ในทางคณิตศาสตร์ระบบพิกัดเชิงขั้วระบุจุด ที่กำหนด บนระนาบโดยใช้ระยะทางและมุมเป็นพิกัด สองตัว ได้แก่ ระยะทาง และ มุม

• ระยะห่างของจุดจากจุดอ้างอิงที่เรียกว่าขั้วและ
• ทิศทางของจุดจากขั้วโลกเมื่อเทียบกับทิศทางของแกนขั้วโลกซึ่ง เป็น รังสีที่ลากจากขั้วโลก

ระยะห่างจากขั้วเรียกว่าพิกัดรัศมีระยะทางรัศมีหรือเรียกง่ายๆ ว่ารัศมีและมุมเรียกว่าพิกัดเชิงมุมมุมขั้วหรือ มุม อะซิมุธ [ ^{1 ] ขั้ว}เปรียบเสมือนจุดกำเนิดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

พิกัดเชิงขั้วเหมาะสมที่สุดในบริบทใดๆ ก็ตามที่ปรากฏการณ์ที่กำลังพิจารณานั้นเกี่ยวข้องกับทิศทางและความยาวจากจุดศูนย์กลางในระนาบ เช่นรูปทรงเกลียวระบบทางกายภาพในระนาบที่มีวัตถุเคลื่อนที่รอบจุดศูนย์กลาง หรือปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นจากจุดศูนย์กลาง มักจะง่ายต่อการจำลองและเข้าใจได้ง่ายกว่าเมื่อใช้พิกัดเชิงขั้ว

ระบบพิกัดเชิงขั้วถูกขยายไปสู่สามมิติในสองวิธี: ระบบพิกัดทรงกระบอกเพิ่มพิกัดระยะทางตัวที่สอง และระบบพิกัดทรงกลมเพิ่มพิกัดเชิงมุมตัวที่สอง

เกรกัวร์ เดอ แซงต์-วินเซนต์และโบนาเวนตูรา คาวาลิเอรีได้นำเสนอแนวคิดของระบบนี้โดยอิสระจากกันในช่วงกลางศตวรรษที่ 17 แม้ว่าคำว่า พิกัดเชิงขั้ว (polar coordinates)จะถูกยกให้เป็นผลงานของเกรโกริโอ ฟอนตานาในศตวรรษที่ 18 ก็ตาม แรงจูงใจเริ่มต้นในการนำระบบพิกัดเชิงขั้วมาใช้คือการศึกษาการเคลื่อนที่แบบวงกลมและ วง โคจร

แนวคิดเรื่องมุมและรัศมีนั้นถูกใช้โดยชนชาติโบราณในช่วงสหัสวรรษแรกก่อนคริสต์ศักราชแล้ว นักดาราศาสตร์ชาวกรีกฮิปปาร์คัส (190–120 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ได้สร้างตาราง ฟังก์ชัน คอร์ดที่ให้ความยาวของคอร์ดสำหรับแต่ละมุม และมีการอ้างอิงถึงการใช้พิกัดเชิงขั้วของเขาในการกำหนดตำแหน่งของดาวฤกษ์^{[ 2 ]}ในหนังสือ On Spiralsนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอาร์คิมิดีสได้อธิบายถึงเกลียวของเขาซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีรัศมีขึ้นอยู่กับมุม อย่างไรก็ตาม งานของชาวกรีกไม่ได้ขยายไปสู่ระบบพิกัดที่สมบูรณ์

ตั้งแต่ศตวรรษที่ 8 เป็นต้นมา นักดาราศาสตร์ได้พัฒนาวิธีการประมาณและคำนวณทิศทางไปยังเมกกะ ( กิบลัต ) และระยะทางจากตำแหน่งใดๆ บนโลก^{[ 3 ]}ตั้งแต่ศตวรรษที่ 9 เป็นต้นมา พวกเขาใช้ตรีโกณมิติเชิงทรง กลม และ วิธี การฉายภาพแผนที่เพื่อกำหนดปริมาณเหล่านี้อย่างแม่นยำ การคำนวณโดยพื้นฐานแล้วคือการแปลงพิกัดขั้วโลกเส้นศูนย์สูตรของเมกกะ (เช่นลองจิจูดและละติจูด ) ไปเป็นพิกัดขั้วโลก (เช่น กิบลัตและระยะทาง) เทียบกับระบบที่มีเส้นเมริเดียนอ้างอิงเป็นวงกลมใหญ่ที่ผ่านตำแหน่งที่กำหนดและขั้วโลกของโลก และแกนขั้วโลกเป็นเส้นที่ผ่านตำแหน่งและจุดตรงข้าม^{[ 4 ]}

มีบันทึกต่างๆ เกี่ยวกับการนำพิกัดเชิงขั้วมาใช้เป็นส่วนหนึ่งของระบบพิกัดอย่างเป็นทางการ ประวัติความเป็นมาทั้งหมดของเรื่องนี้อธิบายไว้ในหนังสือOrigin of Polar Coordinatesของศาสตราจารย์Julian Lowell Coolidge แห่ง มหาวิทยาลัยฮา ร์วาร์ ด นักคณิตศาสตร์จากคณะเยซูอิตGrégoire de Saint-VincentและBonaventura Cavalieri ชาวอิตาลี ได้นำแนวคิดนี้มาใช้โดยอิสระในช่วงกลางศตวรรษที่ 17 Saint-Vincent เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้เป็นการส่วนตัวในปี 1625 และตีพิมพ์ผลงานของเขาในปี 1647 ในขณะที่ Cavalieri ตีพิมพ์ผลงานของเขาในปี 1635 โดยมีฉบับแก้ไขปรากฏในปี 1653 Cavalieri เป็นคนแรกที่ใช้พิกัดเชิงขั้วเพื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ภายในเกลียวอาร์คิมีเดียน ต่อมา นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสBlaise Pascalได้ใช้พิกัดเชิงขั้วเพื่อคำนวณความยาวของส่วนโค้งพาราโบลา^{[ 5 ]}

ในMethod of Fluxions (เขียนในปี 1671 ตีพิมพ์ในปี 1736) เซอร์ไอแซค นิวตัน นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ได้ตรวจสอบการแปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งเขาเรียกว่า "วิธีที่เจ็ด สำหรับเกลียว" และระบบพิกัดอื่นอีกเก้าระบบ^{[ 6 ]}เขาได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ริเริ่มระบบพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบเชิงวิเคราะห์ และเป็นผู้ริเริ่มพิกัดแบบไบโพลาร์ในความหมายที่เข้มงวด^{[ 7 ]}ในวารสารActa Eruditorum (1691) ยาคอบ เบอร์นูลลี นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ได้ใช้ระบบที่มีจุดบนเส้นตรง เรียกว่าขั้วและแกนเชิงขั้วตามลำดับ พิกัดถูกระบุโดยระยะห่างจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้วงานของเบอร์นูลลีขยายไปถึงการคำนวณรัศมีของความโค้งของเส้นโค้งที่แสดงในพิกัดเหล่านี้

คำว่าพิกัดเชิงขั้วได้รับการกล่าวอ้างว่าเป็นผลงานของเกรกอริโอ ฟอนทานาและถูกใช้โดยนักเขียนชาวอิตาลีในศตวรรษที่ 18 คำนี้ปรากฏในภาษาอังกฤษใน งานแปล แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ของลาครัวซ์ โดย จอร์จ พีค็ อก ในปี 1816 ^{[ 8 ] [ 9 ]}อเล็กซิส แคลโรต์เป็นคนแรกที่คิดถึงพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ และเลออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พัฒนาพิกัดเหล่านั้นขึ้นมาจริง ๆ^{[ 5 ]}

พิกัดรัศมีมักจะแสดงด้วยหรือ( โร ) พิกัดเชิงมุมแสดงด้วย( ฟี ) ซึ่งกำหนดโดยมาตรฐานISO 31-11 (ปัจจุบันคือ 80000-2:2019 ) ^{[ 10 ]}หรือ( ทีตา ) ในเอกสารทางคณิตศาสตร์บ่อยครั้ง^{[ 11 ]}${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \theta }$

มุมในสัญกรณ์เชิงขั้วโดยทั่วไปจะแสดงเป็นองศาหรือเรเดียน (2 πเรเดียนเท่ากับ 360°) โดยทั่วไปแล้วองศาจะใช้ในการนำทาง การสำรวจและสาขาวิชาประยุกต์หลายสาขา ในขณะที่เรเดียนมักใช้ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ เชิง คณิตศาสตร์^{[ 12 ]}

มุมเชิงขั้วถูกกำหนดให้เริ่มต้นที่ 0° จากทิศทางอ้างอิงและจะเพิ่มขึ้นสำหรับการหมุนในทิศทางตามเข็มนาฬิกา (↻) หรือทวนเข็มนาฬิกา (↺) ตัวอย่างเช่น ในทางคณิตศาสตร์ ทิศทางอ้างอิงมักจะถูกวาดเป็นรังสีจากขั้วโลกในแนวนอนไปทางขวา และมุมเชิงขั้วจะเพิ่มขึ้นเป็นมุมบวกสำหรับการหมุนทวนเข็มนาฬิกา ในขณะที่ในการนำทาง ( ทิศทาง , ทิศทางเดินเรือ ) ทิศทาง 0° จะถูกวาดในแนวตั้งขึ้นไป และมุมจะเพิ่มขึ้นสำหรับการหมุนตามเข็มนาฬิกา มุมเชิงขั้วจะลดลงไปสู่ค่าลบสำหรับการหมุนในทิศทางตรงกันข้ามตามลำดับ ${\displaystyle \varphi }$

การเพิ่มจำนวนรอบ เต็ม (360°) ใดๆ ให้กับพิกัดเชิงมุมจะไม่เปลี่ยนแปลงทิศทางที่สอดคล้องกัน ในทำนองเดียวกัน พิกัดเชิงขั้วใดๆ ก็เหมือนกับพิกัดที่มีส่วนประกอบรัศมีเป็นลบและทิศทางตรงกันข้าม (การเพิ่ม 180° ให้กับมุมเชิงขั้ว) ดังนั้น จุดเดียวกันสามารถแสดงได้ด้วยพิกัดเชิงขั้วที่แตกต่างกันจำนวนอนันต์และโดยที่เป็นจำนวนเต็ม ใด ๆ^{[ 13 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ขั้วเองก็สามารถแสดงได้เป็นสำหรับมุมใดๆ^{[ 14 ]}${\displaystyle (r,\varphi )}$${\displaystyle (r,\varphi +n\times 360^{\circ })}$${\displaystyle (-r,\varphi +180^{\circ }+n\times 360^{\circ })=(-r,\varphi +(2n+1)\times 180^{\circ })}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (0,\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$

^{ในกรณีที่จำเป็นต้องมีการแสดง แทนที่}ไม่ซ้ำกันสำหรับจุดใดๆ นอกเหนือจากขั้ว มักจะจำกัดไว้ที่จำนวนบวก ( ) และช่วงหรือช่วงซึ่งในหน่วยเรเดียนคือหรือ^{[ 15} ] ข้อตกลงอีกประการหนึ่ง โดยอ้างอิงถึงโคโดเมน ปกติ ของฟังก์ชัน arctanคือการอนุญาตให้ค่าจริงที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของส่วนประกอบรัศมีและจำกัดมุมขั้วไว้ที่ ในทุกกรณี จะต้องเลือกมุมอะซิมุธที่ไม่ซ้ำกันสำหรับขั้วเช่น ${\displaystyle r}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle [0,360^{\circ })}$${\displaystyle (-180^{\circ },180^{\circ }]}$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle \varphi =0}$

พิกัดเชิงขั้วและสามารถแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของไซน์และโคไซน์ตามลำดับ: ^{[ 11 ]}${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ,\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

พิกัดคาร์ทีเซียนและสามารถแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้วและได้ โดยที่และอยู่ในช่วงโดย: ^{[ 16 ]} โดยที่atan2เป็นรูปแบบทั่วไปของ ฟังก์ชัน arctangentที่กำหนดเป็น ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &=\operatorname {atan2} (y,x),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}$$

หากคำนวณค่าr ก่อนตามวิธีข้างต้น สูตรสำหรับ φ นี้ สามารถเขียนได้ง่ายขึ้นโดยใช้ ฟังก์ชัน arccosine : $${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}$$

ภาพประกอบแสดงจำนวนเชิงซ้อนzที่พล็อตลงบนระนาบเชิงซ้อน

ภาพประกอบแสดงจำนวนเชิงซ้อนที่พล็อตบนระนาบเชิงซ้อนโดยใช้สูตรของออยเลอร์

จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยจำนวนจริงและรวมถึงจำนวนจินตนาการซึ่งสามารถเขียนได้เป็น จำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวนแสดงถึงจุดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสามารถแสดงได้โดยการระบุพิกัดคาร์ทีเซียนของจุด (เรียกว่ารูปแบบสี่เหลี่ยมหรือคาร์ทีเซียน) หรือพิกัดเชิงขั้วของจุด (เรียกว่ารูปแบบเชิงขั้ว) ^{[ 17 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle z=x+iy}$

ในรูปแบบเชิงขั้ว พิกัดระยะทางและมุมมักจะเรียกว่าขนาดของจำนวนหรือโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ตามลำดับ ซึ่งสามารถหาได้จากจำนวนเชิงซ้อนที่แสดงในรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น ในรูปแบบเชิงขั้วโดยการแทนที่และ: ^{[ 17 ]} นิพจน์สุดท้ายได้มาจากสูตรของออยเลอร์โดยที่คือจำนวนของออยเลอร์ประมาณ 2.718 และ—แสดงในหน่วยเรเดียน— คือค่าหลักของฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อนarg ที่ ใช้กับ^{[ 18 ]}ในการแปลงระหว่างรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน สามารถใช้สูตรการแปลงที่ให้ไว้ข้างต้นได้ เทียบเท่ากับcis —ฟังก์ชันที่แสดงถึง—และสัญลักษณ์มุม : ${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle x=r\cos \varphi }$${\displaystyle y=r\sin \varphi }$$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }.}$$${\displaystyle e}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle \cos \varphi +i\sin \varphi }$$${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi =r\angle \varphi .}$$

สำหรับการดำเนินการคูณ หารยกกำลังและถอดราก ของจำนวนเชิงซ้อน โดยทั่วไป แล้วการทำงานกับจำนวนเชิงซ้อนที่แสดงในรูปพิกัดเชิงขั้วจะง่ายกว่าในรูปพิกัดสี่เหลี่ยม จากกฎการยกกำลัง:

• การคูณ:${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}$
• แผนก:${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}$
• การยกกำลังหรือสูตรของเดอมัววร์ :${\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}$
• การถอนราก หรือรากหลัก:${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}}$

สมการที่กำหนดเส้นโค้งระนาบที่แสดงในพิกัดเชิงขั้วเรียกว่าสมการเชิงขั้วในหลายกรณี สมการดังกล่าวสามารถระบุได้ง่ายๆ โดยการกำหนดrเป็นฟังก์ชันของφเส้นโค้งที่ได้จะประกอบด้วยจุดในรูปแบบ ( r ( φ ),  φ ) และสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงขั้วrโปรดสังเกตว่า ในทางตรงกันข้ามกับพิกัดคาร์ทีเซียน ตัวแปรอิสระφคือ รายการ ที่สองในคู่ ลำดับ

รูปแบบสมมาตร ที่แตกต่างกัน สามารถอนุมานได้จากสมการของฟังก์ชันเชิงขั้วr :

• ถ้าr (− φ ) = r ( φ )เส้นโค้งจะสมมาตรกับรังสีแนวนอน (0°/180°)
• ถ้าr ( π − φ ) = r ( φ )มันจะสมมาตรเกี่ยวกับรังสีแนวตั้ง (90°/270°):
• ถ้าr ( φ − α) = r ( φ )มันจะสมมาตรแบบหมุนตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาโดยมีมุม α รอบขั้ว

เนื่องจากระบบพิกัดเชิงขั้วมีลักษณะเป็นวงกลม เส้นโค้งหลายเส้นจึงสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงขั้วที่ค่อนข้างง่าย ในขณะที่รูปแบบคาร์ทีเซียนนั้นซับซ้อนกว่ามาก เส้นโค้งที่รู้จักกันดีที่สุด ได้แก่ เส้นโค้งกุหลาบเชิงขั้ว เส้นโค้งเกลียวอาร์คิมีเดียน เส้นโค้งเลมนิสเคท เส้น โค้งลิมาซงและ เส้น โค้ง หัวใจ

สำหรับวงกลม เส้นตรง และวงกลมแสดงพิกัดเชิงขั้วด้านล่างนั้น เป็นที่เข้าใจได้ว่าไม่มีข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับขอบเขตและช่วงของเส้นโค้ง

สมการทั่วไปของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่และรัศมีaคือ ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$$${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$$

^{สามารถลดรูปได้หลายวิธีเพื่อให้สอดคล้องกับกรณีที่เฉพาะ เจาะจง}มากขึ้น เช่น สมการ สำหรับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ขั้วและรัศมีa ^{[ 19} ]$${\displaystyle r(\varphi )=a}$$

เมื่อr ₀ = aหรือจุดกำเนิดอยู่บนวงกลม สมการจะกลายเป็น $${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$$

โดยทั่วไปแล้ว สมการสามารถแก้หาค่าr ได้ ซึ่งจะได้ ผลลัพธ์เป็น คำตอบที่มีเครื่องหมายลบอยู่หน้าเครื่องหมายรากที่สองจะให้เส้นโค้งเดียวกัน $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}$$

ภาคตัดกรวยที่มีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ขั้วและอีกจุดหนึ่งอยู่บนเส้นตรง 0° (เพื่อให้แกนหลัก ของภาคตัดกรวย อยู่ตามแนวแกนขั้ว) กำหนดโดย: โดยที่คือค่าความเยื้องศูนย์และคือค่ากึ่งลาตัสเรกตัม (ระยะตั้งฉากที่จุดโฟกัสจากแกนหลักไปยังเส้นโค้ง) ถ้าสมการนี้กำหนดไฮเปอร์โบลาถ้าจะกำหนดพาราโบลาและถ้าจะกำหนดวงรีกรณีพิเศษของวงรีคือวงกลมที่มีรัศมี $${\displaystyle r={\ell \over {1-\epsilon \cos \varphi }}}$$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \epsilon >1}$${\displaystyle \epsilon =1}$${\displaystyle \epsilon <1}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\displaystyle \ell }$

เส้นรัศมี (เส้นที่ลากผ่านขั้วโลก) แสดงด้วยสมการ โดยที่คือมุมเงยของเส้น นั่นคือโดยที่คือความชันของเส้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นที่ไม่ใช่เส้นรัศมีที่ตัดกับเส้นรัศมี ใน แนวตั้งฉากที่จุดมีสมการ $${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varphi =\arctan m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \varphi =\gamma }$${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$$${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จุดที่เส้นสัมผัสตัดกับวงกลมสมมติที่มีรัศมี${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$${\displaystyle r_{0}}$

ดอกกุหลาบโพลาร์เป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่มีลักษณะคล้ายดอกไม้กลีบ และสามารถแสดงได้เป็นสมการโพลาร์สองแบบที่แตกต่างกัน: ^{[ 20 ]} รูปแบบโคไซน์และไซน์ไม่เท่ากัน แต่ความแตกต่างเป็นเพียงการหมุนของเส้นโค้งที่ได้ ทั้งสองเป็นกรณีพิเศษของr ( φ ) = a cos( kφ + γ )โดยที่γกำหนดเฟสและเทียบเท่ากับการหมุน ถ้าkเป็นจำนวนเต็ม สมการเหล่านี้จะสร้าง ดอกกุหลาบที่มี kกลีบ ถ้าkเป็นเลขคี่หรือดอกกุหลาบที่มี 2k กลีบถ้าkเป็นเลขคู่^{[ 21 ]}ถ้าkเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อาจเกิดรูปร่างคล้ายดอกกุหลาบได้ แต่มีกลีบที่ซ้อนทับกัน โปรดทราบว่าสมการเหล่านี้ไม่เคยกำหนดดอกกุหลาบที่มี 2, 6, 10, 14 กลีบ ฯลฯ ตัวแปรa แทนความยาวหรือแอมพลิจูดของกลีบดอกกุหลาบโดยตรง ในขณะที่kเกี่ยวข้องกับความถี่เชิงพื้นที่ ของ กลีบ $${\displaystyle {\begin{aligned}r(\varphi )&=a\sin \left(k\varphi \right),\\r(\varphi )&=a\cos \left(k\varphi \right).\end{aligned}}}$$

เกลียวอาร์คิมีดีสเป็นเกลียวที่อาร์คิมีดีส ค้นพบ ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยสมการเชิงขั้วอย่างง่าย โดยแสดงด้วยสมการ การเปลี่ยนค่าพารามิเตอร์aจะทำให้เกลียวหมุนไป ในขณะที่bควบคุมระยะห่างระหว่างแขน ซึ่งสำหรับเกลียวที่กำหนดจะมีค่าคงที่เสมอ เกลียวอาร์คิมีดีสมีแขนสองแขน แขนหนึ่งสำหรับφ > 0และอีกแขนหนึ่งสำหรับφ < 0แขนทั้งสองเชื่อมต่อกันอย่างราบเรียบที่ขั้ว ถ้าa = 0การสะท้อนภาพของแขนข้างหนึ่งผ่านเส้น 90°/270° จะได้แขนอีกข้างหนึ่ง เส้นโค้งนี้มีความโดดเด่นในฐานะที่เป็นหนึ่งในเส้นโค้งแรกๆ ต่อจากภาคตัดกรวยที่ได้รับการอธิบายในตำราทางคณิตศาสตร์ และเป็นตัวอย่างสำคัญของเส้นโค้งที่นิยามได้ดีที่สุดด้วยสมการเชิงขั้ว $${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$$

ควอดราทริกซ์ในควอดแรนต์แรกคือเส้นโค้งที่มีขนาดเท่ากับเศษส่วนของวงกลมหนึ่งในสี่ส่วนที่มีรัศมีกำหนดโดยรัศมีที่ผ่านจุดบนเส้นโค้ง เนื่องจากเศษส่วนนี้คือ: ^{[ 22 ]}เส้นโค้งจึงกำหนดโดย${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y=\rho \sin \theta }$${\displaystyle r}$${\textstyle {\frac {2r\theta }{\pi }}}$$${\displaystyle \rho (\theta )={\frac {2r\theta }{\pi \sin \theta }}.}$$

กราฟของฟังก์ชันเชิงขั้วสองฟังก์ชันและมีจุดตัดที่เป็นไปได้สามประเภท: ${\displaystyle r=f(\theta )}$${\displaystyle r=g(\theta )}$

1. ในจุดกำเนิด ถ้าสมการและมีอย่างน้อยหนึ่งคำตอบต่อสมการ${\displaystyle f(\theta )=0}$${\displaystyle g(\theta )=0}$
2. จุดทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการโดยที่เป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$${\displaystyle k}$
3. จุดทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการโดยที่เป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$${\displaystyle k}$

แคลคูลัสสามารถนำไปใช้กับสมการที่แสดงในพิกัดเชิงขั้วได้^{[ 23 ] [ 24 ]}

ในส่วนนี้ พิกัดเชิงมุมφจะแสดงในหน่วยเรเดียน ซึ่งเป็นหน่วยที่นิยมใช้กันโดยทั่วไปในการคำนวณแคลคูลัส

โดยใช้x = r cos φและy = r sin φเราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์ในพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้วได้ สำหรับฟังก์ชันu ( x , y ) ที่กำหนดให้ จะได้ว่า (โดยการคำนวณอนุพันธ์รวม ) หรือ $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น เราจึงได้สูตรดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

โดยใช้การแปลงพิกัดผกผัน ความสัมพันธ์ผกผันที่คล้ายคลึงกันสามารถหาได้ระหว่างอนุพันธ์ เมื่อกำหนดฟังก์ชันu ( r , φ ) แล้ว จะได้ว่า หรือ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น เราจึงได้สูตรต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

ในการหาค่าความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งเชิงขั้วr ( φ ) ณ จุดใดๆ เส้นโค้งนั้นจะต้องถูกแสดงออกมาในรูปของระบบสมการพาราเมตริกก่อน $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

เมื่อทำการหาอนุพันธ์ของสมการทั้งสองเทียบกับφจะได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}$$

การหารสมการที่สองด้วยสมการแรกจะให้ค่าความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุด: ^{[ 25 ]}${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

สำหรับสูตรที่มีประโยชน์อื่นๆ เช่น ไดเวอร์เจนซ์ เกรเดียนต์ และลาปลาเซียนในพิกัดเชิงขั้ว โปรดดูที่ พิกัดโค้ง

ความยาวส่วนโค้ง (ความยาวของส่วนของเส้นตรง) ที่กำหนดโดยฟังก์ชันเชิงขั้ว หาได้จากการอินทิเกรตเหนือเส้นโค้งr ( φ ) ให้Lแทนความยาวนี้ตามเส้นโค้งที่เริ่มต้นจากจุดAไปยังจุดBโดยที่จุดเหล่านี้สอดคล้องกับφ = aและφ = bโดยที่0 < b − a < 2π ความยาวของLหาได้จากอินทิกรัลต่อไปนี้ $${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }$$

ให้Rแทนบริเวณที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งr ( φ ) และรังสีφ = aและφ = bโดยที่0 < b − a ≤ 2π แล้วพื้นที่ของRคือ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .}$$

ผลลัพธ์นี้สามารถหาได้ดังต่อไปนี้ ขั้นแรก ช่วง[ a , b ]จะถูกแบ่งออกเป็นnช่วงย่อย โดยที่nเป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น Δφ ซึ่งเป็นขนาดของมุมในแต่ละช่วงย่อย จะเท่ากับb − a (ขนาดของมุมทั้งหมดของช่วง) หารด้วยnซึ่งเป็นจำนวนช่วงย่อย สำหรับแต่ละช่วงย่อยi = 1, 2, ..., nให้φiเป็นจุดกึ่งกลางของช่วงย่อย และสร้างส่วนของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ขั้ว รัศมีr ( φi ₎มุมศูนย์กลาง Δφ และ ความ ยาวส่วนโค้งr ( φi ₎ Δφ พื้นที่ของส่วนของ _{วงกลม} ที่สร้างขึ้นแต่ละ ส่วนจึงเท่ากับ ดังนั้น พื้นที่ทั้งหมดของส่วนของวงกลมทั้งหมดคือ $${\displaystyle \pi \left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$$

เมื่อจำนวนช่วงย่อยnเพิ่มขึ้น การประมาณพื้นที่ก็จะดีขึ้น เมื่อn → ∞ผลรวมจะกลายเป็นผลรวมรีมันน์สำหรับปริพันธ์ข้างต้น

อุปกรณ์เชิงกลที่ใช้คำนวณปริพันธ์พื้นที่คือแพลนิมิเตอร์ซึ่งวัดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตบนระนาบโดยการลากเส้นตามรูปทรงนั้น: วิธีนี้จำลองการหาปริพันธ์ในพิกัดเชิงขั้วโดยการเพิ่มข้อต่อเพื่อให้กลไกเชื่อมโยง 2 องค์ประกอบนั้น สอดคล้องกับทฤษฎีบทของกรีนโดยแปลงปริพันธ์เชิงขั้วกำลังสองให้เป็นปริพันธ์เชิงเส้น

เมื่อใช้พิกัดคาร์ทีเซียนพื้นที่ขนาดเล็กมากสามารถคำนวณได้เป็นdA = dx dyกฎการแทนที่สำหรับอินทิกรัลหลายตัวระบุว่า เมื่อใช้พิกัดอื่น จะต้องพิจารณาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ จาโคเบียนของสูตรการแปลงพิกัดด้วย $${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$$

ดังนั้น พื้นที่ในพิกัดเชิงขั้วจึงสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$$

ฟังก์ชันที่กำหนดในพิกัดเชิงขั้ว สามารถหาปริพันธ์ได้ดังนี้: $${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{r_{1}(\varphi _{1})}^{r_{2}(\varphi _{2})}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$$

ในที่นี้Rคือบริเวณเดียวกันกับข้างต้น กล่าวคือ บริเวณที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งr ( φ ) และรังสีφ = aและφ = bสูตรสำหรับพื้นที่ของRได้มาจากการกำหนดให้fเท่ากับ 1 เสมอ

การประยุกต์ใช้ผลลัพธ์นี้ที่น่าประหลาดใจยิ่งกว่านั้นก็คืออินทิกรัลแบบเกาส์เซียน : $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$$

แคลคูลัสเวกเตอร์สามารถนำไปใช้กับพิกัดเชิงขั้วได้เช่นกัน สำหรับการเคลื่อนที่ในระนาบ ให้เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง( r cos ( φ ), r sin( φ ))โดยที่rและφขึ้นอยู่กับเวลาt${\displaystyle \mathbf {r} }$

เรากำหนดฐานออร์โทนอร์มอลที่มีเวกเตอร์หน่วยสามตัว ได้แก่ทิศทางรัศมี ทิศทางตามขวาง และทิศทางตั้งฉากทิศทางรัศมีถูกกำหนดโดยการทำให้เป็นเวกเตอร์ หน่วย : ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))}$$ทิศทางรัศมีและทิศทางความเร็วครอบคลุมระนาบการเคลื่อนที่ซึ่งทิศทางตั้งฉากกับระนาบ นั้น แสดงด้วยสัญลักษณ์: ทิศทางตามขวางตั้งฉากกับทั้งทิศทางรัศมีและทิศทางตั้งฉาก: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}={\hat {\mathbf {v} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}.}$$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

จากนั้น ตำแหน่งและความเร็วสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้ โดยอัตราเชิงมุมจะต้องอยู่ในหน่วยเรเดียนต่อวินาที (หรือพหุคูณของหน่วยนั้น) ไม่ใช่องศาต่อวินาที ความเร่งสามารถแสดงได้ดังนี้: สมการนี้ได้มาจากการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของเวกเตอร์ฐานหน่วย $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\[1.5ex]{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\[1.5ex]\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\[1ex]&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$$

สำหรับเส้นโค้งใน 2 มิติ โดยที่พารามิเตอร์คือสมการก่อนหน้านี้ จะลดรูปเหลือดังนี้: ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r(\theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{r}\\[1ex]{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\\[1ex]{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+2{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\end{aligned}}}$$

บางครั้ง คำนี้เรียกว่าความเร่งสู่ศูนย์กลางและคำนี้เรียกว่าความเร่งโคริโอลิสตัวอย่างเช่น ดู Shankar ^{[ 26 ]}คำศัพท์เหล่านี้ซึ่งปรากฏขึ้นเมื่อแสดงความเร่งในพิกัดเชิงขั้ว เป็นผลทางคณิตศาสตร์ของการหาอนุพันธ์ พวกมันปรากฏขึ้นทุกครั้งที่มีการใช้พิกัดเชิงขั้ว ในพลศาสตร์ของอนุภาคระนาบ ความเร่งเหล่านี้ปรากฏขึ้นเมื่อตั้งกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สอง ของนิวตัน ในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้ ในที่นี้ คำศัพท์พิเศษเหล่านี้มักเรียกว่าแรงสมมติสมมติเพราะเป็นเพียงผลลัพธ์ของการเปลี่ยนแปลงกรอบพิกัดเท่านั้น นั่นไม่ได้หมายความว่าพวกมันไม่มีอยู่จริง แต่พวกมันมีอยู่เฉพาะในกรอบที่หมุนได้เท่านั้น ${\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}}$${\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$

เวกเตอร์ตำแหน่งrจะชี้ออกจากจุดกำเนิดในแนวรัศมีเสมอ

เวกเตอร์ความเร็วvจะสัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่เสมอ

เวกเตอร์ความเร่งaไม่ขนานกับการเคลื่อนที่ในแนวรัศมี แต่เบี่ยงเบนไปจากทิศทางของความเร่งเชิงมุมและความเร่งโคริโอลิส และไม่สัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่ แต่เบี่ยงเบนไปจากทิศทางของความเร่งสู่ศูนย์กลางและความเร่งในแนวรัศมี

เวกเตอร์จลศาสตร์ในพิกัดเชิงขั้วระนาบ โปรดสังเกตว่าการตั้งค่านี้ไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะในปริภูมิสองมิติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระนาบในมิติที่สูงกว่าด้วย

สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ในระนาบ แนวทางหนึ่งในการกำหนดความหมายทางกายภาพให้กับเงื่อนไขเหล่านี้ขึ้นอยู่กับแนวคิดของกรอบอ้างอิงร่วมหมุนทันที^{[ 27 ]} ในการกำหนด กรอบอ้างอิงร่วมหมุนขั้นแรกจะเลือกจุดกำเนิดซึ่งกำหนดระยะทางr ( t ) ไปยังอนุภาค จากนั้น ตั้งแกนหมุน ที่ตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ของอนุภาคและผ่านจุดกำเนิดนี้ ต่อมา ณ เวลา t ที่เลือก อัตราเชิงมุมของกรอบอ้างอิงร่วมหมุน Ω จะถูกทำให้ตรงกับอัตราการหมุนของอนุภาคเกี่ยวกับแกนนี้dφ / dtต่อไป เงื่อนไขในการเร่งความเร็วในกรอบอ้างอิงเฉื่อยจะสัมพันธ์กับเงื่อนไขในกรอบอ้างอิงร่วมหมุน

ให้ตำแหน่งของอนุภาคในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็น ( r ( t ), φ ( t )) และในกรอบอ้างอิงร่วมหมุนเป็น ( r ′(t), φ ′(t)) เนื่องจากกรอบอ้างอิงร่วมหมุนด้วยอัตราเดียวกับอนุภาค ดังนั้นdφ ′/ dt = 0 แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเสมือนในกรอบอ้างอิงร่วมหมุนคือmr Ω ²ซึ่งมีทิศทางออกไปในแนวรัศมี ความเร็วของอนุภาคในกรอบอ้างอิงร่วมหมุนก็มีทิศทางออกไปในแนวรัศมีเช่นกัน เพราะdφ ′/ dt = 0 ดังนั้น แรงโคริโอลิสเสมือนจึงมีค่าเท่ากับ −2 m ( dr / dt )Ω ซึ่งมีทิศทางที่φ เพิ่มขึ้น เท่านั้น ดังนั้น เมื่อใช้แรงเหล่านี้ในกฎข้อที่สองของนิวตัน เราจะได้ว่า: โดยที่จุดเหนือตัวอักษรแทนอนุพันธ์เทียบกับเวลา และFคือแรงจริงสุทธิ (ตรงข้ามกับแรงเสมือน) ในแง่ของส่วนประกอบ สมการเวกเตอร์นี้จะกลายเป็น: ซึ่งสามารถนำไปเปรียบเทียบกับสมการสำหรับกรอบอ้างอิงเฉื่อยได้: $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {F} _{\text{cf}}+\mathbf {F} _{\text{Cor}}=m{\ddot {\mathbf {r} }}\,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}$$

การเปรียบเทียบนี้ บวกกับการตระหนักว่าตามนิยามของกรอบอ้างอิงร่วมที่เวลาtจะมีอัตราการหมุน Ω = dφ / dtแสดงให้เห็นว่าเราสามารถตีความพจน์ในความเร่ง (คูณด้วยมวลของอนุภาค) ที่พบในกรอบอ้างอิงเฉื่อยได้ว่าเป็นค่าลบของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางและแรงโคริโอลิสที่จะพบได้ในกรอบอ้างอิงร่วมที่ไม่เฉื่อย ณ ขณะนั้น

สำหรับการเคลื่อนที่ทั่วไปของอนุภาค (ตรงข้ามกับการเคลื่อนที่แบบวงกลมอย่างง่าย) แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางและแรงโคริโอลิสในกรอบอ้างอิงของอนุภาค มักจะอ้างอิงถึงวงกลมสัมผัส ชั่วขณะ ของการเคลื่อนที่นั้น ไม่ใช่จุดศูนย์กลางคงที่ของพิกัดเชิงขั้ว สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่ แรงสู่ศูนย์กลาง

ในศัพท์ทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ สมัยใหม่ พิกัดเชิงขั้วให้แผนภูมิพิกัดสำหรับแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้R ² \ {(0,0)}ซึ่งเป็นระนาบที่ลบจุดกำเนิด ในพิกัดเหล่านี้เทนเซอร์เมตริก แบบยุคลิด จะกำหนดโดยซึ่งสามารถเห็นได้จากสูตรการเปลี่ยนตัวแปรสำหรับเทนเซอร์เมตริก หรือโดยการคำนวณรูปแบบเชิงอนุพันธ์dx , dyผ่านอนุพันธ์ภายนอกของรูปแบบ 0 x = r cos( θ ) , y = r sin( θ )และแทนที่ลงในเทนเซอร์เมตริกแบบยุคลิด ds ² = dx ² + dy ²$${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$

กรอบออร์โทนอร์มอล ที่สัมพันธ์กับเมตริกนี้กำหนดโดยโดยมีโคเฟรมคู่การเชื่อมต่อรูปแบบที่สัมพันธ์กับกรอบนี้และการเชื่อมต่อ Levi-Civitaกำหนดโดยเมทริกซ์สมมาตรเฉียงของ 1-ฟอร์มดังนั้นรูปแบบความโค้งΩ = dω + ω ∧ ωจึงเป็นศูนย์ ดังนั้น ตามที่คาดไว้ ระนาบที่ถูกเจาะจึงเป็น แมนิโฟล ด์ แบนราบ$${\displaystyle e_{r}={\frac {\partial }{\partial r}},\quad e_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},}$$$${\displaystyle e^{r}=dr,\quad e^{\theta }=rd\theta .}$$$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}={\begin{pmatrix}0&-d\theta \\d\theta &0\end{pmatrix}}}$$

ระบบพิกัดเชิงขั้วถูกขยายไปสู่สามมิติด้วยระบบพิกัดสองแบบที่แตกต่างกัน คือ ระบบ พิกัด ทรงกระบอกและระบบพิกัดทรงกลมซึ่งทั้งสองระบบนี้รวมถึงพิกัดเชิงขั้วสองมิติหรือระนาบเป็นส่วนย่อย โดยพื้นฐานแล้ว ระบบพิกัดทรงกระบอกขยายพิกัดเชิงขั้วโดยการเพิ่มพิกัดระยะทางเพิ่มเติม ในขณะที่ระบบพิกัดทรงกลมเพิ่มพิกัดเชิงมุมเพิ่มเติมแทน

ระบบพิกัดทรงกระบอกเป็นระบบพิกัดที่ต่อยอดมาจากระบบพิกัดเชิงขั้วสองมิติ โดยเพิ่มพิกัดที่สามซึ่งวัดความสูงของจุดเหนือระนาบ คล้ายกับการขยายระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ไปสู่สามมิติ พิกัดที่สามนี้ใช้สัญลักษณ์ ทำให้มีพิกัดทรงกระบอกสามพิกัดคือ ดังนั้น พิกัดทรงกระบอกสามพิกัดสามารถแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนได้โดยใช้สูตร ${\displaystyle z}$${\displaystyle (r,\theta ,z)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z.\end{aligned}}}$$

พิกัดเชิงขั้วยังสามารถขยายเป็นสามมิติได้โดยใช้พิกัด (ρ, φ, θ) โดยที่ ρ คือระยะห่างจากขั้วโลก φ คือมุมจากแกน z (เรียกว่าโคลาติจูดหรือซีเนท และวัดจาก 0 ถึง 180°) และ θ คือมุมจากแกน x (เช่นเดียวกับในพิกัดเชิงขั้ว) ระบบพิกัดนี้เรียกว่าระบบพิกัดทรงกลมซึ่งคล้ายกับ ระบบ ละติจูดและลองจิจูดที่ใช้สำหรับโลก โดยที่ละติจูด δ เป็นส่วนเติมเต็มของ φ ซึ่งกำหนดโดย δ = 90° − φ และลองจิจูดlวัดโดยl = θ − 180° ^{[ 28 ]}

พิกัดทรงกลมทั้งสามจะถูกแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \varphi \,\cos \theta \\y&=\rho \,\sin \varphi \,\sin \theta \\z&=\rho \,\cos \varphi .\end{aligned}}}$

พิกัดเชิงขั้วเป็นระบบสองมิติ ดังนั้นจึงสามารถใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ตำแหน่งของจุดอยู่บนระนาบสองมิติเดียวกันเท่านั้น พิกัดเชิงขั้วเหมาะสมที่สุดในบริบทใดๆ ก็ตามที่ปรากฏการณ์ที่กำลังพิจารณามีความสัมพันธ์โดยตรงกับทิศทางและความยาวจากจุดศูนย์กลาง ตัวอย่างเช่น ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นว่าสมการเชิงขั้วพื้นฐานเพียงพอที่จะกำหนดเส้นโค้ง เช่น เกลียวอาร์คิมีดีส ซึ่งสมการในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะซับซ้อนกว่ามาก ยิ่งไปกว่านั้น ระบบทางฟิสิกส์หลายระบบ เช่น ระบบที่เกี่ยวข้องกับวัตถุที่เคลื่อนที่รอบจุดศูนย์กลาง หรือปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นจากจุดศูนย์กลางนั้น ง่ายต่อการจำลองและเข้าใจได้ง่ายกว่าเมื่อใช้พิกัดเชิงขั้ว แรงจูงใจเริ่มต้นในการนำระบบพิกัดเชิงขั้วมาใช้คือการศึกษา การเคลื่อนที่ แบบวงกลมและการเคลื่อนที่ในวงโคจร

พิกัดเชิงขั้วมักใช้ในการนำทางเนื่องจากสามารถระบุจุดหมายปลายทางหรือทิศทางการเดินทางเป็นมุมและระยะทางจากวัตถุที่กำลังพิจารณาได้ ตัวอย่างเช่นเครื่องบินใช้พิกัดเชิงขั้วที่ดัดแปลงเล็กน้อยสำหรับการนำทาง ในระบบนี้ ซึ่งเป็นระบบที่ใช้กันโดยทั่วไปสำหรับการนำทางทุกประเภท รังสี 0° มักเรียกว่าหัว 360 และมุมจะต่อเนื่องไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา แทนที่จะเป็นทวนเข็มนาฬิกา เหมือนในระบบทางคณิตศาสตร์ หัว 360 สอดคล้องกับทิศเหนือแม่เหล็กในขณะที่หัว 90, 180 และ 270 สอดคล้องกับทิศตะวันออก ทิศใต้ และทิศตะวันตกแม่เหล็ก ตามลำดับ^{[ 29 ]}ดังนั้น เครื่องบินที่เดินทาง 5 ไมล์ทะเลไปทางทิศตะวันออก จะเดินทาง 5 หน่วยที่หัว 90 (อ่านว่าศูนย์-เก้า-ศูนย์โดยการควบคุมการจราจรทางอากาศ ) ^{[ 30 ]}

ระบบที่มีสมมาตรแบบรัศมีเป็นระบบที่เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการใช้ระบบพิกัดเชิงขั้ว โดยมีจุดศูนย์กลางเป็นขั้ว ตัวอย่างที่สำคัญของการใช้งานนี้คือสมการการไหลของน้ำใต้ดินเมื่อนำไปใช้กับบ่อที่มีสมมาตรแบบรัศมี ระบบที่มีแรงในแนวรัศมีก็เป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับการใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วเช่นกัน ระบบเหล่านี้รวมถึงสนามโน้มถ่วงซึ่งเป็นไปตามกฎกำลังสองผกผันรวมทั้งระบบที่มีแหล่งกำเนิดแบบจุดเช่นเสาอากาศวิทยุ

ระบบที่ไม่สมมาตรตามรัศมีอาจสร้างแบบจำลองด้วยพิกัดเชิงขั้วได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่นรูปแบบการรับเสียงของไมโครโฟนแสดงให้เห็นถึงการตอบสนองตามสัดส่วนต่อเสียงที่เข้ามาจากทิศทางที่กำหนด และรูปแบบเหล่านี้สามารถแสดงเป็นเส้นโค้งเชิงขั้วได้ เส้นโค้งสำหรับไมโครโฟนแบบคาร์ดิออยด์มาตรฐาน ซึ่งเป็นไมโครโฟนแบบทิศทางเดียวที่พบได้บ่อยที่สุด สามารถแสดงเป็นr = 0.5 + 0.5sin( ϕ )ที่ความถี่ออกแบบเป้าหมาย^{[ 31 ]}รูปแบบจะเปลี่ยนไปสู่การรับเสียงแบบรอบทิศทางที่ความถี่ต่ำกว่า

• การหมุน 2 มิติ
• พิกัดโค้ง
• รายการการแปลงพิกัดทั่วไป
• พิกัดเชิงขั้วแบบลอการิทึม
• การสลายตัวแบบโพลาร์
• วงกลมหน่วย

เว็บไซต์ Wikibook Calculusมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: การอินทิเกรตเชิงขั้ว

• "พิกัดเชิงขั้ว" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• โปรแกรมแปลงพิกัด — แปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้ว พิกัดคาร์ทีเซียน และพิกัดทรงกลม
• การสาธิตแบบไดนามิกของระบบพิกัดเชิงขั้ว