การทำให้เป็นไร้มิติ คือการลบ มิติทางกายภาพบางส่วนหรือทั้งหมดออกจากสมการที่เกี่ยวข้องกับปริมาณทางกายภาพโดยการแทนที่ตัวแปรที่เหมาะสม[ 1 ^{]เทคนิคนี้}สามารถทำให้ปัญหาที่ มีหน่วย วัดเข้ามาเกี่ยวข้อง ง่ายขึ้นและ กำหนดพารามิเตอร์ได้ มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับ การวิเคราะห์มิติในระบบทางกายภาพบางระบบคำว่าการปรับขนาดถูกใช้แทนกันได้กับการทำให้เป็นไร้มิติเพื่อแนะนำว่าปริมาณบางอย่างควรวัดเทียบกับหน่วยที่เหมาะสม หน่วยเหล่านี้หมายถึงปริมาณที่แท้จริงของระบบ มากกว่าหน่วยเช่น หน่วย SIการทำให้เป็นไร้มิติไม่เหมือนกับการแปลงปริมาณที่กว้างขวางในสมการให้เป็นปริมาณที่เข้มข้น เนื่องจากกระบวนการหลังส่งผลให้ตัวแปรยังคงมีหน่วยอยู่

การทำให้เป็นไร้มิติยังสามารถกู้คืนคุณสมบัติเฉพาะของระบบได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น หากระบบมีความถี่เรโซแนนซ์ความยาวหรือค่าคงที่เวลา โดยธรรมชาติ การทำให้เป็นไร้มิติสามารถกู้คืนค่าเหล่านี้ได้ เทคนิคนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับระบบที่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการ เชิงอนุพันธ์ การใช้งานที่สำคัญอย่างหนึ่งคือในการวิเคราะห์ระบบควบคุมหน่วยลักษณะเฉพาะที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือเวลาที่ระบบเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าเมื่อมีการเติบโตแบบเอกซ์ponentialหรือในทางกลับกันครึ่งชีวิตของระบบที่ลดลงแบบเอกซ์ponentialคู่หน่วยลักษณะเฉพาะที่เป็นธรรมชาติมากกว่าคืออายุเฉลี่ย/ อายุการใช้งานเฉลี่ยซึ่งสอดคล้องกับฐานeแทนที่จะเป็นฐาน 2

ตัวอย่างมากมายของการทำให้เป็นไร้มิติมาจากการลดรูปสมการเชิงอนุพันธ์ เนื่องจากปัญหาทางฟิสิกส์จำนวนมากสามารถกำหนดได้ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ ลองพิจารณาสิ่งต่อไปนี้:

• รายชื่อหัวข้อเกี่ยวกับระบบพลวัตและสมการเชิงอนุพันธ์
• รายชื่อหัวข้อสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
• สมการเชิงอนุพันธ์ของฟิสิกส์คณิตศาสตร์

แม้ว่าการทำให้เป็นมิติไร้ค่าจะเหมาะสมกับปัญหาเหล่านี้เป็นอย่างดี แต่ก็ไม่ได้จำกัดอยู่แค่เพียงเท่านั้น ตัวอย่างหนึ่งของการประยุกต์ใช้ที่ไม่ใช้สมการเชิงอนุพันธ์คือ การวิเคราะห์มิติ และอีกตัวอย่างหนึ่งคือการทำให้เป็นมาตรฐานในทาง สถิติ

อุปกรณ์วัดเป็นตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของการแปลงเป็นหน่วยไร้มิติที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน อุปกรณ์วัดจะได้รับการสอบเทียบโดยอ้างอิงจากหน่วยที่ทราบค่า จากนั้นการวัดครั้งต่อๆ ไปจะทำโดยอ้างอิงจากมาตรฐานนี้ แล้วจึง หา ค่าสัมบูรณ์ของการวัดโดยการปรับขนาดเทียบกับมาตรฐานนั้น

สมมติว่าลูกตุ้มแกว่งด้วยคาบเวลาT ค่าหนึ่ง สำหรับระบบเช่นนี้ การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการแกว่งเทียบกับT จะเป็นประโยชน์ ในแง่หนึ่ง นี่คือการปรับค่าการวัดให้เป็นมาตรฐานโดยเทียบกับคาบเวลา

การวัดค่าที่สัมพันธ์กับคุณสมบัติพื้นฐานของระบบ จะสามารถนำไปใช้กับระบบอื่นๆ ที่มีคุณสมบัติพื้นฐานเดียวกันได้ นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถเปรียบเทียบคุณสมบัติทั่วไปของระบบเดียวกันในรูปแบบต่างๆ ได้ การทำให้เป็นระบบไร้มิติจะกำหนดหน่วยลักษณะเฉพาะของระบบที่จะใช้ได้อย่างเป็นระบบ โดยไม่ต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของระบบมาก่อน (ไม่ควรสับสนหน่วยลักษณะเฉพาะของระบบกับหน่วยตามธรรมชาติ ) ที่จริงแล้ว การทำให้เป็นระบบไร้มิติสามารถแนะนำพารามิเตอร์ที่ควรใช้ในการวิเคราะห์ระบบได้ อย่างไรก็ตาม จำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยสมการที่อธิบายระบบได้อย่างเหมาะสม

ในการแปลงระบบสมการให้อยู่ในรูปไร้มิติ ต้องทำดังนี้:

1. ระบุตัวแปรอิสระและตัวแปรตามทั้งหมด;
2. แทนที่แต่ละค่าด้วยปริมาณที่ปรับขนาดตามหน่วยวัดเฉพาะที่จะกำหนด
3. หารตลอดด้วยสัมประสิทธิ์ของพหุพจน์หรืออนุพันธ์อันดับสูงสุด
4. จงเลือกนิยามของหน่วยลักษณะเฉพาะสำหรับแต่ละตัวแปรอย่างรอบคอบ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ มีค่าเป็น 1 มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
5. เขียนระบบสมการใหม่โดยใช้ปริมาณไร้มิติแบบใหม่

สามขั้นตอนสุดท้ายมักจะเฉพาะเจาะจงกับปัญหาที่ใช้การแปลงเป็นค่าไร้มิติ อย่างไรก็ตาม ระบบเกือบทั้งหมดจำเป็นต้องดำเนินการสองขั้นตอนแรกก่อน

ไม่มีข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับชื่อตัวแปรที่ใช้แทน " x " และ " t " อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วจะเลือกชื่อตัวแปรที่สะดวกและใช้งานง่ายสำหรับปัญหาที่กำลังพิจารณาอยู่ ตัวอย่างเช่น ถ้า " x " แทนมวล ตัวอักษร " m " อาจเป็นสัญลักษณ์ที่เหมาะสมที่จะใช้แทนปริมาณมวลที่ไม่มีมิติ

ในบทความนี้ได้ใช้หลักเกณฑ์ดังต่อไปนี้:

• t – แทนตัวแปรอิสระ – โดยปกติจะเป็นปริมาณเวลา ค่าที่ไม่ขึ้นกับมิติของมันคือ.${\displaystyle \tau }$
• x – แทนตัวแปรตาม – อาจเป็นมวล แรงดันไฟฟ้า หรือปริมาณที่วัดได้ใดๆ ค่าที่ไม่ขึ้นกับมิติของมันคือ.${\displaystyle \chi }$

ตัวอักษรย่อ 'c' ที่ต่อท้ายชื่อตัวแปรของปริมาณนั้น ใช้เพื่อระบุหน่วยลักษณะเฉพาะที่ใช้ในการปรับขนาดปริมาณนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าxคือปริมาณหน่วยลักษณะเฉพาะที่ใช้ในการปรับขนาดก็คือ x _{c นั่นเอง}

เพื่อเป็นตัวอย่างประกอบ ลองพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ : $${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

1. ในสมการนี้ ตัวแปรอิสระคือtและตัวแปรตามคือx
2. ตั้งค่า. ซึ่งจะส่งผลให้ได้สมการ${\displaystyle x=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}}}$$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).}$$
3. สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีอันดับสูงสุดจะอยู่หน้าพจน์อนุพันธ์อันดับแรก การหารด้วยค่านี้จะได้$${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{\text{c}}}{a}}\chi ={\frac {At_{\text{c}}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).}$$
4. สัมประสิทธิ์ด้านหน้าประกอบด้วยตัวแปรลักษณะเฉพาะเพียงตัวเดียวคือt _cดังนั้นวิธีที่ง่ายที่สุดคือเลือกตั้งค่านี้เป็นหนึ่งก่อน:${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle {\frac {bt_{\text{c}}}{a}}=1\Rightarrow t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}.}$

1

ต่อมา

${\displaystyle {\frac {At_{\text{c}}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{bx_{\text{c}}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{b}}.}$

2

1. สมการไร้มิติสุดท้ายในกรณีนี้จะไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่มีหน่วยใดๆ เลย:$${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

เพื่อความง่าย สมมติว่าระบบหนึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยตัวแปรสองตัว คือ ตัวแปรตามxและตัวแปรอิสระtโดยที่xเป็นฟังก์ชันของtทั้งxและtแทนปริมาณที่มีหน่วย เพื่อปรับขนาดตัวแปรทั้งสองนี้ สมมติว่ามีหน่วยวัดภายในสองหน่วยx _cและt _cที่มีหน่วยเดียวกับxและtตามลำดับ โดยที่เงื่อนไขเหล่านี้เป็นจริง: $${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{\text{c}}}}\Rightarrow t=\tau t_{\text{c}}}$$$${\displaystyle \chi ={\frac {x}{x_{\text{c}}}}\Rightarrow x=\chi x_{\text{c}}.}$$

สมการเหล่านี้ใช้แทนxและtเมื่อทำการแปลงให้เป็นค่าไร้มิติ หากจำเป็นต้องใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เพื่ออธิบายระบบดั้งเดิม ค่าที่ปรับขนาดแล้วของตัวดำเนินการเหล่านั้นจะกลายเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ไร้มิติ

พิจารณาความสัมพันธ์ $${\displaystyle t=\tau t_{\text{c}}\Rightarrow dt=t_{\text{c}}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}.}$$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ไร้มิติเทียบกับตัวแปรอิสระจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{{t_{\text{c}}}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$$

ถ้าหากระบบมีฟังก์ชันบังคับ แล้ว ${\displaystyle f(t)}$$${\displaystyle f(t)=f(\tau t_{\text{c}})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$$

ดังนั้น ฟังก์ชันบังคับใหม่จึงถูกกำหนดให้ขึ้นอยู่กับปริมาณไร้มิติ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \tau }$

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับระบบอันดับหนึ่ง: $${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

การหาค่าหน่วยลักษณะเฉพาะของสมการที่ 1และสมการที่ 2สำหรับระบบนี้ให้ ผลลัพธ์ดังนี้$${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}},\ x_{\text{c}}={\frac {A}{b}}.}$$

ระบบอันดับสองมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).}$$

แทนที่ตัวแปรxและtด้วยค่าที่ปรับสเกลแล้ว สมการจะกลายเป็น

$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{{t_{\text{c}}}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})=AF(\tau ).}$$

สมการใหม่นี้ไม่ใช่สมการไร้มิติ แม้ว่าตัวแปรที่มีหน่วยทั้งหมดจะถูกแยกไว้ในสัมประสิทธิ์ก็ตาม เมื่อหารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีลำดับสูงสุด สมการจะกลายเป็น

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{\text{c}}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+{t_{\text{c}}}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {A{t_{\text{c}}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).}$$

ตอนนี้จำเป็นต้องกำหนดปริมาณของx _cและt _cเพื่อให้สัมประสิทธิ์เป็นค่าปกติ เนื่องจากมีพารามิเตอร์อิสระสองตัว จึงสามารถทำให้สัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากับหนึ่งได้มากที่สุดเพียงสองตัวเท่านั้น

พิจารณาตัวแปรt _c :

1. ถ้าพจน์อันดับแรกได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานแล้ว${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}}$
2. ถ้าพจน์อันดับศูนย์ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานแล้ว${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$

การแทนที่ทั้งสองแบบนั้นถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ด้วยเหตุผลทางการสอน จึงใช้การแทนที่แบบหลังสำหรับระบบอันดับสอง การเลือกใช้การแทนที่แบบนี้ทำให้สามารถ กำหนด x _cได้โดยการทำให้สัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันบังคับเป็นค่ามาตรฐาน: $${\displaystyle 1={\frac {At_{\text{c}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{cx_{\text{c}}}}\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{c}}.}$$

สมการเชิงอนุพันธ์จึงกลายเป็น $${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

สัมประสิทธิ์ของพจน์อันดับแรกไม่มีหน่วย กำหนดให้ $${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$$

ตัวประกอบ 2 มีอยู่เพื่อให้สามารถกำหนดพารามิเตอร์ของคำตอบได้ในรูปของζในบริบทของระบบกลไกหรือระบบไฟฟ้าζเรียกว่าอัตราส่วนการหน่วงและเป็นพารามิเตอร์สำคัญที่จำเป็นในการวิเคราะห์ระบบควบคุมζ 2 ยังเรียกว่าความกว้างของเส้นสเปกตรัมของระบบ ผลลัพธ์ของนิยามนี้คือ สมการออสซิลเล เตอร์ สากล$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับ nทั่วไป ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ มีรูปแบบดังนี้:$${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}x(t)+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}x(t)+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}x(t)+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\big (}{\frac {d}{dt}}{\big )}^{k}x(t)=Af(t).}$$

ฟังก์ชันf ( t ) เรียกว่าฟังก์ชันบังคับ (forcing function )

ถ้าสมการเชิงอนุพันธ์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงเท่านั้น (ไม่ใช่จำนวนเชิงซ้อน) คุณสมบัติของระบบดังกล่าวจะมีพฤติกรรมเหมือนระบบอันดับหนึ่งและอันดับสองผสมกันเท่านั้น เนื่องจากรากของพหุนามลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนจริงหรือ คู่สัง ยุคเชิงซ้อนเท่านั้น ดังนั้น การทำความเข้าใจว่าการทำให้เป็นไร้มิติมีผลอย่างไรต่อระบบอันดับหนึ่งและอันดับสอง จะช่วยให้สามารถกำหนดคุณสมบัติของระบบอันดับสูงกว่าได้โดยอาศัย หลักการ ซ้อน ทับ

จำนวนพารามิเตอร์อิสระในรูปแบบไร้มิติของระบบจะเพิ่มขึ้นตามลำดับของระบบ ด้วยเหตุนี้ การทำให้เป็นระบบไร้มิติจึงไม่ค่อยถูกนำมาใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูง ความจำเป็นในการใช้กระบวนการนี้ก็ลดลงไปเช่นกันเมื่อมีการใช้ การคำนวณ เชิง สัญลักษณ์

ระบบต่างๆ สามารถประมาณได้ว่าเป็นระบบอันดับหนึ่งหรืออันดับสอง ซึ่งรวมถึงระบบเชิงกล ระบบไฟฟ้า ระบบของไหล ระบบความร้อน และระบบแรงบิด เนื่องจากปริมาณทางกายภาพพื้นฐานที่เกี่ยวข้องในแต่ละตัวอย่างเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันผ่านอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสอง

สมมติว่าเรามีมวลที่ติดอยู่กับสปริงและตัวหน่วง ซึ่งติดอยู่กับผนัง และมีแรงกระทำต่อมวลตามแนวเส้นเดียวกัน จงกำหนด

• ${\displaystyle x}$= การเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุล [เมตร]
• ${\displaystyle t}$= เวลา [วินาที]
• ${\displaystyle f}$= แรงภายนอกหรือ "การรบกวน" ที่กระทำต่อระบบ [kg⋅m⋅s ⁻² ]
• ${\displaystyle m}$= มวลของบล็อก [กิโลกรัม]
• ${\displaystyle B}$= ค่าคงที่การหน่วงของแดมเปอร์ [กก.⋅วินาที^⁻¹ ]
• ${\displaystyle k}$= ค่าคงที่แรงของสปริง [kg⋅s ⁻² ]

สมมติว่าแรงที่กระทำเป็นฟังก์ชันไซน์F = F ₀ cos( ωt )สมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายการเคลื่อนที่ของบล็อกคือ $${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$$

การทำให้สมการนี้ไร้มิติด้วยวิธีเดียวกับที่อธิบายไว้ในหัวข้อ§ ระบบอันดับสองจะได้ลักษณะเฉพาะหลายประการของระบบดังนี้:

• หน่วยx _c ที่แท้จริงนั้น สอดคล้องกับระยะทางที่บล็อกเคลื่อนที่ต่อหน่วยแรง

$${\displaystyle x_{\text{c}}={\frac {F_{0}}{k}}.}$$

• ตัวแปรลักษณะเฉพาะt _cมีค่าเท่ากับคาบของการแกว่ง

$${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

• ตัวแปรไร้มิติ 2ζ สอดคล้องกับความกว้างของเส้นสเปกตรัมของระบบ

$${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$$

• ζนั้นคืออัตราส่วนการหน่วง

สำหรับวงจรRC แบบอนุกรม ที่ต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า ที่มีการแทนที่ $${\displaystyle R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )}$$$${\displaystyle Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}=RC,\ F=V.}$$

หน่วยลักษณะเฉพาะแรกสอดคล้องกับประจุ รวม ในวงจร หน่วยลักษณะเฉพาะที่สองสอดคล้องกับค่าคงที่เวลาของระบบ

สำหรับการจัดเรียงแบบอนุกรมของส่วนประกอบR , C , L โดยที่ Qคือประจุในระบบ ที่มีการแทนที่ $${\displaystyle L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )}$$$${\displaystyle Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ \ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{\text{c}}\omega .}$$

ตัวแปรแรกแสดงถึงประจุสูงสุดที่เก็บไว้ในวงจร ความถี่เรโซแนนซ์หาได้จากส่วนกลับของเวลาลักษณะเฉพาะ นิพจน์สุดท้ายคือความกว้างของเส้นสเปกตรัมของระบบ Ω สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นความถี่ของฟังก์ชันบังคับแบบนอร์มาไลซ์

สมการชโรดิงเกอร์ สำหรับ ควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิเลเตอร์แบบหนึ่งมิติที่ไม่ขึ้นกับเวลาคือ $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

ค่ากำลังสองของโมดูลัสของฟังก์ชันคลื่น| ψ ( x )| ²แสดงถึงความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ซึ่งเมื่ออินทิเกรตเหนือxแล้ว จะได้ความน่าจะเป็นที่ไม่มีมิติ ดังนั้น| ψ ( x )| ²จึงมีหน่วยเป็นความยาวผกผัน เพื่อให้ได้ค่าที่ไม่มีมิติ เราต้องเขียนใหม่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่ไม่มีมิติ ในการทำเช่นนั้น เราแทนที่ โดยที่x _cคือความยาวลักษณะเฉพาะของระบบนี้ ซึ่งจะทำให้เราได้ฟังก์ชันคลื่นที่ไม่มีมิติซึ่งกำหนดโดย $${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$$${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$$${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x({\tilde {x}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

สมการเชิงอนุพันธ์จึงกลายเป็น $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

เพื่อให้คำที่อยู่หน้าคำว่าไม่มีมิติ ให้ตั้งค่า ${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$$${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$$

สมการที่ปราศจากมิติโดยสมบูรณ์คือ สมการที่เราได้กำหนดไว้ ตัวประกอบด้านหน้า คือพลังงาน สถานะพื้นฐาน ของตัวสั่นฮาร์มอนิก (โดยบังเอิญ) โดยปกติแล้ว เทอมพลังงานจะไม่ถูกทำให้ปราศจากมิติ เนื่องจากเราสนใจที่จะหาพลังงานของสถานะควอนตัมเมื่อจัดเรียงสมการแรกใหม่ สมการที่คุ้นเคยสำหรับตัวสั่นฮาร์มอนิกจะกลายเป็น $${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$$$${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$$${\displaystyle {\tilde {E}}}$$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

ในทางสถิติกระบวนการที่คล้ายคลึงกันมักเป็นการหารผลต่าง (ระยะทาง) ด้วยตัวประกอบมาตราส่วน (มาตรวัดการกระจายทางสถิติ ) ซึ่งจะได้ตัวเลขที่ไม่มีมิติ เรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐานโดยส่วนใหญ่แล้ว จะเป็นการหารค่าความคลาดเคลื่อนหรือค่าตกค้างด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ตามลำดับ ซึ่งจะได้คะแนนมาตรฐานและค่าตกค้างแบบปรับค่ามาตรฐานแล้ว

• การวิเคราะห์แบบจำลองสมการเชิงอนุพันธ์ในทางชีววิทยา: กรณีศึกษาประชากรเนื้อเยื่อเจริญของต้นโคลเวอร์ (การประยุกต์ใช้การทำให้เป็นไร้มิติกับปัญหาในทางชีววิทยา)
• เอกสารประกอบการเรียนวิชาการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมโดย โจนาธาน อีแวนส์ ภาควิชาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยบาธ (ดูบทที่ 3)
• การปรับขนาดของสมการเชิงอนุพันธ์ฮันส์ เพตเตอร์ ลังตังเงน, เกียร์ เค. เพเดอร์เซน, ศูนย์การคำนวณชีวการแพทย์, ห้องปฏิบัติการวิจัย Simula และภาควิชาสารสนเทศศาสตร์มหาวิทยาลัยออสโล