ในทางคณิตศาสตร์สูตรอินทิกรัลของโคชีซึ่งตั้งชื่อตามออกัสติน-หลุยส์ โคชีเป็นข้อความสำคัญในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อน สูตร นี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่กำหนดบนดิสก์นั้นถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยค่าของมันบนขอบของดิสก์และยังให้สูตรอินทิกรัลสำหรับอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกอีกด้วย สูตรของโคชีแสดงให้เห็นว่า ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อน "การหาอนุพันธ์เทียบเท่ากับการหาอินทิกรัล": การหาอนุพันธ์เชิงซ้อน เช่นเดียวกับการหาอินทิกรัล ทำงานได้ดีภายใต้ขอบเขตสม่ำเสมอซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ไม่เป็นจริงใน คณิตศาสตร์วิเคราะห์ เชิง จริง

ให้เป็นเซตเปิดในระนาบเชิงซ้อนและสมมติว่าวงกลมปิดที่กำหนดโดย บรรจุ อยู่ใน อย่างสมบูรณ์ให้เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและให้เป็นวงกลมที่วางตัวทวนเข็ม นาฬิกาซึ่งเป็นขอบเขตของแล้วสำหรับทุกภายในของ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle D}$$${\displaystyle D={\bigl \{}z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}$$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz.}$$

การพิสูจน์ข้อความนี้ใช้ทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชีและเช่นเดียวกับทฤษฎีบทนั้น มันต้องการเพียงแค่ให้ เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้เนื่องจากสามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังในตัวแปร ได้ดังนั้น ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจึงเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ กล่าวคือ สามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังลู่เข้าได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้ง โดยมี ${\displaystyle f}$${\textstyle {\frac {1}{za}}}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\frac {1}{za}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}},}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(za\right)^{n+1}}}\,dz.}$$

สูตรนี้บางครั้งเรียกว่าสูตรการหาอนุพันธ์ของโคชี

ทฤษฎีบทที่กล่าวมาข้างต้นสามารถขยายความได้ วงกลมสามารถแทนที่ด้วยเส้นโค้งปิดที่หาความ ยาวได้ใดๆ ก็ได้ ซึ่งมีจำนวนรอบเท่ากับหนึ่งรอบ⁠ ⁠ยิ่งไปกว่านั้น เช่นเดียวกับทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชี ก็เพียงพอที่จะกำหนดให้เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในบริเวณเปิดที่ล้อมรอบด้วยเส้นทาง และต่อเนื่องบนส่วนปิด ของเส้นทาง นั้น ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle U}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$

โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุกฟังก์ชันต่อเนื่องบนขอบเขตจะสามารถใช้สร้างฟังก์ชันภายในขอบเขตที่สอดคล้องกับฟังก์ชันขอบเขตที่กำหนดได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราใส่ฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ซึ่งกำหนดไว้สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \vert z\vert =1}$ลงในสูตรปริพันธ์ของโคชี เราจะได้ศูนย์สำหรับทุกจุดภายในวงกลม อันที่จริง การให้เพียงส่วนจริงบนขอบเขตของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกก็เพียงพอที่จะกำหนดฟังก์ชันได้จนถึงค่าคงที่เชิงจินตนาการ – มีเพียงส่วนจินตนาการเดียวบนขอบเขตที่สอดคล้องกับส่วนจริงที่กำหนด จนถึงการบวกค่าคงที่ เราสามารถใช้การรวมกันของการแปลงโมเบียสและสูตรผกผันของสติลต์เจสเพื่อสร้างฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจากส่วนจริงบนขอบเขต ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันมีส่วนจริง⁠ ⁠บนวงกลมหน่วยสามารถเขียนได้เป็น ⁠ ⁠โดยใช้การแปลงโมเบียสและสูตรของสติลต์เจส เราสร้างฟังก์ชันภายในวงกลม เทอม นี้ ไม่มีส่วนร่วม และเราพบฟังก์ชัน⁠ ⁠ซึ่ง มีส่วนจริงที่ถูกต้องบนขอบเขต และยังให้ส่วนจินตนาการที่สอดคล้องกันด้วย แต่คลาดเคลื่อนไปเป็นค่าคงที่ คือ⁠ ⁠${\displaystyle f(z)=i-iz}$${\displaystyle \Re (f(z))=\Im (z)}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {i}{z}}-iz\right)}$${\displaystyle \textstyle {\frac {i}{z}}}$${\displaystyle -iz}$${\displaystyle i}$

โดยใช้ทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชีเราสามารถแสดงได้ว่าปริพันธ์บน(หรือเส้นโค้งปิดที่หาความยาวได้) เท่ากับปริพันธ์เดียวกันที่หาบนวงกลมเล็กๆ รอบจุด⁠ ⁠เนื่องจากเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราจึงสามารถเลือกวงกลมที่มีขนาดเล็กพอที่ ⁠ ⁠ จะอยู่ใกล้กับ⁠ ⁠ ได้มากเท่าใด ก็ได้ ในทางกลับกัน ปริพันธ์ บนวงกลมใดๆที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่⁠ ⁠สามารถคำนวณได้โดยตรงผ่านการกำหนดพารามิเตอร์ ( การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ ) โดยที่และคือรัศมีของวงกลม ${\displaystyle C}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(a)}$$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{za}}\,dz=2\pi i,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z(t)=a+\varepsilon อี^{it}}$${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$${\displaystyle \varepsilon }$

การให้เช่าจะให้ค่าประมาณที่ต้องการ ${\displaystyle \varepsilon \ถึง 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{za}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{za}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|za|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}}$$

ให้ และให้เป็นเส้นโค้งที่อธิบายโดย(วงกลมรัศมี 2) $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle |z|=2}$

ในการหาปริพันธ์รอบเส้นโค้ง⁠ ⁠เราจำเป็นต้องทราบจุดเอกฐานของ⁠ ⁠สังเกตว่าเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ : โดยที่และ⁠ ⁠${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$$${\displaystyle z_{1}=-1+i}$${\displaystyle z_{2}=-1-i}$

ดังนั้น จึงมีขั้วที่และ⁠ ⁠ค่าสัมบูรณ์ ของจุดเหล่านี้มี ค่าน้อยกว่า 2 และจึงอยู่ภายในเส้นโค้ง อินทิกรัลนี้สามารถแยกออกเป็นอินทิกรัลย่อยสองส่วนได้โดยทฤษฎีบทโคชี-กูร์ซาต์กล่าวคือ เราสามารถแสดงอินทิกรัลรอบเส้นโค้งเป็นผลรวมของอินทิกรัลรอบและโดยที่เส้นโค้งเป็นวงกลมเล็กๆ รอบแต่ละขั้ว เรียกเส้นโค้งเหล่านี้ว่า รอบและรอบ⁠ ⁠${\displaystyle g}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle z_{2}}$

ตอนนี้ อินทิกรัลย่อยแต่ละตัวเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรอินทิกรัลของโคชี แต่ก่อนอื่นต้องเขียนใหม่ก่อนจึงจะสามารถใช้ทฤษฎีบทได้ สำหรับอินทิกรัลรอบ⁠ ⁠${\displaystyle C_{1}}$กำหนดให้เป็น ⁠ ⁠ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (เนื่องจากเส้นโค้งไม่ประกอบด้วยจุดเอกฐานอื่น) เราสามารถลดรูปได้เป็น: และตอนนี้ ${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{1}(z)=(z-z_{1})g(z)}$${\displaystyle f_{1}}$$${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$$$${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$$

เนื่องจากสูตรอินทิกรัลของโคชีกล่าวว่า: เราจึงสามารถคำนวณอินทิกรัลได้ดังนี้: $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{za}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$$$${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$$

ทำเช่นเดียวกันกับเส้นขอบอีกด้านหนึ่ง: เราประเมินผล $${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$$$${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$$

ดังนั้น ปริมาณอินทิกรัลรอบเส้นโค้งเดิมจึงเป็นผลรวมของอินทิกรัลทั้งสองนี้: ${\displaystyle C}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$$

เทคนิคพื้นฐานโดยใช้การแยกส่วนเศษส่วน : $${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$$

สูตรอินทิกรัลมีการประยุกต์ใช้ที่กว้างขวาง ประการแรก มันแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในเซตเปิดนั้น สามารถ หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้ง ในเซต นั้น นอกจากนี้ มันยังเป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ซึ่งหมายความว่าสามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมกำลัง การพิสูจน์ข้อนี้ใช้ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำและอนุกรมเรขาคณิตที่นำมาประยุกต์ใช้กับ $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$$

สูตรนี้ยังใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทเศษเหลือซึ่งเป็นผลลัพธ์สำหรับฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกและผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องคือหลักการอาร์กิวเมนต์เป็นที่ทราบกันจากทฤษฎีบทของโมเรราว่าลิมิตเอกรูปของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเป็นโฮโลมอร์ฟิกเช่นกัน สิ่งนี้สามารถอนุมานได้จากสูตรปริพันธ์ของโคชี: แท้จริงแล้วสูตรนี้ยังใช้ได้ในลิมิตและตัวถูกอินทิเกรต และด้วยเหตุนี้ปริพันธ์ จึงสามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังได้ นอกจากนี้ สูตรของโคชีสำหรับอนุพันธ์อันดับสูงกว่ายังแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์เหล่านี้ทั้งหมดลู่เข้าแบบเอกรูปด้วย

สูตรอินทิกรัลของโคชีในทางวิเคราะห์เชิงจริงนั้นเทียบได้กับสูตรอินทิกรัลของปัวซงสำหรับฟังก์ชันฮาร์มอนิกผลลัพธ์หลายอย่างสำหรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถนำมาใช้ในบริบทนี้ได้ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ดังกล่าวใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้หรือฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงจริงในกลุ่มที่กว้างกว่า ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันเชิงจริงไม่ได้หมายความถึงการมีอยู่ของอนุพันธ์อันดับสูงกว่า หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของฟังก์ชันนั้น ในทำนองเดียวกัน ลิมิตเอกรูปของลำดับของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (เชิงจริง) อาจหาอนุพันธ์ไม่ได้ หรืออาจหาอนุพันธ์ได้แต่มีอนุพันธ์ที่ไม่ใช่ลิมิตของอนุพันธ์ของสมาชิกในลำดับนั้น

ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งคือ ถ้าเป็นโฮโลมอร์ฟิกในและ สัมประสิทธิ์จะสอดคล้องกับการประมาณค่าของโคชี^{[ 1 ]}${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}}$${\displaystyle |z|<R}$${\displaystyle 0<r<R}$${\displaystyle a_{n}}$$${\displaystyle |a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$$

จากค่าประมาณของ Cauchy เราสามารถสรุปได้อย่างง่ายดายว่าฟังก์ชันสมบูรณ์ ที่มีขอบเขตทุกฟังก์ชัน จะต้องมีค่าคงที่ (ซึ่งก็คือทฤษฎีบทของ Liouville )

สูตรนี้ยังสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีค่าเฉลี่ยของเกาส์ซึ่งระบุว่า^{[ 2 ]}$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าเฉลี่ยของค่าบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่และรัศมีคือ⁠ ⁠ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยตรงผ่านการกำหนดพารามิเตอร์ของวงกลม ${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f(z)}$

สูตรอินทิกรัลของ Cauchy เวอร์ชันหนึ่งคือสูตร Cauchy– Pompeiu ^{[ 3 ]}และใช้ได้กับฟังก์ชันเรียบเช่นกัน เนื่องจากอิงตามทฤษฎีบทของ Stokesให้ เป็นดิสก์ในและสมมติว่า เป็นฟังก์ชัน C ¹ที่มีค่าเชิงซ้อน บนส่วนปิดของ⁠ ⁠แล้ว^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}$$

เราสามารถใช้สูตรการแสดงแทนนี้เพื่อแก้สมการโคชี-รีมันน์ ที่ไม่เอกพันธุ์ ใน⁠ ⁠ ได้${\displaystyle D}$อันที่จริง ถ้าเป็นฟังก์ชันใน⁠ ⁠แล้ว ผลเฉลยเฉพาะของสมการจะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่อยู่นอกขอบเขตของ⁠ ⁠ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า อยู่ในเซตเปิด⁠ ⁠ สำหรับบางค่า( โดยที่⁠ ⁠แล้วก็อยู่ในและสอดคล้องกับสมการ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle D}$$${\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}}$$${\displaystyle \varphi \in C^{k}(D)}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle f(\zeta ,{\bar {\zeta }})}$${\displaystyle C^{k}(D)}$$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).}$$

ข้อสรุปแรกโดยสรุปคือการสังเคราะห์ ของการวัดที่รองรับอย่างกระชับกับเคอร์เนลของ Cauchy เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกนอกส่วนรองรับของ⁠ ⁠โดยที่ หมายถึงค่าหลักข้อสรุปที่สองยืนยันว่าเคอร์เนลของ Cauchy เป็นคำตอบพื้นฐานของสมการ Cauchy–Riemann โปรดทราบว่าสำหรับฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนเรียบที่มีส่วนรองรับกระชับบนสูตรปริพันธ์ Cauchy ทั่วไปจะลดรูปเป็น และเป็นการกล่าวซ้ำข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อพิจารณาว่าเป็นการกระจายเป็นคำ^ตอบพื้นฐานของตัวดำเนินการ Cauchy–Riemann ⁠ ⁠ [ ^{6 ]}${\displaystyle \mu \ast k(z)}$$${\displaystyle k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}}$$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \operatorname {p.v.} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},}$$${\displaystyle (\pi z)^{-1}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$

สูตรอินทิกรัลโคชีทั่วไปสามารถอนุมานได้สำหรับบริเวณเปิดที่มีขอบเขตใดๆที่มีขอบเขตจากผลลัพธ์นี้และสูตรสำหรับอนุพันธ์การกระจายของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของ : โดย ที่การกระจายทางด้านขวามือแสดง ถึง การ อินทิเกรต ตาม เส้นโค้งตาม ^{[ 7 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \partial X}$${\displaystyle \chi _{X}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,}$$${\displaystyle \partial X}$

ตอนนี้เราสามารถสรุปสูตรปริพันธ์โคชีแบบทั่วไปได้แล้ว:

ในตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวสูตรปริพันธ์ของ Cauchy สามารถขยายไปสู่โพลิดิสก์ได้^{[ 8 ]}ให้เป็นโพลิดิสก์ที่กำหนดเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของดิสก์เปิด⁠ ⁠ : ${\displaystyle D}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n}}$$${\displaystyle D=\prod _{j=1}^{n}D_{j}.}$$

สมมติว่าเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในที่ต่อเนื่องบนส่วนปิดของ⁠ ⁠แล้ว โดย ที่⁠ ⁠ . ${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{\left(2\pi i\right)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}}$$${\displaystyle \zeta =(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in D}$

สูตรปริพันธ์ของโคชีสามารถขยายไปสู่ปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีสองมิติขึ้นไปได้ ความเข้าใจในคุณสมบัตินี้มาจากพีชคณิตเชิงเรขาคณิต ซึ่ง พิจารณาวัตถุที่นอกเหนือจากสเกลาร์และเวกเตอร์ (เช่น ไบเวกเตอร์ ระนาบ และไตรเวกเตอร์ปริมาตร ) และการขยายความที่เหมาะสมของ ทฤษฎีบทของสโตกส์

แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตกำหนดตัวดำเนินการอนุพันธ์ ภายใต้ผลคูณเชิงเรขาคณิต กล่าวคือ สำหรับสนามเวกเตอร์n ⁠ ⁠อนุพันธ์ โดยทั่วไปจะมีพจน์ของเกรดและ⁠ ⁠ตัวอย่างเช่น สนามเวกเตอร์โดยทั่วไปจะมีส่วนสเกลาร์ในอนุพันธ์ คือไดเวอร์เจนซ์ ( ⁠ ⁠ ) และส่วนไบเวกเตอร์ คือเคิร์ล ( ⁠ ⁠ ) ตัวดำเนินการอนุพันธ์เฉพาะนี้มีฟังก์ชันกรีน : โดยที่คือพื้นที่ผิวของลูกบอลหน่วยnในปริภูมิ (นั่นคือ⁠ ⁠คือเส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมีn ⁠ ⁠และ⁠ ⁠คือพื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมีn ⁠ ⁠ ) ตามนิยามของฟังก์ชันกรีน ${\displaystyle \nabla ={\hat {e}}_{j}\partial _{j}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \psi (r)}$${\displaystyle \nabla \psi }$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=2}$$${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}}$$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{2}=2\pi }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle S_{3}=4\pi }$${\displaystyle 1}$$${\displaystyle \nabla G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right).}$$

คุณสมบัติที่มีประโยชน์นี้สามารถนำมาใช้ร่วมกับทฤษฎีบท สโตกส์แบบทั่วไปได้ โดยที่สำหรับปริภูมิเวกเตอร์มิติ n นั้น เป็นเวกเตอร์มิติ n และเป็นเวกเตอร์มิติ n ฟังก์ชันสามารถประกอบขึ้นจากการรวมกันของมัลติเวกเตอร์ใดๆ ก็ได้ในทางทฤษฎี การพิสูจน์ทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชีสำหรับปริภูมิที่มีมิติสูงกว่านั้นอาศัยการใช้ทฤษฎีบทสโตกส์แบบทั่วไปเกี่ยวกับปริมาณ n และการใช้กฎผลคูณ: $${\displaystyle \oint _{\partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int _{V}d\mathbf {V} \;\nabla f(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle dS}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle dV}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(r)}$${\displaystyle G(r,r')f(r)}$$${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\left(\mathbf {r} '\right)\right)\;d\mathbf {V} }$$

เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle \nabla f=0}$เรียกว่าฟังก์ชันโมโนจีนิก ซึ่งเป็นการขยายทั่วไปของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกไปยังปริภูมิที่มีมิติสูงกว่า – อันที่จริง สามารถแสดงได้ว่าเงื่อนไขโคชี-รี มันน์เป็นเพียงการแสดงออกของเงื่อนไขโมโนจีนิกในสองมิติ เมื่อเงื่อนไขนั้นเป็นจริง พจน์ที่สองในปริพันธ์ด้านขวาจะหายไป เหลือเพียง โดยที่ คือ เวกเตอร์หน่วยของพีชคณิตนั้น ซึ่ง เป็นสเกลาร์เทียมผลลัพธ์คือ ${\displaystyle f(r)}$$${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle i_{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)}$$

ดังนั้น เช่นเดียวกับในกรณีสองมิติ (การวิเคราะห์เชิงซ้อน) ค่าของฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ (โมโนจีนิก) ณ จุดใดจุดหนึ่ง สามารถหาได้โดยการอินทิเกรตบนพื้นผิวที่ล้อมรอบจุดนั้น และวิธีนี้ใช้ได้ไม่เพียงแต่กับฟังก์ชันสเกลาร์เท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับฟังก์ชันเวกเตอร์และฟังก์ชันมัลติเวกเตอร์ทั่วไปด้วย

• "อินทิกรัลของโคชี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "สูตรอินทิกรัลของโคชี" . MathWorld .