แรงศูนย์กลางแบบอนุรักษ์Fมีคุณสมบัติสองประการ^{[ 1 ]}ประการแรก แรงนี้ต้องขับเคลื่อนอนุภาคไปในทิศทางตรงไปยังหรือออกจากจุดคงที่ในอวกาศ ซึ่งก็คือศูนย์กลางของแรง ซึ่งมักจะกำหนดให้เป็นOกล่าวอีกนัยหนึ่ง แรงศูนย์กลางต้องกระทำตามแนวเส้นที่เชื่อมOกับตำแหน่งปัจจุบันของอนุภาค ประการที่สอง แรงศูนย์กลางแบบอนุรักษ์ขึ้นอยู่กับระยะทางrระหว่างOกับอนุภาคที่กำลังเคลื่อนที่เท่านั้น มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาหรือตัวบ่งชี้ตำแหน่งอื่นๆ อย่างชัดเจน

นิยามสองประการนี้สามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้ ศูนย์กลางของแรงOสามารถเลือกให้เป็นจุดกำเนิดของระบบพิกัด เวกเตอร์rที่เชื่อมOกับตำแหน่งปัจจุบันของอนุภาคเรียกว่าเวกเตอร์ตำแหน่งดังนั้น แรงศูนย์กลางต้องมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์^{[ 2 ]} โดยที่rคือขนาดของเวกเตอร์ | r | (ระยะห่างจากศูนย์กลางของแรง) และr̂ = r /r คือเวกเตอร์หน่วย ที่สอดคล้องกัน ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันแรงศูนย์กลางFก่อให้เกิดความเร่งขนานaที่ปรับขนาดตามมวลmของอนุภาค^{[หมายเหตุ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {a} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$$

สำหรับแรงดึงดูดF ( r ) จะมีค่าเป็นลบ เนื่องจากแรงดึงดูดนี้ทำงานเพื่อลดระยะห่างrจากจุดศูนย์กลาง ในทางกลับกัน สำหรับแรงผลักF ( r ) จะมีค่าเป็นบวก

ถ้าแรงศูนย์กลางเป็นแรงอนุรักษ์ ขนาดของแรงศูนย์กลางF ( r ) สามารถแสดงได้เสมอในรูปอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันพลังงานศักย์ ที่ไม่ขึ้นกับเวลา U ( r ) ^{[ 3 ]}$${\displaystyle F(r)=-{\frac {dU}{dr}}}$$

ดังนั้น พลังงานรวมของอนุภาค—ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพU—จึงเป็นค่าคงที่ กล่าวได้ว่าพลังงานถูกอนุรักษ์เพื่อแสดงให้เห็นเช่นนี้ เพียงแค่ระบุว่างานWที่ทำโดยแรงนั้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้ายเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่ใช้ระหว่างตำแหน่งทั้งสอง

$${\displaystyle {\begin{aligned}W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} \\[1ex]&=\int _{r_{1}}^{r_{2}}Fdr=U(r_{1})-U(r_{2})\end{aligned}}}$$

ในทำนองเดียวกัน การที่ ค่า curlของสนามแรงFเป็นศูนย์ก็เพียงพอแล้ว โดยใช้ สูตรสำหรับค่า curl ในพิกัดทรงกลมเนื่องจาก อนุพันธ์ย่อยเป็นศูนย์สำหรับแรงศูนย์กลาง ดังนั้นขนาดของFจึงไม่ขึ้นอยู่กับพิกัดทรงกลม เชิงมุม θ และ φ$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial F}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=0}$$

เนื่องจากศักยภาพสเกลาร์V ( r ) ขึ้นอยู่กับระยะทางrจากจุดกำเนิดเท่านั้น จึงมีสมมาตรทรงกลมในแง่นี้ ปัญหาแรงสู่ศูนย์กลางจึงคล้ายคลึงกับเส้นทางโค้งของ Schwarzschildในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและกับการพิจารณา อนุภาคในศักยภาพที่มีสมมาตร ทรงกลมในกลศาสตร์ควอนตัม

ถ้าความเร็วเริ่มต้นvของอนุภาคอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์ตำแหน่งrการเคลื่อนที่ก็จะคงอยู่บนเส้นที่กำหนดโดยr ตลอดไป เนื่องจากแรง—และตามกฎข้อที่สองของนิวตัน ความเร่งa—ก็อยู่ในแนวเดียวกับr เช่นกัน ในการหาการเคลื่อนที่นี้ เพียงแค่แก้สมการก็เพียงพอแล้ว $${\displaystyle m{\ddot {r}}=F(r)}$$

วิธีแก้ปัญหาวิธีหนึ่งคือการใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานรวม $${\displaystyle \left|{\dot {r}}\right|=\left|{\frac {dr}{dt}}\right|={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}$$

เมื่อนำส่วนกลับมาทำการอินทิเกรตจะได้: $${\displaystyle |t-t_{0}|={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int {\frac {|dr|}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}}$$

สำหรับส่วนที่เหลือของบทความนี้ จะถือว่าความเร็วเริ่มต้นvของอนุภาคไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์ตำแหน่งrกล่าวคือเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมL = r × m vไม่เป็นศูนย์

แรงสู่ศูนย์กลางทุกชนิดสามารถทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอได้ โดยมีเงื่อนไขว่ารัศมีเริ่มต้นrและความเร็ว เริ่มต้น vต้องสอดคล้องกับสมการของแรงสู่ศูนย์กลาง$${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}=F(r)}$$

ถ้าสมการนี้เป็นจริงในช่วงเวลาเริ่มต้น มันก็จะเป็นจริงตลอดเวลาต่อมา อนุภาคจะเคลื่อนที่ในวงกลมรัศมีrด้วยความเร็วvตลอดไป

ปัญหาแรงศูนย์กลางเกี่ยวข้องกับสถานการณ์ในอุดมคติ ("ปัญหาหนึ่งวัตถุ") ซึ่งอนุภาคเดี่ยวถูกดึงดูดหรือผลักออกจากจุดO ที่ไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ ซึ่ง เป็นศูนย์กลางของแรง^{[ 4 ]} อย่างไรก็ตาม แรงทางกายภาพโดยทั่วไปจะอยู่ระหว่างวัตถุสองชิ้น และตามกฎข้อที่สามของนิวตัน หากวัตถุชิ้นแรกออกแรงกระทำต่อวัตถุชิ้นที่สอง วัตถุชิ้นที่สองจะออกแรงกระทำต่อวัตถุชิ้นแรกด้วยแรงที่เท่ากันและตรงข้ามกัน ดังนั้น วัตถุทั้งสองจะมีความเร่งหากมีแรงกระทำระหว่างกัน ไม่มีศูนย์กลางของแรงที่ไม่สามารถเคลื่อนที่ได้อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม หากวัตถุชิ้นหนึ่งมีมวลมากกว่าอีกชิ้นอย่างมาก ความเร่งสัมพัทธ์ของวัตถุชิ้นนั้นกับอีกชิ้นอาจถูกละเลยได้ ศูนย์กลางของวัตถุที่มีมวลมากกว่าอาจถือได้ว่าคงที่โดยประมาณ^{[ 5 ]}ตัวอย่างเช่น ดวงอาทิตย์มีมวลมากกว่าดาวเคราะห์เมอร์คิวรีอย่างมาก ดังนั้น ดวงอาทิตย์อาจถูกประมาณว่าเป็นศูนย์กลางของแรงที่ไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ ลดปัญหาลงเหลือเพียงการเคลื่อนที่ของดาวเมอร์คิวรีเพื่อตอบสนองต่อแรงที่กระทำโดยดวงอาทิตย์ อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง ดวงอาทิตย์ก็เคลื่อนที่ (แม้จะเพียงเล็กน้อย) เพื่อตอบสนองต่อแรงที่กระทำโดยดาวเคราะห์เมอร์คิวรีเช่นกัน

อย่างไรก็ตาม การประมาณค่าดังกล่าวไม่จำเป็น กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันอนุญาตให้แปลงปัญหาสองวัตถุแบบคลาสสิกใดๆ ให้เป็นปัญหาหนึ่งวัตถุที่แม่นยำที่สอดคล้องกันได้^{[ 6 ]} เพื่อแสดงให้เห็นสิ่งนี้ ให้x และx เป็นตำแหน่งของอนุภาคทั้งสอง และให้r = x − x เป็นตำแหน่งสัมพัทธ์ของพวกมัน จากนั้น ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}&=\left({\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{2}}}\right)\\[1ex]&=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{21}\end{aligned}}}$$

สมการสุดท้ายได้มาจากกฎข้อที่สามของนิวตันกล่าวคือ แรงของวัตถุที่สองกระทำต่อวัตถุแรก ( F ) มีค่าเท่ากันและทิศทางตรงข้ามกับแรงของวัตถุแรกกระทำต่อวัตถุที่สอง ( F ) ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่สำหรับrสามารถเขียนได้ในรูปแบบ โดยที่คือมวลลดทอน$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

ในกรณีพิเศษ ปัญหาของวัตถุสองชิ้นที่ปฏิสัมพันธ์กันด้วยแรงสู่ศูนย์กลางสามารถลดทอนลงเหลือเพียงปัญหาแรงสู่ศูนย์กลางของวัตถุชิ้นเดียวได้

การเคลื่อนที่ของอนุภาคภายใต้แรงศูนย์กลางFจะยังคงอยู่ในระนาบที่กำหนดโดยตำแหน่งและความเร็วเริ่มต้นเสมอ^{[ 7 ]}สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากสมมาตร เนื่องจากตำแหน่งrความเร็วvและแรงFล้วนอยู่ในระนาบเดียวกัน จึงไม่มีความเร่งที่ตั้งฉากกับระนาบนั้น เพราะจะทำให้สมมาตรระหว่าง "เหนือ" ระนาบและ "ใต้" ระนาบนั้นเสียไป

เพื่อแสดงให้เห็นทางคณิตศาสตร์นั้น เพียงพอที่จะแสดงว่าโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคมีค่าคงที่โมเมนตัมเชิงมุมL นี้ ถูกกำหนดโดยสมการ โดยที่mคือมวลของอนุภาค และpคือโมเมนตัมเชิงเส้น ของ อนุภาค ในสมการนี้ สัญลักษณ์ × แสดงถึงผลคูณเวกเตอร์ไม่ใช่การคูณ ดังนั้น เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมL จึงตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดยเวกเตอร์ตำแหน่ง rและเวกเตอร์ความเร็วvของอนุภาคเสมอ[ ^{หมายเหตุ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$$

โดยทั่วไป อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมLจะเท่ากับแรงบิดสุทธิr × F ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} \\[1ex]&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,\end{aligned}}}$$

พจน์แรกm v × vจะเป็นศูนย์เสมอ เพราะผลคูณเวกเตอร์ไขว้จะเป็นศูนย์เสมอสำหรับเวกเตอร์สองตัวใดๆ ที่ชี้ไปในทิศทางเดียวกันหรือตรงข้ามกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อFเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง พจน์ที่เหลือr × Fก็จะเป็นศูนย์เช่นกัน เพราะเวกเตอร์rและFชี้ไปในทิศทางเดียวกันหรือตรงข้ามกัน ดังนั้น เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมLจึงคงที่ จากนั้น $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {r} )=0}$$

ดังนั้น ตำแหน่ง rของอนุภาค(และด้วยเหตุนี้ ความเร็วv ) จึงอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับL เสมอ^{[ 9 ]}

เนื่องจากการเคลื่อนที่อยู่ในระนาบและแรงอยู่ในแนวรัศมี จึงเป็นเรื่องปกติที่จะเปลี่ยนไปใช้พิกัดเชิงขั้ว [ ^{9 ] ใน} พิกัดเหล่านี้ เวกเตอร์ตำแหน่งrจะแสดงในรูปของระยะทางรัศมีrและมุมอะซิมุทัลφ

$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y)=(r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi )}$$

การหาอนุพันธ์อันดับแรกเทียบกับเวลาจะได้เวกเตอร์ความเร็วของอนุภาคv$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )}$$

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง rของอนุภาคจะเท่ากับความเร่งa ของอนุภาค$${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$$

ความเร็วvและความเร่งaสามารถแสดงได้ในรูปของเวกเตอร์หน่วยแนวรัศมีและแนวราบ เวกเตอร์หน่วยแนวรัศมีได้มาจากการหารเวกเตอร์ตำแหน่งrด้วยขนาดrดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$$

เวกเตอร์หน่วยเชิงมุมกำหนดโดย^{[หมายเหตุ 4 ]}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )}$$

ดังนั้น ความเร็วสามารถเขียนได้เป็น ในขณะที่ความเร่งเท่ากับ $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}\mathbf {\hat {r}} +v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{r}\mathbf {\hat {r}} +a_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right)\mathbf {\hat {r}} +\left(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}$$

เนื่องจากF = m aตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน และเนื่องจากFเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง ดังนั้นเฉพาะส่วนประกอบแนวรัศมีของความเร่งa เท่านั้น ที่จะไม่เป็นศูนย์ ส่วนประกอบเชิงมุมa ต้องเป็นศูนย์ $${\displaystyle a_{\varphi }=2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}=0}$$

ดังนั้น, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right)&=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}\right)\\&=ra_{\varphi }=0\end{aligned}}}$$

โดยปกติแล้วนิพจน์ในวงเล็บนี้จะใช้สัญลักษณ์h$${\displaystyle {\begin{aligned}h=r^{2}{\dot {\varphi }}&=rv_{\varphi }=\left|\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right|\\[1ex]&=vr_{\perp }={\frac {L}{m}}\end{aligned}}}$$

ซึ่งเท่ากับความเร็วvคูณด้วยซึ่งเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์รัศมีที่ตั้งฉากกับความเร็ว hคือขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะเนื่องจากเท่ากับขนาดLของโมเมนตัมเชิงมุมหารด้วยมวลmของอนุภาค

เพื่อความกระชับ บางครั้งจึงเขียนความเร็วเชิงมุมเป็นω$${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}$$

อย่างไรก็ตาม ไม่ควรสันนิษฐานว่า ω มีค่าคงที่ เนื่องจากhมีค่าคงที่ωจึงแปรผันตามรัศมีrตามสูตร^{[ 10 ]}$${\displaystyle \omega ={\frac {h}{r^{2}}}}$$

เนื่องจากhมีค่าคงที่และr ²มีค่าเป็นบวก มุมφจึงเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องในปัญหาแรงสู่ศูนย์กลางใดๆ โดยอาจเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ( hเป็นบวก) หรือลดลงอย่างต่อเนื่อง ( hเป็นลบ) ^{[ 11 ]}

ขนาดของhยังเท่ากับสองเท่าของความเร็วเชิงพื้นที่ซึ่งเป็นอัตราที่พื้นที่ถูกกวาดออกไปโดยอนุภาคเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลาง^{[ 12 ]} ดังนั้น ความเร็วเชิงพื้นที่จึงคงที่สำหรับอนุภาคที่ถูกกระทำโดยแรงศูนย์กลางประเภทใดก็ตาม นี่คือกฎข้อที่สองของเคปเลอร์ [ ^{13 ] ใน} ทางกลับกัน หากการเคลื่อนที่ภายใต้แรงอนุรักษ์Fเป็นระนาบและมีความเร็วเชิงพื้นที่คงที่สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นทั้งหมดของรัศมีrและความเร็วvแล้ว ความเร่งเชิงมุมa จะเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น ตามกฎข้อที่สองของนิวตันF = m aแรงจึงเป็นแรงศูนย์กลาง

ความคงที่ของความเร็วเชิงพื้นที่สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยการเคลื่อนที่แบบวงกลมและแบบเส้นตรงสม่ำเสมอ ในการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ อนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่vรอบเส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมีr เนื่องจากความเร็วเชิงมุม ω = v / r คงที่ พื้นที่ที่กวาดไปในเวลา Δt เท่ากับ ω r 2 Δt ดังนั้นพื้นที่ที่กวาดไปในเวลา Δt ที่^เท่ากันจึงเท่ากันในการเคลื่อนที่แบบเส้นตรงสม่ำเสมอ (เช่น การเคลื่อนที่โดยปราศจากแรง ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อแรกของนิวตัน) อนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ นั่นคือ ด้วยความเร็วคงที่v ตามแนวเส้น ในเวลา Δt อนุภาคจะกวาดพื้นที่1 ⁄ 2 v Δtr ⊥ ( พารามิเตอร์การกระทบ ) ^{[หมายเหตุ 5 ]} ระยะทางr ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรง มันแสดง ถึงระยะห่างที่ใกล้ที่สุดของเส้นกับจุดศูนย์กลางO ( พารามิเตอร์การกระทบ ) เนื่องจากความเร็วvก็ไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน ความเร็วเชิงพื้นที่1/2 vr⊥เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ อนุภาคจะกวาดพื้นที่เท่ากันในเวลาเท่ากัน

โดยการแปลงตัวแปร^{[ 14 ]}ปัญหาแรงศูนย์กลางใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นปัญหาแรงขนานที่เทียบเท่ากันได้^{[หมายเหตุ 6 ]} แทนที่จะใช้พิกัดคาร์ทีเซียนxและy ทั่วไป จะมีการกำหนดตัวแปรตำแหน่งใหม่สองตัวคือ ξ = x / yและη = 1/ yรวมถึงพิกัดเวลาใหม่τ ด้วย$${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}}}$$

สมการการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกันสำหรับξและηมีดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi }{d\tau }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\\[1ex]&=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h\\[2ex]{\frac {d\eta }{d\tau }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\\[1ex]&=-{\frac {\dot {y}}{y^{2}}}y^{2}=-{\dot {y}}\end{aligned}}}$$

เนื่องจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของξมีค่าคงที่ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองของ ξ จึงเป็นศูนย์ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=0}$$

เนื่องจากนี่คือความเร่งใน ทิศทาง ξและเนื่องจากF = maตามกฎข้อที่สองของนิวตัน จึงสรุปได้ว่าแรงใน ทิศทาง ξเป็นศูนย์ ดังนั้นแรงจึงมีเฉพาะใน ทิศทาง ηซึ่งเป็นเกณฑ์สำหรับปัญหาแรงขนาน กล่าวคือ ความเร่งใน ทิศทาง ηเท่ากับ เนื่องจากความเร่งใน ทิศทาง yเท่ากับ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}&={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)\\[1ex]&=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {1}{m}}F_{y}={\frac {1}{m}}F(r)\,{\frac {y}{r}}}$$

ในที่นี้F แทน ส่วนประกอบ yของแรงสู่ศูนย์กลาง และy / rเท่ากับโคไซน์ของมุมระหว่าง แกน yกับเวกเตอร์รัศมีr

เนื่องจากแรงศูนย์กลางFกระทำเฉพาะตามแนวรัศมีเท่านั้น จึงมีเพียงองค์ประกอบรัศมีของความเร่งเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน ขนาดของFเท่ากับมวลmของอนุภาคคูณด้วยขนาดของความเร่งรัศมี^{[ 15 ]}$${\displaystyle F(r)=m{\ddot {r}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {mh^{2}}{r^{3}}}}$$

สมการนี้มีตัวประกอบการอินทิเกรต${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(r)\,dr&=F(r){\dot {r}}\,dt\\[1ex]&=m\left({\dot {r}}{\ddot {r}}-{\frac {h^{2}}{r^{3}}}{\dot {r}}\right)\,dt\\[1ex]&={\frac {m}{2}}\,d{\left({\dot {r}}^{2}+h^{2}r^{-2}\right)}\end{aligned}}}$$

การบูรณาการผลผลิต $${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {m}{2}}\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]}$$

ถ้าhไม่เป็นศูนย์ ตัวแปรอิสระสามารถเปลี่ยนจากtเป็นϕ ^{[ 16 ]} ทำให้ได้สมการการเคลื่อนที่ใหม่^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}=\omega {\frac {d}{d\varphi }}={\frac {h}{r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}}$$$${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {mh^{2}}{2}}\left[\left(-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{2}\right]}$$

การเปลี่ยนตัวแปรเป็นรัศมีผกผันu = 1/ r ^{[ 17 ]}จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}=C-u^{2}-G\left(u\right)}$$

1

โดยที่Cคือค่าคงที่ของการอินทิเกรต และฟังก์ชันG ( u ) ถูกกำหนดโดย $${\displaystyle G(u)=-{\frac {2}{mh^{2}}}\int ^{\frac {1}{u}}F(r)\,dr}$$

สมการนี้จะกลายเป็นสมการกึ่งเชิงเส้นเมื่อทำการหาอนุพันธ์เทียบกับϕ$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {1}{mh^{2}u^{2}}}F(1/u)}$$

นี่คือสิ่งที่เรียกว่าสมการ Binetการอินทิเกรต( 1 )จะได้คำตอบสำหรับϕ ^{[ 18 ]} โดยที่ϕ เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรตอีกค่าหนึ่ง ปัญหาแรงศูนย์กลางจะเรียกว่า "สามารถอินทิเกรตได้" หากการอินทิเกรตขั้นสุดท้ายนี้สามารถแก้ได้ในรูปของฟังก์ชันที่ทราบ$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{\frac {1}{r}}{\frac {du}{\sqrt {C-u^{2}-G(u)}}}}$$

นำผลคูณเชิงสเกลาร์ของกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันกับความเร็วของอนุภาค โดยที่แรงได้มาจากพลังงานศักยภาพ จะให้ ผลรวมที่ถือว่าอยู่เหนือดัชนีคาร์ทีเซียนเชิงพื้นที่และเราได้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าและใช้กฎลูกโซ่จัดเรียงใหม่ พจน์ในวงเล็บทางด้านซ้ายมือเป็นค่าคงที่ กำหนดให้เป็นพลังงานกลรวม เห็นได้ชัดว่านี่คือผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพ^{[ 19 ]}$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )\qquad \left/\;\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}m{\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)&=-{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )\\[1ex]&=-\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}=-{\frac {dU}{dt}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle i=1,2,3}$${\textstyle {\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}+{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=2{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}}$${\textstyle {\frac {d}{dt}}U(x,y,z)=\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )\right)=0}$$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }}$

นอกจากนี้ หากศักยภาพอยู่ที่ศูนย์กลางและแรงอยู่ในทิศทางรัศมี ในกรณีนี้ ผลคูณไขว้ของกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันกับเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคจะต้องเป็นศูนย์ เนื่องจากผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ขนานสองตัวเป็นศูนย์ แต่(ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ขนาน) ดังนั้น พจน์ในวงเล็บทางด้านซ้ายมือเป็นค่าคงที่ กำหนดให้เป็นโมเมนตัมเชิงมุม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพิกัดเชิงขั้วหรือ นอกจากนี้ดังนั้นสมการพลังงานอาจง่ายขึ้นด้วยโมเมนตัมเชิงมุมเป็น สิ่งนี้บ่งชี้ว่าโมเมนตัมเชิงมุมมีส่วนทำให้เกิดพลังงานศักยภาพที่มีประสิทธิภาพ^{[ 20 ]} แก้สมการนี้สำหรับ ซึ่งอาจแปลงเป็นอนุพันธ์ของ เทียบกับมุมอะซิมุทได้เป็น นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่แยกตัวแปรได้ การอินทิเกรต และ ให้สูตร^{[ 21 ]}${\displaystyle U(x,y,z)=U(r)}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \times m{\ddot {\mathbf {r} }}&={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)-\left({\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)\\[1ex]&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}=0}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle L=mrv_{\varphi }=mr^{2}{\dot {\varphi }}}$$${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}^{2}=v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}={\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\varphi }})^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\mathrm {tot} }&={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+U(r)\\[1ex]&={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)\\[1ex]&={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+U_{\mathrm {eff} }(r)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle U_{\mathrm {eff} }(r)=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$${\displaystyle {\dot {r}}}$$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}={\frac {dr/dt}{d\varphi /dt}}={\frac {\dot {r}}{\dot {\varphi }}}={\frac {mr^{2}}{L}}{\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}}}$$

การเปลี่ยนตัวแปรของการอินทิเกรตเป็นรัศมีผกผันทำให้ได้อินทิกรัล^{[ 22 ]} ซึ่งแสดงค่าคงที่ข้างต้นC = 2 mE / L ²และG ( u ) = 2 mU (1/ u )/ L ²ข้างต้นในรูปของพลังงานรวมE และพลังงานศักยภาพU ( r )$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}E_{\mathrm {tot} }-{\frac {2m}{L^{2}}}U(1/u)-u^{2}}}}}$$

อัตราการเปลี่ยนแปลงของrเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่พลังงานศักย์ที่มีประสิทธิภาพเท่ากับพลังงานทั้งหมด^{[ 23 ]}$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$

จุดที่สมการนี้เป็นจริงเรียกว่าจุดเปลี่ยน [ ^{23 ] วง} โคจรทั้งสองด้านของจุดเปลี่ยนจะสมมาตร กล่าวคือ ถ้ามุมอะซิมุทถูกกำหนดให้φ = 0 ที่จุดเปลี่ยน วงโคจรจะเหมือนกันในทิศทางตรงกันข้ามr ( φ ) = r (− φ ) ^{[ 24 ]}

หากมีจุดเปลี่ยนสองจุดที่รัศมีrถูกจำกัดระหว่างr และr การเคลื่อนที่นั้นจะอยู่ภายในวงแหวนของรัศมีเหล่านั้น^{[ 23 ]} เมื่อรัศมีเปลี่ยนแปลงจากจุดเปลี่ยนหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงของมุมอะซิมุทφจะเท่ากับ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int _{r_{\min }}^{r_{\max }}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$$

วงโคจรจะปิดตัวเอง^{[หมายเหตุ 7 ]} ก็ต่อเมื่อ Δφ เท่ากับเศษส่วนตรรกยะของ 2π นั่นคือ^{[ 23 ]} โดยที่mและnเป็นจำนวนเต็ม ในกรณีนั้น รัศมีจะแกว่งไปมาmครั้งพอดี ในขณะที่มุมอะซิมุท φ จะหมุนไปnรอบพอดี อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว Δφ/2π จะไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ดัง กล่าว ดังนั้นวงโคจรจึงจะไม่ปิด ในกรณีนั้น อนุภาคจะผ่านเข้าไปใกล้ทุกจุดภายในวงแหวนอย่างไม่มีกำหนด แรงศูนย์กลางสองประเภทจะทำให้เกิดวงโคจรปิดเสมอ ได้แก่F ( r ) = αr (แรงเชิงเส้น) และF ( r ) = α/ r² ( กฎกำลังสองผกผัน ) ดังที่เบอร์ทรานด์แสดงไว้ แรงศูนย์กลางสอง ^แรงนี้เป็นเพียงแรงเดียวที่รับประกันวงโคจรปิด^{[ 25 ]}$${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}}$$

โดยทั่วไป หากโมเมนตัมเชิงมุมLไม่เป็นศูนย์ เทอม L ² /2 mr ²จะป้องกันไม่ให้อนุภาคตกลงสู่จุดกำเนิด เว้นแต่พลังงานศักย์ที่มีประสิทธิภาพจะเข้าสู่ค่าลบอนันต์ในขีดจำกัดของrที่เข้าใกล้ศูนย์^{[ 26 ]} ดังนั้น หากมีจุดเปลี่ยนเพียงจุดเดียว วงโคจรโดยทั่วไปจะเข้าสู่ค่าอนันต์ จุดเปลี่ยนจะสอดคล้องกับจุดที่มีรัศมีต่ำสุด

ในฟิสิกส์คลาสสิกแรงสำคัญหลายอย่างเป็นไปตามกฎกำลังสองผกผัน เช่นแรงโน้มถ่วงหรือแรงไฟฟ้าสถิตรูปแบบทางคณิตศาสตร์ทั่วไปของแรงศูนย์กลางกำลังสองผกผันดังกล่าวคือ โดยที่ค่าคงที่ มีค่าเป็นลบสำหรับแรงดึงดูด และมีค่าเป็นบวกสำหรับแรงผลัก$${\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}$$${\displaystyle \alpha }$

กรณีพิเศษของปัญหาแรงสู่ศูนย์กลางแบบคลาสสิกนี้เรียกว่าปัญหาเคปเลอร์สำหรับแรงผกผันกำลังสอง สมการบิเนต์ที่ได้มาจากข้างต้นจะเป็นเชิงเส้น $${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}.}$$

คำตอบของสมการนี้คือ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าวงโคจรเป็นภาคตัดกรวยที่มีความเยื้อง ศูนย์ eโดยที่φ คือมุมเริ่มต้น และจุดศูนย์กลางของแรงอยู่ที่จุดโฟกัสของภาคตัดกรวย เมื่อใช้สูตรครึ่งมุมสำหรับไซน์คำตอบนี้สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า $${\displaystyle u(\varphi )=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}\left[1+e\cos \left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right]}$$$${\displaystyle u(\varphi )=u_{1}+(u_{2}-u_{1})\sin ^{2}\left({\frac {\varphi -\varphi _{0}}{2}}\right)}$$

โดยที่u และu เป็นค่าคงที่ โดยที่u มีค่ามากกว่าu คำตอบทั้งสองเวอร์ชันมีความสัมพันธ์กันด้วยสมการต่อไป นี้ $${\displaystyle u_{1}+u_{2}=-{\frac {2\alpha }{mh^{2}}}}$$$${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$$

เนื่องจากฟังก์ชัน sin² ^มี ค่า มากกว่าศูนย์เสมอu² เป็นค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของuและเป็นส่วนกลับของค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของrนั่นคือ ระยะทางที่ใกล้ที่สุด (จุดใกล้สุดของวงโคจร ) เนื่องจากระยะทางรัศมีrไม่สามารถเป็นจำนวนลบได้ ดังนั้นส่วนกลับของ u ก็ไม่สามารถจำนวน ลบได้ กัน ดังนั้นu²ต้องเป็นจำนวนบวก ถ้าu₁ เป็นบวกด้วย มันจะ ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของuซึ่งสอดคล้องกับค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของrระยะทางที่ไกลที่สุด (จุดไกลสุดของวงโคจร ) ถ้าu₁เป็นศูนย์หรือลบ ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของuจะเป็นศูนย์ (วงโคจรไปสู่อนันต์) ในกรณีนี้ ค่า φ ที่เกี่ยวข้องเพียงอย่างเดียวคือค่าที่ทำให้uเป็นบวก

สำหรับแรงดึงดูด (α < 0) วงโคจรจะเป็นรูปวงรี รูปไฮเปอร์โบลาหรือรูปพาราโบลาขึ้นอยู่กับว่าu เป็นบวก ลบ หรือศูนย์ ตามลำดับ ซึ่งสอดคล้องกับค่าความเยื้องศูนย์กลางeน้อยกว่าหนึ่ง มากกว่าหนึ่ง หรือเท่ากับหนึ่ง สำหรับแรงผลัก (α > 0) u ต้องเป็นลบ เนื่องจากu เป็นบวกตามนิยาม และผลรวมของทั้งสองเป็นลบ ดังนั้น วงโคจรจึงเป็นรูปไฮเปอร์โบลา และถ้าไม่มีแรงกระทำ (α=0) วงโคจรจะเป็นเส้นตรง

สมการของ Binet สำหรับu ( φ ) สามารถแก้ได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขสำหรับแรงศูนย์กลางF (1/ u ) เกือบทุกแรง อย่างไรก็ตาม มีเพียงไม่กี่แรงเท่านั้นที่ให้สูตรสำหรับuในรูปของฟังก์ชันที่ทราบแล้ว ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น คำตอบสำหรับφสามารถแสดงได้ในรูปของปริพันธ์เหนือu$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$$

ปัญหาแรงสู่ศูนย์กลางจะเรียกว่า "หาปริพันธ์ได้" หากสามารถหาคำตอบของการหาปริพันธ์ได้โดยใช้ฟังก์ชันที่ทราบค่า

ถ้าแรงเป็นกฎกำลัง กล่าวคือ ถ้าF ( r ) = αr ⁿแล้วuสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันวงกลมและ/หรือฟังก์ชันวงรีถ้าnเท่ากับ 1, -2, -3 (ฟังก์ชันวงกลม) และ -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 และ -7/3 (ฟังก์ชันวงรี) ^{[ 27 ]} ในทำนองเดียวกัน การรวมเชิงเส้นที่เป็นไปได้เพียงหกแบบของกฎกำลังจะให้คำตอบในรูปของฟังก์ชันวงกลมและฟังก์ชันวงรี^{[ 28 ] [ 29 ]}$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{3}+Dr^{5}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{-5}+Dr^{-7}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr+D}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-4}+Dr^{-5}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-3/2}+Dr^{-5/2}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-1/3}+Cr^{-5/3}+Dr^{-7/3}}$$

กรณีพิเศษต่อไปนี้ของแรงสองประเภทแรกจะส่งผลให้เกิดฟังก์ชันวงกลมเสมอ $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}}$$

กรณีพิเศษนี้ถูกกล่าวถึงโดยนิวตัน ในบทสรุปที่ 1 ของข้อเสนอที่ VII ในหนังสือปรินซิเปีย ว่าเป็นแรงที่เกิดจากวงโคจรวงกลมที่ผ่านจุดดึงดูด$${\displaystyle F(r)=Ar^{-5}}$$

เทอมr ⁻³ปรากฏในกฎแรงทั้งหมดข้างต้น ซึ่งบ่งชี้ว่าการเพิ่มแรงผกผันกำลังสามไม่มีผลต่อความสามารถในการแก้ปัญหาในแง่ของฟังก์ชันที่ทราบ นิวตันแสดงให้เห็นว่า ด้วยการปรับเงื่อนไขเริ่มต้น การเพิ่มแรงดังกล่าวจะไม่ส่งผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวรัศมีของอนุภาค แต่จะคูณการเคลื่อนที่เชิงมุมด้วยปัจจัยคงที่kการขยายทฤษฎีบทของนิวตันถูกค้นพบในปี 2000 โดย Mahomed และ Vawda ^{[ 29 ]}

สมมติว่าอนุภาคหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ภายใต้แรงศูนย์กลางF ( r ) ที่กำหนด และให้รัศมีrและมุมอะซิมุท φ แทนด้วยr ( t ) และφ ( t ) เป็นฟังก์ชันของเวลาtทีนี้ลองพิจารณาอนุภาคที่สองที่มีมวลm เท่ากัน ซึ่งมีการเคลื่อนที่ในแนวรัศมีr ( t ) เหมือนกัน แต่มีความเร็วเชิงมุมเร็วกว่าอนุภาคแรกk เท่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง มุมอะซิมุทของอนุภาคทั้งสองมีความสัมพันธ์กันโดยสมการφ ( t ) = k φ ( t ) นิวตันแสดงให้เห็นว่าแรงที่กระทำต่ออนุภาคที่สองเท่ากับแรงF ( r ) ที่กระทำต่ออนุภาคแรก บวกกับแรงศูนย์กลางผกผันกำลังสาม^{[ 30 ]} โดยที่L คือขนาดของ โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคแรก $${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$$

ถ้าk²มากกว่าหนึ่งF² − F₁จะเป็นจำนวนลบ ดังนั้น แรงผกผันกำลังสามที่บวกกันจะเป็นแรงดึงดูด ในทางกลับกัน ถ้า k² น้อยกว่าหนึ่ง F² − F₁ จะเป็นจำนวนบวก แรงผกผันกำลังสามที่บวกกัน^{เป็นผลัก}ถ้าkเป็นจำนวนเต็มเช่น3วงอนุภาคที่สองจะเรียกว่าเป็นฮาร์มอนิกของวงโคจรของอนุภาคแรก ในทางตรงกันข้าม ถ้าkเป็นส่วนกลับของจำนวนเต็ม เช่น1/3 วงโคจรที่สองจะเรียกว่าเป็นซับฮาร์มอนิกของวงโคจรแรก

ปัญหาแรงสู่ศูนย์กลางแบบคลาสสิกได้รับการแก้ไขทางเรขาคณิตโดยไอแซค นิวตันในหนังสือ Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ของเขา ซึ่งนิวตันได้นำเสนอกฎการเคลื่อนที่ ของเขา นิวตันใช้การอินทิเกรตแบบ กระโดดข้าม (leapfrog integration)เพื่อแปลงการเคลื่อนที่แบบต่อเนื่องให้เป็นการเคลื่อนที่แบบไม่ต่อเนื่อง เพื่อให้สามารถนำวิธีการทางเรขาคณิตมาใช้ได้ ในแนวทางนี้ ตำแหน่งของอนุภาคจะถูกพิจารณาเฉพาะที่จุดเวลาที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ 10 อนุภาคจะอยู่ที่จุดA ที่เวลาt =  0  ที่จุดB ที่เวลา t  =  Δt ที่จุดCที่เวลาt = 2Δt และอื่นๆ สำหรับทุกเวลาt = nΔtโดยที่nเป็นจำนวนเต็ม ความเร็วจะถือว่าคงที่ระหว่างจุดเวลาเหล่านี้ดังนั้น เวกเตอร์r = r − r เท่ากับ Δ tคูณเวกเตอร์ความเร็วv (เส้นสีแดง) ในขณะที่r = r − r เท่ากับv Δ t (เส้นสีน้ำเงิน) เนื่องจากความเร็วคงที่ระหว่างจุดต่างๆ จึงถือว่าแรงกระทำทันทีที่ตำแหน่งใหม่แต่ละตำแหน่ง ตัวอย่างเช่น แรงที่กระทำต่ออนุภาคที่จุดBจะเปลี่ยนความเร็วจากv เป็นv ทันที เวกเตอร์ผลต่าง Δ r = r − r เท่ากับ Δ v Δ t (เส้นสีเขียว) โดยที่ Δ v = v − v คือการเปลี่ยนแปลงความเร็วที่เกิดจากแรงที่จุดBเนื่องจากความเร่งaขนานกับ Δ vและเนื่องจากF = m aแรงFจึงต้องขนานกับ Δ vและΔ rถ้าFเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง แรงนั้นจะต้องขนานกับเวกเตอร์r จากจุดศูนย์กลางOไปยังจุดB (เส้นประสีเขียว) ในกรณีนั้น Δ rก็จะขนานกับr ด้วยเช่นกัน                       .

ถ้าไม่มีแรงกระทำที่จุดBความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลง และอนุภาคจะมาถึงจุดKที่เวลาt  =  2Δt พื้นที่ของสามเหลี่ยม OAB และ OBK เท่ากัน เพราะมีฐานเดียวกัน ( rAB ) และความสูงเดียวกัน ( ถ้า Δr ขนานกับrBสามเหลี่ยม OBK และ OBC ก็จะเท่ากันเช่นกัน เพราะมีฐานเดียวกัน ( ) และสูงไม่เปลี่ยนแปลง ในกรณีนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม OAB และ OBC จะเท่ากัน และอนุภาคจะกวาดพื้นที่เท่ากันในเวลาเท่ากัน ในทางกลับกัน ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดเท่ากัน Δr จะต้องขนานกับrBซึ่งจะสรุปได้ว่าเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง ดังนั้น อนุภาคจะกวาดพื้นที่เท่ากันในเวลาเท่ากันก็ต่อเมื่อFเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง เท่านั้น

สูตรสำหรับแรงในแนวรัศมีอาจได้มาจากการใช้กลศาสตร์ลากรางจ์ เช่นกัน ในพิกัดเชิงขั้ว ลากรางจ์Lของอนุภาคเดี่ยวในสนามพลังงานศักย์U ( r ) กำหนดโดย $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-U(r)}$$

จากนั้นสมการการเคลื่อนที่ของลากรองจ์ จะมีรูปแบบดังนี้ เนื่องจากขนาดF ( r ) ของแรงในแนวรัศมีเท่ากับอนุพันธ์ลบของพลังงานศักย์U ( r ) ในทิศทางแนวรัศมี$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial r}}}$$$${\displaystyle m{\ddot {r}}=mr{\dot {\varphi }}^{2}-{\frac {dU}{dr}}={\frac {mh^{2}}{r^{3}}}+F(r)}$$

สูตรแรงในแนวรัศมีสามารถหาได้โดยใช้กลศาสตร์แฮมิลโทเนียน เช่นกัน ในพิกัดเชิงขั้ว แฮมิลโทเนียนสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)}$$

เนื่องจากมุมอะซิมุทφไม่ปรากฏในแฮมิลโทเนียน ดังนั้นโมเมนตัมคู่ควบp จึงเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ โมเมนตัมคู่ควบนี้คือขนาดLของโมเมนตัมเชิงมุม ดังที่แสดงโดยสมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลโทเนียนสำหรับφ$${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {p_{\varphi }}{mr^{2}}}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$

สมการการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกับrคือ $${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}={\frac {p_{r}}{m}}}$$

เมื่อหาอนุพันธ์อันดับสองของrเทียบกับเวลา และใช้สมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลตันสำหรับp จะได้สมการแรงในแนวรัศมี $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}={\frac {{\dot {p}}_{r}}{m}}&=-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\partial H}{\partial r}}\right)\\[1ex]&={\frac {p_{\varphi }^{2}}{m^{2}r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {dU}{dr}}\\[1ex]&={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}+{\frac {1}{m}}F(r)\end{aligned}}}$$

สมการวงโคจรสามารถหาได้โดยตรงจากสมการ Hamilton–Jacobi [ ^{31 ] เมื่อ} ใช้ระยะรัศมีrและมุมอะซิมุทφเป็นพิกัด สมการ Hamilton-Jacobi สำหรับปัญหาแรงสู่ศูนย์กลางสามารถเขียนได้ดังนี้ โดยที่S = S ( φ ) + S ( r ) − E tคือฟังก์ชันหลักของ HamiltonและE และtแทนพลังงานทั้งหมดและเวลาตามลำดับ สมการนี้สามารถแก้ได้โดยการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ต่อเนื่องกัน โดยเริ่มจากสมการ φ โดยที่p เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่เท่ากับขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมLดังนั้นS ( φ ) = Lφและสมการ Hamilton–Jacobi จะกลายเป็น $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left({\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}\right)^{2}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$$${\displaystyle {\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}=p_{\varphi }=L}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$

เมื่อรวมสมการนี้สำหรับS จะได้ $${\displaystyle S_{r}(r)={\sqrt {2m}}\int dr{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}$$

การหาอนุพันธ์ของSเทียบกับLจะได้สมการวงโคจรที่ได้มาจากข้างต้น $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}&={\frac {\partial S}{\partial L}}={\frac {\partial S_{\varphi }}{\partial L}}+{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}\\[2ex]&=\varphi -{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}\end{aligned}}}$$