ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทฤษฎีบทกราฟของโบเรลเป็นการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทกราฟปิดที่พิสูจน์โดย L. Schwartz ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทกราฟของโบเรลแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทกราฟปิดใช้ได้กับแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดบนและมีค่าในปริภูมิส่วนใหญ่ที่พบในการวิเคราะห์^{[ 1 ]}

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าปริภูมิโปแลนด์ถ้าเป็น ปริภูมิ เมตริกซ์ที่สมบูรณ์และแยกได้ และปริภูมิซูสลินเป็นภาพต่อเนื่องของปริภูมิโปแลนด์คู่แบบ อ่อน ของปริภูมิเฟรเชต์ที่แยกได้และคู่แบบเข้มของ ปริภูมิเฟ รเชต์-มอนเทล ที่แยกได้ เป็นปริภูมิซูสลิน นอกจากนี้ ปริภูมิของการกระจายและปริภูมิ Lp ทั้งหมด เหนือเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิดตลอดจนปริภูมิอื่นๆ อีกมากมายที่ปรากฏในการวิเคราะห์ ล้วนเป็นปริภูมิซูสลิน ทฤษฎีบทกราฟของโบเรลกล่าวว่า: ^{[ 1 ]}

ให้และเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟนูนเฉพาะที่และให้เป็นเชิงเส้น ถ้าเป็นลิมิตอุปนัยของตระกูลปริภูมิบานาค ใดๆ ถ้าเป็นปริภูมิซูสลิน และถ้ากราฟของเป็นเซตบอเรลในแล้วเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle u}$

การปรับปรุงทฤษฎีบทนี้ ซึ่งพิสูจน์โดย A. Martineau ใช้ปริภูมิวิเคราะห์ K ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าถ้ามันคือการตัดกันที่นับได้ของการรวมกันที่นับได้ของเซตกระชับ ปริภูมิ เชิงทอ พอโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟเรียกว่า${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$${\displaystyle Y}$K-analyticถ้าเป็นภาพต่อเนื่องของปริภูมิ (นั่นคือ ถ้ามีปริภูมิและแผนที่ต่อเนื่องจากไปยัง) เซตกระชับทุกเซตเป็น K-analytic ดังนั้นจึงมีปริภูมิ K-analytic ที่ไม่สามารถแยกได้ นอกจากนี้ ปริภูมิ Polish, Souslin และFréchet แบบสะท้อนปริภูมิเป็น K-analytic เช่นเดียวกับปริภูมิคู่แบบอ่อนของปริภูมิ Fréchet ทฤษฎีบททั่วไปกล่าวว่า: ^{[ 2 ]}${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ให้และเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟนูนเฉพาะที่ และให้เป็นเชิงเส้น ถ้าเป็นลิมิตอุปนัยของตระกูลปริภูมิบานาคใดๆ ถ้าเป็นปริภูมิวิเคราะห์ K และถ้ากราฟของปิดในแล้วจะต่อเนื่อง${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle u}$

• คุณสมบัติของกราฟปิด  – คุณสมบัติของฟังก์ชันในทางโทโพโลยี
• ทฤษฎีบทกราฟปิด  – ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงความต่อเนื่องกับกราฟ
• ทฤษฎีบทกราฟปิด (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)  – ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงความต่อเนื่องกับการปิดของกราฟ
• กราฟของฟังก์ชัน  – การแสดงผลของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์

• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .