ในทฤษฎีความน่าจะเป็น กระบวนการ ร้านอาหารจีนเป็นกระบวนการสุ่มแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง คล้ายกับการจัดที่นั่งให้ลูกค้าที่โต๊ะในร้านอาหาร ลองนึกภาพร้านอาหารที่มีโต๊ะกลมจำนวนอนันต์ แต่ละโต๊ะมีความจุไม่จำกัด ลูกค้าคนที่ 1 นั่งที่โต๊ะแรก ลูกค้าคนถัดไปอาจนั่งที่โต๊ะเดียวกับลูกค้าคนที่ 1 หรือโต๊ะถัดไป กระบวนการนี้ดำเนินต่อไป โดยลูกค้าแต่ละคนเลือกที่จะนั่งที่โต๊ะที่มีคนนั่งอยู่แล้ว ด้วยความน่าจะเป็นที่แปรผันตามจำนวนลูกค้าที่นั่งอยู่แล้ว (กล่าวคือ พวกเขามีโอกาสนั่งที่โต๊ะที่มีคนเยอะมากกว่าโต๊ะที่มีคนน้อย) หรือโต๊ะว่าง ณ เวลาnลูกค้าnคนจะถูกแบ่งออกเป็นm ≤ nโต๊ะ (หรือกลุ่มของส่วนแบ่ง) ผลลัพธ์ของกระบวนการนี้สามารถสลับเปลี่ยนได้หมายความว่าลำดับที่ลูกค้านั่งไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นของการกระจาย สุดท้าย คุณสมบัตินี้ช่วยลดความซับซ้อนของปัญหาหลายอย่างในพันธุศาสตร์ประชากรการวิเคราะห์ทางภาษาศาสตร์และการจดจำภาพได้ อย่างมาก  

การเปรียบเทียบกับร้านอาหารปรากฏครั้งแรกในงานเขียนของDavid Aldous ^{ในปี 1985 [} 1 ^{] ซึ่ง}อ้างอิงถึงJim Pitman (ซึ่งให้เครดิตLester Dubins เพิ่มเติมด้วย ) ^{[ 2 ]}

กระบวนการแบ่งส่วนที่เทียบเท่ากันได้รับการตีพิมพ์เมื่อปีก่อนโดยFred Hoppe [ ^{3 ]}โดยใช้ "แผนผังโถ" ที่คล้ายกับโถของ Pólya เมื่อเปรียบเทียบกับ ^แบบจำลองโถของ Hoppe กระบวนการร้านอาหารจีนมีข้อได้เปรียบตรงที่สามารถอธิบายการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มผ่านโครงสร้างวงจรได้อย่างเป็นธรรมชาติ นอกเหนือจากการอธิบายการแบ่งส่วนแบบสุ่ม

สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ${\displaystyle n}$, อนุญาต${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$แทนเซตของการแบ่งย่อยทั้งหมดของเซต${\displaystyle \{1,2,3,...,n\}\triangleq [n]}$กระบวนการของร้านอาหารจีนนั้นใช้ค่าในผลคูณคาร์ทีเซียนอนันต์${\displaystyle \prod _{n\geq 1}{\คณิตศาสตร์ {P}__{n}}$.

คุณค่าของกระบวนการ ณ เวลา${\displaystyle n}$เป็นพาร์ติชัน${\displaystyle B_{n}}$ของชุด${\displaystyle [n]}$ซึ่งการแจกแจงความน่าจะเป็นถูกกำหนดดังต่อไปนี้ ณ เวลา${\displaystyle n=1}$การแบ่งส่วนแบบไม่สำคัญ${\displaystyle B_{1}=\{\{1\}\}}$ได้รับ (ด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง) ณ เวลา${\displaystyle n+1}$องค์ประกอบ "${\displaystyle n+1}$" คืออย่างใดอย่างหนึ่ง:

1. เพิ่มเข้าไปในบล็อกหนึ่งของพาร์ติชัน${\displaystyle B_{n}}$โดยแต่ละบล็อกจะถูกเลือกด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle |b|/(n+1)}$ที่ไหน${\displaystyle |b|}$คือขนาดของบล็อก (เช่น จำนวนองค์ประกอบ) หรือ
2. เพิ่มเข้าไปในพาร์ติชั่น${\displaystyle B_{n}}$ในฐานะบล็อกเดี่ยวใหม่ ด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle 1/(n+1)}$.

การแบ่งกลุ่มแบบสุ่มที่สร้างขึ้นนั้นมีคุณสมบัติพิเศษบางประการ กล่าวคือสามารถสลับเปลี่ยนได้ในแง่ของการติดป้ายกำกับใหม่${\displaystyle \{1,...,n\}}$ไม่เปลี่ยนแปลงการกระจายของส่วนแบ่ง และมีความสอดคล้องกันในแง่ที่ว่ากฎของการแบ่งส่วนของ${\displaystyle [n-1]}$ได้มาจากการลบองค์ประกอบออก${\displaystyle n}$จากการแบ่งแบบสุ่ม${\displaystyle B_{n}}$ก็เหมือนกับกฎของการแบ่งแบบสุ่มนั่นเอง${\displaystyle B_{n-1}}$.

ความน่าจะเป็นที่กำหนดให้กับที่นั่งแต่ละที่ (โดยไม่คำนึงถึงลำดับการนั่งของลูกค้าแต่ละโต๊ะ) คือ

${\displaystyle \Pr(B_{n}=B)={\frac {\prod _{b\in B}(|b|-1)!}{n!}},\qquad B\in {\mathcal {P}}_{n}}$

ที่ไหน${\displaystyle b}$เป็นบล็อกในพาร์ติชัน${\displaystyle B}$และ${\displaystyle |b|}$มีขนาดเท่ากับ${\displaystyle b}$.

สามารถขยายความนิยามได้โดยการเพิ่มพารามิเตอร์เข้าไป${\displaystyle \theta >0}$ซึ่งจะปรับเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่ลูกค้ารายใหม่จะนั่งที่โต๊ะใหม่เป็น${\displaystyle {\frac {\theta }{n+\theta }}}$และปรับเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะนั่งที่โต๊ะขนาดดังกล่าวตามไปด้วย${\displaystyle |b|}$ถึง${\displaystyle {\frac {|b|}{n+\theta }}}$กระบวนการวานิลลาที่กล่าวถึงข้างต้นสามารถกู้คืนได้โดยการตั้งค่า${\displaystyle \theta =1}$โดยสัญชาตญาณแล้ว${\displaystyle \theta }$สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนลูกค้าที่นั่งอยู่ที่โต๊ะว่างโต๊ะแรกอย่างแท้จริง

การกระจายโต๊ะร้านอาหารจีน ( CRT ) คือการกระจายความน่าจะเป็นของจำนวนโต๊ะในกระบวนการร้านอาหารจีน^{[ 5 ]}สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลรวมของ${\displaystyle n}$ตัวแปร สุ่มเบอร์นูลลีอิสระแต่ละตัวมีพารามิเตอร์ต่างกัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}\\[4pt]b_{i}&\sim \operatorname {Bernoulli} \left({\frac {\theta }{i-1+\theta }}\right)\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของ${\displaystyle K}$กำหนดโดย^{[ 6 ]}

${\displaystyle f(k)={\frac {\Gamma (\theta )}{\Gamma (n+\theta )}}|s(n,k)|\theta ^{k},\quad k=1,\dots ,n,}$

ที่ไหน${\displaystyle s}$หมายถึง จำนวนสเตอร์ลิง ชนิดแรก

โครงสร้างนี้สามารถนำไปปรับใช้กับแบบจำลองที่มีพารามิเตอร์สองตัวได้${\displaystyle \theta }$&${\displaystyle \alpha }$[ ^{2 ] [ 7 ]}โดยทั่วไปเรียกว่า พารามิเตอร์ ความแข็งแกร่ง (หรือความเข้มข้น⁾และส่วนลดตามลำดับ ณ เวลา${\displaystyle n+1}$ลูกค้ารายต่อไปที่มาถึงพบว่า...${\displaystyle |B|}$โต๊ะที่มีคนนั่งอยู่แล้ว และตัดสินใจนั่งที่โต๊ะว่างด้วยความน่าจะเป็น

${\displaystyle {\frac {\theta +|B|\alpha }{n+\theta }},}$

หรือที่โต๊ะที่มีคนนั่งอยู่${\displaystyle b}$ขนาด${\displaystyle |b|}$ด้วยความน่าจะเป็น

${\displaystyle {\frac {|b|-\alpha }{n+\theta }}.}$

เพื่อให้โครงสร้างดังกล่าวสามารถกำหนดมาตรวัดความน่าจะเป็น ที่ถูกต้องได้ จำเป็นต้องสมมติว่าข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็น จริง${\displaystyle \alpha <0}$และ${\displaystyle \theta =-L\alpha }$สำหรับบางคน${\displaystyle L\in \{1,2,,...\}}$หรือที่${\displaystyle 0\leq \alpha <1}$และ${\displaystyle \theta >-\alpha }$.

ภายใต้แบบจำลองนี้ ความน่าจะเป็นที่กำหนดให้กับพาร์ติชันใดพาร์ติชันหนึ่งโดยเฉพาะ${\displaystyle B}$ของ${\displaystyle [n]}$สามารถแสดงได้ในกรณีทั่วไป (สำหรับค่าใดๆ ของ${\displaystyle \theta ,\alpha }$ที่ตรงตามข้อจำกัดที่กล่าวไว้ข้างต้น) ในแง่ของสัญลักษณ์ k ของ Pochhammerดังนี้

${\displaystyle \Pr(B_{n}=B\mid \theta ,\alpha )={\frac {(\theta +\alpha )_{|B|-1,\alpha }}{(\theta +1)_{n-1,1}}}\prod _{b\in B}(1-\alpha )_{|b|-1,1}}$

โดยที่สัญลักษณ์ k ของ Pochhammer ถูกกำหนดไว้ดังนี้: ตามธรรมเนียมปฏิบัติ${\displaystyle (a)_{0,k}=1}$และสำหรับ${\displaystyle m>0}$

${\displaystyle (a)_{m,k}=\prod _{i=0}^{m-1}(a+ik)={\begin{cases}a^{m}&{\text{if }}k=0,\\\\k^{m}\,({\frac {a}{k}})^{\overline {m}}&{\text{if }}k>0,\\\\\left|k\right|^{m}\,({\frac {a}{\left|k\right|}})^{\underline {m}}&{\text{if }}k<0\end{cases}}}$

ที่ไหน${\displaystyle x^{\overline {m}}=\prod _{i=0}^{m-1}(x+i)}$คือแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นและ${\displaystyle x^{\underline {m}}=\prod _{i=0}^{m-1}(x-i)}$คือแฟกทอเรียลแบบลดลง เป็นที่น่าสังเกตว่าสำหรับการตั้งค่าพารามิเตอร์ที่${\displaystyle \alpha <0}$และ${\displaystyle \theta =-L\alpha }$, แล้ว${\displaystyle (\theta +\alpha )_{|B|-1,\alpha }=(|\alpha |(L-1))_{|B|-1,\alpha }}$ซึ่งจะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle |B|>L}$ดังนั้น${\displaystyle L}$เป็นค่าขอบเขตบนของจำนวนบล็อกในพาร์ติชันโปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติม ในหัวข้อย่อยเกี่ยวกับ แบบจำลอง Dirichlet-categorical ด้านล่าง

สำหรับกรณีที่${\displaystyle \theta >0}$และ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ความน่าจะเป็นของการแบ่งกลุ่มสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของฟังก์ชันแกมมาดังนี้

${\displaystyle \Pr(B_{n}=B\mid \theta ,\alpha )={\frac {\Gamma (\theta )}{\Gamma (\theta +n)}}{\dfrac {\alpha ^{|B|}\,\Gamma (\theta /\alpha +|B|)}{\Gamma (\theta /\alpha )}}\prod _{b\in B}{\dfrac {\Gamma (|b|-\alpha )}{\Gamma (1-\alpha )}}.}$

ในกรณีที่มีพารามิเตอร์เดียว โดยที่${\displaystyle \alpha }$มีค่าเป็นศูนย์ และ${\displaystyle \theta >0}$สิ่งนี้ทำให้ง่ายขึ้นเป็น

${\displaystyle \Pr(B_{n}=B\mid \theta )={\frac {\Gamma (\theta )\,\theta ^{|B|}}{\Gamma (\theta +n)}}\prod _{b\in B}\Gamma (|b|).}$

หรือเมื่อ${\displaystyle \theta }$มีค่าเป็นศูนย์ และ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \Pr(B_{n}=B\mid \alpha )={\frac {\alpha ^{|B|-1}\,\Gamma (|B|)}{\Gamma (n)}}\prod _{b\in B}{\frac {\Gamma (|b|-\alpha )}{\Gamma (1-\alpha )}}.}$

เช่นเดียวกับที่ผ่านมา ความน่าจะเป็นที่กำหนดให้กับพาร์ติชันใดๆ ขึ้นอยู่กับขนาดของบล็อกเท่านั้น ดังนั้นพาร์ติชันแบบสุ่มจึงสามารถสลับเปลี่ยนได้ในความหมายที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณสมบัติความสอดคล้องยังคงใช้ได้เช่นเดิม โดยอาศัยโครงสร้าง

ถ้า${\displaystyle \alpha =0}$การแจกแจงความน่าจะเป็นของการแบ่งส่วนแบบสุ่มของจำนวนเต็ม${\displaystyle n}$ดังนั้นจึงเกิดการแจกแจงแบบ Ewensที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle \theta }$ใช้ในพันธุศาสตร์ประชากรและทฤษฎีความเป็นกลางแบบเอกภาพของความหลากหลายทางชีวภาพ

เป็นไปได้ที่จะปรับโมเดลเพื่อให้แต่ละจุดข้อมูลไม่เกี่ยวข้องกับคลาสใดคลาสหนึ่งโดยเฉพาะอีกต่อไป (กล่าวคือ เราไม่ได้สร้างพาร์ติชันอีกต่อไป) แต่สามารถเกี่ยวข้องกับคลาสใดๆ ก็ได้ ซึ่งทำให้การเปรียบเทียบโต๊ะในร้านอาหารไม่ชัดเจน จึงเปรียบเทียบกับกระบวนการที่ผู้รับประทานอาหารหลายคนเลือกตัวอย่างจากชุดย่อยของอาหารที่มีให้เลือกมากมายไม่จำกัดในบุฟเฟต์ ความน่าจะเป็นที่ผู้รับประทานอาหารคนใดคนหนึ่งจะเลือกอาหารจานใดจานหนึ่งนั้นเป็นสัดส่วนกับความนิยมของอาหารจานนั้นในหมู่ผู้รับประทานอาหารที่ผ่านมา และนอกจากนี้ผู้รับประทานอาหารอาจเลือกจากอาหารที่ยังไม่ได้ลองด้วย กระบวนการนี้ได้รับการตั้งชื่อว่ากระบวนการบุฟเฟต์แบบอินเดีย และสามารถใช้เพื่ออนุมานคุณลักษณะแฝงในข้อมูลได้^{[ 11 ]}

กระบวนการร้านอาหารจีนมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับกระบวนการ Dirichletและแผนการโถของ Pólyaดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการประยุกต์ใช้สถิติแบบเบย์เซียนรวมถึงวิธีการแบบเบย์เซียนที่ไม่ใช่พาราเมตริก กระบวนการร้านอาหารจีนแบบทั่วไปมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกระบวนการ Pitman–Yorกระบวนการเหล่านี้ถูกนำไปใช้ในแอปพลิเคชันมากมาย รวมถึงการสร้างแบบจำลองข้อความ การจัดกลุ่มข้อมูลไมโครอาร์เรย์ ทางชีวภาพ ^{[ 12 ]}การสร้างแบบจำลองความหลากหลายทางชีวภาพและการสร้างภาพขึ้นใหม่^{[ 13 ] [ 14 ]}

• สูตรการสุ่มตัวอย่างของอีเวนส์
• การยึดติดแบบพิเศษ
• ปริศนาของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับโรงแรมแกรนด์โฮเทล

• หนังสือแนะนำเกี่ยวกับการกระจายแบบ Dirichlet และกระบวนการที่เกี่ยวข้อง โดย Frigyik, Kapila และ Gupta
• การบรรยายโดยไมเคิล ไอ. จอร์แดนเกี่ยวกับโครงการ CRP:
  • http://videolectures.net/icml05_jordan_dpcrp/