ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของเชบิเชฟ ( หรือเรียกว่าอสมการเบียเนเม-เชบิเชฟ ) ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม (ที่มีความแปรปรวนจำกัด) จะเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยมากกว่า จะมีค่าไม่เกิน โดยที่เป็นค่าคงที่บวกใดๆ และคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( รากที่สองของความแปรปรวน) ${\displaystyle k\sigma }$${\displaystyle 1/k^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sigma }$

ในทางสถิติ กฎนี้มักเรียกว่าทฤษฎีบทของเชบิเชฟ เกี่ยวกับช่วงของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรอบค่าเฉลี่ย อสมการนี้มีประโยชน์อย่างมากเพราะสามารถนำไปใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็นใดๆ ก็ได้ที่กำหนดค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนไว้แล้ว ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อพิสูจน์กฎอ่อนของจำนวนมากได้

การใช้งานจริงนั้นคล้ายคลึงกับกฎ 68–95–99.7ซึ่งใช้ได้เฉพาะกับการแจกแจงแบบปกติ เท่านั้น อสมการของเชบิเชฟมีความทั่วไปมากกว่า โดยระบุว่าอย่างน้อย 75% ของค่าจะต้องอยู่ภายใน 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย และ 88.88% อยู่ภายใน 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นที่หลากหลาย^{[ 1 ] [ 2 ]}

คำว่าอสมการของเชบิเชฟอาจหมายถึงอสมการของมาร์คอฟโดยเฉพาะในบริบทของการวิเคราะห์ ทั้งสองมีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด และผู้เขียนบางคนเรียกอสมการของมาร์คอฟว่า "อสมการแรกของเชบิเชฟ" และอสมการที่คล้ายกันซึ่งกล่าวถึงในหน้านี้ว่า "อสมการที่สองของเชบิเชฟ"

อสมการของเชบิเชฟมีความแน่นหนาในแง่ที่ว่าสำหรับค่าคงที่บวกที่เลือกแต่ละค่า จะมีตัวแปรสุ่มอยู่ตัวหนึ่งที่ทำให้อสมการนั้นกลายเป็นสมการ^{[ 3 ]}

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียปาฟนูตี เชบีเชฟแม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะถูกคิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยเพื่อนและเพื่อนร่วมงานของเขาอิเรเน-จูลส์ บีนาเม [ ^{4 ] : 98 บีนา} เมพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2496 ^{[ 5 ]}และเชบีเชฟพิสูจน์อย่างเป็นทางการในปี พ.ศ. 2400 ^{[ 6 ] [ 7 ]}แอนเดรย์ มาร์คอฟนักศึกษาของเขาได้ให้การพิสูจน์อีกแบบหนึ่งในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา ในปี พ.ศ. 2427 ^{[ 8 ]}

อสมการของเชบิเชฟมักกล่าวถึงตัวแปรสุ่มแต่สามารถขยายความไปใช้กับปริภูมิการวัด ได้เช่น กัน

ให้(อินทิกรัล) เป็นตัวแปรสุ่ม ที่มี ความแปรปรวนจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์(และด้วยเหตุนี้จึงมีค่าคาดหวัง จำกัด ) ^{[ 9 ]}จากนั้นสำหรับจำนวนจริง ใด ๆ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

เฉพาะกรณีนี้เท่านั้นที่มีประโยชน์ เมื่อด้านขวาและความไม่เท่ากันนั้นเป็นเรื่องง่าย เนื่องจากความน่าจะเป็นทั้งหมดมีค่าไม่เกิน 1 ${\displaystyle k>1}$${\displaystyle k\leq 1}$${\displaystyle 1/k^{2}\geq 1}$

ตัวอย่างเช่น การใช้แสดงให้เห็นว่าค่าความน่าจะเป็นที่อยู่นอกช่วงไม่เกินหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ความน่าจะเป็นของค่าที่อยู่ในช่วง (กล่าวคือ"ความครอบคลุม" ) มีค่าอย่าง น้อย${\displaystyle k={\sqrt {2}}}$${\displaystyle (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 1/2}$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับกรณีใดๆก็ตาม ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}.}$

เนื่องจากสามารถนำไปใช้กับการแจกแจงใดๆ ก็ได้อย่างสมบูรณ์ ตราบใดที่ทราบค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่มีค่าจำกัด อสมการนี้จึงมักให้ขอบเขตที่ไม่แม่นยำนัก เมื่อเทียบกับสิ่งที่อาจอนุมานได้หากทราบรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแจกแจงนั้นๆ

${\displaystyle k}$	เปอร์เซ็นต์ขั้นต่ำที่อยู่ภายในค่า เบี่ยงเบน มาตรฐานของค่าเฉลี่ย ${\displaystyle k}$	เปอร์เซ็นต์สูงสุดที่เกินค่า เบี่ยงเบน มาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ${\displaystyle k}$
1	0%	100%
√ 2	50%	50%
1.5	55.55%	44.44%
2	75%	25%
2 √ 2	87.5%	12.5%
3	88.8888%	11.1111%
4	93.75%	6.25%
5	96%	4%
6	97.2222%	2.7778%
7	97.9592%	2.0408%
8	98.4375%	1.5625%
9	98.7654%	1.2346%
10	99%	1%

ในกรณีนั้นสำหรับจำนวนจริงบวกใดๆและ${\displaystyle \sigma >0,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k,}$

${\displaystyle \mathrm {Pr} {\big (}|X\!-\!\mu |\!>\!a{\big )}<{\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}\quad {\text{และ}}\quad }$${\displaystyle {\vphantom {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}}\mathrm {Pr} {\big (}|X\!-\!\mu |\!>\!k\sigma {\big )}<{\frac {1}{k^{2}}}\,,}$

ตามลำดับ^{[ 10 ]}

ให้เป็นปริภูมิการวัดและให้เป็นฟังก์ชันวัดได้ที่มีค่าเป็นจำนวนจริงแบบขยายซึ่งกำหนดบนแล้วสำหรับจำนวนจริงใดๆ และ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle 0<p<\infty }$

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{p}}\int _{X}|f|^{p}\,d\mu .}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นฟังก์ชันที่วัดได้และมีค่าเป็นจำนวนจริงแบบขยาย มีค่าไม่เป็นลบและไม่ลดลง โดยที่ แล้ว: ${\displaystyle g}$${\displaystyle g(t)\neq 0}$

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

ข้อความนี้เป็นผลมาจากอสมการมาร์คอฟ , , โดยที่และ, เนื่องจากในกรณีนี้ข้อความก่อนหน้านี้จึงเป็นผลมาจากการกำหนดให้เป็นถ้าและเป็นอย่างอื่น ${\displaystyle \mu (\{x\in X:|F(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{X}|F|d\mu }$${\displaystyle F=g\circ f}$${\displaystyle \varepsilon =g(t)}$${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,g\circ f(x)\geq g(t)\})\geq \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle |x|^{p}}$${\displaystyle x\geq t}$${\displaystyle 0}$

สมมติว่าเราสุ่มเลือกบทความวารสารจากแหล่งข้อมูลที่มีจำนวนคำเฉลี่ย 1,000 คำต่อบทความ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 200 คำ เราสามารถอนุมานได้ว่าความน่าจะเป็นที่บทความนั้นจะมีจำนวนคำอยู่ระหว่าง 600 ถึง 1,400 คำ (กล่าวคือ อยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย) จะต้องมีอย่างน้อย 75% เพราะโอกาสที่จะอยู่นอกช่วงนั้นมีเพียงโอกาสโดยบังเอิญเท่านั้น ตามอสมการของเชบิเชฟ แต่ถ้าเรารู้เพิ่มเติมว่าการแจกแจงเป็นแบบปกติเราสามารถกล่าวได้ว่ามีโอกาส 75% ที่จำนวนคำจะอยู่ระหว่าง 770 ถึง 1,230 คำ (ซึ่งเป็นขอบเขตที่แคบลงไปอีก) ${\displaystyle k=2}$${\displaystyle 1/k^{2}=1/4}$

ดังแสดงในตัวอย่างข้างต้น ทฤษฎีบทนี้โดยทั่วไปให้ขอบเขตที่ไม่เข้มงวดนัก อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วขอบเขตเหล่านี้ไม่สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้ (ยังคงเป็นจริงสำหรับการกระจายแบบใดๆ ก็ตาม) ขอบเขตมีความแม่นยำสำหรับตัวอย่างต่อไปนี้: สำหรับใดๆ ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle X={\begin{cases}-1,&{\text{ด้วยความน่าจะเป็น }}\;\;{\frac {1}{2k^{2}}}\\{\phantom {-}}0,&{\text{ด้วยความน่าจะเป็น }}1-{\frac {1}{k^{2}}}\\+1,&{\text{ด้วยความน่าจะเป็น }}\;\;{\frac {1}{2k^{2}}}\end{cases}}}$

สำหรับการแจกแจงนี้ ค่าเฉลี่ยคือและความแปรปรวนคือดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือและ ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {(-1)^{2}}{2k^{2}}}+0+{\frac {1^{2}}{2k^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}}$${\displaystyle \sigma =1/k}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr(|X|\geq 1)={\frac {1}{k^{2}}}.}$

อสมการของเชบิเชฟเป็นสมการสำหรับการกระจายตัวที่เป็นการแปลงเชิงเส้นของตัวอย่างนี้ โดยเฉพาะ ^{[ 10 ]}

อสมการของมาร์คอฟกล่าวว่า สำหรับตัวแปรสุ่มค่าจริงที่ไม่เป็นลบใดๆและจำนวนบวกใดๆเราจะได้ว่า วิธีหนึ่งในการพิสูจน์อสมการของเชบิเชฟคือการประยุกต์ใช้อสมการของมาร์คอฟกับตัวแปรสุ่มโดยที่: ${\displaystyle Y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Pr(|Y|\geq a)\leq \mathbb {E} [|Y|]/a}$${\displaystyle Y=(X-\mu )^{2}}$${\displaystyle a=(k\sigma )^{2}}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr((X-\mu )^{2}\geq k^{2}\sigma ^{2})\leq {\frac {\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงโดยใช้ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไข :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\mathbb {E} {\bigl [}(X-\mu )^{2}{\bigr ]}\\[5pt]&=\mathbb {E} {\Bigl [}(X-\mu )^{2}\;{\Big |}\;k\sigma \leq |X-\mu |{\Bigr ]}\Pr {\bigl [}k\sigma \leq |X-\mu |{\bigr ]}+\mathbb {E} {\Bigl [}(X-\mu )^{2}\;{\Big |}\;k\sigma >|X-\mu |{\Bigr ]}\Pr {\bigl [}k\sigma >|X-\mu |{\bigr ]}\\[5pt]&\geq (k\sigma )^{2}\Pr {\bigl [}k\sigma \leq |X-\mu |{\bigr ]}+0\cdot \Pr {\bigl [}k\sigma >|X-\mu |{\bigr ]}\\[5pt]&=k^{2}\sigma ^{2}\Pr {\bigl [}k\sigma \leq |X-\mu |{\bigr ]}\end{aligned}}}$

อสมการของเชบิเชฟจึงได้มาจากการหารด้วยการพิสูจน์นี้ยังแสดงให้เห็นว่าเหตุใดขอบเขตจึงค่อนข้างหลวมในกรณีทั่วไป: ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่ถูกละทิ้งไป และขอบเขตล่างของเหตุการณ์อาจค่อนข้างแย่ ${\displaystyle k^{2}\sigma ^{2}}$${\displaystyle |X-\mu |<k\sigma }$${\displaystyle k^{2}\sigma ^{2}}$${\displaystyle |X-\mu |\geq k\sigma }$

อสมการของเชบิเชฟยังสามารถหาได้โดยตรงจากการเปรียบเทียบพื้นที่อย่างง่าย โดยเริ่มจากการแสดงค่าที่คาดหวังเป็นผลต่างของปริพันธ์รีมันน์ที่ไม่เหมาะสมสองรายการ (ในการวาดภาพในคำจำกัดความของค่าที่คาดหวังสำหรับตัวแปรสุ่มค่าจริงใดๆ ) ^{[ 10 ]}

มีการพัฒนาทฤษฎีความไม่เท่าเทียมกันของเชบิเชฟในรูปแบบต่อยอดหลายรูปแบบ

เซลเบิร์กได้สรุปเป็นทั่วไปสำหรับช่วงเวลาใดๆ^{[ 11 ]}สมมติว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนอสมการของเซลเบิร์กกล่าว^{[ 12 ]}ว่า ถ้า${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \beta \geq \alpha \geq 0}$

${\displaystyle \Pr(X\in [\mu -\alpha ,\mu +\beta ])\geq {\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+\sigma ^{2}}}&{\text{if }}\alpha (\beta -\alpha )\geq 2\sigma ^{2}\\{\frac {4\alpha \beta -4\sigma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}&{\text{if }}2\alpha \beta \geq 2\sigma ^{2}\geq \alpha (\beta -\alpha )\\0&\sigma ^{2}\geq \alpha \beta \end{cases}}}$

เมื่อสิ่งนี้จะลดลงเหลือความไม่เท่าเทียมกันของเชบิเชฟ สิ่งเหล่านี้เป็นที่ทราบกันว่าเป็นขอบเขตที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้^{[ 13 ]}${\displaystyle \alpha =\beta }$

อสมการของเชบิเชฟสามารถขยายไปสู่สถานการณ์หลายตัวแปรได้อย่างเป็นธรรมชาติ โดยที่ตัวแปรสุ่ม มี ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนดังนั้นอสมการต่อไปนี้จึงเป็นจริง ${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})^{2}\geq k^{2}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$

สิ่งนี้เรียกว่าความไม่เท่าเทียมกันของ Birnbaum–Raymond–Zuckerman ตามชื่อผู้เขียนที่พิสูจน์สำหรับสองมิติ^{[ 14 ]}ผลลัพธ์นี้สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของเวกเตอร์ ที่มีค่าเฉลี่ยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในบรรทัดฐานยุคลิด^{[ 15 ]}${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\ldots )}$${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\ldots )}$${\displaystyle \sigma =(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots )}$${\displaystyle ||\cdot ||}$

${\displaystyle \Pr(\|X-\mu \|\geq k\|\sigma \|)\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

นอกจากนี้ยังสามารถได้รับอสมการเชบิเชฟมิติอนันต์ที่ คล้ายกันได้ อีกด้วย อสมการที่เกี่ยวข้องที่สองก็ได้รับการพิสูจน์โดย Chen เช่นกัน^{[ 16 ]}ให้เป็นมิติของเวกเตอร์สุ่มและให้เป็นค่าเฉลี่ยของให้เป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมและจากนั้น ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \Pr \left((X-\operatorname {E} (X))^{T}S^{-1}(X-\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

โดยที่คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งของอสมการนี้สามารถเขียนในรูปของระยะทางมาฮาลาโนบิสได้ดังนี้ ${\displaystyle Y^{T}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \Pr \left(d_{S}^{2}(X,\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

โดยที่ระยะทางมาฮาลาโนบิสซึ่งคำนวณจากนั้นถูกกำหนดโดย ${\displaystyle S}$

${\displaystyle d_{S}(x,y)={\sqrt {(x-y)^{T}S^{-1}(x-y)}}}$

Navarro ^{[ 17 ]}พิสูจน์ว่าขอบเขตเหล่านี้มีความแม่นยำ นั่นคือเป็นขอบเขตที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับภูมิภาคเหล่านั้นเมื่อเรารู้เพียงค่าเฉลี่ยและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของ ${\displaystyle X}$

Stellato et al. ^{[ 18 ]}แสดงให้เห็นว่าอสมการเชบิเชฟเวอร์ชันหลายตัวแปรนี้สามารถหาได้โดยง่ายในเชิงวิเคราะห์เป็นกรณีพิเศษของ Vandenberghe et al. ^{[ 19 ]}โดยที่ขอบเขตจะคำนวณโดยการแก้โปรแกรมกึ่งกำหนด (SDP)

หากตัวแปรเป็นอิสระต่อกัน ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถทำให้คมชัดขึ้นได้^{[ 20 ]}

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}\leq k_{i}\right)\geq \prod _{i=1}^{n}\left(1-{\frac {1}{k_{i}^{2}}}\right)}$

Berge ได้สร้างอสมการสำหรับตัวแปรสองตัวที่มีความสัมพันธ์กัน[ ^{21 ] ให้}เป็นสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างและและให้เป็นความแปรปรวนของจากนั้น ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{2}\left[{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}<k\right]\right)\geq 1-{\frac {1+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{k^{2}}}.}$

ผลลัพธ์นี้สามารถปรับปรุงให้มีขอบเขตที่แตกต่างกันสำหรับตัวแปรสุ่มสองตัว^{[ 22 ]}และมีขอบเขตที่ไม่สมมาตร เช่นเดียวกับอสมการของ Selberg ^{[ 23 ]}

Olkin และ Pratt ได้สร้างความไม่เท่าเทียมกันสำหรับตัวแปรที่สัมพันธ์กัน^{[ 24 ]}${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}<k_{i}\right)\geq 1-{\frac {1}{n^{2}}}\left({\sqrt {u}}+{\sqrt {n-1}}{\sqrt {n\sum _{i}{\frac {1}{k_{i}^{2}}}-u}}\right)^{2}}$

โดยผลรวมนั้นคำนวณจากตัวแปรต่างๆ และ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{k_{i}^{2}}}+2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j<i}{\frac {\rho _{ij}}{k_{i}k_{j}}}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างและอยู่ ที่ไหน${\displaystyle \rho _{ij}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{j}}$

ความไม่เท่าเทียมกันของ Olkin และ Pratt ได้รับการสรุปโดยทั่วไปโดย Godwin ในภายหลัง^{[ 25 ]}

MitzenmacherและUpfal ^{[ 26 ]}ตั้งข้อสังเกตว่าโดยการใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Markov กับตัวแปรที่ไม่เป็นลบจะสามารถได้กลุ่มของขอบเขตหาง ${\displaystyle |X-\operatorname {E} (X)|^{n}}$

${\displaystyle \Pr \left(|X-\operatorname {E} (X)|\geq k\operatorname {E} (|X-\operatorname {E} (X)|^{n})^{\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {1}{k^{n}}},\qquad k>0,\ n\geq 2.}$

เนื่องจากเราได้อสมการของเชบิเชฟและสมมติว่า โมเมนต์ ^{ที่ th}มีอยู่จริง ขอบเขตนี้จะแน่นกว่าอสมการของเชบิเชฟ กลยุทธ์นี้เรียกว่าวิธีของโมเมนต์ซึ่งมักใช้ในการพิสูจน์ขอบเขตส่วนท้าย ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle k\geq 1,\ n>4}$${\displaystyle n}$

อสมการที่เกี่ยวข้องบางครั้งเรียกว่าอสมการเชบิเชฟแบบเลขชี้กำลัง^{[ 27 ]}คืออสมการ

${\displaystyle \Pr(X\geq \varepsilon )\leq e^{-t\varepsilon }\operatorname {E} \left(e^{tX}\right),\qquad t>0.}$

ให้เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดคูมูลันต์ ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle K(t)=\log \left(\operatorname {E} \left(e^{tx}\right)\right).}$

เมื่อใช้การแปลงเลอจองเดอร์-เฟนเชลของและใช้ความไม่เท่าเทียมกันของเชบิเชฟแบบเลขชี้กำลัง เราจะได้ ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle -\log(\Pr(X\geq \varepsilon ))\geq \sup _{t}(t\varepsilon -K(t)).}$

ความไม่เท่าเทียมกันนี้อาจใช้เพื่อให้ได้ความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังสำหรับตัวแปรที่ไม่มีขอบเขต^{[ 28 ]}

ถ้ามีการรองรับที่จำกัดตามช่วงให้โดยที่คือค่าสัมบูรณ์ของถ้าค่าเฉลี่ยของเป็นศูนย์ แล้วสำหรับทุก^{[ 29 ]}${\displaystyle \Pr(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle M=\max(|a|,|b|)}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Pr(x)}$${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})-k^{r}}{M^{r}}}\leq \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})}{k^{r}}}.}$

อสมการที่สองนี้คือขอบเขตของเชบิเชฟ ส่วนอสมการแรกให้ขอบเขตล่างสำหรับค่าของ ${\displaystyle r=2}$${\displaystyle \Pr(x)}$

Saw และคณะได้ขยายความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ไปยังกรณีที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของประชากรไม่เป็นที่รู้จักและอาจไม่มีอยู่จริง แต่จะใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างจากตัวอย่างเพื่อจำกัดค่าที่คาดหวังของการสุ่มตัวอย่างใหม่จากการกระจายเดียวกัน^{[ 30 ]} Kabán ได้ให้เวอร์ชันที่ง่ายกว่าของความไม่เท่าเทียมกันนี้ไว้ดังต่อไปนี้^{[ 31 ]}${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {N+1}{N}}\left({\frac {N-1}{k^{2}}}+1\right)\right\rfloor }$

โดยที่เป็นตัวแปรสุ่มที่เราสุ่มมาจำนวนครั้งเป็นค่าเฉลี่ยของตัวอย่างเป็นค่าคงที่ และเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s}$

ความไม่เท่าเทียมกันนี้ยังคงอยู่แม้ว่าโมเมนต์ของประชากรจะไม่มีอยู่จริง และเมื่อตัวอย่างมี การกระจายแบบ แลกเปลี่ยนได้เพียงเล็กน้อย เท่านั้น เกณฑ์นี้เป็นไปตามการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม ตารางค่าสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของ Saw–Yang–Mo สำหรับขนาดตัวอย่างจำกัด ( ) ได้รับการกำหนดโดย Konijn ^{[ 32 ]}ตารางนี้อนุญาตให้คำนวณช่วงความเชื่อมั่นต่างๆ สำหรับค่าเฉลี่ย โดยอิงจากค่าทวีคูณ C ของค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น Konijn แสดงให้เห็นว่าสำหรับช่วงความเชื่อมั่น 95 เปอร์เซ็นต์สำหรับค่าเฉลี่ยคือโดยที่(ซึ่งใหญ่กว่าค่าที่พบจากการสมมติว่าเป็นแบบปกติถึง 2.28 เท่า แสดงให้เห็นถึงการสูญเสียความแม่นยำอันเนื่องมาจากความไม่รู้ถึงลักษณะที่แน่นอนของการกระจาย) ${\displaystyle N<100}$${\displaystyle N=59}$${\displaystyle m}$${\displaystyle (m-Cs,m+Cs)}$${\displaystyle C=4.447\cdot 1.006=4.47}$

อสมการที่เทียบเท่ากันสามารถหาได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างแทน^{[ 31 ]}

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq km)\leq {\frac {N-1}{N}}{\frac {1}{k^{2}}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}+{\frac {1}{N}}.}$

ตารางค่าสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของ Saw–Yang–Mo สำหรับขนาดตัวอย่างจำกัด ( ) ได้รับการกำหนดโดย Konijn ^{[ 32 ]}${\displaystyle N<100}$

สำหรับค่าคงที่และขนาดใหญ่อสมการ Saw–Yang–Mo จะมีค่าประมาณ^{[ 33 ]}${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}.}$

Beasley และคณะได้เสนอการปรับเปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันนี้^{[ 33 ]}

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{k^{2}(N+1)}}.}$

จากการทดสอบเชิงประจักษ์ การปรับเปลี่ยนนี้ให้ผลลัพธ์ที่ค่อนข้างอนุรักษ์นิยม แต่ดูเหมือนจะมีกำลังทางสถิติต่ำ พื้นฐานทางทฤษฎีของการปรับเปลี่ยนนี้ยังไม่ได้รับการสำรวจอย่างถี่ถ้วนในปัจจุบัน

ขอบเขตที่อสมการเหล่านี้ให้ไว้สำหรับตัวอย่างขนาดจำกัดนั้นแคบกว่าขอบเขตที่อสมการเชบิเชฟให้ไว้สำหรับการกระจายตัว เพื่อแสดงให้เห็นภาพนี้ ให้ขนาดตัวอย่างเป็นและให้อสมการเชบิเชฟระบุว่าอย่างมากที่สุดประมาณ 11.11% ของการกระจายตัวจะอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยอย่างน้อยสามส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน อสมการของคาบันสำหรับตัวอย่างขนาดจำกัดระบุว่าอย่างมากที่สุดประมาณ 12.05% ของตัวอย่างจะอยู่นอกขอบเขตเหล่านี้ ความสัมพันธ์ของช่วงความเชื่อมั่นกับขนาดตัวอย่างจะแสดงให้เห็นเพิ่มเติมด้านล่าง ${\displaystyle N=100}$${\displaystyle k=3}$

สำหรับค่าดังกล่าว ช่วงความเชื่อมั่น 95% จะอยู่ที่ประมาณ ±13.5789 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ${\displaystyle N=10}$

ช่วงความเชื่อมั่น 95% จะอยู่ที่ประมาณ ±4.9595 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และช่วงความเชื่อมั่น 99% จะอยู่ที่ประมาณ ±14.00 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ${\displaystyle N=100}$

ช่วงความเชื่อมั่น 95% จะอยู่ที่ประมาณ ±4.5574 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และช่วงความเชื่อมั่น 99% จะอยู่ที่ประมาณ ±11.1620 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ${\displaystyle N=500}$

ช่วงความเชื่อ มั่น95% และ 99% จะอยู่ที่ประมาณ ±4.5141 และประมาณ ±10.5330 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตามลำดับ ${\displaystyle N=1000}$

อสมการเชบิเชฟสำหรับการแจกแจงนี้ให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% และ 99% ประมาณ ±4.472 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ ±10 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตามลำดับ

แม้ว่าอสมการของเชบิเชฟจะเป็นขอบเขตที่ดีที่สุดสำหรับ1การแจกแจงแบบใดๆ ก็ตาม แต่ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไปสำหรับตัวอย่างที่มี ขนาดจำกัด อสมการของซามูเอลสันระบุว่าค่าทั้งหมดของตัวอย่างจะต้องอยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างจากค่าเฉลี่ย ${\displaystyle {\sqrt {N-1}}}$

เมื่อเปรียบเทียบกันแล้ว อสมการของเชบิเชฟระบุว่าตัวอย่างเกือบทั้งหมดจะอยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย เนื่องจากมีตัวอย่างจำนวนหนึ่ง จึงหมายความว่าไม่มีตัวอย่างใดที่จะอยู่นอกเหนือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ซึ่งแย่กว่าอสมการของซามูเอลสัน อย่างไรก็ตาม ข้อดีของอสมการของเชบิเชฟคือสามารถนำไปใช้ได้ทั่วไปเพื่อหาขอบเขตความเชื่อมั่นสำหรับช่วงของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนตัวอย่าง ${\displaystyle 1/N}$${\displaystyle {\sqrt {N}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

อีกวิธีหนึ่งในการหาขอบเขตที่แม่นยำยิ่งขึ้นคือการใช้ค่ากึ่งแปรผัน (ค่าแปรผันย่อย) ค่ากึ่งแปรผันบน ( ) และค่ากึ่งแปรผันล่าง ( ) ถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle \sigma _{+}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{-}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{+}^{2}={\frac {\sum _{x>m}(x-m)^{2}}{n-1}},}$

${\displaystyle \sigma _{-}^{2}={\frac {\sum _{x<m}(m-x)^{2}}{n-1}},}$

โดยที่คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง และคือจำนวนองค์ประกอบในกลุ่มตัวอย่าง ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

ความแปรปรวนของตัวอย่างคือผลรวมของค่าความแปรปรวนครึ่งหนึ่งทั้งสองค่า:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{+}^{2}+\sigma _{-}^{2}.}$

ในแง่ของค่าความแปรปรวนครึ่งหนึ่งที่ต่ำกว่า อสมการของเชบิเชฟสามารถเขียนได้^{[ 34 ]}

${\displaystyle \Pr(x\leq m-a\sigma _{-})\leq {\frac {1}{a^{2}}}.}$

การพัตต์

${\displaystyle a={\frac {k\sigma }{\sigma _{-}}}.}$

อสมการของเชบิเชฟสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\sigma _{-}^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้สามารถหาได้สำหรับค่าความแปรปรวนครึ่งบนเช่นกัน

ถ้าเราใส่

${\displaystyle \sigma _{u}^{2}=\max(\sigma _{-}^{2},\sigma _{+}^{2}),}$

อสมการของเชบิเชฟสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \Pr(|x\leq m-k\sigma |)\leq {\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\sigma _{u}^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

เนื่องจากการใช้ค่ากึ่งแปรผันช่วยทำให้ความไม่เท่าเทียมกันเดิมมีความคมชัดยิ่งขึ้น ${\displaystyle \sigma _{u}^{2}\leq \sigma ^{2}}$

หากทราบว่าการกระจายตัวเป็นแบบสมมาตรแล้ว

${\displaystyle \sigma _{+}^{2}=\sigma _{-}^{2}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$

และ

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {\frac {1}{2k^{2}}}.}$

ผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ได้จากการใช้ตัวแปรมาตรฐาน

บันทึก

พบว่าความไม่เท่าเทียมกันกับค่าความแปรปรวนครึ่งหนึ่งที่ต่ำกว่านั้นมีประโยชน์ในการประเมินความเสี่ยงด้านลบในด้านการเงินและการเกษตร^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

Stellato et al. ^{[ 18 ]}ทำให้สัญลักษณ์ง่ายขึ้นและขยายความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev เชิงประจักษ์จาก Saw et al. ^{[ 30 ]}ไปสู่กรณีหลายตัวแปร ให้เป็นตัวแปรสุ่ม และให้เราสุ่มตัวอย่าง iid ของซึ่งแสดงเป็น โดยอิงจากตัวอย่างแรกเรากำหนดค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์เป็นและความแปรปรวนร่วมเชิงประจักษ์ที่ไม่เอนเอียงเป็นถ้าไม่เป็นเอกฐาน แล้ว สำหรับทุกแล้ว ${\textstyle \xi \in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$${\textstyle N\in \mathbb {Z} _{\geq n_{\xi }}}$${\textstyle N+1}$${\textstyle \xi }$${\textstyle \xi ^{(1)},\dots ,\xi ^{(N)},\xi ^{(N+1)}\in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$${\textstyle N}$${\textstyle \mu _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\xi ^{(i)}}$${\textstyle \Sigma _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\xi ^{(i)}-\mu _{N})(\xi ^{(i)}-\mu _{N})^{\top }}$${\displaystyle \Sigma _{N}}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\\[8pt]\leq {}&\min \left\{1,{\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {n_{\xi }(N+1)(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\rfloor \right\}.\end{aligned}}}$

ในกรณีตัวแปรเดียว กล่าวคืออสมการนี้สอดคล้องกับอสมการจาก Saw et al. ^{[ 30 ]} ยิ่งไปกว่านั้น ด้านขวามือสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการกำหนดขอบเขตบนของฟังก์ชันพื้นด้วยอาร์กิวเมนต์ของมัน ${\textstyle n_{\xi }=1}$

${\displaystyle P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\leq \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\}.}$

เนื่องจากด้านขวามือมีแนวโน้มไปสู่​​ซึ่งสอดคล้องกับอสมการเชบิเชฟแบบหลายตัวแปรเหนือทรงรีที่มีรูปร่างตามและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ ${\textstyle N\to \infty }$${\textstyle \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }}{\lambda ^{2}}}\right\}}$${\textstyle \Sigma }$${\textstyle \mu }$

อสมการของเชบิเชฟมีความสำคัญเนื่องจากสามารถนำไปใช้กับการแจกแจงใดๆ ก็ได้ เนื่องจากความทั่วไปของมัน จึงอาจไม่ (และโดยปกติจะไม่) ให้ขอบเขตที่แม่นยำเท่ากับวิธีการอื่นๆ ที่สามารถใช้ได้หากทราบการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม เพื่อปรับปรุงความแม่นยำของขอบเขตที่ได้จากอสมการของเชบิเชฟ ได้มีการพัฒนาวิธีการต่างๆ มากมาย สำหรับการทบทวน โปรดดูที่^{[ 12 ] [ 37 ]}

อสมการของ Cantelli ^{[ 38 ]}ซึ่งเกิดจากFrancesco Paolo Cantelliระบุว่าสำหรับตัวแปรสุ่มจริง ( ) ที่มีค่าเฉลี่ย ( ) และความแปรปรวน ( ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+a^{2}}}}$

ที่ไหน. ${\displaystyle a\geq 0}$

ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์รูปแบบด้านเดียวของความไม่เท่าเทียมกันของเชบิเชฟด้วย^{[ 39 ]}${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.}$

ขอบเขตของตัวแปรแบบหางเดียวเป็นที่ทราบกันดีว่ามีความแม่นยำ เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองพิจารณาตัวแปรสุ่มที่รับค่าต่างๆ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=1}$ด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{1+\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle X=-\sigma ^{2}}$ด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle {\frac {1}{1+\sigma ^{2}}}.}$

จากนั้น และและ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}$${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}}$${\displaystyle \Pr(X<1)=1/(1+\sigma ^{2})}$

รูปแบบด้านเดียวสามารถใช้พิสูจน์ข้อเสนอที่ว่า สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีค่า เฉลี่ย และค่ามัธยฐานค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานจะไม่แตกต่างกันเกินหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อแสดงสิ่งนี้ในสัญลักษณ์ ให้, , และเป็นค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตามลำดับ แล้ว ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \left|\mu -\nu \right|\leq \sigma .}$

ไม่จำเป็นต้องสมมติว่าค่าความแปรปรวนมีค่าจำกัด เพราะอสมการนี้จะเป็นจริงโดยปริยายหากค่าความแปรปรวนมีค่าอนันต์

การพิสูจน์มีดังนี้ เมื่อแทนค่าลงในข้อความสำหรับอสมการด้านเดียวจะได้: ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq \sigma )\leq {\frac {1}{2}}\implies \Pr(X\geq \mu +\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.}$

เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของและเราจะได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \Pr(X\leq \mu -\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.}$

เนื่องจากค่ามัธยฐานตามนิยามคือจำนวนจริงใดๆที่สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \Pr(X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\Pr(X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}}$

ซึ่งหมายความว่าค่ามัธยฐานอยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่งค่าจากค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ยังมี วิธีพิสูจน์โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันของเจนเซ่น อีก ด้วย

Bhattacharyya ^{[ 40 ]}ขยายความไม่เท่าเทียมกันของ Cantelli โดยใช้โมเมนต์ที่สามและสี่ของการกระจาย

ให้และ เป็น ค่า ความแปรปรวน ให้และ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \gamma =E[X^{3}]/\sigma ^{3}}$${\displaystyle \kappa =E[X^{4}]/\sigma ^{4}}$

ถ้าเช่นนั้น ${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -\gamma ^{2}-1}{(\kappa -\gamma ^{2}-1)(1+k^{2})+(k^{2}-k\gamma -1)}}.}$

ความจำเป็นดังกล่าวอาจมีขนาดใหญ่พอสมควร ${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$${\displaystyle k}$

ในกรณีนี้จะลดรูปเหลือดังนี้ ${\displaystyle E[X^{3}]=0}$

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}\quad {\text{for }}k>1.}$

เนื่องจากค่าที่ใกล้เคียงกับ 1 ทำให้ขอบเขตนี้ดีขึ้นเล็กน้อยเมื่อเทียบกับขอบเขตของ Cantelli เมื่อ. ${\displaystyle {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\kappa (k-1)}{2(\kappa -1)}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {k-1}{2}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$${\displaystyle \kappa >1}$

ชนะอสมการของเชบิเชฟด้วยตัวคูณ 2

ในปี พ.ศ. 2366 เกาส์แสดงให้เห็นว่าสำหรับการกระจายที่มีโหมดเดียวที่ศูนย์^{[ 41 ]}

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {4\operatorname {E} (X^{2})}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\geq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}),}$

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq 1-{\frac {k}{{\sqrt {3}}\operatorname {E} (X^{2})}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\leq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}).}$

อสมการ Vysochanskij–Petunin ขยายอสมการของ Gauss ซึ่งใช้ได้เฉพาะกับการเบี่ยงเบนจากโหมดของการแจกแจงแบบ unimodal ไปสู่การเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย หรือโดยทั่วไปแล้วจากจุดศูนย์กลางใดๆ^{[ 42 ]}ถ้าเป็นการแจกแจงแบบ unimodalที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนแล้วอสมการจะระบุว่า ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k\geq {\sqrt {8/3}}=1.633.}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{3k^{2}}}-{\frac {1}{3}}\quad {\text{if}}\quad k\leq {\sqrt {8/3}}.}$

สำหรับการแจกแจงแบบสมมาตรที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว ค่ามัธยฐานและค่าฐานนิยมจะเท่ากัน ดังนั้นทั้งอสมการของ Vysochanskij–Petunin และอสมการของ Gauss จึงใช้ได้กับจุดศูนย์กลางเดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับการแจกแจงแบบสมมาตร สามารถหาขอบเขตด้านเดียวได้โดยสังเกตว่า

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )=\Pr(X-\mu \leq -k\sigma )={\frac {1}{2}}\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma ).}$

สัดส่วนเพิ่มเติมที่มีอยู่ในขอบเขตส่วนหางเหล่านี้ทำให้ได้ช่วงความเชื่อมั่นที่ดีกว่าอสมการของเชบิเชฟ ตัวอย่างเช่น สำหรับการแจกแจงแบบสมมาตรที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว อสมการของวิโซชานสกี-เปตูนินระบุว่า 4/(9 × 3^2) = 4/81 ≈ 4.9% ของการแจกแจงอยู่นอกเหนือ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากจุดสูงสุด ${\displaystyle 4/9}$

DasGupta ได้แสดงให้เห็นว่าหากทราบว่าการกระจายตัวเป็นแบบปกติ^{[ 43 ]}

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{3k^{2}}}.}$

จากอสมการของดาสกุปตะ สรุปได้ว่า สำหรับการแจกแจงแบบปกติ อย่างน้อย 95% จะอยู่ภายในระยะเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 2.582 เท่าของค่าเฉลี่ย ซึ่งมีความคลาดเคลื่อนน้อยกว่าค่าที่แท้จริง (ประมาณ 1.96 เท่าของค่าเฉลี่ย)

• DasGupta ได้กำหนดขอบเขตที่เป็นไปได้ที่ดีที่สุดชุดหนึ่งสำหรับการกระจายแบบปกติสำหรับความไม่เท่าเทียมกันนี้^{[ 43 ]}
• Steliga และ Szynal ได้ขยายขอบเขตเหล่านี้ไปยังการแจกแจงPareto ^{[ 44 ]}
• Grechuk และคณะได้พัฒนาวิธีการทั่วไปในการหาขอบเขตที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ในอสมการของ Chebyshev สำหรับตระกูลการแจกแจงใดๆ และมาตรวัดความเสี่ยงของการเบี่ยงเบน ใดๆ แทนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกเขาได้หาอสมการของ Chebyshev สำหรับการแจกแจงที่มีความหนาแน่นแบบ log-concave ^{[ 45 ]}

นอกจากนี้ ยังมีความไม่เท่าเทียมกันอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องอีกหลายประการ

อสมการ Paley–Zygmund ให้ขอบเขตล่างของความน่าจะเป็นของหาง ซึ่งแตกต่างจากอสมการ Chebyshev ที่ให้ขอบเขตบน^{[ 46 ]}เมื่อนำไปใช้กับกำลังสองของตัวแปรสุ่ม เราจะได้

${\displaystyle \Pr(|Z|>\theta {\sqrt {E[Z^{2}]}})\geq {\frac {(1-\theta ^{2})^{2}E[Z^{2}]^{2}}{E[Z^{4}]}}.}$

การใช้ความไม่เท่าเทียมกันของเชบิเชฟในการประยุกต์ใช้อย่างหนึ่งคือการสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับตัวแปรที่มีการแจกแจงที่ไม่ทราบHaldaneตั้งข้อสังเกต^{[ 47 ]}โดยใช้สมการที่ได้มาจากKendall [ ^{48 ]}ว่าถ้าตัวแปร ( ) มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ความแปรปรวนเป็นหนึ่ง และมีความเบี่ยงเบน⁽ )และความโค้ง ( ) ที่มีค่าจำกัด ตัวแปรนั้นสามารถแปลงเป็นคะแนนมาตรฐาน ที่มีการแจกแจงแบบปกติ ( ): ${\displaystyle x}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=x-{\frac {\gamma }{6}}(x^{2}-1)+{\frac {x}{72}}[2\gamma ^{2}(4x^{2}-7)-3\kappa (x^{2}-3)]+\cdots }$

การแปลงนี้อาจมีประโยชน์ในฐานะทางเลือกแทนอสมการของเชบิเชฟ หรือใช้ควบคู่กับอสมการของเชบิเชฟในการหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับตัวแปรที่มีการแจกแจงที่ไม่ทราบแน่ชัด

แม้ว่าการแปลงนี้อาจมีประโยชน์สำหรับข้อมูลที่มีการเบี่ยงเบนหรือความโค้งในระดับปานกลาง แต่จะทำงานได้ไม่ดีเมื่อข้อมูลมีการเบี่ยงเบนหรือความโค้งอย่างมาก

สำหรับชุดตัวแปรสุ่มอิสระที่ไม่เป็นลบn ตัว X ที่มีความคาดหวัง 1 ^{[ 49 ]}

${\displaystyle \Pr \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}-1\geq {\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {7}{8}}.}$

มีความไม่เท่าเทียมกันประการที่สอง (ซึ่งไม่ค่อยเป็นที่รู้จัก) ซึ่งตั้งชื่อตามเชบิเชฟเช่นกัน^{[ 50 ]}

ถ้า ฟังก์ชัน โมโนโทนิกสองฟังก์ชันมีคุณสมบัติโมโนโทนิกเดียวกันแล้ว ${\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)g(x)\,dx\geq \left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\right]\left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!g(x)\,dx\right].}$

ถ้าและมีคุณสมบัติความเป็นเอกพันธุ์ตรงข้ามกัน อสมการข้างต้นจะทำงานในทิศทางตรงกันข้าม ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

ความไม่เท่าเทียมกันนี้เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันของ Jensen [ ^{51 ]}ความไม่เท่าเทียมกันของ Kantorovich [ ^{52 ] ความไม่เท่าเทียมกัน ของ} Hermite –Hadamard ^{[ 52 ]}และสมมติฐาน^ของ Walter ^{[ 53 ]}

นอกจากนี้ยังมีความไม่เท่าเทียมกันอื่นๆ อีกหลายประการที่เกี่ยวข้องกับเชบิเชฟ:

• อสมการผลรวมของเชบิเชฟ
• อสมการเชบิเชฟ-มาร์คอฟ-สตีลต์เจส

สำนักงานคุ้มครองสิ่งแวดล้อมได้แนะนำแนวทางปฏิบัติที่ดีที่สุดสำหรับการใช้ความไม่เท่าเทียมกันของเชบิเชฟในการประมาณช่วงความเชื่อมั่น^{[ 54 ]}

• อสมการเชบิเชฟหลายมิติ
• ความไม่เท่าเทียมกันของความเข้มข้น – บทสรุปเกี่ยวกับขอบเขตส่วนท้ายของตัวแปรสุ่ม
• การขยายตัวของคอร์นิช-ฟิชเชอร์
• ความไม่เท่าเทียมกันของอีตัน
• ความไม่เท่าเทียมกันของโคลโมโกโรฟ
• การพิสูจน์กฎอ่อนของจำนวนมากโดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันของเชบิเชฟ
• ทฤษฎีบทของเลอแคม
• อสมการพาเลย์-ซิกมุนด์
• อสมการวิโซชานสกี-เปตูนิน — ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่าซึ่งใช้ได้กับการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบยอดเดียว
• ความไม่เท่าเทียมกันของเลงลาร์ต

• A. Papoulis (1991), ความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม และกระบวนการสุ่ม , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3. McGraw–Hill. ISBN 0-07-100870-5หน้า 113–114
• G. Grimmettและ D. Stirzaker (2001), ความน่าจะเป็นและกระบวนการสุ่ม , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3. อ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-19-857222-0ส่วนที่ 7.3

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันของเชบิเชฟ

• "อสมการเชบิเชฟในทฤษฎีความน่าจะเป็น" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การพิสูจน์อย่างเป็นทางการในระบบมิซาร์