ในสาขาคณิตศาสตร์วิเคราะห์ การลู่เข้าแบบเอกรูป ( uniform convergence)เป็นรูปแบบการลู่เข้าของฟังก์ชันที่แข็งแกร่งกว่าการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด (pointwise convergence ) ลำดับของฟังก์ชันจะลู่เข้าแบบเอกรูปไปยังฟังก์ชันลิมิตหากโดยคร่าวๆ แล้วฟังก์ชัน เหล่านั้น ประมาณค่าฟังก์ชันลิมิตได้อย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งโดเมน หมายความว่า ฟังก์ชันเกือบทั้งหมดในลำดับนั้น ยกเว้นเพียงจำนวนจำกัด จะอยู่ภายในแถบความคลาดเคลื่อน แบบเอกรูป ของฟังก์ชันดั้งเดิม ในทางกราฟิก หมายความว่า เมื่อกำหนดแถบแคบๆ รอบกราฟของฟังก์ชันกราฟของฟังก์ชันเกือบทั้งหมดยกเว้นเพียงจำนวนจำกัด จะอยู่ภายในแถบแคบๆ นั้น ซึ่งแตกต่างจากการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด ที่ฟังก์ชันเกือบทั้งหมด ยกเว้นเพียงจำนวนจำกัด จะอยู่ภายในแถบแคบๆ ที่แต่ละจุด แต่เซตของฟังก์ชันจำนวนจำกัดที่ต้องถูกยกเว้นเพื่อให้เป็นเช่นนั้น จะแตกต่างกันไปในแต่ละจุด ${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$

จุดเด่นของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอทำให้มันเหมาะสมอย่างยิ่งในหลายๆ การใช้งาน ที่การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ลิมิตแบบสม่ำเสมอของลำดับฟังก์ชันต่อเนื่องจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องโดยอัตโนมัติ ลิมิตแบบสม่ำเสมอของ ฟังก์ชัน ที่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้จะเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้โดยอัตโนมัติ ด้วยสมมติฐานเพิ่มเติมความสามารถในการหาอนุพันธ์สามารถถ่ายทอดไปยังฟังก์ชันลิมิตได้เช่นกัน ความแตกต่างระหว่างการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอและการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดนั้นไม่ได้รับการเข้าใจอย่างถ่องแท้ในช่วงต้นของประวัติศาสตร์แคลคูลัส ทำให้เกิดการให้เหตุผลที่ผิดพลาดหลายกรณี แนวคิดนี้ได้รับการกำหนดเป็นทางการครั้งแรกโดยKarl Weierstrass

ในปี ค.ศ. 1821 Augustin-Louis Cauchy ได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ว่าผลรวมลู่เข้าของฟังก์ชันต่อเนื่องจะมีความต่อเนื่องเสมอ ซึ่งNiels Henrik Abelในปี ค.ศ. 1826 ได้ค้นพบตัวอย่างค้านที่อ้างว่าเป็นความจริงในบริบทของอนุกรมฟูริเยร์โดยโต้แย้งว่าบทพิสูจน์ของ Cauchy นั้นไม่ถูกต้อง แนวคิดมาตรฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ยังไม่มีอยู่จริงในขณะนั้น และ Cauchy ได้จัดการกับการลู่เข้าโดยใช้วิธีการอนันต์ เมื่อนำมาอธิบายด้วยภาษาสมัยใหม่ สิ่งที่ Cauchy พิสูจน์ได้ก็คือ ลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอจะมีลิมิตต่อเนื่อง ความล้มเหลวของลิมิตที่ลู่เข้าแบบจุดต่อจุดของฟังก์ชันต่อเนื่องที่จะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันต่อเนื่อง แสดงให้เห็นถึงความสำคัญของการแยกแยะความแตกต่างระหว่างการลู่เข้าประเภทต่างๆ เมื่อจัดการกับลำดับของฟังก์ชัน^{[ 1 ]}

คำว่าการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอน่าจะถูกใช้ครั้งแรกโดยChristoph Gudermannในบทความปี 1838 เกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงวงรีโดยเขาใช้คำว่า "การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ" เมื่อ "รูปแบบการลู่เข้า" ของอนุกรมไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรและในขณะที่เขาคิดว่าเป็น "ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่ง" เมื่ออนุกรมลู่เข้าในลักษณะนี้ เขาไม่ได้ให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ หรือใช้คุณสมบัตินี้ในการพิสูจน์ใดๆ ของเขา^{[ 2 ]}${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi .}$

ต่อมา Karl Weierstrassศิษย์ของ Gudermann ซึ่งเข้าร่วมหลักสูตรเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงวงรีของเขาในปี 1839–1840 ได้บัญญัติศัพท์gleichmäßig konvergent ( ภาษาเยอรมัน : ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ) ซึ่งเขาใช้ในบทความZur Theorie der Potenzreihen ในปี 1841 ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1894 Philipp Ludwig von Seidel ^{[ 3 ]}และGeorge Gabriel Stokesก็ได้ กล่าวถึงแนวคิดที่คล้ายคลึงกันนี้เช่นกัน GH Hardyเปรียบเทียบคำจำกัดความทั้งสามในบทความของเขาเรื่อง "Sir George Stokes and the concept of uniform convergence" และกล่าวว่า "การค้นพบของ Weierstrass เป็นสิ่งแรกสุด และมีเพียงเขาคนเดียวที่ตระหนักถึงความสำคัญอันกว้างไกลของมันอย่างเต็มที่ในฐานะหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์"

ภายใต้อิทธิพลของไวเออร์สตรัสและแบร์นฮาร์ด รีมันน์แนวคิดนี้และคำถามที่เกี่ยวข้องได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 โดยเฮอร์มันน์ ฮันเคล , ปอล ดู บัวส์-เรย์มอนด์ , อูลิสเซ ดินี , เซซาเร อาร์เซลาและคนอื่นๆ

ก่อนอื่นเราจะกำหนดนิยามของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอสำหรับฟังก์ชันค่าจริงแม้ว่าแนวคิดนี้จะสามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันที่แมปไปยังปริภูมิเมตริกและปริภูมิสม่ำเสมอ โดยทั่วไปได้อย่างง่ายดาย (ดูด้านล่าง ) ^{[ 4 ]}

สมมติให้เป็นเซตและเป็นลำดับของฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดบนเซตนั้น เรากล่าวว่าลำดับ ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบนโดยมีลิมิตถ้าสำหรับทุก ๆจะมีจำนวนธรรมชาติ อยู่จำนวนหนึ่งซึ่ง สำหรับทุก ๆและสำหรับทุก ๆ${\displaystyle E}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\bigl |}f_{n}(x)-f(x){\bigr |}<\varepsilon .}$

สัญลักษณ์สำหรับการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอจากไปยัง นั้นยังไม่มีมาตรฐานที่แน่นอน และผู้เขียนหลายท่านได้ใช้สัญลักษณ์ที่หลากหลาย รวมถึง (เรียงลำดับตามความนิยมจากมากไปน้อยโดยประมาณ): ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _{n\to \infty }f_{n}.}$

บ่อยครั้งที่ไม่มีการใช้สัญลักษณ์พิเศษใดๆ และผู้เขียนเพียงแค่เขียนลงไปเฉยๆ

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly} }$

เพื่อบ่งชี้ว่าการลู่เข้าเป็นแบบสม่ำเสมอ (ในทางตรงกันข้าม การแสดงออกโดยไม่มีคำวิเศษณ์จะหมายถึงการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดบน: สำหรับทุกๆเมื่อ) ${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$${\displaystyle n\to \infty }$

เนื่องจากเป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์เกณฑ์ของโคชีจึงสามารถนำมาใช้เพื่อกำหนดสูตรทางเลือกที่เทียบเท่ากันสำหรับการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอได้ กล่าวคือลู่เข้าแบบสม่ำเสมอใน(ในความหมายก่อนหน้านี้) ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆจะมีจำนวนธรรมชาติ อยู่เช่นนั้น ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies {\bigl |}f_{m}(x)-f_{n}(x){\bigr |}<\varepsilon }$.

ในอีกรูปแบบหนึ่งที่เทียบเท่ากัน (ซึ่งได้มาจากการใช้นิยามของลิมิตและค่าสูงสุด ) ถ้าเรากำหนด

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}{\bigl |}f_{n}(x)-f(x){\bigr |},}$

จากนั้นจะลู่เข้าสู่ค่าเอกรูปก็ต่อเมื่อดังนั้นเราสามารถกำหนดลักษณะการลู่เข้าเอกรูปของ บน ได้ ว่าเป็น (การลู่เข้าแบบง่าย) ของในปริภูมิฟังก์ชันโดยสัมพันธ์กับเมตริกเอกรูป (เรียกอีกอย่างว่า เมตริก สูงสุด ) ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle d_{n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \textstyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}{\bigl |}f(x)-g(x){\bigr |}.}$

ในเชิงสัญลักษณ์

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff d(f_{n},f)\to 0}$.

ลำดับดังกล่าวจะเรียกว่าลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในระดับท้องถิ่นเมื่อลิมิตเป็นปริภูมิเมตริกและสำหรับทุก ๆx จะมี n อยู่ตัวหนึ่งที่ทำให้ลำดับลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอใน ปริภูมิเมตริก โดย ที่ n เป็นทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่xและรัศมีrเห็นได้ชัดว่าการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอหมายถึงการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในระดับท้องถิ่น ซึ่งหมายถึงการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle B(x,r)\cap E}$${\displaystyle B(x,r)}$

โดยสัญชาตญาณแล้ว ลำดับของฟังก์ชันจะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังถ้าเมื่อกำหนดค่า n ที่เล็กมาก ๆเราสามารถหาค่า n ที่ทำให้ฟังก์ชันที่มี ค่า n เท่ากับ n ทั้งหมดตกอยู่ใน "ท่อ" ที่มีความกว้าง n โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ n (กล่าวคือ ระหว่าง n และ n ) สำหรับโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle 2\varepsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)-\varepsilon }$${\displaystyle f(x)+\varepsilon }$

โปรดสังเกตว่า การสลับลำดับของตัวบ่งปริมาณในนิยามของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ โดยย้าย "สำหรับทุก" ไปไว้ข้างหน้า "มีจำนวนธรรมชาติอยู่" จะส่งผลให้ได้นิยามของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดของลำดับ เพื่อให้เห็นความแตกต่างนี้ชัดเจน ในกรณีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอจะขึ้นอยู่กับ เท่านั้นและการเลือกจะต้องใช้ได้กับทุกค่าของ สำหรับค่าเฉพาะของที่กำหนดให้ ในทางตรงกันข้าม ในกรณีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดอาจขึ้นอยู่กับทั้งและและการเลือกจะต้องใช้ได้กับค่าเฉพาะของและที่กำหนดให้เท่านั้น ดังนั้น การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอจึงหมายถึงการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ดังตัวอย่างในส่วนด้านล่างจะแสดงให้เห็น ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=N(\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N=N(\varepsilon ,x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x}$

เราสามารถขยายแนวคิดนี้ไปยังฟังก์ชันE → M ได้โดยตรง โดยที่ ( M , d ) คือปริภูมิเมตริกโดยการแทนที่ ด้วย${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}$${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}$

สถานการณ์ทั่วไปที่สุดคือการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอของเน็ตของฟังก์ชันE → Xโดยที่Xเป็นปริภูมิเอกรูปเรากล่าวว่าเน็ตลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอด้วยลิมิตf  : E → Xก็ต่อเมื่อสำหรับทุกกลุ่มVในXจะมีอยู่จริงโดยที่สำหรับทุกxในEและทุกอยู่ในVในสถานการณ์นี้ ลิมิตเอกรูปของฟังก์ชันต่อเนื่องยังคงต่อเนื่องอยู่ ${\displaystyle (f_{\alpha })}$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}$${\displaystyle (f_{\alpha }(x),f(x))}$

การลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอสามารถนิยามได้ง่ายขึ้นใน บริบทของ ไฮเปอร์เรียลดังนั้น ลำดับจะลู่เข้าสู่fอย่างสม่ำเสมอ ถ้าสำหรับทุกไฮเปอร์เรียลxในโดเมนของและทุกอนันต์nจะเข้าใกล้ f อย่างไม่มีที่สิ้นสุด(ดูไมโครคอนทินิวตีสำหรับนิยามที่คล้ายกันของความต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอ) ในทางตรงกันข้าม ความต่อเนื่องแบบจุดต่อจุดต้องการเงื่อนไขนี้เฉพาะสำหรับx ที่เป็นจำนวนจริง เท่านั้น ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle {f}^{*}}$${\displaystyle {f}_{n}^{*}(x)}$${\displaystyle {f}^{*}(x)}$

สำหรับกรณีของ ตัวอย่างพื้นฐานของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอสามารถแสดงได้ดังนี้: ลำดับ ลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ ในขณะที่ไม่ลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่าแต่ละฟังก์ชันจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับเมื่อ โดย ไม่คำนึงถึงค่าของในทางกลับกันจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ ก็ต่อ เมื่อค่าของ เพิ่มขึ้น เรื่อยๆ และ ค่าของเข้าใกล้ 1 มากขึ้นเรื่อยๆ (จะอธิบายเพิ่มเติมในรายละเอียดด้านล่าง) ${\displaystyle x\in [0,1)}$${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{x+n}}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{4}}}$${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{x+n}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีXแล้ว เราสามารถกำหนดทอ พอโลยี บรรทัดฐานเอกรูป ให้ กับ ปริภูมิของฟังก์ชัน ค่าจริงหรือเชิงซ้อนที่มีขอบเขตบนXโดยมีเมตริกเอกรูปที่กำหนดโดย

${\displaystyle d(f,g)={\|f-g\|}_{\infty }=\sup _{x\in X}{\bigl |}f(x)-g(x){\bigr |}.}$

ดังนั้น การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอจึงหมายถึงการลู่เข้าใน โทโพโลยี บรรทัดฐานสม่ำเสมอ :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\|f_{n}-f\|}_{\infty }=0}$.

ลำดับของฟังก์ชัน${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\[3mu]f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

เป็นตัวอย่างคลาสสิกของลำดับฟังก์ชันที่ลู่เข้าสู่ฟังก์ชันหนึ่ง ณ จุดหนึ่ง แต่ไม่ใช่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ เพื่อแสดงให้เห็นเช่นนี้ ก่อนอื่นเราต้องสังเกตว่าลิมิต ณ จุดหนึ่งของเมื่อคือฟังก์ชันซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle f}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\[3mu]1,&x=1.\end{cases}}}$

การลู่เข้าแบบจุดต่อจุด:การลู่เข้าเป็นเรื่องง่ายสำหรับและเนื่องจากและสำหรับทุกค่าสำหรับและ เมื่อกำหนดเราสามารถรับประกันได้ว่าเมื่อใดก็ตามที่โดยการเลือกซึ่งเป็นเลขชี้กำลังจำนวนเต็มต่ำสุดของที่ทำให้ค่าถึง หรือต่ำกว่า(ในที่นี้วงเล็บเหลี่ยมบนแสดงถึงการปัดเศษขึ้น ดูฟังก์ชันเพดาน ) ดังนั้น การลู่เข้า แบบจุดต่อจุดสำหรับทุกค่าโปรดทราบว่าการเลือกขึ้นอยู่กับค่าของและยิ่งไปกว่านั้น สำหรับการเลือกค่าคงที่ของ( ซึ่งไม่สามารถกำหนดให้มีค่าน้อยกว่าได้) จะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขตเมื่อเข้าใกล้ 1 ข้อสังเกตเหล่านี้ทำให้ตัดความเป็นไปได้ของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอออกไป ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in (0,1)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle N=\lceil \log \varepsilon /\log x\rceil }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$

ความไม่สม่ำเสมอของการลู่เข้า:การลู่เข้าไม่สม่ำเสมอ เพราะเราสามารถหาค่าที่ทำให้ไม่ว่าเราจะเลือกค่า มีขนาดใหญ่แค่ไหน ก็จะมีค่าของและที่ทำให้ เสมอเพื่อที่จะเห็นสิ่งนี้ ก่อนอื่นให้สังเกตว่าไม่ว่าค่าจะมีขนาดใหญ่แค่ไหน ก็จะมีค่าที่ทำให้ เสมอ ดังนั้น ถ้าเราเลือกเราจะไม่สามารถหาค่าที่ทำให้สำหรับทุกค่าและ ได้เลย กล่าวคือ ไม่ว่าเราจะเลือกค่าใดสำหรับให้พิจารณาค่าของที่เนื่องจาก ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon .}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$${\displaystyle f_{n}(x_{0})={\tfrac {1}{2}}.}$${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{4}},}$${\displaystyle N}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{N}}$${\displaystyle \textstyle x_{0}={\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{1/N}}$

${\displaystyle {\bigl |}f_{N}(x_{0})-f(x_{0}){\bigr |}=\left|{{\Bigl (}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{1/N}{\Bigr )}{\vphantom {\big |}}^{N}\!-0}~\!\right|={\tfrac {1}{2}}>{\tfrac {1}{4}}=\varepsilon ,}$

ผู้สมัครสอบไม่ผ่านเพราะเราพบตัวอย่างหนึ่งที่"หลุดรอด" จากความพยายามของเราที่จะ "จำกัด" แต่ละสิ่งให้อยู่ภายในขอบเขตของทุกสิ่งอันที่จริงแล้ว เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นได้ว่า ${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

ขัดแย้งกับข้อกำหนดที่ว่าถ้า. ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$

ในตัวอย่างนี้ เราสามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดไม่ได้รักษาคุณสมบัติการหาอนุพันธ์หรือความต่อเนื่องไว้ ถึงแม้ว่าแต่ละฟังก์ชันในลำดับจะเรียบ กล่าวคือ สำหรับทุกnแต่ลิมิตนั้นไม่ต่อเนื่องด้วยซ้ำ ${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าการกระจายอนุกรมของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง นั้นลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยที่มีขอบเขตใดๆ โดยใช้การทดสอบ M ของไวเออร์สตรัส ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$

ทฤษฎีบท (การทดสอบ M ของไวเออร์สตรัส) ให้เป็นลำดับของฟังก์ชันและให้เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก โดยที่สำหรับทุกและถ้าลู่เข้า แล้วจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอบน${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$${\displaystyle E}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมดังนี้:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

เซตย่อยที่มีขอบเขตใดๆ ก็ตาม คือเซตย่อยของวงกลมรัศมี r ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดในระนาบเชิงซ้อนการทดสอบ M ของไวเออร์สตรัสส์ต้องการให้เราหาขอบเขตบนของพจน์ในอนุกรม โดยที่r ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในวงกลม: ${\displaystyle D_{R}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

ในการทำเช่นนี้ เราสังเกตเห็นว่า

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

และนำไป${\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}$

ถ้าอนุกรมลู่เข้า การทดสอบ M จะยืนยันว่าอนุกรมเดิมลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$

สามารถใช้ การทดสอบอัตราส่วน ได้ในกรณีนี้:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

ซึ่งหมายความว่าอนุกรมบน นั้นลู่เข้า ดังนั้นอนุกรมดั้งเดิมจึงลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอสำหรับทุกและเนื่องจากอนุกรมจึงลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบน ด้วยเช่นกัน${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle z\in D_{R},}$${\displaystyle S\subset D_{R}}$${\displaystyle S.}$

• ลำดับลู่เข้าสม่ำเสมอทุกลำดับจะลู่เข้าสม่ำเสมอในระดับท้องถิ่นด้วย
• ลำดับที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในระดับท้องถิ่นทุกลำดับจะลู่เข้าอย่างกระชับ
• สำหรับ ปริภูมิ ที่กระชับในระดับท้องถิ่นการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอในระดับท้องถิ่นและการลู่เข้าแบบกระชับจะเกิดขึ้นพร้อมกัน
• ลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิเมตริก โดยที่ปริภูมิเมตริกของภาพเป็นปริภูมิสมบูรณ์ จะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ก็ต่อเมื่อลำดับนั้นเป็น โค ชีอย่างสม่ำเสมอ
• ถ้าเป็น ช่วง กระชับ (หรือโดยทั่วไปคือปริภูมิเชิงทอพอโลยีกระชับ) และเป็น ลำดับ เพิ่มขึ้นแบบเอกภาค (หมายความว่าสำหรับทุกnและx ) ของ ฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่มีลิมิต ณ จุดซึ่งต่อเนื่องเช่นกัน การลู่เข้าจะต้องเป็นการลู่เข้าแบบเอกภาค ( ทฤษฎีบทของ Dini ) การลู่เข้าแบบเอกภาคยังรับประกันได้หากเป็นช่วงกระชับ และเป็น ลำดับ ต่อเนื่องสม่ำเสมอที่ลู่เข้า ณ จุด${\displaystyle S}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (f_{n})}$

ถ้าและเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี แล้ว การพูดถึง ความต่อเนื่องของฟังก์ชันจึงสมเหตุสมผลถ้าเราสมมติเพิ่มเติมว่าเป็นปริภูมิเมตริกแล้ว การลู่เข้า (แบบเอกรูป) ของไปยัง ก็สามารถนิยามได้อย่างดีเช่นกัน ผลลัพธ์ต่อไปนี้ระบุว่า ความต่อเนื่องได้รับการรักษาไว้โดยการลู่เข้าแบบเอกรูป: ${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f_{n},f:E\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดย " กลอุบาย"${\displaystyle \varepsilon /3}$และเป็นตัวอย่างต้นแบบของกลอุบายนี้: ในการพิสูจน์อสมการที่กำหนด (ว่าปริมาณที่ต้องการน้อยกว่า) เรา${\displaystyle \varepsilon }$ใช้คำจำกัดความของความต่อเนื่องและการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอเพื่อสร้างอสมการ 3 ข้อ (แสดงให้เห็นว่าปริมาณที่แยกจากกัน 3 ปริมาณแต่ละข้อน้อยกว่า) จาก${\displaystyle \varepsilon /3}$นั้นรวมอสมการเหล่านั้นเข้าด้วยกันโดยใช้อสมการสามเหลี่ยมเพื่อสร้างอสมการที่ต้องการ

ทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์เชิงจริงและการวิเคราะห์ฟูริเยร์ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 18 หลายคนมีความเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่าลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่องจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันต่อเนื่องเสมอ ภาพด้านบนแสดงตัวอย่างค้าน และฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องหลายฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันต่อเนื่อง ข้ออ้างที่ผิดพลาดที่ว่าลิมิตแบบจุดต่อจุดของลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่องนั้นต่อเนื่อง (เดิมกล่าวไว้ในรูปของอนุกรมลู่เข้าของฟังก์ชันต่อเนื่อง) เป็นที่รู้จักกันในชื่อ "ทฤษฎีบทที่ผิดของโคชี" ทฤษฎีบทลิมิตเอกรูปแสดงให้เห็นว่าจำเป็นต้องใช้รูปแบบการลู่เข้าที่แข็งแกร่งกว่า นั่นคือการลู่เข้าเอกรูป เพื่อให้แน่ใจว่าความต่อเนื่องในฟังก์ชันลิมิตยังคงอยู่

กล่าวโดยละเอียด ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าลิมิตเอกรูปของ ฟังก์ชัน ต่อเนื่องเอกรูปนั้นต่อเนื่องเอกรูปเช่นกัน สำหรับ ปริภูมิ กระชับเฉพาะที่ความต่อเนื่องเทียบเท่ากับความต่อเนื่องเอกรูปเฉพาะที่ ดังนั้นลิมิตเอกรูปของฟังก์ชันต่อเนื่องจึงต่อเนื่อง

ถ้าเป็นช่วงและฟังก์ชันทั้งหมดสามารถหาอนุพันธ์ได้และลู่เข้าสู่ลิมิตมักจะเป็นที่พึงปรารถนาที่จะกำหนดฟังก์ชันอนุพันธ์โดยการหาลิมิตของลำดับอย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้: แม้ว่าการลู่เข้าจะเป็นแบบสม่ำเสมอ ฟังก์ชันลิมิตก็ไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้ (แม้ว่าลำดับจะประกอบด้วย ฟังก์ชัน วิเคราะห์ ทุกที่ ดูฟังก์ชัน Weierstrass ) และแม้ว่าจะหาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันลิมิตก็ไม่จำเป็นต้องเท่ากับลิมิตของอนุพันธ์ พิจารณาตัวอย่างเช่นด้วยลิมิตแบบสม่ำเสมอ เห็น ได้ชัดว่าก็เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์ของลำดับของฟังก์ชันกำหนดโดยและลำดับไม่ลู่เข้าสู่หรือแม้แต่ฟังก์ชันใดๆ เลย เพื่อให้แน่ใจว่ามีความเชื่อมโยงระหว่างลิมิตของลำดับของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และลิมิตของลำดับของอนุพันธ์ จำเป็นต้องมีการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของลำดับของอนุพันธ์บวกกับการลู่เข้าของลำดับของฟังก์ชันที่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุด: ^{[ 4 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle f',}$

ถ้าเป็นลำดับของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนโดยที่มีอยู่ (และมีค่าจำกัด) สำหรับบางค่าและลำดับ ลู่เข้า อย่างสม่ำเสมอบนแล้วจะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังฟังก์ชันบนและสำหรับ${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$${\displaystyle (f'_{n})}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}$${\displaystyle x\in [a,b]}$

ในทำนองเดียวกัน บ่อยครั้งที่เราต้องการสลับอินทิกรัลและกระบวนการลิมิต สำหรับอินทิกรัลของรีมันน์สามารถทำได้หากสมมติว่ามีการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ:

ถ้าเป็นลำดับของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ ซึ่งกำหนดบนช่วงกระชับ และลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอด้วยลิมิตแล้วจะเป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ และสามารถคำนวณปริพันธ์ของ ได้โดยใช้ลิมิตของปริพันธ์ของ:${\displaystyle {(f_{n})}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$$${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}$$

ในความเป็นจริง สำหรับตระกูลฟังก์ชันที่มีขอบเขตและลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในช่วงหนึ่ง อินทิกรัลรีมันน์บนและล่างจะลู่เข้าสู่อินทิกรัลรีมันน์บนและล่างของฟังก์ชันลิมิต เนื่องจากสำหรับnที่มีค่ามากพอ กราฟของจะอยู่ภายในระยะεจากกราฟของfดังนั้น ผลรวมบนและผลรวมล่างของจะอยู่ภายในระยะ ε จากค่าของผลรวมบนและล่างของตามลำดับ ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \varepsilon |I|}$${\displaystyle f}$

ทฤษฎีบทที่แข็งแกร่งกว่ามากในเรื่องนี้ ซึ่งต้องการเพียงแค่การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดเท่านั้น สามารถได้มาหากละทิ้งปริพันธ์ของรีมันน์และหันมาใช้ปริพันธ์ของเลเบสแทน

โดยใช้ทฤษฎีบทของโมเรราเราสามารถแสดงได้ว่า ถ้าลำดับของ ฟังก์ชัน วิเคราะห์ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในบริเวณ S ของระนาบเชิงซ้อนแล้ว ลิมิตจะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ใน S ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเชิงซ้อนมีพฤติกรรมที่ดีกว่าฟังก์ชันจริง เนื่องจากลิมิตสม่ำเสมอของฟังก์ชันวิเคราะห์บนช่วงจริงไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้ (ดูฟังก์ชันไวเออร์สตรัส )

เรากล่าวว่าลู่เข้า: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

จากคำจำกัดความนี้จึงได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

ให้x ₀อยู่ในเซตEและf _n แต่ละ ฟังก์ชันต่อเนื่องที่x ₀ถ้าลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในEแล้วfจะต่อเนื่องที่x ₀ในEสมมติว่า และ f _nแต่ละฟังก์ชันสามารถหาปริพันธ์ได้ในEถ้าลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในEแล้วfสามารถหาปริพันธ์ได้ในEและอนุกรมของปริพันธ์ของf _nจะเท่ากับปริพันธ์ของอนุกรมของf _n${\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$${\displaystyle E=[a,b]}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

การลู่เข้า แบบเอกรูป (Uniform convergence) เป็นบรรทัดฐานทางโทโพโลยีบนปริภูมิฟังก์ชัน ที่สำคัญหลายแห่ง ตัวอย่างเช่น ให้แทนปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนบนช่วงหน่วย ด้วยบรรทัดฐานสูงสุด (supremum norm) ปริภูมิ นี้จะเป็น ปริภูมิ บานาค (Banach space ) ลำดับในจะลู่เข้าสู่ในบรรทัดฐานนี้ก็ต่อเมื่อ ซึ่งก็คือการลู่เข้าแบบเอกรูปบนนั่นเอง ${\displaystyle C([0,1])}$$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|,}$$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0,}$$${\displaystyle [0,1]}$

ความสมบูรณ์ของลำดับนั้นเป็นผลมาจากความสมบูรณ์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ถ้าลำดับนั้นเป็นโคชีในบรรทัดฐานสูงสุดแล้ว สำหรับแต่ละค่า ลำดับนั้นจะเป็นโคชี เนื่องจาก ดังนั้นลำดับจึงลู่เข้าสู่ฟังก์ชันแบบจุดต่อจุดยิ่งไปกว่านั้น การลู่เข้าเป็นการลู่เข้าแบบเอกรูป: สำหรับทุกค่า จะมีค่าที่ทำให้เมื่อใดก็ตามที่; การให้ค่า จะได้ สำหรับทุกค่าและทุกค่าเนื่องจากลิมิตเอกรูปของฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องดังนั้น ${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle (f_{n}(x))}$$${\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leq \|f_{n}-f_{m}\|_{\infty }.}$$${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \|f_{n}-f_{m}\|_{\infty }<\varepsilon }$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle m\to \infty }$$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \varepsilon }$$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle f\in C([0,1])}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ (compact Hausdorff space ) แล้วที่มีนอร์มสูงสุด (supremum norm) จะเป็นปริภูมิบานาค (Banach space) ถ้าไม่ใช่ปริภูมิแบบกระชับ นอร์มสูงสุดไม่จำเป็นต้องมีค่าจำกัดบนทุกส่วนของในกรณีนั้น มักจะใช้โทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ (uniform convergence) บนเซตย่อยแบบกระชับ หรือที่เรียกว่าโทโพโลยีแบบกระชับ-เปิด (compact-open topology)ในบริบทนี้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็น ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบ กระชับเฉพาะที่ (locally compact ) และกระชับแบบ σ (σ-compact Hausdorff space ) โทโพโลยีนี้จะถูกสร้างขึ้นโดยเซมินอร์ม (seminorms)${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle p_{K}(f)=\sup _{x\in K}|f(x)|,}$$

โดยที่ช่วงของเซตย่อยขนาดกะทัดรัดของทำให้กลายเป็นปริภูมิ Fréchet${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$

สำหรับเซตใดๆปริภูมิของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่มีขอบเขตทั้งหมดบน ซึ่งมาพร้อมกับนอร์มสูงสุด ก็เป็นปริภูมิบานาคเช่นกัน การลู่เข้าในนอร์มนี้คือการลู่เข้าแบบเอกรูปบน อย่างแท้จริงนอร์มสูงสุดบนสำหรับปริภูมิกระชับ นั้น สืบทอดมาจากนอร์มของดังนั้น จึงเป็นปริภูมิย่อยปิด ${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(X)}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)|,}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle C(X)\subset \ell ^{\infty }(X)}$

ถ้าเป็นปริภูมิการวัด ปริภูมิของฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งมีขอบเขตโดยพื้นฐานบนพร้อมด้วยนอร์มสูงสุดโดยพื้นฐานสำหรับปริภูมิที่น่าสนใจในทางปฏิบัติหลายแห่ง เช่น เซตย่อยกระชับของปริภูมิยุคลิดและปริภูมิเชิงทอพอโลยีกระชับ การวัดแบบบอเรลตามธรรมชาติจะฝังตัวอยู่ในปริภูมิย่อยปิดของในกรณีเหล่านี้ นอร์มที่ให้การลู่เข้าแบบเอกรูปจะเหมือนกับนอร์ม และจึงเรียกว่านอร์ม ${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle L^{\infty }(X,\mu )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|f\|=\operatorname {esssup} _{x\in X}|f(x)|}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle L^{\infty }(X,\mu )}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }}$

ถ้าโดเมนของฟังก์ชันเป็นปริภูมิการวัดE แล้ว เราสามารถกำหนดแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการลู่เข้าแบบเกือบสม่ำเสมอ ได้ เรากล่าวว่าลำดับของฟังก์ชัน ลู่เข้าแบบเกือบสม่ำเสมอในEถ้าสำหรับทุก ๆn จะมีเซตที่วัดได้n ที่มีขนาดน้อยกว่าn อยู่ ซึ่งลำดับของฟังก์ชันลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง การลู่เข้าแบบเกือบสม่ำเสมอหมายความว่ามีเซตที่มีขนาดเล็กมาก ๆ ซึ่งลำดับของฟังก์ชันลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตส่วนเติมเต็มของเซตนั้น ${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle E_{\delta }}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$

โปรดทราบว่า การลู่เข้าเกือบสม่ำเสมอของลำดับไม่ได้หมายความว่าลำดับนั้นลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอเกือบทุกที่อย่างที่อาจเข้าใจผิดจากชื่อ อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทของเอโกโรฟรับประกันว่า บนปริภูมิการวัดจำกัด ลำดับของฟังก์ชันที่ลู่เข้าเกือบทุกที่จะลู่เข้าเกือบสม่ำเสมอในเซตเดียวกันด้วย

การลู่เข้าแบบเกือบสม่ำเสมอ หมายถึงการลู่เข้าเกือบทุกที่และการลู่เข้าในการวัด

• การบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในความน่าจะเป็น
• รูปแบบการบรรจบกัน (ดัชนีพร้อมคำอธิบาย)
• ทฤษฎีบทของดีนี
• ทฤษฎีบทอาร์เซลา-อัสโคลี
• โครงสร้างแบบกะทัดรัดและเปิด

"การลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]

• ตัวอย่างกราฟิกของการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอของอนุกรมฟูริเยร์จากมหาวิทยาลัยโคโลราโด