดและเซ็นเซอร์ไม่ได้อยู่ตำแหน่งเดียวกัน

ตัวอย่างนี้ได้รับการขยายเพิ่มเติมโดยการเพิ่มจุดเชื่อมต่อศูนย์และส่วนประกอบ SS เพิ่มเติม ในกรณีทางกลศาสตร์ นี่เทียบเท่ากับการแทรกเซ็นเซอร์วัดแรงและแหล่งกำเนิดความเร็วระหว่างสปริงกับกราวด์ ในกรณีทางไฟฟ้า นี่เทียบเท่ากับการเพิ่มแหล่งกำเนิดกระแสและเซ็นเซอร์วัดแรงดันขนานกับตัวเก็บประจุ ตัวอย่างนี้ได้รับการทำให้ง่ายขึ้นโดยการกำหนดให้กระแสของแหล่งกำเนิดกระแสที่เพิ่มเข้ามาเป็นศูนย์ ดังที่แสดงในแผนภาพความเชื่อมโยง

เช่นเดียวกับตัวอย่างที่กล่าวถึงตำแหน่งร่วมกัน ระบบกลไกจะถูกนำมาพิจารณา และอินพุตของระบบคือแรงที่กระทำต่อมวล M อย่างไรก็ตาม เอาต์พุตคือแรงของสปริง ซึ่งไม่ได้อยู่ร่วมตำแหน่งเดียวกับแรงที่กระทำ ${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{s}}$${\displaystyle F}$

ระบบปริภูมิสถานะที่สอดคล้องกันจะเหมือนกัน ยกเว้นว่าเมทริกซ์เอาต์พุต C กำหนดโดย:

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}k&0\end{pmatrix}}}$

สะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงของเซ็นเซอร์ ฟังก์ชันถ่ายโอนที่เชื่อมโยงอินพุตกับเอาต์พุตจะเป็นดังนี้: ${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{s}}$

${\displaystyle {k \over {\left(k+ds+ms^{2}\right)}}}$

ตัวหารยังคงเหมือนเดิม แต่ตัวเศษเปลี่ยนไปเพื่อสะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงของเซ็นเซอร์

ระบบจะกลับด้านโดยการทำให้เอาต์พุตเป็นอินพุตและอินพุตเป็นเอาต์พุต ดังนั้น SS ด้านซ้ายจึงกลายเป็นทั้งเซ็นเซอร์แรงและอัตราการไหล และ SS ด้านขวากลายเป็นทั้งแหล่งกำเนิดแรงและอัตราการไหล พร้อมด้วยความสัมพันธ์เชิงสาเหตุที่สอดคล้องกัน เนื่องจากส่วนประกอบ I, C และ R ต้องคงไว้ซึ่งความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบดั้งเดิม ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบคู่จึงแพร่กระจายดังที่แสดงไว้ ทั้งส่วนประกอบ I และ C อยู่ในความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบอนุพันธ์ ดังนั้นพลวัตศูนย์จึงเป็นอันดับศูนย์ ซึ่งในกรณีง่ายๆ นี้ สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบดั้งเดิมมีตัวเศษเป็นอันดับศูนย์ ${\displaystyle F_{s}}$${\displaystyle F}$

เช่นเดียวกับกรณีการจัดเรียงตำแหน่ง ฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบผกผันคือส่วนกลับของฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบ อีกครั้ง วิธีการหาเหตุและผลของกราฟพันธะยังสามารถใช้เพื่อตรวจสอบพลวัตศูนย์ของระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้อีกด้วย^{[ 60 ] [ 41 ]}

วิธีการหากราฟพันธะของระบบในโดเมนทางกายภาพต่างๆ ได้รับการอธิบายโดยละเอียดในตำราเรียน^{[ 4 ] [ 6 ] [ 7 ]}การหาอนุพันธ์โดยละเอียดของระบบอิเล็กโทรเมคานิกส์ในห้องปฏิบัติการมีอยู่ในเอกสารแนะนำ^{[ 3 ]}

ส่วนนี้มีวิธีการและตัวอย่างการใช้งานสำหรับระบบง่ายๆ บางระบบ

ขั้นตอนในการแก้ปัญหาทางแม่เหล็กไฟฟ้าโดยใช้แผนภาพพันธะมีดังนี้:

1. วางจุดเชื่อมต่อ 0 ไว้ที่แต่ละโหนด
2. แทรกพันธะ Sources, R, I, C, TR และ GY ที่มีจุดเชื่อมต่อ 1 จุด
3. ต่อลงดิน (ทั้งสองด้านหากมีหม้อแปลงหรือเครื่องกำเนิดไฟฟ้า)
4. กำหนดทิศทางการไหลของพลังงาน
5. ทำให้ง่ายขึ้น

ขั้นตอนเหล่านี้จะแสดงให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นในตัวอย่างด้านล่าง

ขั้นตอนในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์เชิงเส้นโดยใช้แผนภาพพันธะมีดังนี้:

1. วางจุดเชื่อมต่อ 1 จุดสำหรับแต่ละความเร็วที่แตกต่างกัน (โดยปกติจะอยู่ที่มวล)
2. แทรกพันธะ R และ C ที่จุดเชื่อมต่อ 0 ของพวกมันเองระหว่างจุดเชื่อมต่อ 1 ที่พวกมันทำหน้าที่
3. ใส่แหล่งกำเนิดและพันธะ I ที่จุดเชื่อมต่อ 1 จุดซึ่งพวกมันทำหน้าที่
4. กำหนดทิศทางการไหลของพลังงาน
5. ทำให้ง่ายขึ้น

ขั้นตอนเหล่านี้จะแสดงให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นในตัวอย่างด้านล่าง

ขั้นตอนการลดรูปจะเหมือนกันไม่ว่าระบบจะเป็นแม่เหล็กไฟฟ้าหรือกลไกเชิงเส้น ขั้นตอนมีดังนี้:

1. ลบพันธะพลังงานศูนย์ (เนื่องจากพื้นดินหรือความเร็วเป็นศูนย์)
2. ลบจุดเชื่อมต่อ 0 และ 1 ที่มีพันธะน้อยกว่าสามพันธะออก
3. ลดความซับซ้อนของกำลังไฟฟ้าแบบขนาน
4. รวมจุดเชื่อมต่อ 0 จุดแบบอนุกรม
5. รวมจุดเชื่อมต่อ 1 จุดแบบอนุกรม

ขั้นตอนเหล่านี้จะแสดงให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นในตัวอย่างด้านล่าง

กำลังไฟฟ้าแบบขนาน คือ กำลังไฟฟ้าที่ไหลขนานกันในแผนภาพแรงดึงดูด ตัวอย่างของกำลังไฟฟ้าแบบขนานแสดงไว้ด้านล่าง

การคำนวณกำลังไฟฟ้าแบบขนานสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ โดยการนึกถึงความสัมพันธ์ระหว่างแรงพยายามและอัตราการไหลสำหรับจุดเชื่อมต่อ 0 และ 1 จุด ในการแก้ปัญหากำลังไฟฟ้าแบบขนาน ขั้นแรกเราจะต้องเขียนสมการทั้งหมดสำหรับจุดเชื่อมต่อต่างๆ สำหรับตัวอย่างที่ให้มา สมการต่างๆ สามารถดูได้ด้านล่าง (โปรดสังเกตหมายเลขพันธะที่ตัวแปรแรงพยายาม/อัตราการไหลแทน) $${\displaystyle {\begin{matrix}f_{1}=f_{2}=f_{3}&&e_{2}=e_{4}=e_{7}\\e_{1}=e_{2}+e_{3}&&f_{2}=f_{4}+f_{7}\\&&\\e_{3}=e_{5}=e_{6}&&f_{7}=f_{6}=f_{8}\\f_{3}=f_{5}+f_{6}&&e_{7}+e_{6}=e_{8}\end{matrix}}}$$

โดยการจัดการสมการเหล่านี้ เราสามารถจัดเรียงสมการเหล่านั้นเพื่อให้ได้ชุดจุดเชื่อมต่อ 0 และ 1 ที่เทียบเท่ากัน เพื่ออธิบายกำลังไฟฟ้าแบบขนาน

ตัวอย่างเช่น เนื่องจากและเราสามารถแทนค่าตัวแปรในสมการได้ ทำให้ได้และเนื่องจากเราจึงทราบว่าความสัมพันธ์ของตัวแปรแรงสองตัวที่เท่ากันนี้สามารถอธิบายได้ด้วยจุดเชื่อมต่อแบบ 0 การจัดการสมการอื่นๆ เราสามารถหาได้ว่าซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ของจุดเชื่อมต่อแบบ 1 เมื่อกำหนดความสัมพันธ์แล้ว เราสามารถวาดส่วนกำลังไฟฟ้าแบบขนานใหม่ด้วยจุดเชื่อมต่อใหม่ได้ ผลลัพธ์สำหรับตัวอย่างที่แสดงไว้ด้านล่าง ${\textstyle e_{3}=e_{6}}$${\textstyle e_{2}=e_{7}}$${\textstyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$${\textstyle e_{1}=e_{6}+e_{7}}$${\textstyle e_{6}+e_{7}=e_{8}}$${\displaystyle e_{1}=e_{8}}$${\displaystyle f_{4}=f_{5}}$

วงจรไฟฟ้าอย่างง่าย ประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดัน ตัวต้านทาน และตัวเก็บประจุที่ต่ออนุกรมกัน

ขั้นตอนแรกคือการวาดเส้นเชื่อมศูนย์ (0-junction) ที่จุดเชื่อมต่อทั้งหมด: $${\displaystyle {\begin{matrix}&0&&0&\\&&&&\\&&&&\\&0&&0&\end{matrix}}}$$

ขั้นตอนต่อไปคือการเพิ่มองค์ประกอบทั้งหมดที่ทำงาน ณ จุดเชื่อมต่อ 1 จุดของตนเอง: $${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&R&&&&\\&&&&|&&&&\\&&0&-&1&-&0&&\\&&|&&&&|&&\\S_{e}&-&1&&&&1&-&C\\&&|&&&&|&&\\&&{\underline {0}}&-&-&-&0&&\end{matrix}}}$$

ขั้นตอนต่อไปคือการเลือกจุดต่อลงดิน จุดต่อลงดินคือจุดเชื่อมต่อแบบ 0 ที่จะถือว่าไม่มีแรงดันไฟฟ้า ในกรณีนี้ จุดต่อลงดินจะถูกเลือกเป็นจุดเชื่อมต่อแบบ 0 ด้านล่างซ้าย ซึ่งขีดเส้นใต้ไว้ด้านบน ขั้นตอนต่อไปคือการวาดลูกศรทั้งหมดสำหรับกราฟความผูกพัน ลูกศรบนจุดเชื่อมต่อควรชี้ไปยังจุดต่อลงดิน (ตามเส้นทางที่คล้ายกับกระแสไฟฟ้า) สำหรับความต้านทาน ความเฉื่อย และองค์ประกอบที่ยืดหยุ่น ลูกศรจะชี้ไปยังองค์ประกอบเหล่านั้นเสมอ ผลลัพธ์ของการวาดลูกศรสามารถดูได้ด้านล่าง โดยจุดเชื่อมต่อแบบ 0 ถูกทำเครื่องหมายด้วยดาวเป็นจุดต่อลงดิน

เมื่อเราได้กราฟบอนด์แล้ว เราก็สามารถเริ่มต้นกระบวนการลดความซับซ้อนได้ ขั้นตอนแรกคือการลบโหนดกราวด์ทั้งหมด โหนด 0 ด้านล่างทั้งสองโหนดสามารถลบออกได้ เพราะทั้งสองโหนดต่อลงกราวด์ ผลลัพธ์แสดงอยู่ด้านล่าง

ถัดไป เราสามารถลบจุดเชื่อมต่อที่มีพันธะน้อยกว่าสามพันธะออกได้ เนื่องจากกระแสการไหลและแรงกระทำจะผ่านจุดเชื่อมต่อเหล่านี้โดยไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นจึงสามารถลบออกได้เพื่อให้เราวาดเส้นได้น้อยลง ผลลัพธ์สามารถดูได้ด้านล่าง

ขั้นตอนสุดท้ายคือการนำหลักการความเป็นเหตุเป็นผลมาใช้กับกราฟความสัมพันธ์ การนำหลักการความเป็นเหตุเป็นผลมาใช้ได้อธิบายไว้แล้วข้างต้น กราฟความสัมพันธ์ที่ได้เสร็จสมบูรณ์แสดงอยู่ด้านล่าง

ระบบไฟฟ้าที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นซึ่งประกอบด้วยแหล่งจ่ายกระแส ตัวต้านทาน ตัวเก็บประจุ และหม้อแปลง

การทำตามขั้นตอนในวงจรนี้จะทำให้ได้กราฟความสัมพันธ์ดังที่แสดงด้านล่าง ก่อนที่จะทำการลดรูป จุดที่ทำเครื่องหมายด้วยดาวแสดงถึงจุดต่อลงดิน

การลดรูปกราฟความสัมพันธ์จะทำให้ได้ภาพดังต่อไปนี้

สุดท้าย การนำหลักการความเป็นเหตุเป็นผลมาใช้จะทำให้ได้กราฟความสัมพันธ์ดังที่แสดงด้านล่าง ความสัมพันธ์ที่มีเครื่องหมายดอกจันแสดงถึงความขัดแย้งเชิงสาเหตุ

ระบบกลไกเชิงเส้นอย่างง่าย ประกอบด้วยมวลที่ติดอยู่กับสปริงซึ่งยึดติดกับผนัง โดยมีแรงกระทำต่อมวลนั้น ภาพของระบบแสดงอยู่ด้านล่าง

สำหรับระบบเชิงกล ขั้นตอนแรกคือการวางจุดเชื่อมต่อ 1 จุดไว้ที่ความเร็วแต่ละค่า ในกรณีนี้มีสองความเร็วที่แตกต่างกัน คือ มวลและผนัง โดยปกติแล้วการติดป้ายกำกับจุดเชื่อมต่อ 1 จุดจะช่วยให้การอ้างอิงสะดวกยิ่งขึ้น ผลลัพธ์แสดงอยู่ด้านล่าง $${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\&&\\&&\\&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

ขั้นตอนต่อไปคือการวาดพันธะ R และ C ที่จุดเชื่อมต่อ 0 ของแต่ละพันธะระหว่างจุดเชื่อมต่อ 1 ที่พันธะเหล่านั้นทำหน้าที่ ในตัวอย่างนี้มีเพียงพันธะเดียว คือพันธะ C สำหรับสปริง มันทำหน้าที่ระหว่างจุดเชื่อมต่อ 1 ที่แสดงถึงมวลและจุดเชื่อมต่อ 1 ที่แสดงถึงผนัง ผลลัพธ์แสดงอยู่ด้านล่าง $${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

ต่อไปเราต้องการเพิ่มแหล่งกำเนิดและพันธะ I บนจุดเชื่อมต่อ 1 ที่พวกมันออกฤทธิ์ มีแหล่งกำเนิดหนึ่งแหล่ง คือ แหล่งกำเนิดของแรง (ความพยายาม) และพันธะ I หนึ่งอัน คือ มวลของมวล ซึ่งทั้งสองอย่างออกฤทธิ์บนจุดเชื่อมต่อ 1 ของมวล ผลลัพธ์แสดงอยู่ด้านล่าง $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{e}:F(t)&&\\|&&\\1_{\text{mass}}&-&I:m\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

ขั้นตอนต่อไปคือการกำหนดทิศทางการไหลของพลังงาน เช่นเดียวกับตัวอย่างทางไฟฟ้า พลังงานควรไหลลงสู่พื้นดิน ในกรณีนี้คือจุดเชื่อมต่อที่ 1 ของผนัง ข้อยกเว้นคือสาย R, C หรือ I ซึ่งจะชี้ไปยังองค์ประกอบเสมอ แผนภาพสายเชื่อมต่อที่ได้แสดงอยู่ด้านล่าง

เมื่อสร้างกราฟพันธะเสร็จแล้ว ก็สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ เนื่องจากผนังต่อลงดิน (มีความเร็วเป็นศูนย์) จึงสามารถลบจุดเชื่อมต่อดังกล่าวออกได้ ดังนั้น จุดเชื่อมต่อ 0 ที่พันธะ C อยู่ ก็สามารถลบออกได้เช่นกัน เพราะจะมีพันธะน้อยกว่าสามพันธะ กราฟพันธะที่ทำให้ง่ายขึ้นสามารถดูได้ด้านล่าง

ขั้นตอนสุดท้ายคือการนำหลักการความเป็นเหตุเป็นผลมาใช้ แผนภาพความสัมพันธ์สุดท้ายสามารถดูได้ด้านล่าง

ระบบกลไกเชิงเส้นที่ซับซ้อนกว่าสามารถดูได้ด้านล่าง

เช่นเดียวกับตัวอย่างข้างต้น ขั้นตอนแรกคือการสร้างจุดเชื่อมต่อ 1 จุดที่ความเร็วระยะไกลแต่ละจุด ในตัวอย่างนี้มีความเร็วระยะไกลสามจุด มวล 1 มวล 2 และผนัง จากนั้นเชื่อมต่อพันธะทั้งหมดและกำหนดการไหลของพลังงาน พันธะดังกล่าวสามารถดูได้ด้านล่าง

ขั้นตอนต่อไปคือการทำให้กราฟพันธะง่ายขึ้น โดยการลบจุดเชื่อมต่อ 1 จุดของผนัง และลบจุดเชื่อมต่อที่มีพันธะน้อยกว่าสามจุด กราฟพันธะสามารถดูได้ด้านล่าง

ในกราฟความสัมพันธ์มีกำลังขนานอยู่ การแก้ปัญหาเรื่องกำลังขนานได้อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาแสดงอยู่ด้านล่าง

สุดท้ายนี้ ให้ใช้หลักการความเป็นเหตุเป็นผล ผลลัพธ์ของกราฟความสัมพันธ์สุดท้ายสามารถดูได้ด้านล่าง

เมื่อสร้างกราฟพันธะเสร็จสมบูรณ์แล้ว ก็สามารถนำไปใช้สร้าง สม การแสดงสถานะในปริภูมิสถานะของระบบได้ การแสดงสถานะในปริภูมิสถานะมีประสิทธิภาพอย่างยิ่ง เนื่องจากช่วยให้ สามารถแก้ระบบ สมการเชิงอนุพันธ์ หลายอันดับที่ซับซ้อนได้ ในรูปของระบบสมการอันดับหนึ่งแทน รูปแบบทั่วไปของสมการสถานะคือ โดยที่เป็นเมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรสถานะหรือตัวแปรที่ไม่ทราบค่าของระบบคืออนุพันธ์เทียบกับเวลาของตัวแปรสถานะคือเมทริกซ์คอลัมน์ของอินพุตของระบบ และและเป็นเมทริกซ์ของค่าคงที่ตามระบบ ตัวแปรสถานะของระบบคือและค่าสำหรับแต่ละพันธะ C และ I ที่ไม่มีความขัดแย้งเชิงสาเหตุ แต่ละพันธะ I จะได้รับ ในขณะที่แต่ละพันธะ C จะได้รับ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$$${\textstyle \mathbf {x} (t)}$${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$${\textstyle \mathbf {u} (t)}$${\textstyle \mathbf {A} }$${\textstyle \mathbf {B} }$${\textstyle q(t)}$${\textstyle p(t)}$${\textstyle p(t)}$${\textstyle q(t)}$

ตัวอย่างเช่น หากมีกราฟพันธะดังต่อไปนี้

จะมีเมทริกซ์ดังต่อไปนี้: ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$${\textstyle \mathbf {x} (t)}$${\textstyle \mathbf {u} (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {x} (t)={\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {u} (t)={\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

เมทริกซ์ของและจะถูกแก้โดยการกำหนดความสัมพันธ์ของตัวแปรสถานะและองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง ดังที่ได้อธิบายไว้ในรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าของสถานะ ขั้นตอนแรกในการแก้สมการสถานะคือการแสดงรายการสมการควบคุมทั้งหมดสำหรับกราฟพันธะ ตารางด้านล่างแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพันธะและสมการควบคุมของพันธะเหล่านั้น ${\textstyle \mathbf {A} }$${\textstyle \mathbf {B} }$

ประเภทองค์ประกอบ	ชื่อพันธบัตร	เชื่อมโยงกับความเป็นเหตุเป็นผล	สมการควบคุม
องค์ประกอบพอร์ตเดี่ยว	แหล่งจ่าย/ตัวรับ, S	${\displaystyle S_{e}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;}$	${\displaystyle {\text{input}}=e(t)}$
		${\displaystyle S_{f}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;}$	${\displaystyle {\text{input}}=f(t)}$
	ค่าความต้านทาน, R: พลังงานที่สูญเสียไป	${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\ R}$	${\displaystyle f(t)={\frac {1}{R}}e(t)}$
		${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ R}$	${\displaystyle e(t)=Rf(t)}$
	ความเฉื่อย, I: พลังงานจลน์	♦${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\ I}$	${\displaystyle f(t)={\frac {1}{I}}\int e(t)\,dt}$
		${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ I}$	${\displaystyle e(t)=I{\dot {f}}(t)}$
	การปฏิบัติตามกฎระเบียบ, C: พลังงานศักยภาพ	${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\ C}$	${\displaystyle f(t)=C{\dot {e}}(t)}$
		♦${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ C}$	${\displaystyle e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt}$
องค์ประกอบแบบสองพอร์ต	หม้อแปลงไฟฟ้า TR	${\displaystyle {\begin{matrix}{\overset {\textstyle }{{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}|}}\ TR\ \ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}|\ \\^{r:1}\end{matrix}}}$	${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{r}}f_{2}}$ ${\displaystyle e_{2}={\frac {1}{r}}e_{1}}$
		${\displaystyle {\begin{matrix}|\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ TR\ \ |\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{r:1}\end{matrix}}}$	${\displaystyle e_{1}=re_{2}}$ ${\displaystyle f_{2}=rf_{1}}$
	ไจเรเตอร์, GY	${\displaystyle {\begin{matrix}|\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ GY{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}|\ \\^{g:1}\end{matrix}}}$	${\displaystyle e_{1}=gf_{2}}$ ${\displaystyle e_{2}=gf_{1}}$
		${\displaystyle {\begin{matrix}\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}|\ GY{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{g:1}\end{matrix}}}$	${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{g}}e_{2}}$ ${\displaystyle f_{2}={\frac {1}{g}}e_{1}}$
องค์ประกอบหลายพอร์ต	0 จุดเชื่อมต่อ	หนึ่งเดียวเท่านั้น แถบเหตุและผลที่จุดเชื่อมต่อ	${\displaystyle {\text{all }}e(t)=}$
			${\displaystyle \sum f(t)_{\text{in}}=\sum f(t)_{\text{out}}}$
	1 จุดเชื่อมต่อ	สาเหตุเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น บาร์ที่อยู่ห่างจากทางแยก	${\displaystyle \sum e(t)_{\text{in}}=\sum e(t)_{\text{out}}}$
			${\displaystyle {\text{all }}f(t)=}$

"♦" หมายถึงความสัมพันธ์เชิงสาเหตุที่ต้องการ

จากตัวอย่างที่ให้มา

สมการควบคุมมีดังต่อไปนี้

1. ${\textstyle e_{1}={\text{input}}}$
2. ${\textstyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$
3. ${\textstyle f_{1}=f_{2}=f_{4}=f_{3}}$
4. ${\textstyle e_{2}=R_{2}f_{2}}$
5. ${\textstyle f_{3}={\frac {1}{I_{3}}}\int e_{3}\,dt={\frac {1}{I_{3}}}p_{3}}$
6. ${\textstyle f_{5}=f_{4}\cdot r}$
7. ${\textstyle e_{4}=e_{5}\cdot r}$
8. ${\textstyle e_{5}=e_{7}=e_{6}}$
9. ${\textstyle f_{6}=f_{5}-f_{7}}$
10. ${\textstyle e_{6}={\frac {1}{C_{6}}}\int f_{6}\,dt={\frac {1}{C_{6}}}q_{6}}$
11. ${\textstyle f_{7}={\frac {1}{R_{7}}}e_{7}}$

สมการเหล่านี้สามารถนำมาปรับเปลี่ยนเพื่อให้ได้สมการสถานะได้ ในตัวอย่างนี้ เรากำลังพยายามหาสมการที่เชื่อมโยงและในรูปของ, , และ ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)}$${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)}$${\textstyle p_{3}(t)}$${\textstyle q_{6}(t)}$${\textstyle e_{1}(t)}$

ก่อนอื่น ควรระลึกจากรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าของสถานะว่าเมื่อเริ่มต้นจากสมการที่ 2 เราสามารถจัดเรียงใหม่ได้เพื่อให้ สามารถแทนที่ด้วยสมการที่ 4 ในขณะที่ในสมการที่ 4 สามารถแทนที่ด้วย เนื่องจากสม การที่ 3 ซึ่งสามารถแทนที่ด้วยสมการที่ 5 ได้เช่นกัน สามารถแทนที่โดยใช้สมการที่ 7 ซึ่งสามารถแทนที่ด้วยซึ่งสามารถแทนที่ด้วยสมการที่ 10 ได้ เมื่อทำการแทนที่เหล่านี้ จะได้สมการสถานะแรกดังแสดงด้านล่าง ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)}$${\displaystyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle f_{3}}$${\displaystyle e_{4}}$${\displaystyle e_{5}}$${\displaystyle e_{6}}$

$${\displaystyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)=e_{1}(t)-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {r}{C_{6}}}q_{6}(t)}$$

สมการสถานะที่สองสามารถหาคำตอบได้เช่นกัน โดยระลึกว่าสมการสถานะที่สองแสดงไว้ด้านล่าง ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)}$

$${\displaystyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)={\frac {r}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}q_{6}(t)}$$

สมการทั้งสองสามารถจัดเรียงใหม่ให้อยู่ในรูปแบบเมทริกซ์ได้ โดยผลลัพธ์แสดงอยู่ด้านล่าง

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}&-{\frac {r}{C_{6}}}\\{\frac {r}{I_{3}}}&-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

ณ จุดนี้ สมการเหล่านี้สามารถนำมาพิจารณาได้เหมือนกับปัญหา การแสดงสถานะในปริภูมิสถานะ อื่นๆ ทั่วไป

สามารถรวบรวมเอกสารอ้างอิงเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองกราฟพันธะได้จากงานประชุมต่อไปนี้:

• ECMS-2013 การประชุมวิชาการด้านการสร้างแบบจำลองและการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรป ครั้งที่ 27 วันที่ 27-30 พฤษภาคม 2556 เมืองอาเลซุนด์ ประเทศนอร์เวย์
• ECMS-2008 การประชุมวิชาการด้านการสร้างแบบจำลองและการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรป ครั้งที่ 22 วันที่ 3-6 มิถุนายน 2551 นิโคเซีย ประเทศไซปรัส
• ICBGM-2007: การประชุมวิชาการนานาชาติครั้งที่ 8 ว่าด้วยการสร้างแบบจำลองและการจำลองกราฟพันธบัตร (Bond Graph Modeling And Simulation) วันที่ 15-17 มกราคม 2550 เมืองซานดิเอโก รัฐแคลิฟอร์เนีย สหรัฐอเมริกา
• ECMS-2006 การประชุมวิชาการด้านการสร้างแบบจำลองและการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรป ครั้งที่ 20 วันที่ 28-31 พฤษภาคม 2549 เมืองบอนน์ ประเทศเยอรมนี
• IMAACA-2005 การประชุมนานาชาติว่าด้วยแบบจำลองเมดิเตอร์เรเนียน
• การประชุมวิชาการนานาชาติ ICBGM-2005 ว่าด้วยการสร้างแบบจำลองและการจำลองกราฟพันธบัตร วันที่ 23-27 มกราคม 2548 เมืองนิวออร์ลีนส์ รัฐลุยเซียนา สหรัฐอเมริกา – บทความ
• การประชุมวิชาการนานาชาติว่าด้วยการสร้างแบบจำลองและการจำลองกราฟพันธบัตร (ICBGM-2003) วันที่ 19-23 มกราคม 2546 เมืองออร์แลนโด รัฐฟลอริดา สหรัฐอเมริกา – บทความ
• การประชุมวิชาการด้านการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรป ครั้งที่ 14 วันที่ 23-26 ตุลาคม 2545 เมืองเดรสเดน ประเทศเยอรมนี
• ESS'2001 การประชุมวิชาการด้านการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรปครั้งที่ 13 เมืองมาร์เซย์ ประเทศฝรั่งเศส 18-20 ตุลาคม 2544
• การประชุมวิชาการนานาชาติว่าด้วยการสร้างแบบจำลองและการจำลองกราฟพันธบัตร (ICBGM 2001) เมืองฟีนิกซ์ รัฐแอริโซนา สหรัฐอเมริกา
• การประชุมวิชาการด้านการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรป 23-26 พฤษภาคม 2543 เมืองเกนต์ ประเทศเบลเยียม
• การประชุมวิชาการด้านการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรป ครั้งที่ 11 วันที่ 26-28 ตุลาคม 1999 ปราสาท มหาวิทยาลัยฟรีดริช-อเล็กซานเดอร์ เออร์ลังเงน-นูเรมเบิร์ก ประเทศเยอรมนี
• การประชุมวิชาการนานาชาติ ICBGM-1999 ว่าด้วยการสร้างแบบจำลองและการจำลองกราฟพันธบัตร วันที่ 17-20 มกราคม 1999 ซานฟรานซิสโก รัฐแคลิฟอร์เนีย
• ESS-97 การประชุมและนิทรรศการการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรปครั้งที่ 9 การจำลองสถานการณ์ในอุตสาหกรรม เมืองพัสเซา ประเทศเยอรมนี 19-22 ตุลาคม 2540
• ICBGM-1997 การประชุมนานาชาติครั้งที่ 3 ว่าด้วยการสร้างแบบจำลองและการจำลองกราฟพันธะ (Bond Graph Modeling And Simulation) วันที่ 12-15 มกราคม 1997 โรงแรมเชอราตัน-เครสเซนต์ ฟีนิกซ์ รัฐแอริโซนา
• การประชุมวิชาการด้านการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรป ครั้งที่ 11 ณ อิสตันบูล ประเทศตุรกี วันที่ 1-4 มิถุนายน 2540
• ESM-1996 การประชุมวิชาการจำลองสถานการณ์แห่งยุโรปประจำปีครั้งที่ 10 บูดาเปสต์ ประเทศฮังการี 2-6 มิถุนายน 1996
• การประชุมนานาชาติว่าด้วยการสร้างแบบจำลองและการจำลองกราฟพันธบัตร (ICBGM-1995) วันที่ 15-18 มกราคม 1995 ณ ลาสเวกัส รัฐเนวาดา

• ซอฟต์แวร์จำลอง 20-simที่อิงตามทฤษฎีกราฟพันธะ
• ซอฟต์แวร์จำลอง AMESimที่ใช้ทฤษฎีกราฟพันธะเป็นพื้นฐาน
• กราฟพันธะไฮบริด
• พลังงานร่วม

ระบบหลายระบบสามารถแสดงได้ด้วยคำศัพท์ที่ใช้ในกราฟพันธะ คำศัพท์เหล่านี้แสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

ข้อกำหนดและเงื่อนไขสำหรับตารางด้านล่าง:

• ${\displaystyle P}$คือกำลังไฟฟ้าจริง ;
• ${\displaystyle {\hat {X}}}$เป็น วัตถุ เมทริกซ์ ;
• ${\displaystyle {\vec {x}}}$เป็น วัตถุ เวกเตอร์ ;
• ${\displaystyle x^{\dagger }}$คือ ค่าสังยุค เฮอร์มิเชียนของx ; มันคือค่าสังยุคเชิงซ้อนของทรานสโพสของxถ้าxเป็นสเกลาร์ ค่าสังยุคเฮอร์มิเชียนจะเหมือนกับค่าสังยุคเชิงซ้อน
• ${\displaystyle D_{t}^{n}}$คือสัญลักษณ์ออยเลอร์สำหรับการหาอนุพันธ์โดยที่:$${\displaystyle D_{t}^{n}f(t)={\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(s)\,ds,&n=-1\\[2pt]f(t),&n=0\\[2pt]{\dfrac {\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}}},&n>0\end{cases}}}$$
• ${\displaystyle {\begin{cases}\langle x\rangle ^{\alpha }:=|x|^{\alpha }\operatorname {sgn}(x)\\\langle {a}\rangle =k\langle b\rangle ^{\beta }\implies \langle b\rangle =\left({\frac {1}{k}}\langle a\rangle \right)^{1/\beta }\end{cases}}}$
• ปัจจัยบรรจบ:$${\displaystyle \phi _{L}={\begin{cases}{\textrm {Prismatic}}:\ {\dfrac {\textrm {length}}{{\textrm {cross-sectional}}\ {\textrm {area}}}}\\{\textrm {Cylinder}}:\ {\dfrac {\ln \left({\frac {\mathrm {radius_{out}} }{\mathrm {radius_{in}} }}\right)}{2\pi \cdot {\textrm {length}}}}\\{\textrm {Sphere}}:\ {\dfrac {1}{4\pi \left(\mathrm {radius_{in}} \parallel \mathrm {-radius_{out}} \right)}}\end{cases}}}$$

	การไหลทั่วไป	การกระจัดทั่วไป	ความพยายามโดยทั่วไป	โมเมนตัมทั่วไป	กำลังไฟฟ้าทั่วไป (หน่วยเป็นวัตต์สำหรับระบบไฟฟ้า)	พลังงานทั่วไป (ในหน่วยจูลสำหรับระบบไฟฟ้า)
ชื่อ	${\displaystyle {\vec {f}}(t)}$	${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$	${\displaystyle {\vec {e}}(t)}$	${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$	${\displaystyle P={\vec {f}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)}$	${\displaystyle E={\vec {q}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)}$
คำอธิบาย	อนุพันธ์ของระยะการกระจัดเทียบกับเวลา	คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมเชิงสถิต	พลังงานต่อหน่วยการเคลื่อนที่	ปริพันธ์เวลาของความพยายาม	การแปลงพลังงานจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่ง	ปริมาณอนุรักษ์ในระบบปิด
องค์ประกอบ
ชื่อ	ภาวะหัวใจเต้นเร็ว ผิดปกติ , ภาวะหัวใจ แข็งเกร็งผิดปกติ${\displaystyle H}$${\displaystyle P=H^{-1}}$	การปฏิบัติตามกฎระเบียบความเข้มงวด${\displaystyle C}$${\displaystyle K=C^{-1}}$	ความต้านทาน${\displaystyle R}$	ความเฉื่อย(หรือ) ${\displaystyle I}$${\displaystyle L}$	อับราฮานซ์${\displaystyle A}$	แม็กแนนซ์${\displaystyle M}$
คุณสมบัติ	องค์ประกอบกระจายพลังงาน	องค์ประกอบการเก็บประจุ (ตัวแปรสถานะ: การกระจัด) (ตัวแปร Costate: ความพยายาม)	องค์ประกอบกระจายพลังงาน	องค์ประกอบการจัดเก็บโมเมนตัม (ตัวแปรสถานะ: โมเมนตัม) (ตัวแปร Costate: การไหล)	องค์ประกอบกระจายพลังงาน	องค์ประกอบกระจายพลังงาน
พฤติกรรมเชิงปริมาณ	สำหรับระบบ 1 มิติ (เชิงเส้น):$${\displaystyle P=H\cdot \left(D_{t}^{0}q(t)\right)^{2}}$$ สำหรับระบบ 1 มิติ:$${\displaystyle e(t)=P\gamma \left[D_{t}^{-1}q(t)\right]}$$ อิมพีแดนซ์:$${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{s^{2}H}}={\frac {1}{s^{2}}}P}$$	พลังงานศักยภาพสำหรับระบบ N มิติ:$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}V&=&{\frac {1}{2}}{\vec {q}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)\\{\vec {q}}(t)&=&{\hat {C}}{\vec {e}}(t)\end{array}}}$$ พลังงานศักยภาพ:$${\displaystyle V=\int _{0}^{q}e(q)\,dq}$$ พลังงานร่วมศักยภาพ :$${\displaystyle {\overline {V}}=\int _{0}^{e}q(e)de}$$ สำหรับระบบ 1 มิติ:$${\displaystyle f(t)=C\cdot {\frac {de}{dt}}+e{\frac {dC}{dt}}}$$ อิมพีแดนซ์:$${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}}={\frac {1}{s}}k}$$	สำหรับระบบ 1 มิติ (เชิงเส้น):$${\displaystyle P=R\cdot \left(D_{t}q(t)\right)^{2}}$$ กำลังสำหรับความต้านทานแบบไม่เชิงเส้น 1 มิติ ( คือแรงที่เกิดขึ้นจากองค์ประกอบ):${\displaystyle e(f)}$$${\displaystyle P=e(f)f}$$ พลังงานเรย์ลี:$${\displaystyle {\mathfrak {R}}={\frac {1}{2}}R\cdot f(t)^{2}}$$ กฎของเรย์ลีสำหรับความต้านทานที่ไม่เป็นเชิงเส้น:$${\displaystyle {\mathfrak {R}}=\int _{0}^{f}e(f)\,df}$$ ความพยายามของเรย์ลีย์:$${\displaystyle e_{\mathfrak {R}}={\frac {d{\mathfrak {R}}}{df}}=e(f)}$$ สำหรับระบบN มิติ:$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}P&=&{\vec {f}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)\\{\vec {e}}(t)&=&{\hat {R}}{\vec {f}}(t)\end{array}}}$$ สำหรับระบบ 1 มิติ:$${\displaystyle e(t)=R\cdot \gamma \left[D_{t}^{1}q(t)\right]}$$ อิมพีแดนซ์:$${\displaystyle Z(s)=R}$$	พลังงานจลน์สำหรับระบบN มิติ:$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}T={\frac {1}{2}}{\vec {\rho }}(t)^{\dagger }{\vec {f}}(t)\\{\vec {\rho }}(t)={\hat {L}}{\vec {f}}(t)\end{array}}}$$ พลังงานจลน์:$${\displaystyle T=\int _{0}^{\rho }f(\rho )\,d\rho }$$ พลังงานร่วมจลน์:$${\displaystyle {\overline {T}}=\int _{0}^{f}\rho (f)\,df}$$ สำหรับระบบ 1 มิติ:$${\displaystyle e(t)=L\cdot {\frac {df}{dt}}+f\cdot {\frac {dL}{dt}}}$$ อิมพีแดนซ์:$${\displaystyle Z(s)=sL}$$	สำหรับระบบ 1 มิติ (เชิงเส้น):$${\displaystyle P=A\cdot \left(D_{t}^{2}q(t)\right)^{2}}$$ สำหรับระบบ 1 มิติ:$${\displaystyle e(t)=A\cdot \gamma \left[D_{t}^{3}q(t)\right]}$$ อิมพีแดนซ์$${\displaystyle Z(s)=s^{2}A}$$	สำหรับระบบ 1 มิติ (เชิงเส้น)$${\displaystyle P=A\cdot \left(D_{t}^{3}q(t)\right)^{2}}$$ สำหรับระบบ 1 มิติ$${\displaystyle e(t)=M\cdot \gamma \left[D_{t}^{5}q(t)\right]}$$ อิมพีแดนซ์$${\displaystyle Z(s)=s^{4}M}$$
พฤติกรรมทั่วไป	พลังงานจากแหล่งพลังงานที่มาจากความพยายามอย่างแข็งขัน:${\displaystyle W=\int _{0}^{q}{e_{\text{source}}}\,dq}$ ลากรางเจียน :${\displaystyle {\mathfrak {L}}=T-(V-W)}$ แฮมิลโทเนียน :${\displaystyle {\mathfrak {H}}=T+(V-W)}$ ความพยายามแบบแฮมิลตัน:${\displaystyle e_{\mathfrak {H}}={\frac {d{\mathfrak {H}}}{dq}}}$ ความพยายามแบบลากรางจ์:${\displaystyle e_{\mathfrak {L}}={\frac {d{\mathfrak {L}}}{dq}}}$ ความพยายามแบบไม่ลงแรง:${\displaystyle e_{\mathfrak {LH}}={\frac {d}{dt}}{\frac {d{\mathfrak {L}}}{df}}}$ สมการกำลัง:${\displaystyle {\frac {d{\mathfrak {L}}}{dt}}+{\frac {d{\mathfrak {H}}}{dt}}=0}$ สมการความพยายาม:${\displaystyle e_{\mathfrak {L}}+e_{\mathfrak {H}}=0}$ สมการลากรางจ์:${\displaystyle e_{\mathfrak {R}}+e_{\mathfrak {LH}}=e_{\mathfrak {L}}}$ สมการแฮมิลโทเนียน:${\displaystyle e_{\mathfrak {R}}+e_{\mathfrak {LH}}=-e_{\mathfrak {H}}}$ ถ้าคือพลังงานร่วมคือพลังงานคือตัวแปรสถานะ และคือตัวแปรสถานะร่วม ${\displaystyle {\overline {W}}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {W}}+W=S\cdot {\overline {S}}\\{\overline {W}}=\int _{0}^{\overline {S}}S({\overline {S}})\,d{\overline {S}}\\W=\int _{0}^{S}{\overline {S}}(S)dS\end{aligned}}}$ สำหรับองค์ประกอบเชิงเส้น:${\displaystyle {\overline {W}}=W={\frac {1}{2}}S\cdot {\overline {S}}}$