การกำหนดสูตรตามประจุของวิธีองค์ประกอบขอบเขต (BEM) เป็นเทคนิคเชิงตัวเลขลดมิติ ที่ใช้ในการจำลองปรากฏการณ์แม่เหล็กไฟฟ้าแบบกึ่งสถิตในตัวกลางนำไฟฟ้าที่ซับซ้อนมาก (เช่นสมองของมนุษย์ ) โดยมีจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจำนวนมาก (มากถึงประมาณ 1 พันล้านตัว) BEM ตามประจุแก้สมการอินทิกรัลของทฤษฎีศักย์^{[ 1 ]}ที่เขียนในรูปของความหนาแน่นของประจุพื้นผิว ที่เหนี่ยวนำ การกำหนดสูตรนี้รวมเข้ากับ การเร่งความเร็ว วิธีมัลติโพลเร็ว (FMM) อย่างเป็นธรรมชาติ และวิธีการทั้งหมดนี้เรียกว่าBEM-FMM ตามประจุ การรวมกันของ BEM และ FMM เป็นเทคนิคทั่วไปในด้านต่างๆ ของแม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณและในบริบทของแม่เหล็กไฟฟ้าชีวภาพ มันให้การปรับปรุงเหนือวิธีองค์ประกอบจำกัด^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

นอกเหนือจาก BEM ที่ใช้ศักย์ไฟฟ้าทั่วไป^{[ 5 ] [ 6 ]}แล้ว BEM ที่ใช้ประจุแบบกึ่งสถิตซึ่งได้มาจากความหนาแน่นของชั้นเดียว (ประจุ) สำหรับตัวกลางแบบช่องเดียวก็เป็นที่รู้จักในทฤษฎีศักย์^{[ 1 ]}มาตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 20 สำหรับตัวกลางนำไฟฟ้าแบบหลายช่อง สูตรความหนาแน่นของประจุบนพื้นผิวปรากฏครั้งแรกในรูปแบบแยกส่วน (สำหรับอินเทอร์เฟซแบบเหลี่ยม) ในบทความปี 1964 โดย Gelernter และ Swihart ^{[ 7 ]}รูปแบบต่อเนื่องในภายหลัง ซึ่งรวมถึงผลกระทบที่ขึ้นอยู่กับเวลาและไดอิเล็กตริก ปรากฏในบทความปี 1967 โดย Barnard, Duck และ Lynn ^{[ 8 ]} BEM ที่ใช้ประจุยังได้รับการกำหนดสูตรสำหรับตัวกลางนำไฟฟ้า ไดอิเล็กตริก และแม่เหล็ก^{[ 9 ]}และใช้ในแอปพลิเคชันต่างๆ^{[ 10 ]}

ในปี 2552 Greengard และคณะ^{[ 11 ]}ได้ประยุกต์ใช้ BEM ที่ใช้ประจุไฟฟ้าพร้อมการเร่งความเร็วแบบมัลติโพลอย่างรวดเร็วกับไฟฟ้าสถิตระดับโมเลกุลของไดอิเล็กทริกได้สำเร็จ แนวทางที่คล้ายกันในการสร้างแบบจำลองที่สมจริงของสมองมนุษย์ที่มีช่องนำไฟฟ้าหลายช่องได้รับการอธิบายครั้งแรกโดย Makarov และคณะ^{[ 12 ]}ในปี 2561 นอกจากนี้วิธีการมัลติโพลแบบหลายระดับ ที่ใช้ BEM ยังถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาเรดาร์และเสาอากาศที่ความถี่ไมโครเวฟ^{[ 13 ]}รวมถึงในด้านเสียง^{[ 14 ] [ 15 ]}

แบบจำลอง BEM ที่ใช้ประจุเป็นพื้นฐานนั้น อาศัยแนวคิดของ สนามไฟฟ้า ที่ถูกกระตุ้น (หรือสนามไฟฟ้าหลัก) และสนามไฟฟ้าทุติยภูมิโดยปกติแล้ว สนามไฟฟ้าที่ถูกกระตุ้นนั้นทราบล่วงหน้าอยู่แล้วหรือหาได้ง่าย สำหรับสมองของมนุษย์ สนามไฟฟ้าที่ถูกกระตุ้นสามารถจำแนกได้เป็นอย่างใดอย่างหนึ่งดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbf {E} ^{i}}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{s}}$

1. สนามอนุรักษ์ที่ได้มาจากความหนาแน่นของ แหล่งกำเนิดกระแส EEGหรือMEGในตัวกลางอนันต์ที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยมีค่าการนำไฟฟ้าที่ตำแหน่งแหล่งกำเนิด^{[ 16 ]}${\displaystyle \mathbf {E} ^{i}}$${\displaystyle \sigma }$
2. สนามโซลีนอยด์ทันทีของขดลวดเหนี่ยวนำที่ได้จากกฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ในตัวกลางอนันต์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน (อากาศ) เมื่อเกี่ยวข้องกับปัญหาการกระตุ้นด้วยแม่เหล็กผ่านกะโหลกศีรษะ (TMS); ^{[ 12 ] [ 17 ]}${\displaystyle \mathbf {E} ^{i}}$
3. สนามพื้นผิวที่ได้มาจากความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้าบนพื้นผิวที่ถูกกำหนดโดยอิเล็กโทรดกระแสไฟฟ้าที่ฉีดกระแสไฟฟ้าที่ขอบเขตของช่องที่มีการนำไฟฟ้าเมื่อ เกี่ยวข้องกับ การกระตุ้นด้วยกระแสไฟฟ้าตรงผ่านกะโหลกศีรษะ (tDCS) หรือการกระตุ้นสมองส่วนลึก (DBS) ^{[ 18 ]}${\displaystyle \mathbf {E} ^{i}}$${\displaystyle \mathbf {J} ^{i}=\sigma \mathbf {E} ^{i}}$${\displaystyle \sigma }$
4. สนามประจุอนุรักษ์ที่สะสมบนอิเล็กโทรดแรงดันไฟฟ้าสำหรับ tDCS หรือ DBS ปัญหาเฉพาะนี้ต้องการการรักษาแบบคู่ขนานเนื่องจากประจุเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับสภาพแวดล้อม^{[ 18 ]}${\displaystyle \mathbf {E} ^{i}}$
5. ในการประยุกต์ใช้กับการสร้างแบบจำลองหลายระดับฟิลด์ที่ได้จากโซลูชันเชิงตัวเลขระดับมหภาคอื่นๆ ในโดเมนเชิงพื้นที่ขนาดเล็ก (ระดับกลางหรือระดับจุลภาค) ภายในสมอง ตัวอย่างเช่น สามารถใช้ฟิลด์คงที่ได้^{[ 19 ]}${\displaystyle \mathbf {E} ^{i}}$

   

เมื่อสนามไฟฟ้าที่ถูกเหนี่ยวนำ "เปิดใช้งาน" ประจุอิสระที่อยู่ในปริมาตรนำไฟฟ้าDจะเริ่มกระจายตัวและสะสมตัวที่ขอบเขต (ส่วนต่อประสาน) ของบริเวณที่มีค่าการนำไฟฟ้าแตกต่างกันในD ทันที ความหนาแน่นของประจุบนพื้นผิว จะปรากฏขึ้นที่ส่วนต่อประสานของค่าการนำไฟฟ้า ความหนาแน่นของประจุนี้จะเหนี่ยวนำให้เกิดสนามไฟฟ้าอนุรักษ์ทุติยภูมิซึ่งเป็นไปตามกฎของคูลอมบ์ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{s}}$

ตัวอย่างหนึ่งคือมนุษย์ที่อยู่ใต้สายส่งไฟฟ้ากระแสตรงที่มีสนามไฟฟ้า ชี้ลงด้านล่าง พื้นผิวส่วนบนของร่างกายมนุษย์ที่เป็นตัวนำไฟฟ้าจะถูกประจุลบ ในขณะที่ส่วนล่างจะถูกประจุบวก ประจุบนพื้นผิวเหล่านี้สร้างสนามไฟฟ้าทุติยภูมิที่หักล้างหรือปิดกั้นสนามไฟฟ้าปฐมภูมิในทุกส่วนของร่างกายอย่างมีประสิทธิภาพ ทำให้ไม่มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านร่างกายภายใต้สภาวะคงที่ของกระแสตรง ${\displaystyle \mathbf {E} ^{i}}$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือศีรษะมนุษย์ที่มีอิเล็กโทรดติดอยู่ ที่รอยต่อของการนำไฟฟ้าใดๆ ที่มีเวกเตอร์ปกติ ชี้จากส่วน "ภายใน" (-) ของการนำไฟฟ้าไปยังส่วน "ภายนอก" (+) ของการนำไฟฟ้ากฎกระแสของ Kirchhoffกำหนดให้ส่วนประกอบปกติของความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าต้องต่อเนื่อง ซึ่งนำไปสู่เงื่อนไขขอบเขตของรอย ต่อ ในรูปแบบ ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \sigma ^{-}}$${\displaystyle \sigma ^{+}}$

${\displaystyle \sigma ^{+}\mathbf {E} ^{+}\cdot \mathbf {n} =\sigma ^{-}\mathbf {E} ^{-}\cdot \mathbf {n} }$

สำหรับทุกด้านที่ส่วนต่อประสานแบบสามเหลี่ยม ตราบใดที่แตกต่างกัน ส่วนประกอบปกติสองส่วนของสนามไฟฟ้าก็ต้องแตกต่างกันด้วย การกระโดดข้ามส่วนต่อประสานดังกล่าวเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีแผ่นประจุบนพื้นผิวอยู่ที่ส่วนต่อประสานนั้น ดังนั้น หากมีการใช้กระแสไฟฟ้าหรือแรงดันไฟฟ้า ความหนาแน่นของประจุบนพื้นผิวก็จะเปลี่ยนแปลงไปด้วย ${\displaystyle \sigma ^{\pm }}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{\pm }\cdot \mathbf {n} }$

เป้าหมายของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขคือการค้นหาการกระจายประจุบนพื้นผิวที่ไม่ทราบค่า และด้วยเหตุนี้จึงสามารถหาค่าสนามไฟฟ้าทั้งหมด (และ ศักย์ไฟฟ้า  ทั้งหมดหากจำเป็น) ได้ทุกที่ในอวกาศ${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{i}+\mathbf {E} ^{s}}$

ด้านล่างนี้คือการหาอนุพันธ์โดยอาศัยกฎของเกาส์และกฎของคูลอมบ์ พื้นผิว การนำไฟฟ้าทั้งหมดซึ่งแทนด้วยSจะถูกแบ่งออกเป็นระนาบสามเหลี่ยมที่มี จุดศูนย์กลางอยู่ที่สมมติว่า ระนาบที่ mซึ่งมีเวกเตอร์ตั้งฉาก และพื้นที่มีประจุความหนาแน่นสม่ำเสมอที่พื้นผิวหากมีตาข่ายทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบปริมาตรอยู่ ระนาบที่มีประจุจะเป็นของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีค่าการนำไฟฟ้าต่างกัน ขั้นแรกเราคำนวณสนามไฟฟ้าที่จุดเช่นบริเวณด้านนอกระนาบ m ที่จุดศูนย์กลาง สนามนี้ประกอบด้วยส่วนประกอบสามส่วน: ${\displaystyle t_{m}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{m}}$${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle \rho _{m}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{m}^{+}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{m}+\delta \mathbf {n} _{m}}$${\displaystyle \เดลต้า \rightarrow 0^{+}}$

• สนามไฟฟ้าที่เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องนั้นเอง;${\displaystyle \mathbf {E} ^{i}}$
• สนามไฟฟ้าของ ด้านที่มีประจุ mเอง ใกล้กับด้านนั้นมาก สามารถประมาณได้ว่าเป็นสนามไฟฟ้าของแผ่นประจุพื้นผิวสม่ำเสมอที่ไม่มีที่สิ้นสุด[ ^{20 ] ตาม}กฎของเกาส์จะได้ว่า โดยที่คือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าพื้นหลัง${\displaystyle \rho _{m}}$${\displaystyle +\rho _{m}/2\varepsilon _{0}\cdot \mathbf {n} _{m}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$
• สนามไฟฟ้าที่เกิดจากด้านอื่นๆ ทั้งหมดซึ่งเราประมาณว่าเป็นประจุจุดที่มีประจุอยู่ที่ศูนย์กลางแต่ละจุด${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle A_{n}\rho _{n}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{n}}$

วิธีการเดียวกันนี้ใช้ได้กับสนามไฟฟ้า ที่อยู่ด้านในของหน้าตัด 𝑚 แต่สนามไฟฟ้าของแผ่นประจุแบนจะเปลี่ยนเครื่องหมาย เมื่อใช้กฎของคูลอมบ์ในการคำนวณส่วนประกอบของหน้าตัดที่แตกต่างจาก𝑚 เราพบว่า ${\displaystyle \mathbf {E} _{m}^{-}}$${\displaystyle t_{m}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{m}^{\pm }=\pm {\frac {\rho _{m}}{2\varepsilon _{0}}}\mathbf {n} _{m}+\sum _{n=1;n\neq m}^{M}{\frac {A_{n}\rho _{n}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} _{m}-\mathbf {r} _{n}}{|\mathbf {r} _{m}-\mathbf {r} _{n}|^{3}}}+\mathbf {E} ^{i}(\mathbf {r} _{m}),\ m=1,2,\dots ,M}$

จากสมการนี้ เราจะเห็นว่าส่วนประกอบปกติของสนามไฟฟ้ามีการกระโดดผ่านอินเทอร์เฟซที่มีประจุ ซึ่งเทียบเท่ากับความสัมพันธ์การกระโดดของทฤษฎีศักย์^{[ 1 ]}ในขั้นตอนที่สอง นิพจน์ทั้งสองสำหรับจะถูกแทนที่ลงในเงื่อนไขขอบเขตอินเทอ ร์เฟ ซ ซึ่งใช้กับทุกด้าน 𝑚 การดำเนินการนี้จะนำไปสู่ระบบสมการเชิงเส้นสำหรับความหนาแน่นประจุที่ไม่ทราบค่าซึ่งแก้ปัญหาได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {E} _{m}^{\pm }}$${\displaystyle \sigma ^{-}\mathbf {E} _{m}^{-}\cdot \mathbf {n} _{m}=\sigma ^{+}\mathbf {E} _{m}^{+}\cdot \mathbf {n} _{m}}$${\displaystyle \rho _{m}}$

${\displaystyle \rho _{m}=K_{m}\mathbf {n} _{m}\cdot \underbrace {\sum _{n=1;n\neq m}^{M}{\frac {A_{n}\rho _{n}}{2\pi }}{\frac {\mathbf {r} _{m}-\mathbf {r} _{n}}{|\mathbf {r} _{m}-\mathbf {r} _{n}|^{3}}}} +{2}\varepsilon _{0}K_{m}\mathbf {n} _{m}\cdot \mathbf {E} ^{i}(\mathbf {r} _{m}),\ m=1,2,\dots ,M}$

ความแตกต่างของค่าการนำไฟฟ้าที่ ด้านที่ m อยู่ ที่ใดค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานจะหักล้างกันไปหลังจากแทนค่าคำตอบลงในนิพจน์สำหรับและกลายเป็นสิ่งที่ไม่จำเป็นอีกต่อไป ${\displaystyle K_{m}={\frac {\sigma ^{-}-\sigma ^{+}}{\sigma ^{-}+\sigma ^{+}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{s}}$

สำหรับลักษณะเฉพาะของโครงสร้างสมองสมัยใหม่ที่มีความซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ ระบบสมการข้างต้นสำหรับมีขนาดใหญ่มาก ดังนั้นจึงต้องแก้แบบวนซ้ำ การคาดเดาเบื้องต้นสำหรับคือพจน์สุดท้ายทางด้านขวามือ ในขณะที่ผลรวมจะถูกละเลย จากนั้นจะคำนวณผลรวมและปรับปรุงการคาดเดาเบื้องต้น เป็นต้น วิธีแก้ปัญหานี้^{[ 12 ] [ 21 ]}ใช้ระเบียบวิธีวนซ้ำแบบ Jacobi ที่ เรียบง่าย วิธีการตกค้างขั้นต่ำทั่วไปที่เข้มงวดกว่า(GMRES) ให้ผลลัพธ์การลู่เข้าของ BEM-FMM ที่เร็วกว่ามาก^{[ 2 ] [ 3 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}ไม่ว่าในกรณีใด งานหลักคือการคำนวณผลรวมที่ขาดหายไปในระบบสมการข้างต้นสำหรับทุกๆในทุกรอบการวนซ้ำ การดำเนินการนี้สอดคล้องกับการคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์ซ้ำๆ อย่างไรก็ตาม เราสามารถรับรู้ผลรวมนี้ว่าเป็นสนามไฟฟ้า (คูณ) ของประจุที่จะคำนวณที่ จุดสังเกต การคำนวณดังกล่าวเป็นงานของวิธีการมัลติโพลแบบเร็วโดยเฉพาะซึ่งทำการคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์อย่างรวดเร็วในการ ดำเนินการ  หรือแม้แต่ การดำเนินการแทนไลบรารี FMM3D ^{[ 22 ]}ที่สร้างขึ้นในทั้งPythonและMATLABสามารถใช้เพื่อจุดประสงค์นี้ได้ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องสร้างหรือจัดเก็บเมทริกซ์ระบบหนาแน่นซึ่งเป็นแบบทั่วไปสำหรับBEMมาตรฐาน ${\displaystyle \rho _{m}}$${\displaystyle \rho _{m}}$${\displaystyle {m}}$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \epsilon _{0}}}}$${\displaystyle {M}}$${\displaystyle {M}}$${\displaystyle O(M\log {M})}$${\displaystyle O(M)}$${\displaystyle O(M^{2})}$

ระบบสมการที่กำหนดข้างต้นได้มาจากการจัดเรียงจุดและมีความแม่นยำน้อยกว่า^{[ 11 ]}สมการอินทิกรัลที่สอดคล้องกันได้มาจาก ความสัมพันธ์การกระโดด เฉพาะที่ของทฤษฎีศักยภาพ^{[ 23 ]}และ เงื่อนไขขอบเขตส่วนต่อประสาน เฉพาะที่ของความต่อเนื่องของกระแสไฟฟ้าปกติ เป็นสมการอินทิกรัลเฟรดโฮล์มชนิดที่สอง

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=K(\mathbf {r} )\mathbf {n} (\mathbf {r} )\cdot \int _{S}{\frac {\rho (\mathbf {r^{\prime }} )}{2\pi }}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} |^{3}}}ds(\mathbf {r^{\prime }} )+2\varepsilon _{0}K(\mathbf {r} )\mathbf {E} ^{i}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {n} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} {\text{ on }}S}$

การได้มาซึ่งสูตรนี้ไม่เกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์ของกรีน (การอินทิเกรตโดยส่วน) และสามารถใช้ได้กับรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ซ้อนกัน เมื่อ ใช้ วิธี Galerkinและยังคงใช้ฟังก์ชันพื้นฐานลำดับศูนย์เดียวกัน (โดยมีความหนาแน่นประจุคงที่สำหรับแต่ละด้าน) บนอินเทอร์เฟซแบบสามเหลี่ยม เราจะได้การแบ่งส่วนแบบเดียวกันกับก่อนหน้านี้ หากเราแทนที่อินทิกรัลสองชั้นบนพื้นผิวและของสามเหลี่ยมและตามลำดับด้วย ${\displaystyle S_{m}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle t_{m}}$${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle \int _{S_{m}}\int _{S_{n}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} |^{3}}}ds(\mathbf {r^{\prime }} )ds(\mathbf {r} )\approx {A_{m}}{A_{n}}{\frac {\mathbf {r} _{m}-\mathbf {r} _{n}}{|\mathbf {r} _{m}-\mathbf {r} _{n}|^{3}}},}$

พื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมอยู่ที่ใดการประมาณนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ มีขนาดใหญ่กว่าขนาดด้านทั่วไปมาก เช่น ใน "สนามไกล" มิฉะนั้นควรใช้ สูตรกึ่งวิเคราะห์ ^{[ 24 ] [ 25 ]}และการคำนวณเชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียนสำหรับสามเหลี่ยม^{[ 26 ] [ 12 ]}โดยทั่วไป ควรคำนวณอินทิกรัลเพื่อนบ้านดังกล่าว 4 ถึง 32 รายการต่อด้าน จัดเก็บ และใช้ในทุกรอบการทำซ้ำ^{[ 12 ] [ 2 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 27 ]}นี่เป็นการแก้ไขที่สำคัญสำหรับวิธีการมัลติโพลแบบเร็วธรรมดาใน "สนามใกล้" ซึ่งควรใช้ในสูตรแบบไม่ต่อเนื่องอย่างง่ายที่ได้มาจากข้างต้น การแก้ไขดังกล่าวทำให้สามารถได้ ความละเอียดเชิงตัวเลข ที่ไม่จำกัด (แต่ไม่ใช่เชิงกายวิภาค) ในสมอง^{[ 17 ]}${\displaystyle {A_{n}}}$${\displaystyle {t_{n}}}$${\displaystyle |\mathbf {r} _{m}-\mathbf {r} _{n}|}$

การประยุกต์ใช้ BEM-FMM ที่ใช้ประจุ ได้แก่ การสร้างแบบจำลองการกระตุ้นสมอง^{[ 3 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 21 ]}ด้วยการคำนวณ TMS ที่แม่นยำใกล้เคียงกับเวลาจริง^{[ 28 ] [ 4 ]}รวมถึงการบันทึกทางประสาทสรีรวิทยา^{[ 16 ]}นอกจากนี้ยังรวมถึงการสร้างแบบจำลองโครงสร้างระดับกลางของศีรษะที่ซับซ้อน เช่น เยื่อสมองบางๆ^{[ 29 ] [ 27 ]} ( เยื่อดูราเยื่ออะแรคนอยด์และเยื่อเพีย ) ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการคาดการณ์ปริมาณการกระตุ้นด้วยกระแสไฟฟ้าตรงผ่านกะโหลกศีรษะและการบำบัดด้วยไฟฟ้า อย่างแม่นยำ ^{[ 30 ]} BEM-FMM ช่วยให้สามารถปรับปรุงตาข่ายแบบปรับได้ โดยตรง รวมถึงช่องสมองนอกสมองหลายช่อง^{[ 27 ] [ 29 ]}การประยุกต์ใช้อีกอย่างหนึ่งคือการสร้างแบบจำลองการรบกวนสนามไฟฟ้าภายในโครงสร้างประสาท/แอกซอนที่หนาแน่น^{[ 19 ]}การรบกวนดังกล่าวเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันการกระตุ้น ทางชีวฟิสิกส์ กำลังมีการพัฒนาสูตร BEM ที่ใช้ประจุสำหรับการสร้างแบบจำลองทางชีวฟิสิกส์ แบบสองโดเมนที่น่าสนใจ ของกระบวนการแอกซอน^{[ 31 ]}

ในรูปแบบปัจจุบัน BEM-FMM ที่ใช้ประจุเป็นเกณฑ์นั้น สามารถใช้ได้กับตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกันแบบแบ่งส่วนหลายส่วนเท่านั้น ไม่สามารถจัดการกับ เนื้อเยื่อ ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันใน ระดับมหภาค ได้ นอกจากนี้ จำนวนสูงสุดของด้าน (องศาอิสระ) ยังถูกจำกัดไว้ประมาณ สำหรับทรัพยากร ฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ทางวิชาการทั่วไปที่ใช้กันในปี 2023 ${\displaystyle 10^{9}}$

• แม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ
• วิธีองค์ประกอบขอบเขต
• วิธีมัลติโพลแบบเร็ว
• ประสาทวิทยาเชิงคำนวณ
• การกระตุ้นด้วยสนามแม่เหล็กผ่านกะโหลกศีรษะ
• การกระตุ้นด้วยกระแสไฟฟ้าตรงผ่านกะโหลกศีรษะ
• การตรวจคลื่นไฟฟ้าสมอง
• การตรวจคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสมอง

• การสำรวจเกี่ยวกับสมการอินทิกรัลสำหรับการสร้างแบบจำลองทางชีวไฟฟ้า ( ฉบับร่างก่อนตีพิมพ์ )
• เว็บไซต์โครงการ FMM3D บน GitHub ของ Flatiron Institute - Simons Foundation