ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตฮอปฟ์แบบถักเปีย (braided Hopf algebra)คือพีชคณิตฮอปฟ์ในหมวดหมู่โมโนอิดัล แบบ ถักเปีย พีชคณิตฮอปฟ์แบบถักเปียที่พบได้บ่อยที่สุดคือวัตถุในหมวดหมู่ Yetter–Drinfeldของพีชคณิตฮอปฟ์Hโดยเฉพาะอย่างยิ่งพีชคณิตนิโคลส์ของปริภูมิเวกเตอร์แบบถักเปียในหมวดหมู่นั้น

แนวคิดนี้ไม่ควรสับสนกับพีชคณิตฮอปฟ์แบบกึ่งสามเหลี่ยม

ให้Hเป็นพีชคณิตฮอปฟ์เหนือฟิลด์kและสมมติว่าแอนติโพดของHเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงโมดูล Yetter–Drinfeld RเหนือHเรียกว่าไบอัลจีบราแบบถักเปียในหมวดหมู่ Yetter–Drinfeld${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ถ้า

• ${\displaystyle (R,\cdot ,\eta )}$เป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่ มีเอกลักษณ์ โดยที่แผนที่การคูณ${\displaystyle \cdot :R\times R\to R}$และหน่วย${\displaystyle \eta :k\to R}$เป็นแผนที่ของโมดูล Yetter–Drinfeld
• ${\displaystyle (R,\Delta ,\varepsilon )}$เป็นโคอัลจีบรา แบบเชื่อมโยงร่วม ที่มีหน่วยร่วม${\displaystyle \varepsilon }$และทั้งสอง${\displaystyle \Delta }$และ${\displaystyle \varepsilon }$เป็นแผนที่ของโมดูล Yetter–Drinfeld
• แผนที่${\displaystyle \Delta :R\to R\otimes R}$และ${\displaystyle \varepsilon :R\to k}$แผนที่พีชคณิตอยู่ในหมวดหมู่${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$โดยที่โครงสร้างพีชคณิตของ${\displaystyle R\otimes R}$ถูกกำหนดโดยหน่วย${\displaystyle \eta \otimes \eta (1):k\to R\otimes R}$และแผนที่การคูณ

${\displaystyle (R\otimes R)\times (R\otimes R)\to R\otimes R,\quad (r\otimes s,t\otimes u)\mapsto \sum _{i}rt_{i}\otimes s_{i}u,\quad {\text{and}}\quad c(s\otimes t)=\sum _{i}t_{i}\otimes s_{i}.}$

ในที่นี้cคือการถักเปียแบบแคนอนิกในหมวดหมู่ Yetter–Drinfeld${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$.

ไบอัลเจบราแบบถักเปียใน${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$เรียกว่าพีชคณิตฮอปฟ์แบบถักเปียหากมีมอร์ฟิซึม${\displaystyle S:R\to R}$ของโมดูล Yetter–Drinfeld เช่นนั้น

${\displaystyle S(r^{(1)})r^{(2)}=r^{(1)}S(r^{(2)})=\eta (\varepsilon (r))}$สำหรับทุกคน${\displaystyle r\in R,}$

ที่ไหน${\displaystyle \Delta _{R}(r)=r^{(1)}\otimes r^{(2)}}$ในสัญกรณ์ Sweedler ที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อย – การเปลี่ยนแปลงสัญกรณ์นี้ทำขึ้นเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนในผลคูณร่วม ของ Radford ด้านล่าง

• พีชคณิตฮอปฟ์ใดๆ ก็เป็นพีชคณิตฮอปฟ์แบบถักเปียเหนือ${\displaystyle H=k}$
• พีชคณิตฮอปฟ์ขั้นสูงนั้นก็คือพีชคณิตฮอปฟ์แบบถักเปียบนพีชคณิตกลุ่ม นั่นเอง${\displaystyle H=k[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ]}$.
• พีชคณิต เทนเซอร์${\displaystyle TV}$ของโมดูล Yetter–Drinfeld${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$เป็นพีชคณิตฮอปฟ์แบบถักเปียเสมอ ผลคูณร่วม${\displaystyle \Delta }$ของ${\displaystyle TV}$ถูกกำหนดในลักษณะที่ว่าองค์ประกอบของVเป็นองค์ประกอบดั้งเดิม นั่นคือ

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1\quad {\text{สำหรับทุก}}\quad v\in V.}$

หน่วยย่อย${\displaystyle \varepsilon :TV\to k}$จากนั้นจึงสอดคล้องกับสมการ${\displaystyle \varepsilon (v)=0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle v\in V.}$

• ผลหารสากลของ${\displaystyle TV}$ซึ่งยังคงเป็นพีชคณิตฮอปฟ์แบบถักเปียที่ประกอบด้วย${\displaystyle V}$องค์ประกอบดั้งเดิมเหล่านี้เรียกว่าพีชคณิตนิโคลส์พวกมันมีบทบาทเป็นพีชคณิตบอเรลควอนตัมในการจำแนกพีชคณิตฮอปฟ์แบบมีจุดชี้ ในลักษณะเดียวกับกรณีของพีชคณิตลีแบบคลาสสิก

สำหรับพีชคณิตฮอปฟ์แบบถักเปียR ใดๆ ใน${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$มีพีชคณิตฮอปฟ์ตามธรรมชาติอยู่${\displaystyle R\#H}$ซึ่งประกอบด้วยRเป็นซับอัลเจบรา และHเป็นซับอัลเจบราของฮอปฟ์ เรียกอีกอย่างว่า ผลคูณสองทางของแรดฟอร์ด (Radford's biproduct ) ตั้งชื่อตามผู้ค้นพบคือ เดวิด แรดฟอร์ด นักอัลเจบราของฮอปฟ์ ต่อมาชาห์น มาจิด ได้ค้นพบมันอีกครั้ง และเรียกมันว่าการทำให้เป็นโบซอน (bosonization )

ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle R\#H}$ก็แค่${\displaystyle R\otimes H}$โครงสร้างพีชคณิตของ${\displaystyle R\#H}$ได้รับจาก

${\displaystyle (r\#h)(r'\#h')=r(h_{(1)}\cdot r')\#h_{(2)}h',}$

ที่ไหน${\displaystyle r,r'\in R,h,h'\in H}$,${\displaystyle \Delta (h)=h_{(1)}\otimes h_{(2)}}$( สัญกรณ์ Sweedler ) คือผลคูณร่วมของ${\displaystyle h\in H}$, และ${\displaystyle \cdot :H\otimes R\to R}$คือการกระทำทางซ้ายของHบนRยิ่งไปกว่านั้น ผลคูณร่วมของ${\displaystyle R\#H}$ถูกกำหนดโดยสูตร

${\displaystyle \Delta (r\#h)=(r^{(1)}\#r^{(2)}{}_{(-1)}h_{(1)})\otimes (r^{(2)}{}_{(0)}\#h_{(2)}),\quad r\in R,h\in H.}$

ที่นี่${\displaystyle \Delta _{R}(r)=r^{(1)}\otimes r^{(2)}}$หมายถึงผลคูณร่วมของrในRและ${\displaystyle \delta (r^{(2)})=r^{(2)}{}_{(-1)}\otimes r^{(2)}{}_{(0)}}$คือปฏิกิริยาร่วมด้านซ้ายของHบน${\displaystyle r^{(2)}\in R.}$