ในกลศาสตร์เชิงสถิติและคณิตศาสตร์แลตทิซเบเธ (หรือเรียกว่าต้นไม้ปกติ ) คือต้นไม้ปกติสมมาตร อนันต์ ที่ทุกจุดยอดมีจำนวนเพื่อนบ้านเท่ากัน แลตทิซเบเธถูกนำเสนอเข้าสู่วรรณกรรมฟิสิกส์โดยฮันส์ เบเธในปี 1935 ในกราฟดังกล่าว แต่ละจุดยอดเชื่อมต่อกับ เพื่อนบ้าน z จุด โดยจำนวนzเรียกว่าจำนวนการประสานงานหรือดีกรีขึ้นอยู่กับสาขา

เนื่องจากโครงสร้างทางทอพอโลยีที่เป็นเอกลักษณ์ กลศาสตร์เชิงสถิติของแบบจำลองแลตติส บนกราฟนี้จึงมักแก้ได้ง่ายกว่าบนแลตติสอื่นๆ คำตอบที่ได้นั้นเกี่ยวข้องกับ สมมติฐานเบเธ (Bethe ansatz)ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับระบบเหล่านี้

เมื่อทำงานกับโครงข่ายเบเธ (Bethe lattice) มักจะสะดวกที่จะกำหนดจุดยอดใดจุดหนึ่งเป็นจุดราก เพื่อใช้เป็นจุดอ้างอิงเมื่อพิจารณาคุณสมบัติเฉพาะที่ของกราฟ

เมื่อกำหนดจุดยอดจุดหนึ่งเป็นจุดรากแล้ว เราสามารถจัดกลุ่มจุดยอดอื่นๆ เป็นชั้นๆ โดยพิจารณาจากระยะห่างจากจุดราก จำนวนจุดยอดที่อยู่ห่างจากจุดรากเป็นระยะ n คือ n เนื่องจากแต่ละจุดยอดที่ไม่ใช่จุดรากจะอยู่ติดกับจุดยอดที่อยู่ห่างจากจุดรากเป็นระยะ 1 และจุดรากจะอยู่ติดกับจุดยอดที่อยู่ห่างจากจุดรากเป็นระยะ 1 ${\displaystyle d>0}$${\displaystyle z(z-1)^{d-1}}$${\displaystyle z-1}$${\displaystyle z}$

โครงสร้างแลตติซของเบเธ่มีความน่าสนใจในกลศาสตร์เชิงสถิติเป็นอย่างมาก เนื่องจากแบบจำลองแลตติซบนแลตติซของเบเธ่มักจะแก้ได้ง่ายกว่าบนแลตติซอื่นๆ เช่น แลตติซสี่เหลี่ยมสองมิติเนื่องจากการไม่มีวงจรช่วยลดปฏิสัมพันธ์ที่ซับซ้อนบางส่วนลง แม้ว่าแลตติซของเบเธ่จะไม่สามารถประมาณปฏิสัมพันธ์ในวัสดุทางกายภาพได้อย่างแม่นยำเท่ากับแลตติซอื่นๆ แต่ก็ยังสามารถให้ข้อมูลเชิงลึกที่เป็นประโยชน์ได้

แบบจำลองไอซิง (Ising model)เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเฟอร์โรแมกเนติซึม ซึ่งคุณสมบัติทางแม่เหล็กของวัสดุจะถูกแทนด้วย "สปิน" ที่แต่ละจุดในโครงตาข่าย ซึ่งมีค่าเป็น +1 หรือ -1 แบบจำลองนี้ยังมีค่าคงที่ที่แสดงถึงความแรงของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างจุดที่อยู่ติดกัน และค่าคงที่ที่แสดงถึงสนามแม่เหล็กภายนอกด้วย ${\displaystyle K}$${\displaystyle h}$

แบบจำลอง Ising บนโครงข่าย Bethe ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการแบ่งส่วน

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{(i,j)}\sigma _{i}\sigma _{j}+h\sum _{i}\sigma _{i}\right).}$

เพื่อคำนวณค่าสนามแม่เหล็กเฉพาะที่ เราสามารถแบ่งโครงตาข่ายออกเป็นหลายส่วนที่เหมือนกันโดยการลบจุดยอดออก ซึ่งจะทำให้เราได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ช่วยให้เราคำนวณค่าสนามแม่เหล็กของต้นไม้เคย์ลีย์ที่มี เปลือก nชั้น (ซึ่งเป็นแบบจำลองจำกัดของโครงตาข่ายเบธ) ได้ดังนี้

${\displaystyle M={\frac {e^{h}-e^{-h}x_{n}^{q}}{e^{h}+e^{-h}x_{n}^{q}}},}$

โดยที่และค่าของ เป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิด ${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle x_{n}={\frac {e^{-K+h}+e^{Kh}x_{n-1}^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-Kh}x_{n-1}^{q-1}}}}$

ในกรณีที่ระบบเป็นเฟอร์โรแมกเนติก ลำดับข้างต้นจะลู่เข้า ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ลิมิตเพื่อประเมินค่าสนามแม่เหล็กบนโครงข่ายเบเธได้ เราจะได้ ${\displaystyle K>0}$

${\displaystyle M={\frac {e^{2h}-x^{q}}{e^{2h}+x_{q}}},}$โดยที่xคือคำตอบของสมการ${\displaystyle x={\frac {e^{-K+h}+e^{Kh}x^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-Kh}x^{q-1}}}}$

สมการนี้มีคำตอบได้ 1 หรือ 3 คำตอบ ในกรณีที่มี 3 คำตอบ ลำดับจะลู่เข้าสู่ค่าที่เล็กที่สุดเมื่อและลู่เข้าสู่ค่าที่ใหญ่ที่สุดเมื่อ ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle h<0}$

พลังงานอิสระfที่แต่ละไซต์ของโครงตาข่ายในแบบจำลอง Ising กำหนดโดย

${\displaystyle {\frac {f}{kT}}={\frac {1}{2}}[-Kq-q\ln(1-z^{2})+\ln(z^{2}+1-z(x+1/x))+(q-2)\ln(x+1/x-2z)]}$,

โดยที่และยังคงเหมือนเดิม^{[ 1 ]}${\displaystyle z=\exp(-2K)}$${\displaystyle x}$

ความน่าจะเป็นที่การเดินสุ่มบนโครงข่าย Bethe ที่มีดีกรีเริ่มต้นที่จุดยอดที่กำหนดจะกลับมายังจุดยอดนั้นในที่สุดนั้นกำหนดโดย. เพื่อแสดงให้เห็นเช่นนี้ ให้เป็นความน่าจะเป็นของการกลับมายังจุดเริ่มต้นของเราหากเราอยู่ห่างออกไปเป็นระยะทาง เรามีความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้ ${\displaystyle z}$${\displaystyle {\frac {1}{z-1}}}$${\displaystyle P(k)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle P(k)={\frac {1}{z}}P(k-1)+{\frac {z-1}{z}}P(k+1)}$

สำหรับทุก ๆ จุดเนื่องจากในแต่ละตำแหน่งนอกเหนือจากจุดเริ่มต้นจะมีเส้นขอบที่ออกจากจุดเริ่มต้น 1 เส้น และเส้นขอบที่เข้าหาจุดเริ่มต้น 1 เส้น เมื่อรวมสมการนี้เข้าด้วยกันสำหรับทุก ๆ จุดเราจะได้ ${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle z-1}$${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(k)={\frac {1}{z}}P(0)+{\frac {1}{z}}P(1)+\sum _{k=2}^{\infty }P(k)}$.

เรามีค่าซึ่งบ่งชี้ว่าเราเพิ่งกลับมายังจุดเริ่มต้น ดังนั้นซึ่งเป็นค่าที่เราต้องการ ${\displaystyle P(0)=1}$${\displaystyle P(1)=1/(z-1)}$

โปรดทราบว่าสิ่งนี้แตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับกรณีของการเดินแบบสุ่มบนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมสองมิติ ซึ่งมีชื่อเสียงว่ามีความน่าจะเป็นในการกลับมาเท่ากับ 1 ^{[ 2 ]}โครงตาข่ายดังกล่าวเป็นแบบ 4-ปกติ แต่โครงตาข่าย Bethe แบบ 4-ปกติมีความน่าจะเป็นในการกลับมาเท่ากับ 1/3

เราสามารถกำหนดขอบเขตของจำนวนเส้นทางปิดที่มีความยาวโดยเริ่มต้นจากจุดยอดที่กำหนดของ Bethe Lattice ที่มีดีกรี ได้อย่างง่ายดาย จากด้านล่าง โดยพิจารณาแต่ละขั้นตอนว่าเป็นขั้นตอนภายนอก (ออกจากจุดเริ่มต้น) หรือขั้นตอนภายใน (เข้าหาจุดเริ่มต้น) เราจะเห็นว่าเส้นทางปิดใดๆ ที่มีความยาวจะต้องมีขั้นตอนภายนอกและขั้นตอนภายในอย่างแน่นอน นอกจากนี้ เราอาจไม่ได้ก้าวเข้ามากกว่าก้าวภายนอก ณ จุดใดๆ ดังนั้นจำนวนลำดับของทิศทางการก้าว (ทั้งภายในหรือภายนอก) จึงกำหนดโดยจำนวน Catalanที่n มีตัวเลือกอย่างน้อย สำหรับแต่ละขั้นตอนภายนอก และมีตัวเลือกเพียง 1 ตัวเลือกสำหรับแต่ละขั้นตอนภายใน ดังนั้นจำนวนเส้นทางปิดจึงมีอย่างน้อย ${\displaystyle 2k}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle z-1}$${\displaystyle (z-1)^{k}C_{k}}$

ขอบเขตนี้ไม่แน่นหนา เนื่องจากในความเป็นจริงแล้วมีตัวเลือกสำหรับการก้าวออกไปจากจุดเริ่มต้น ซึ่งเกิดขึ้นในตอนเริ่มต้นและจำนวนครั้งใดๆ ก็ได้ระหว่างการเดิน จำนวนการเดินที่แน่นอนนั้นคำนวณได้ยากกว่า และกำหนดโดยสูตร ${\displaystyle z}$

${\displaystyle (z-1)^{k}C_{k}\cdot {\frac {z-1}{z}}\ _{2}F_{1}(k+1/2,1,k+2,4(z-1)/z^{2}),}$

ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกของเกาส์อยู่ที่ไหน^{[ 3 ]}${\displaystyle _{2}F_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,z)}$

เราสามารถใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่อกำหนดขอบเขตของค่าไอเกนที่ใหญ่เป็นอันดับสองของกราฟแบบ n-regular ได้ ให้เป็นกราฟแบบ n-regular ที่มีจุดยอด และให้เป็นเมทริกซ์ประชิด ของมัน แล้วคือจำนวนของเส้นทางปิดที่มีความยาวจำนวนของเส้นทางปิดบนมีอย่างน้อยเท่าของจำนวนของเส้นทางปิดบนแลตทิซเบเธที่มีดีกรีเริ่มต้นที่จุดยอดใดจุดหนึ่ง เนื่องจากเราสามารถแมปเส้นทางบนแลตทิซเบเธไปยังเส้นทางบนที่เริ่มต้นที่จุดยอดที่กำหนด และย้อนกลับเฉพาะเส้นทางที่เคยเดินแล้วเท่านั้น มักจะมีเส้นทางปิดบน มากกว่าเนื่องจากเราสามารถใช้วัฏจักรเพื่อสร้างเส้นทางปิดเพิ่มเติมได้ ค่าไอเกนที่ใหญ่ที่สุดของคือและให้ เป็น ค่าสัมบูรณ์ที่ใหญ่เป็นอันดับสองของค่าไอเกน เราจะได้ ${\displaystyle d}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{tr }}A^{2k}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle n(d-1)^{k}C_{k}\leq {\text{tr}}A^{2k}\leq d^{2k}+(n-1)\lambda _{2}^{2k}.}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือ. เมื่อสังเกตว่าเมื่อเติบโตขึ้น เราสามารถปล่อยให้เติบโตเร็วกว่า มากเพื่อให้เห็นว่ามีกราฟแบบ -regular เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ที่ค่าสัมบูรณ์ที่มากเป็นอันดับสองของค่าไอเกนมีค่าไม่เกินสำหรับค่าใดๆนี่ เป็นผลลัพธ์ที่น่าสนใจมากในการศึกษากราฟ (n,d,λ)${\displaystyle \lambda _{2}^{2k}\geq {\frac {1}{n-1}}(n(d-1)^{k}C_{k}-d^{2k})}$${\displaystyle C_{k}=(4-o(1))^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda <2{\sqrt {d-1}}.}$

กราฟ Bethe ที่มีเลขการประสานงานคู่2nจะสมมาตรกับกราฟ Cayley ที่ไม่มีทิศทาง ของกลุ่มอิสระที่มีอันดับnโดยสัมพันธ์กับเซตตัวสร้างอิสระ

นอกจากนี้ แลตติซของเบเธยังปรากฏเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มลีไฮเปอร์โบลิก บางกลุ่ม เช่นกลุ่มฟุคเซียน ดังนั้นจึงถือว่าเป็นแลตติซในความหมายของ แลตติซในกลุ่มลีด้วย เช่นกัน

จุดยอดและขอบของการปูพื้นระนาบ ไฮเปอร์โบลิก แบบอะเพโรโก นัลตามลำดับ จะสร้างแลตทิซเบธที่มีดีกรี^{[ 4 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

• คริสตัล