ในทางเรขาคณิตไฮเปอร์เซอร์เฟซเป็นการขยายแนวคิดของไฮเปอร์เพลนเส้นโค้งระนาบและพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซคือแมนิโฟลด์หรือวาไรตี้พีชคณิตมิติn − 1ซึ่งฝังอยู่ในปริภูมิแวดล้อมมิติnโดยทั่วไปคือปริภูมิยุคลิด ปริภูมิ แอฟฟินหรือปริภูมิโปรเจคทีฟ^{[ ​​1 ]} ไฮเปอร์เซอร์เฟซ มีคุณสมบัติ ร่วมกับพื้นผิวในปริภูมิสามมิติ คือถูกกำหนดโดยสมการโดย ปริยายเพียงสมการ เดียว อย่างน้อยในระดับท้องถิ่น (ใกล้ทุกจุด) และบางครั้งก็ในระดับสากล

ในปริภูมิสองมิติ (แบบยุคลิด แบบแอฟฟิน หรือแบบโปรเจคทีฟ) ไฮเปอร์เซอร์เฟซคือเส้นโค้งระนาบ ในปริภูมิสามมิติ ไฮเปอร์เซอร์เฟซคือพื้นผิว

ตัวอย่างเช่น สมการ

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0}$

กำหนดพื้นผิวเชิงพีชคณิตที่มีมิติn − 1ในปริภูมิยุคลิดที่มีมิติnพื้นผิวนี้ยังเป็นแมนิโฟลด์เรียบและเรียกว่าไฮเปอร์สเฟียร์หรือ ทรงกลม( n – 1)

พื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซที่เป็นแมนิโฟลด์เรียบเรียกว่า พื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟ ซ เรียบ

ในR ⁿพื้นผิวเรียบสามารถกำหนดทิศทางได้ [ ^{2 ] พื้น} ผิวเรียบ ที่เชื่อมต่อกันและกะทัดรัดทุกพื้นผิวเป็นเซตระดับและแยกR ⁿ ออก เป็นสองส่วนที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทการแยกของจอร์แดน-บราวเวอร์^{[ 3 ]}

ไฮเปอร์เซอร์เฟซเชิงพีชคณิตคือ วาไรตี้เชิงพีชคณิตที่สามารถนิยามได้ด้วยสมการโดยปริยายเพียงสมการเดียวในรูปแบบ

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

โดยที่pคือพหุนามหลายตัวแปรโดยทั่วไปแล้วพหุนามนั้นควรจะเป็น พหุนาม ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้หากไม่เป็นเช่นนั้น ไฮเปอร์เซอร์เฟซนั้นจะไม่ใช่วาไรตีเชิงพีชคณิต แต่เป็นเพียงเซตเชิงพีชคณิต เท่านั้น การที่พหุนามที่แยกตัวประกอบได้จะกำหนดไฮเปอร์เซอร์เฟซได้หรือไม่นั้น อาจขึ้นอยู่กับผู้เขียนหรือบริบท เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม จึงมักใช้ คำว่า ไฮเปอร์เซอร์เฟซที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

สำหรับวาไรตี้เชิงพีชคณิต สัมประสิทธิ์ของพหุนามกำหนดอาจอยู่ในฟิลด์k ใดๆ ก็ได้ และจุดของไฮเปอร์เซอร์เฟซคือศูนย์ ของ p ในปริภูมิเชิงเส้นตรง โดยที่Kเป็นส่วนขยายที่ปิดเชิงพีชคณิตของk${\displaystyle K^{n},}$

ไฮเปอร์เซอร์เฟซอาจมีจุดเอกฐานซึ่งเป็นจุดศูนย์ร่วม (ถ้ามี) ของพหุนามกำหนดและอนุพันธ์ย่อยของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไฮเปอร์เซอร์เฟซพีชคณิตจริงไม่จำเป็นต้องเป็นแมนิโฟลด์เสมอไป

ไฮเปอร์เซอร์เฟซมีคุณสมบัติเฉพาะบางประการที่ไม่พบในวาไรตี้พีชคณิตอื่นๆ

หนึ่งในคุณสมบัติหลักดังกล่าวคือทฤษฎีบท Nullstellensatz ของ Hilbertซึ่งกล่าวว่า ไฮเปอร์เซอร์เฟซจะบรรจุเซตพีชคณิต ที่กำหนด ก็ต่อเมื่อพหุนามกำหนดของไฮเปอร์เซอร์เฟซมีกำลังที่อยู่ในอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยพหุนามกำหนดของเซตพีชคณิตนั้น

ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทนี้คือ ถ้าพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ อีกสองตัว (หรือโดยทั่วไปแล้วพหุนามที่ไม่มีตัวประกอบกำลัง สอง ) กำหนดพื้นผิวเดียวกัน พหุนามตัวหนึ่งจะเป็นผลคูณของอีกตัวหนึ่งกับค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์

ไฮเปอร์เซอร์เฟซคือซับวาไรตีที่มีมิติn – 1ของปริภูมิแอฟฟินที่มีมิติnนี่คือการตีความทางเรขาคณิตของข้อเท็จจริงที่ว่า ในริงพหุนามเหนือฟิลด์ความสูงของไอเดียลจะเป็น 1 ก็ต่อเมื่อไอเดียลนั้นเป็นไอเดียลหลักในกรณีของไฮเปอร์เซอร์เฟซที่อาจลดรูปได้ ผลลัพธ์นี้สามารถกล่าวใหม่ได้ดังนี้: ไฮเปอร์เซอร์เฟซคือเซตพีชคณิตที่มีส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้ทั้งหมดมีมิติn – 1

ไฮเปอร์เซอร์เฟซจริงคือ ไฮเปอร์เซอร์เฟซที่นิยามโดยพหุนามที่มี สัมประสิทธิ์เป็นจำนวน จริงในกรณีนี้ ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่จุดต่างๆ ถูกกำหนดไว้นั้น โดยทั่วไปคือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนจุดจริงของไฮเปอร์เซอร์เฟซจริง คือ จุดที่อยู่ในเซตของจุดจริงของไฮเปอร์เซอร์เฟซจริง ซึ่งก็คือส่วนจริงของไฮเปอร์เซอร์เฟซนั้น บ่อยครั้งที่บริบทจะกำหนดว่าคำว่าไฮเปอร์เซอร์เฟซหมายถึงจุดทั้งหมดหรือเฉพาะส่วนจริงเท่านั้น ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.}$

ถ้าสัมประสิทธิ์ของพหุนามกำหนดอยู่ในฟิลด์kที่ไม่ใช่ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (โดยทั่วไปคือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะฟิลด์จำกัดหรือฟิลด์จำนวน ) เราจะกล่าวว่าพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซนั้นถูกกำหนดขึ้นบนkและจุดที่อยู่ในพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซนั้นเป็นจำนวนตรรกยะบนk (ในกรณีของฟิลด์จำนวนตรรกยะ โดยทั่วไปจะละคำว่า "บนk ") ${\displaystyle k^{n}}$

ตัวอย่างเช่น ทรงกลมnมิติใน จินตนาการ ที่กำหนดโดยสมการ

${\displaystyle x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+1=0}$

เป็นพื้นผิวจริงที่ไม่มีจุดจริงใดๆ ซึ่งกำหนดขึ้นจากจำนวนตรรกยะ มันไม่มีจุดตรรกยะ แต่มีจุดจำนวนมากที่เป็นจำนวนตรรกยะบนจำนวนตรรกยะแบบเกาส์เซียน

พื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟ (พีชคณิต)มิติn – 1ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟมิติnเหนือฟิลด์kถูกกำหนดโดยพหุนามเอกพันธุ์ ใน ตัวแปร n + 1ตัว ตามปกติพหุนามเอกพันธุ์หมายความว่าเอกนาม ทั้งหมด ของPมีดีกรีเดียวกัน หรือเทียบเท่ากับว่าสำหรับทุกค่าคงที่cโดยที่dคือดีกรีของพหุนามจุดบนพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟคือจุดในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่มีพิกัดเชิงโปรเจกทีฟเป็น ศูนย์ของP${\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$

ถ้าเลือกไฮเปอร์เพลนของสมการเป็นไฮเปอร์เพลนที่อนันต์ส่วนเติมเต็มของไฮเปอร์เพลนนี้จะเป็นปริภูมิแอฟฟินและจุดของไฮเปอร์เซอร์เฟซเชิงโปรเจกทีฟที่อยู่ในปริภูมิแอฟฟินนี้จะก่อให้เกิดไฮเปอร์เซอร์เฟซแอฟฟินของสมการในทางกลับกัน เมื่อกำหนดไฮเปอร์เซอร์เฟซแอฟฟินของสมการแล้วจะกำหนดไฮเปอร์เซอร์เฟซเชิงโปรเจกทีฟที่เรียกว่าการเติมเต็มเชิงโปรเจก ทีฟ ซึ่งสมการของมันได้มาจาก การทำให้ p เป็นเนื้อ เดียวกัน นั่นคือ สมการของการเติมเต็มเชิงโปรเจกทีฟคือโดยที่ ${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$${\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

${\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),}$

โดยที่d คือระดับขั้นของP

กระบวนการสองอย่างนี้ คือ การเติมเต็มเชิงโปรเจคทีฟและการจำกัดให้อยู่ในปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรง เป็นกระบวนการผกผันซึ่งกันและกัน ดังนั้น ไฮเปอร์เซอร์เฟซเชิงเส้นตรงและการเติมเต็มเชิงโปรเจคทีฟของมันจึงมีคุณสมบัติพื้นฐานเหมือนกัน และมักถูกพิจารณาว่าเป็นมุมมองสองมุมสำหรับไฮเปอร์เซอร์เฟซเดียวกัน

อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นได้ว่าพื้นผิวเชิงเส้นตรง (affine hypersurface) ไม่เป็นเอกฐาน (nonsingular)ในขณะที่ส่วนเติมเต็มเชิงโปรเจคทีฟ (projective completion) ของพื้นผิวนั้นมีจุดเอกฐาน (singular points) ในกรณีนี้ เราจะกล่าวว่าพื้นผิวเชิงเส้นตรงนั้นเป็นเอกฐานที่อนันต์ (singular at infinity ) ตัวอย่างเช่นทรงกระบอกวงกลมที่มีสมการ

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

ในปริภูมิเชิงเส้นสามมิติ มีจุดเอกฐานเพียงจุดเดียว ซึ่งอยู่ที่อนันต์ ในทิศทางx = 0, y = 0

• ทรงกลมแอฟฟิน
• พื้นผิวโคเบิล
• ครอบครัวดเวิร์ก
• พื้นผิวศูนย์
• พื้นผิวขั้วโลก