ทฤษฎีการไหลแบบศักย์ยังสามารถใช้ในการจำลองการไหลแบบอัดตัวได้ที่ไม่หมุนได้อีกด้วย การหาอนุพันธ์ของสมการควบคุมสำหรับ${\displaystyle \varphi }$จากสมการของออยเลอร์นั้นค่อนข้างตรงไปตรงมา สมการความต่อเนื่องและสมการโมเมนตัม (การไหลศักย์) สำหรับการไหลคงที่นั้นกำหนดโดย

$${\displaystyle \rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho }$$

โดยสมการสุดท้ายเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเอนโทรปีมีค่าคงที่สำหรับอนุภาคของไหล และกำลังสองของความเร็วเสียงคือ${\displaystyle c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}}$การกำจัด${\displaystyle \nabla \rho }$จากสมการควบคุมทั้งสองส่งผลให้

$${\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.}$$

เวอร์ชันที่ไม่สามารถบีบอัดได้จะปรากฏขึ้นในขีดจำกัด${\displaystyle c\to \infty }$แทนที่ตรงนี้${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ส่งผลให้^{[ 4 ] [ 5 ]}

$${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0}$$

ที่ไหน${\displaystyle c=c(v)}$แสดงออกมาในรูปฟังก์ชันของขนาดความเร็ว${\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}}$สำหรับก๊าซโพลีโทรปิก${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)}$, ที่ไหน${\displaystyle \gamma }$คืออัตราส่วนความร้อนจำเพาะและ${\displaystyle h_{0}}$คือเอนทาลปีของการหยุดนิ่งในสองมิติ สมการจะลดรูปเหลือเพียง

$${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}$$

ความถูกต้อง:สมการนี้ใช้ได้กับกระแสการไหลแบบศักย์ที่ไม่มีความหนืด ไม่ว่ากระแสการไหลนั้นจะเป็นแบบความเร็วต่ำกว่าเสียงหรือความเร็วสูงกว่าเสียง (เช่นกระแสการไหลแบบ Prandtl–Meyer ) อย่างไรก็ตาม ในกระแสการไหลความเร็วสูงกว่าเสียงและกระแสการไหลแบบทรานโซนิก อาจเกิดคลื่นกระแทกขึ้น ซึ่งสามารถนำเอนโทรปีและกระแสน้ำวนเข้ามาในกระแสการไหล ทำให้กระแสการไหลหมุนวนได้ ถึงกระนั้น ก็มี 2 กรณีที่กระแสการไหลแบบศักย์ยังคงมีอยู่แม้จะมีคลื่นกระแทก ซึ่งอธิบายได้จากสมการโมเมนตัม (ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นสมการศักย์) ที่เขียนในรูปแบบต่อไปนี้

$${\displaystyle \nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s}$$

ที่ไหน${\displaystyle h}$คือเอน ทาล ปีจำเพาะ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$คือสนามความหมุนวน${\displaystyle T}$คืออุณหภูมิและ${\displaystyle s}$คือเอนโทรปีจำเพาะ เนื่องจากด้านหน้าของคลื่นกระแทกนำหน้ามีการไหลแบบศักย์ สมการของเบอร์นูลลีแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle h+v^{2}/2}$มีค่าคงที่ ซึ่งมีค่าคงที่ตลอดคลื่นกระแทก ( เงื่อนไข Rankine–Hugoniot ) ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s}$$

1) เมื่อคลื่นกระแทกมีความเข้มคงที่ ความไม่ต่อเนื่องของเอนโทรปีที่เกิดขึ้นตามแนวคลื่นกระแทกก็จะคงที่เช่นกัน กล่าวคือ${\displaystyle \nabla s=0}$ดังนั้น การเกิดกระแสน้ำวนจึงเป็นศูนย์ คลื่นกระแทกที่ขอบนำแหลมของลิ่มสองมิติหรือกรวยสามมิติ ( การไหลแบบเทย์เลอร์-แมคคอล ) มีความเข้มคงที่ 2) สำหรับคลื่นกระแทกที่อ่อน การกระโดดของเอนโทรปีข้ามคลื่นกระแทกเป็นปริมาณอันดับสามในแง่ของความแรงของคลื่นกระแทก ดังนั้น${\displaystyle \nabla s}$สามารถละเลยได้ คลื่นกระแทกในวัตถุที่เรียวบางจะวางตัวเกือบขนานกับตัววัตถุและมีความอ่อนแอ

การไหลแบบเกือบขนาน:เมื่อการไหลส่วนใหญ่เป็นไปในทิศทางเดียวโดยมีการเบี่ยงเบนเล็กน้อย เช่น ในการไหลผ่านวัตถุที่เรียวยาว สมการเต็มรูปแบบสามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้อีก ให้${\displaystyle U\mathbf {e} _{x}}$ให้ถือเป็นกระแสหลักและพิจารณาความเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากสนามความเร็วนี้ ศักย์ความเร็วที่สอดคล้องกันสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle \varphi =xU+\phi }$ที่ไหน${\displaystyle \phi }$แสดงถึงความเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากการไหลสม่ำเสมอ และสอดคล้องกับสมการฉบับเต็มในรูปแบบเชิงเส้น ซึ่งกำหนดโดย

$${\displaystyle (1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}$$

ที่ไหน${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$คือค่ามัคนัมเบอร์ คงที่ ที่สอดคล้องกับการไหลแบบสม่ำเสมอ สมการนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle M}$ยังห่างไกลจากความเป็นเอกภาพ เมื่อ${\displaystyle |M-1|}$หากมีขนาดเล็ก (การไหลแบบทรานโซนิก) เราจะมีสมการไม่เชิงเส้นต่อไปนี้^{[ 4 ]}

$${\displaystyle 2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle \alpha _{*}}$ค่าวิกฤตของอนุพันธ์แลนเดา${\displaystyle \alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}}$^{[ 6 ] [ 7 ]}และ${\displaystyle \upsilon =1/\rho }$คือปริมาตรจำเพาะการไหลแบบทรานโซนิกนั้นสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว${\displaystyle \alpha _{*}}$ซึ่งสำหรับก๊าซโพลีโทรปิกจะมีค่าดังนี้${\displaystyle \alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2}$ภายใต้ การแปลง แบบโฮโดกราฟสมการทรานโซนิกในสองมิติจะกลายเป็นสมการออยเลอร์-ทริโคมี

สมการความต่อเนื่องและสมการโมเมนตัม (การไหลศักย์) สำหรับการไหลที่ไม่คงที่นั้นกำหนดโดย

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.}$$

อินทิกรัลแรกของสมการโมเมนตัม (การไหลศักย์) กำหนดโดย

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle f(t)}$เป็นฟังก์ชันใดๆ ก็ได้ โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราสามารถกำหนดให้${\displaystyle f(t)=0}$เนื่องจาก${\displaystyle \varphi }$ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง เมื่อรวมสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .}$$

แทนที่ตรงนี้${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ส่งผลให้

$${\displaystyle \varphi _{tt}+(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).}$$

การไหลแบบเกือบขนาน:เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว สำหรับการไหลแบบเกือบขนาน เราสามารถเขียนได้ดังนี้ (หลังจากแนะนำเวลาที่ปรับขนาดแล้ว)${\displaystyle \tau =c_{\infty }t}$)

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$$

โดยที่เลขมัคคงที่${\displaystyle M}$ยังห่างไกลจากความเป็นเอกภาพ เมื่อ${\displaystyle |M-1|}$หากมีขนาดเล็ก (การไหลแบบทรานโซนิก) เราจะมีสมการไม่เชิงเส้นต่อไปนี้^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}$$

คลื่นเสียง:ในคลื่นเสียง ความเร็วและขนาด${\displaystyle v}$(หรือเลขมัค) มีค่าน้อยมาก แม้ว่าพจน์ที่ไม่คงที่นั้นจะเทียบได้กับพจน์นำหน้าอื่นๆ ในสมการก็ตาม ดังนั้น การละเลยพจน์กำลังสองและพจน์ลำดับสูงกว่าทั้งหมด และสังเกตว่าในการประมาณค่าเดียวกันนั้น${\displaystyle c}$เป็นค่าคงที่ (ตัวอย่างเช่น ในก๊าซโพลีโทรปิก)${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}}$) เรามี^{[ 8 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,}$$

ซึ่งเป็นสมการคลื่น เชิงเส้น สำหรับศักย์ความเร็วφอีกครั้งหนึ่ง ส่วนที่แกว่งไปมาของเวกเตอร์ความเร็วvเกี่ยวข้องกับศักย์ความเร็วโดยv = ∇ φในขณะที่Δคือตัวดำเนินการลาปลาสและcคือความเร็วเสียงเฉลี่ยในตัวกลางเอกพันธุ์โปรดสังเกตว่าส่วนที่แกว่งไปมาของความดันpและความหนาแน่นρแต่ละส่วนก็สอดคล้องกับสมการคลื่นในประมาณการนี้ เช่นกัน

ตัวอย่างของการแปลงคอนฟอร์มอลสำหรับกฎกำลังw = Az ⁿ

ตัวอย่างของแผนที่คอนฟอร์มอลสำหรับกฎกำลังw = Az ⁿสำหรับค่ากำลังn ที่แตกต่างกัน แสดงระนาบzซึ่งแสดงเส้นศักย์คงที่φและฟังก์ชันกระแสψในขณะที่w = φ + iψ

ในกรณีที่ใช้แผนที่คอนฟอร์มอลกำลังกฎ ต่อไปนี้ จาก z = x + iyไปยังw = φ + iψ : ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle w=Az^{n}\,,}$$

จากนั้นเขียนzในพิกัดเชิงขั้วเป็นz = x + iy = re ^iθเราจะได้^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}$$

ในรูปทางด้านขวามีตัวอย่างสำหรับค่าn หลายค่า เส้นสีดำคือขอบเขตของการไหล ในขณะที่เส้นสีน้ำเงินเข้มกว่าคือเส้นกระแส และเส้นสีน้ำเงินอ่อนกว่าคือเส้นศักย์เท่ากัน กำลังn ที่น่าสนใจบางส่วน คือ: ^{[ 12 ]}

• n = 1/2 : ซึ่งสอดคล้อง กับ การไหล รอบแผ่นกึ่งอนันต์
• n = ⁠ 2 / 3 ⁠ : ไหลวนรอบมุมขวา
• n = 1 : กรณีการไหลสม่ำเสมอแบบง่ายๆ
• n = 2 : การไหลผ่านมุม หรือใกล้จุดหยุดนิ่ง และ
• n = −1 : การไหลเนื่องจากแหล่งกำเนิดคู่

ค่า คงที่Aเป็นพารามิเตอร์การปรับขนาด: ค่าสัมบูรณ์ ของมัน | A |จะกำหนดขนาด ในขณะที่อาร์กิวเมนต์arg( A )จะทำให้เกิดการหมุน (ถ้าไม่ใช่ศูนย์)

แหล่งกำเนิดหรือตัวลดความแรงแบบเส้นตรง${\displaystyle Q}$(${\displaystyle Q>0}$สำหรับแหล่งที่มาและ${\displaystyle Q<0}$สำหรับอ่างรับน้ำ) จะได้รับจากศักยภาพ

$${\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}$$

ที่ไหน${\displaystyle Q}$อันที่จริงแล้ว คือปริมาณการไหลต่อหน่วยความยาวผ่านพื้นผิวที่ล้อมรอบแหล่งกำเนิดหรือตัวดูด ความเร็วในพิกัดเชิงขั้วคือ

$${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}$$

กล่าวคือ การไหลในแนวรัศมีโดยสมบูรณ์

กระแสพลังอันแรงกล้า${\displaystyle \Gamma }$ได้รับจาก

$${\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}$$

ที่ไหน${\displaystyle \Gamma }$คือการไหลเวียนรอบเส้นโค้งปิดอย่างง่ายใดๆ ที่ล้อมรอบกระแสน้ำวน สนามความเร็วในพิกัดเชิงขั้วคือ

$${\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$$

กล่าวคือ การไหลในแนวราบอย่างเดียว

ศักยภาพความเร็วของแหล่งกำเนิดหรือตัวดูดซับความแรงแบบจุด${\displaystyle Q}$(${\displaystyle Q>0}$สำหรับแหล่งที่มาและ${\displaystyle Q<0}$สำหรับจุดดูด (sink) ในพิกัดทรงกลมจะกำหนดโดย

$${\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle Q}$อันที่จริงแล้ว คือปริมาณการไหลผ่านพื้นผิวปิดที่ล้อมรอบแหล่งกำเนิดหรือตัวรับ สนามความเร็วในพิกัดทรงกลมคือ

$${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.}$$