แบบจำลอง XY แบบคลาสสิก

แบบจำลอง XY แบบคลาสสิก (บางครั้งเรียกว่าแบบจำลองโรเตอร์ ( โรเตอร์เตอร์ ) แบบคลาสสิก หรือแบบจำลอง O(2) ) เป็นแบบจำลองแลตติสของกลศาสตร์สถิติ โดยทั่วไป แบบจำลอง XY สามารถมองได้ว่าเป็น แบบจำลองเวกเตอร์nของ Stanley ^{[ 1 ]}สำหรับn = 2

กำหนดให้แลตทิซ Λ เป็นแลตทิซ Dมิติที่แต่ละไซต์แลตทิซ j ∈ Λจะมีเวกเตอร์สองมิติความยาวหนึ่งหน่วยs _j = (cos θ _j , sin θ _j )การกำหนดค่าสปินs = ( s _j ) _{j ∈ Λ}คือการกำหนดมุม− π < θ _j ≤ πสำหรับแต่ละj ∈ Λ

เมื่อกำหนดปฏิสัมพันธ์J _ij (ซึ่งมักถือว่าไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง ดังนั้นJ _ij = J ( i − j ) ) และสนามภายนอกที่ขึ้นอยู่กับจุดพลังงานการจัดเรียงตัวของสปินที่กำหนดคือ ${\displaystyle \mathbf {h} _{j}=(h_{j},0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(\mathbf {s} )&=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-\sum _{j}\mathbf {h} _{j}\cdot \mathbf {s} _{j}\\&=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\sum _{j}h_{j}\cos \theta _{j}.\end{aligned}}}$

โดยทั่วไปมักพิจารณากรณีเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด ซึ่งJ _ij = 0ยกเว้นในกรณีที่iและjเป็นเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด

ความน่าจะเป็นของการจัดเรียงตัวนั้นกำหนดโดยการแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์โดยมีอุณหภูมิผกผันβ ≥ 0 :

${\displaystyle P(\mathbf {s} )={\frac {e^{-\beta H(\mathbf {s} )}}{Z}}\qquad Z=\int _{[-\pi ,\pi ]^{\Lambda }}\prod _{j\in \Lambda }d\theta _{j}\;e^{-\beta H(\mathbf {s} )}.}$

โดยที่Zคือฟังก์ชันการทำให้เป็นมาตรฐานหรือฟังก์ชันการแบ่งส่วน [ ^{2 ] สัญลักษณ์}นี้แสดงถึงความคาดหวังของตัวแปรสุ่มA ( s )ในขีดจำกัดปริมาตรอนันต์ หลังจากมีการกำหนด เงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ${\displaystyle \langle A(\mathbf {s} )\rangle }$

แบบจำลอง XY แบบคลาสสิกคือขีดจำกัดกึ่งคลาสสิกของแบบจำลองควอนตัม XY แบบ สปิน -s ในขีดจำกัดเมื่อsมีค่ามาก

• การมีอยู่ของขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกสำหรับพลังงานอิสระและความสัมพันธ์ของสปินได้รับการพิสูจน์โดยGinibre โดยขยายความไม่เท่าเทียมกัน ของGriffithsในกรณีนี้^{[ 3 ]}
• การใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Griffithsในการกำหนดสูตรของ Ginibre, Aizenman และ Simon ^{[ 4 ]}พิสูจน์ว่าความสัมพันธ์ของสปินสองจุดของ แบบจำลอง เฟอร์โรแมกเนติก XY ในมิติDการเชื่อมต่อJ > 0และอุณหภูมิผกผันβนั้นถูกครอบงำโดย (กล่าวคือมีขอบเขตบนที่กำหนดโดย) ความสัมพันธ์สองจุดของ แบบจำลอง เฟอร์โรแมกเนติกIsingในมิติDการเชื่อมต่อJ > 0และอุณหภูมิผกผันเบต้า/2ดังนั้น ค่า βวิกฤตของแบบจำลอง XY จึงไม่สามารถน้อยกว่าสองเท่าของค่า β วิกฤต ของแบบจำลอง Ising ได้$${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$$$${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}}$$

เช่นเดียวกับใน แบบจำลองเวกเตอร์n 'เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด' ใดๆที่มีเงื่อนไขขอบเขตอิสระ (ไม่เป็นคาบ) หากสนามภายนอกเป็นศูนย์ จะมีคำตอบที่แน่นอนง่ายๆ ในกรณีเงื่อนไขขอบเขตอิสระ แฮมิลโทเนียน จึงเป็นฟังก์ชันพาร์ติชันที่แยกตัวประกอบภายใต้การเปลี่ยนพิกัด ซึ่งให้ โดยที่คือฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงชนิดแรก ฟังก์ชันพาร์ติชันสามารถใช้เพื่อค้นหาปริมาณทางเทอร์โมไดนามิกที่สำคัญหลายอย่าง ตัวอย่างเช่น ในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก ( ) พลังงานอิสระต่อสปินคือ การใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลง ความร้อนจำเพาะ (ต่อสปิน) สามารถแสดงได้เป็น^{[ 5 ]} โดยที่และคือฟังก์ชันสหสัมพันธ์ระยะสั้น $${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-J[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+\cdots +\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})]}$$$${\displaystyle \theta _{j}=\theta _{j}'+\theta _{j-1}\qquad j\geq 2}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\int _{-\pi }^{\pi }d\theta _{1}\cdots d\theta _{L}\;e^{\beta J\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}\cdots e^{\beta J\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})}\\&=2\pi \prod _{j=2}^{L}\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}=(2\pi )\left[\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}\right]^{L-1}=(2\pi )^{L}(I_{0}(\beta J))^{L-1}\end{aligned}}}$$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle L\to \infty }$$${\displaystyle f(\beta ,h=0)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z=-{\frac {1}{\beta }}\ln[2\pi I_{0}(\beta J)]}$$$${\displaystyle {\frac {c}{k_{\rm {B}}}}=\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{L(k_{\rm {B}}T)^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}(\ln Z)=K^{2}\left(1-{\frac {\mu }{K}}-\mu ^{2}\right)}$$${\displaystyle K=J/k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (K)=\langle \cos(\theta -\theta ')\rangle ={\frac {I_{1}(K)}{I_{0}(K)}}}$$

แม้ในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก ก็ไม่มีความคลาดเคลื่อนในความร้อนจำเพาะ อันที่จริง เช่นเดียวกับแบบจำลอง Ising แบบหนึ่งมิติ แบบจำลอง XY แบบหนึ่งมิติก็ไม่มีการเปลี่ยนสถานะที่อุณหภูมิจำกัด

การคำนวณแบบเดียวกันสำหรับเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ (และh = 0 เช่นกัน ) ต้องใช้รูปแบบเมทริกซ์การถ่ายโอนแม้ว่าผลลัพธ์จะเหมือนกันก็ตาม^{[ 6 ]}

(คลิก "แสดง" ทางด้านขวาเพื่อดูรายละเอียดของรูปแบบเมทริกซ์การถ่ายโอน)

ฟังก์ชันพาร์ติชันสามารถประเมินได้เป็น ซึ่งสามารถถือได้ว่าเป็นร่องรอยของเมทริกซ์ กล่าวคือ ผลคูณของเมทริกซ์ (สเกลาร์ ในกรณีนี้) ร่องรอยของเมทริกซ์ก็คือผลรวมของค่าไอเกน และในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกจะมีเพียงค่าไอเกนที่ใหญ่ที่สุดเท่านั้นที่ยังคงอยู่ ดังนั้นฟังก์ชันพาร์ติชันจึงสามารถเขียนได้เป็นผลคูณซ้ำๆ ของค่าไอเกนสูงสุดนี้ ซึ่งต้องแก้ปัญหาค่าไอเกน โปรด สังเกตการกระจาย $${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\prod _{i=1}^{N}\oint d\theta _{i}e^{\beta J\cos(\theta _{i}-\theta _{i+1})}\right\}}$$${\displaystyle L\to \infty }$$${\displaystyle \oint d\theta '\exp\{\beta J\cos(\theta '-\theta )\}\psi (\theta ')=z_{i}\psi (\theta )}$$$${\displaystyle \exp\{\beta J\cos(\theta -\theta ')\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(\beta J)e^{in(\theta -\theta ')}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\omega _{n}\psi _{n}^{*}(\theta ')\psi _{n}(\theta )}$$

ซึ่งแสดงถึงการแสดงเมทริกซ์แนวทแยงในฐานของฟังก์ชันคลื่นระนาบของมันค่าไอเกนของเมทริกซ์คือฟังก์ชันเบสเซลที่ปรับเปลี่ยนแล้วซึ่งประเมิน ค่า ที่ นั่นคือสำหรับค่าใด ๆ ของฟังก์ชันเบสเซลที่ปรับเปลี่ยนแล้วจะสอดคล้องกับและดังนั้นในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก ค่าไอเกนจะครอบงำร่องรอย และดังนั้น${\displaystyle \psi =\exp(in\theta )}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle \omega _{n}=2\pi I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle I_{0}>I_{1}>I_{2}>\cdots }$${\displaystyle I_{-n}(\beta J)=I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle Z=[2\pi I_{0}(\beta J)]^{L}}$

วิธีการเมทริกซ์การถ่ายโอนนี้ยังจำเป็นต้องใช้เมื่อใช้เงื่อนไขขอบเขตอิสระ แต่มีสนามที่ใช้หากสนามที่ใช้มีขนาดเล็กพอที่จะถือได้ว่าเป็นการรบกวนต่อระบบในสนามเป็นศูนย์ ความไวต่อสนามแม่เหล็กสามารถประมาณได้ โดยทำโดยใช้สถานะเฉพาะที่คำนวณโดยวิธีการเมทริกซ์การถ่ายโอนและคำนวณการเปลี่ยนแปลงพลังงานด้วยทฤษฎีการรบกวน อันดับสอง จากนั้นเปรียบเทียบกับการขยายพลังงานอิสระพบว่า^{[ 7 ]} โดยที่คือค่าคงที่ของคูรี (ค่าที่มักเกี่ยวข้องกับความไวต่อสนามแม่เหล็กในวัสดุแม่เหล็ก) นิพจน์นี้ยังเป็นจริงสำหรับแบบจำลอง Ising หนึ่งมิติด้วยการแทนที่ ${\displaystyle h\neq 0}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \chi \equiv \partial M/\partial h}$${\displaystyle F=F_{0}-{\frac {1}{2}}\chi h^{2}}$$${\displaystyle \chi (h\to 0)={\frac {C}{T}}{\frac {1+\mu }{1-\mu }}}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu =\tanh K}$

แบบจำลอง XY สองมิติที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างเพื่อนบ้านใกล้เคียงเป็นตัวอย่างของระบบสองมิติที่มีสมมาตรต่อเนื่องซึ่งไม่มีระเบียบระยะไกลตามที่ทฤษฎีบทเมอร์มิน-แวกเนอร์ กำหนดไว้ ในทำนองเดียวกัน ไม่มี ปรากฏการณ์ การเปลี่ยนเฟสแบบ ดั้งเดิม ที่เกี่ยวข้องกับการทำลายสมมาตรอย่างไรก็ตาม ดังที่จะกล่าวถึงในภายหลัง ระบบแสดงสัญญาณของการเปลี่ยนจากสถานะไร้ระเบียบที่อุณหภูมิสูงไปสู่สถานะกึ่งมีระเบียบที่อุณหภูมิต่ำกว่าอุณหภูมิวิกฤตบางค่า ซึ่งเรียกว่าการเปลี่ยนผ่านแบบคอสเตอร์ลิตซ์-เธาเลสในกรณีของโครงตาข่ายสปินแบบไม่ต่อเนื่อง แบบจำลอง XY สองมิติสามารถประเมินได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ถ่ายโอน ลดแบบจำลองให้เป็นปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ และใช้ค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดจากเมทริกซ์ถ่ายโอน แม้ว่าการหาคำตอบที่แน่นอนจะทำได้ยาก แต่ก็สามารถใช้การประมาณค่าบางอย่างเพื่อประมาณอุณหภูมิวิกฤตซึ่งเกิดขึ้นที่อุณหภูมิต่ำได้ ตัวอย่างเช่น Mattis (1984 ^{[ 9 ]} ) ใช้การประมาณค่าของแบบจำลองนี้เพื่อประมาณอุณหภูมิวิกฤตของระบบ แบบ จำลอง 2D XY ยังได้รับการศึกษาอย่างละเอียดโดยใช้ การจำลอง Monte Carloเช่น ด้วยอัลกอริทึม Metropolisสิ่งเหล่านี้สามารถใช้ในการคำนวณปริมาณทางเทอร์โมไดนามิก เช่น พลังงานของระบบ ความร้อนจำเพาะ การทำให้เป็นแม่เหล็ก ฯลฯ ในช่วงอุณหภูมิและช่วงเวลาต่างๆ ในการจำลอง Monte Carlo แต่ละสปินจะสัมพันธ์กับมุมที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง(บ่อยครั้ง สามารถแบ่งเป็นมุมจำนวนจำกัดได้ เช่นในแบบจำลอง Potts ที่เกี่ยวข้อง เพื่อความสะดวกในการคำนวณ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ข้อกำหนด) ในแต่ละขั้นตอนเวลา อัลกอริทึม Metropolis จะเลือกสปินหนึ่งตัวแบบสุ่มและหมุนมุมของมันด้วยค่าเพิ่มขึ้นแบบสุ่มการเปลี่ยนแปลงมุมนี้ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงพลังงานของระบบ ซึ่งอาจเป็นบวกหรือลบ หากเป็นลบ อัลกอริทึมจะยอมรับการเปลี่ยนแปลงมุม หากเป็นบวก การกำหนดค่าจะได้รับการยอมรับด้วยความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นปัจจัย Boltzmannสำหรับการเปลี่ยนแปลงพลังงาน วิธี Monte Carlo ถูกนำมาใช้เพื่อตรวจสอบอุณหภูมิวิกฤตของระบบด้วยวิธีการต่างๆ และคาดว่าจะเป็น^{[ 10 ]}วิธี Monte Carlo ยังสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยที่ใช้ในการคำนวณปริมาณทางเทอร์โมไดนามิก เช่น การทำให้เป็นแม่เหล็ก ความสัมพันธ์ระหว่างสปินกับสปิน ความยาวความสัมพันธ์ และความร้อนจำเพาะ ซึ่งเป็นวิธีสำคัญในการกำหนดลักษณะพฤติกรรมของระบบใกล้กับอุณหภูมิวิกฤต ตัวอย่างเช่น การทำให้เป็นแม่เหล็กและกำลังสองของการทำให้เป็นแม่เหล็กสามารถคำนวณได้ดังนี้ ${\displaystyle T_{c}}$$${\displaystyle (2k_{\rm {B}}T_{c}/J)\ln(2k_{\rm {B}}T_{c}/J)=1}$$$${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.8816}$$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \Delta \theta _{i}\in (-\Delta ,\Delta )}$${\displaystyle \Delta E_{i}}$${\displaystyle e^{-\beta \Delta E_{i}}}$${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J=0.8935(1)}$

$${\displaystyle {\frac {\langle M\rangle }{N}}={\frac {1}{N}}|\langle \mathbf {s} \rangle |={\frac {1}{N}}\left|\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i},\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)\right\rangle \right|}$$$${\displaystyle {\frac {\langle M^{2}\rangle }{N^{2}}}={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)^{2}\right\rangle }$$จำนวนสปินอยู่ ที่ไหน ค่าเฉลี่ยของสนามแม่เหล็กบ่งบอกถึงขนาดของโมเมนต์แม่เหล็กสุทธิของระบบ ในระบบแม่เหล็กหลายระบบ ค่านี้จะเป็นศูนย์เหนืออุณหภูมิวิกฤต และจะกลายเป็นค่าที่ไม่เป็นศูนย์โดยธรรมชาติที่อุณหภูมิต่ำ ในทำนองเดียวกัน ค่าสนามแม่เหล็กกำลังสองเฉลี่ยบ่งบอกถึงค่าเฉลี่ยของกำลังสองของส่วนประกอบสุทธิของสปินทั่วทั้งแลตทิซ โดยทั่วไปแล้วค่าเหล่านี้มักใช้เพื่อบ่งบอกพารามิเตอร์ลำดับของระบบ การวิเคราะห์อย่างเข้มงวดของแบบจำลอง XY แสดงให้เห็นว่าสนามแม่เหล็กในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกเป็นศูนย์ และสนามแม่เหล็กกำลังสองโดยประมาณเป็นไปตาม ^{[ 12 ]}ซึ่งจะหายไปในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก อันที่จริง ที่อุณหภูมิสูง ปริมาณนี้จะเข้าใกล้ศูนย์ เนื่องจากส่วนประกอบของสปินจะมีแนวโน้มที่จะสุ่มและรวมกันเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ที่อุณหภูมิต่ำสำหรับระบบที่มีขนาดจำกัด ค่าสนามแม่เหล็กกำลังสองเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้น ซึ่งบ่งชี้ว่ามีบริเวณของพื้นที่สปินที่เรียงตัวกันเพื่อให้มีส่วนร่วมที่ไม่เป็นศูนย์ ค่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กที่แสดง (สำหรับโครงสร้างตาข่ายขนาด 25x25) เป็นตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์นี้ ซึ่งดูเหมือนจะบ่งชี้ถึงการเปลี่ยนสถานะ ในขณะที่ไม่มีการเปลี่ยนสถานะดังกล่าวเกิดขึ้นในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก ${\displaystyle N=L\times L}$${\displaystyle \langle M^{2}\rangle \approx N^{-T/4\pi }}$

นอกจากนี้ การใช้กลศาสตร์เชิงสถิติทำให้สามารถเชื่อมโยงค่าเฉลี่ยทางเทอร์โมไดนามิกกับปริมาณต่างๆ เช่น ความร้อนจำเพาะได้โดยการคำนวณ ความร้อนจำเพาะจะแสดงที่อุณหภูมิต่ำใกล้กับอุณหภูมิวิกฤตไม่มีลักษณะใดในความร้อนจำเพาะที่สอดคล้องกับพฤติกรรมวิกฤต (เช่น การล divergence) ที่อุณหภูมิที่คาดการณ์นี้ อันที่จริง การประมาณอุณหภูมิวิกฤตมาจากวิธีการอื่นๆ เช่น จากโมดูลัสเฮลิซิตี้หรือการพึ่งพาอุณหภูมิของการล divergence ของความไว^{[ 13 ]}อย่างไรก็ตาม มีลักษณะในความร้อนจำเพาะในรูปแบบของจุดสูงสุดที่ตำแหน่งและความสูงของจุดสูงสุดนี้แสดงให้เห็นว่าไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของระบบ สำหรับแลตติสที่มีขนาดเชิงเส้นมากกว่า 256 อันที่จริง ความผิดปกติของความร้อนจำเพาะยังคงกลมและมีค่าจำกัดสำหรับขนาดแลตติสที่เพิ่มขึ้น โดยไม่มีจุดสูงสุดที่ล divergence $${\displaystyle c/k_{\rm {B}}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{N(k_{\rm {B}}T)^{2}}}}$$${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.88}$${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J\approx 1.043(4)\approx 1.167(1)T_{c}}$

ลักษณะของการเปลี่ยนผ่านที่สำคัญและการก่อตัวของกระแสน้ำวนสามารถอธิบายได้โดยการพิจารณาแบบจำลอง XY แบบต่อเนื่อง ในที่นี้ สปินแบบไม่ต่อเนื่องจะถูกแทนที่ด้วยสนามที่แสดงถึงมุมของสปิน ณ จุดใดๆ ในอวกาศ ในกรณีนี้ มุมของสปินจะต้องเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงตำแหน่ง การขยายโคไซน์ดั้งเดิมเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ ทำให้ แฮมิลโทเนียนสามารถแสดงได้ในการประมาณแบบต่อเนื่องดังนี้ ${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$$${\displaystyle E=\int {\frac {J}{2}}(\nabla \theta )^{2}\,d^{2}\mathbf {x} }$$

แบบจำลอง XY แบบต่อเนื่องมักใช้ในการจำลองระบบที่มีพารามิเตอร์ลำดับที่มีสมมาตรแบบเดียวกัน เช่นฮีเลียมยิ่งยวดผลึกเหลวเฮกซาติกนี่คือสิ่งที่ทำให้แบบจำลองเหล่านี้แตกต่างจากการเปลี่ยนเฟสอื่นๆ ซึ่งมักเกิดขึ้นพร้อมกับการทำลายสมมาตร ข้อบกพร่องทางโทโพโลยีในแบบจำลอง XY นำไปสู่การเปลี่ยนผ่านแบบปลดปล่อยกระแสน้ำวนจากเฟสอุณหภูมิต่ำไปสู่เฟสไม่เป็นระเบียบที่ อุณหภูมิสูง อันที่จริง ข้อเท็จจริงที่ว่าที่อุณหภูมิสูง ความสัมพันธ์จะลดลงอย่างรวดเร็วแบบเอกซ์โพเนนเชียล ในขณะที่ที่อุณหภูมิต่ำจะลดลงตามกฎกำลังแม้ว่าในทั้งสองระบอบM ( β ) = 0ก็ตาม เรียกว่าการเปลี่ยนผ่านแบบ Kosterlitz–Thouless Kosterlitz และ Thouless ได้ให้เหตุผลอย่างง่ายๆ ว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น โดยพิจารณาสถานะพื้นฐานที่ประกอบด้วยสปินทั้งหมดในทิศทางเดียวกัน จากนั้นจึงเพิ่มกระแสน้ำวนเพียงหนึ่งเดียว การมีอยู่ของสิ่งเหล่านี้ทำให้เกิดเอนโทรปีโดยประมาณโดยที่คือมาตราส่วนความยาว ที่มีประสิทธิภาพ (ตัวอย่างเช่น ขนาดของแลตติสสำหรับแลตติสแบบไม่ต่อเนื่อง) ในขณะเดียวกัน พลังงานของระบบจะเพิ่มขึ้นเนื่องจากกระแสน้ำวนเป็นจำนวนเมื่อรวมสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกัน พลังงานอิสระของระบบจะเปลี่ยนแปลงเนื่องจากการก่อตัวของกระแสน้ำวนโดยธรรมชาติเป็นจำนวน ในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก ระบบไม่เอื้อต่อการก่อตัวของกระแสน้ำวนที่อุณหภูมิต่ำ แต่จะเอื้อต่อการก่อตัวของกระแสน้ำวนที่อุณหภูมิสูงกว่าอุณหภูมิวิกฤตสิ่งนี้บ่งชี้ว่าที่อุณหภูมิต่ำ กระแสน้ำวนใด ๆ ที่เกิดขึ้นจะต้องการทำลายล้างกับกระแสน้ำวนตรงข้ามเพื่อลดพลังงานของระบบ อันที่จริง นี่จะเป็นเช่นนั้นในเชิงคุณภาพหากเราสังเกต 'ภาพถ่าย' ของระบบสปินที่อุณหภูมิต่ำ ซึ่งกระแสน้ำวนและกระแสน้ำวนตรงข้ามค่อย ๆ รวมตัวกันเพื่อทำลายล้าง ดังนั้น สถานะที่อุณหภูมิต่ำจะประกอบด้วยคู่กระแสน้ำวน-กระแสน้ำวนตรงข้ามที่ผูกพันกัน ในขณะเดียวกัน ที่อุณหภูมิสูง จะเกิดกลุ่มของกระแสลมหมุนวนและกระแสลมหมุนวนสวนทางที่ไม่ถูกจำกัด ซึ่งสามารถเคลื่อนที่ไปมาได้อย่างอิสระบนระนาบ ${\displaystyle \Delta S=k_{\rm {B}}\ln(L^{2}/a^{2})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Delta E=\pi J\ln(L/a)}$$${\displaystyle \Delta F=\Delta E-T\Delta S=(\pi J-2k_{\rm {B}}T)\ln(L/a)}$$${\displaystyle T_{c}=\pi J/2k_{\rm {B}}}$

ในการแสดงภาพแบบจำลอง Ising เราสามารถใช้ลูกศรชี้ขึ้นหรือลง หรือแสดงเป็นจุดสีดำ/ขาวเพื่อระบุสถานะได้ ส่วนการแสดงภาพระบบสปิน XY นั้น สปินสามารถแสดงได้ด้วยลูกศรชี้ไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง หรือแสดงเป็นจุดที่มีสี ในที่นี้จำเป็นต้องแสดงสปินด้วยสเปกตรัมของสีต่างๆ เนื่องจากตัวแปรต่อเนื่องที่เป็นไปได้แต่ละตัว ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้สเปกตรัมสีแดง-เขียว-น้ำเงินแบบต่อเนื่องและเป็นคาบ ตัวอย่างเช่น ดังแสดงในรูป สีฟ้าสอดคล้องกับมุมศูนย์องศา (ชี้ไปทางขวา) ในขณะที่สีแดงสอดคล้องกับมุม 180 องศา (ชี้ไปทางซ้าย) จากนั้นเราสามารถศึกษาภาพรวมของการจัดเรียงสปินที่อุณหภูมิต่างๆ เพื่ออธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นเหนือและใต้จุดวิกฤตของแบบจำลอง XY ที่อุณหภูมิสูง สปินจะไม่มีทิศทางที่แน่นอน และจะมีการเปลี่ยนแปลงของมุมระหว่างสปินที่อยู่ใกล้เคียงกันอย่างคาดเดาไม่ได้ เนื่องจากไม่มีการจัดเรียงที่ให้พลังงานที่เหมาะสมเป็นพิเศษ ในกรณีนี้ แผนที่สีจะดูเป็นพิกเซลสูงมาก ในขณะเดียวกัน ที่อุณหภูมิต่ำ การจัดเรียงสถานะพื้นฐานที่เป็นไปได้แบบหนึ่งคือ สปินทั้งหมดจะชี้ไปในทิศทางเดียวกัน (มุมเดียวกัน) ซึ่งจะสอดคล้องกับบริเวณ (โดเมน) ในแผนที่สีที่สปินทั้งหมดมีสีใกล้เคียงกัน

ในการระบุกระแสน้ำวน (หรือกระแสน้ำวนย้อนกลับ) ที่เกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงแบบ Kosterlitz–Thouless นั้น เราสามารถกำหนดการเปลี่ยนแปลงของมุมที่มีเครื่องหมายได้โดยการเคลื่อนที่ไปตามวงกลมของจุดบนโครงตาข่ายทวนเข็มนาฬิกา หากการเปลี่ยนแปลงของมุมทั้งหมดเป็นศูนย์ แสดงว่าไม่มีกระแสน้ำวนอยู่ ในขณะที่การเปลี่ยนแปลงของมุมทั้งหมดเป็นศูนย์แสดงว่ายังมีกระแสน้ำวน (หรือกระแสน้ำวนย้อนกลับ) อยู่ กระแสน้ำวนเหล่านี้เป็นวัตถุที่มีโครงสร้างทางทอพอโลยีที่ซับซ้อน ซึ่งมักมาเป็นคู่ของกระแสน้ำวนและกระแสน้ำวนย้อนกลับ และสามารถแยกออกจากกันหรือทำลายล้างกันได้ ในแผนที่สี ข้อบกพร่องเหล่านี้สามารถระบุได้ในบริเวณที่มีการไล่ระดับสี สูง ซึ่งสีทั้งหมดในสเปกตรัมมาบรรจบกันรอบจุดหนึ่ง ในเชิงคุณภาพ ข้อบกพร่องเหล่านี้อาจดูเหมือนแหล่งกำเนิดการไหลที่ชี้เข้าหรือออก หรือกระแสน้ำวนของสปินที่หมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา หรือลักษณะที่ดูเหมือนไฮเปอร์โบลา โดยมีสปินบางส่วนชี้เข้าหาและบางส่วนชี้ออกจากข้อบกพร่อง เมื่อศึกษาการจัดเรียงตัวในระยะเวลาที่ยาวนานและที่อุณหภูมิต่ำ จะสังเกตได้ว่าคู่ของกระแสน้ำวนและกระแสน้ำวนตรงข้ามเหล่านี้จำนวนมากจะเข้าใกล้กันมากขึ้นและในที่สุดก็จะสลายตัวไป กระแสน้ำวนและกระแสน้ำวนตรงข้ามเหล่านี้จะหลุดพ้นและแยกตัวออกจากกันก็ต่อเมื่ออยู่ที่อุณหภูมิสูงเท่านั้น ${\displaystyle \pm 2\pi }$

ในแบบจำลอง XY แบบต่อเนื่อง การเกิดสนามแม่เหล็กโดยธรรมชาติที่อุณหภูมิสูงจะหายไป นอกจากนี้การขยายคลัสเตอร์แสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ของสปินจะรวมกลุ่มกันอย่างรวดเร็วแบบเอกซ์โพเนนเชียล ตัวอย่างเช่น ที่ อุณหภูมิต่ำ กล่าวคือβ ≫ 1การเกิดสนามแม่เหล็กโดยธรรมชาติยังคงเป็นศูนย์ (ดูทฤษฎีบทของ Mermin–Wagner ) แต่การลดลงของความสัมพันธ์เป็นไปตามกฎกำลังเท่านั้น Fröhlich และ Spencer ^{[ 14 ]}พบขอบเขตล่าง $${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$$$${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$$$${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\geq {\frac {C(\beta )}{1+|i-j|^{\eta (\beta )}}}}$

ในขณะที่ McBryan และ Spencer พบขอบเขตบนสำหรับสิ่งใดก็ตาม${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq {\frac {C(\beta ,\epsilon )}{1+|i-j|^{\eta (\beta ,\epsilon )}}}}$

ไม่ว่าระยะการปฏิสัมพันธ์จะเป็นเท่าใดก็ตาม ที่อุณหภูมิต่ำพอ การทำให้เป็นแม่เหล็กจะมีค่าเป็นบวก

• ที่อุณหภูมิสูง การเกิดสนามแม่เหล็กโดยธรรมชาติจะหายไปนอกจากนี้การขยายคลัสเตอร์แสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ของสปินจะรวมกลุ่มกันอย่างรวดเร็วแบบเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$
• ที่อุณหภูมิต่ำขอบเขตอินฟราเรดแสดงให้เห็นว่าสนามแม่เหล็กที่เกิดขึ้นเองมีค่าเป็นบวกอย่างเคร่งครัด: นอกจากนี้ ยังมีตระกูลสถานะสุดขั้วแบบ 1 พารามิเตอร์เช่นนั้นแต่โดยสมมติฐานแล้ว ในแต่ละสถานะสุดขั้วเหล่านี้ ความสัมพันธ์ที่ถูกตัดทอนจะลดลงแบบพีชคณิต${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |>0}$${\displaystyle \langle \;\cdot \;\rangle ^{\theta }}$${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\rangle ^{\theta }=M(\beta )(\cos \theta ,\sin \theta )}$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น ในมิติเดียวแบบจำลอง XY ไม่มีปรากฏการณ์การเปลี่ยนเฟส ในขณะที่ในสองมิติจะมีปรากฏการณ์การเปลี่ยนเฟสแบบ Berezinski-Kosterlitz-Thoulessระหว่างเฟสต่างๆ โดยมีฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่ลดลงแบบเอกซ์ponential และแบบกำลังยกกำลัง

ในสามมิติและมิติที่สูงกว่านั้น แบบจำลอง XY มีการเปลี่ยนสถานะจากเฟอร์โรแมกเนติกเป็นพาราแมกเนติก ที่อุณหภูมิต่ำ ค่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กโดยธรรมชาติจะไม่เป็นศูนย์: นี่คือสถานะเฟอร์โรแมกเนติก เมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้น ค่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กโดยธรรมชาติจะค่อยๆ ลดลงและหายไปที่อุณหภูมิวิกฤต ค่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กโดยธรรมชาติจะคงเป็นศูนย์ที่อุณหภูมิสูงกว่านั้นทั้งหมด: นี่คือสถานะพาราแมกเนติก

ในมิติที่สี่และมิติที่สูงกว่า การเปลี่ยนสถานะจะมีค่าเลขชี้กำลังวิกฤตตามทฤษฎีสนามเฉลี่ย (โดยมีการแก้ไขแบบลอการิทึมในมิติที่สี่)

กรณีสามมิติมีความน่าสนใจเนื่องจากเลขชี้กำลังวิกฤตที่การเปลี่ยนเฟสไม่ใช่ค่าธรรมดา ระบบทางกายภาพสามมิติหลายระบบอยู่ในกลุ่มความเป็นสากล เดียวกัน กับแบบจำลอง XY สามมิติและมีเลขชี้กำลังวิกฤตเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งแม่เหล็กระนาบง่ายและฮีเลียมเหลว-4ค่าของเลขชี้กำลังวิกฤต เหล่านี้ วัดได้จากการทดลอง การจำลองมอนเตคาร์โล และยังสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีการทางทฤษฎีของทฤษฎีสนามควอนตัมเช่นกลุ่มการปรับมาตรฐาน (renormalization group ) และ บูตสแตรปแบบคอนฟอร์ม อล (conformal bootstrap ) วิธีการกลุ่มการปรับมาตรฐานสามารถนำมาใช้ได้เพราะเชื่อกันว่าจุดวิกฤตของแบบจำลอง XY อธิบายได้ด้วยจุดคงที่ของกลุ่มการปรับมาตรฐาน วิธีการบูตสแตรปแบบคอนฟอร์มอลสามารถนำมาใช้ได้เพราะเชื่อกันว่าเป็นทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลสาม มิติแบบเอกภาพเช่นกัน

เลขชี้กำลังวิกฤตที่สำคัญที่สุดของแบบจำลอง XY สามมิติคือทั้งหมดสามารถแสดงได้ด้วยตัวเลขเพียงสองตัว: มิติการปรับสเกลและของฟิลด์พารามิเตอร์ลำดับเชิงซ้อนและของตัวดำเนินการซิงเกิลนำ(เช่นเดียวกับในคำอธิบายของGinzburg–Landau ) ฟิลด์สำคัญอีกฟิลด์หนึ่งคือ(เช่นเดียวกับ) ซึ่งมิติของมันกำหนดเลขชี้กำลังการแก้ไขการปรับขนาดตามการคำนวณบูตสแตรปแบบคอนฟอร์มอล^{[ 15 ]}มิติทั้งสามนี้กำหนดโดย: ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\nu ,\eta }$${\displaystyle \Delta _{\phi }}$${\displaystyle \Delta _{s}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle |\phi |^{2}}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle |\phi |^{4}}$${\displaystyle \Delta _{s'}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Delta _{\phi }}$	0.519088(22)
${\displaystyle \Delta _{s}}$	1.51136(22)
${\displaystyle \Delta _{s'}}$	3.794(8)

ซึ่งจะได้ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตดังต่อไปนี้:

	นิพจน์ทั่วไป ( ) ${\displaystyle d=3}$	ค่าตัวเลข
α	${\displaystyle 2-d/(d-\Delta _{s})}$	-0.01526(30)
เบต้า	${\displaystyle \Delta _{\phi }/(d-\Delta _{s})}$	0.34869(7)
γ	${\displaystyle (d-2\Delta _{\phi })/(d-\Delta _{s})}$	1.3179(2)
δ	${\displaystyle (d-\Delta _{\phi })/\Delta _{\phi }}$	4.77937(25)
η	${\displaystyle 2\Delta _{\phi }-d+2}$	0.038176(44)
ν	${\displaystyle 1/(d-\Delta _{s})}$	0.67175(10)
ω	${\displaystyle \Delta _{s'}-d}$	0.794(8)

วิธีการ Monte Carlo ให้การกำหนดที่เข้ากันได้: ^{[ 16 ]}${\displaystyle \eta =0.03810(8),\nu =0.67169(7),\omega =0.789(4)}$

• แบบจำลองควอนตัมไฮเซนเบิร์ก
• แบบจำลองโรเตอร์ควอนตัม
• แบบจำลองไฮเซนเบิร์กแบบคลาสสิก
• ก๊าซคูลอมบ์
• โบซอนโกลด์สโตน
• แบบจำลองไอซิง
• แบบจำลองพอตต์ส
• แบบจำลองเวกเตอร์n
• การเปลี่ยนผ่านระหว่าง Kosterlitz และ Thouless
• ข้อบกพร่องเชิงทอพอโลยี
• ฟิล์มซุปเปอร์ฟลูอิด
• แบบจำลองซิกมา
• แบบจำลองไซน์-กอร์ดอน

• เอช.อี. สแตนลีย์, บทนำเกี่ยวกับการเปลี่ยนเฟสและปรากฏการณ์วิกฤต (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, ออกซ์ฟอร์ดและนิวยอร์ก 1971)
• H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I, "Superflow and Vortex Lines", pp. 1–742, Vol. II, "Stresses and Defects", pp. 743–1456, World Scientific (Singapore, 1989) ; Paperback ISBN 9971-5-0210-0(มีจำหน่ายออนไลน์ด้วย: เล่ม 1และเล่ม 2 )

• การจำลอง WebGL โมเดล XY แบบเรียลไทม์
• การจำลองแบบมอนเตคาร์โลเชิงโต้ตอบของแบบจำลอง Ising, XY และ Heisenberg ด้วยกราฟิก 3 มิติ (ต้องใช้เบราว์เซอร์ที่รองรับ WebGL)