เรขาคณิตของระบบควอนตัม (เช่น เรขาคณิตแบบไม่สลับที่และเรขาคณิตขั้นสูง ) ส่วนใหญ่กำหนดเป็นเงื่อนไขพีชคณิตของโมดูลและพีชคณิต การเชื่อมต่อบนโมดูลเป็นการวางนัยทั่วไปของการเชื่อมต่อ เชิงเส้น บนเวกเตอร์บันเดิล เรียบ ที่เขียนเป็นการเชื่อมต่อ Koszulบน โมดูลของส่วนต่างๆของ^{[ 1 ]}${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle C^{\infty }(X)}$${\displaystyle E\to X}$

ให้เป็นวงแหวน สลับที่ และเป็นโมดูลAมีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันของการเชื่อมต่อบน^{[ 2 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง การเชื่อมต่อเชิงเส้น -linear จะเป็นมอร์ฟิซึมเชิงเส้น -linear ${\displaystyle k\to A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \nabla :M\to \Omega _{A/k}^{1}\otimes _{A}M}$

ซึ่งตรงตามเอกลักษณ์

${\displaystyle \nabla (am)=da\otimes m+a\nabla m}$

การเชื่อมต่อนี้ขยายออกไปสู่แผนที่อันเป็นเอกลักษณ์ สำหรับทุกคน${\displaystyle p\geq 0}$

${\displaystyle \nabla :\Omega _{A/k}^{p}\otimes _{A}M\to \Omega _{A/k}^{p+1}\otimes _{A}M}$

กล่าวได้ว่าการเชื่อมต่อสามารถหาปริพันธ์ได้ก็ต่อเมื่อหรือเทียบเท่ากับ ถ้าความโค้งเป็นศูนย์ ${\displaystyle \nabla (\omega \otimes f)=d\omega \otimes f+(-1)^{p}\omega \wedge \nabla f}$${\displaystyle \nabla \circ \nabla =0}$${\displaystyle \nabla ^{2}:M\to \Omega _{A/k}^{2}\otimes M}$

ให้A เป็นโมดูลของการอนุพันธ์ของริง A การเชื่อมต่อบนโมดูลAถูกนิยามว่าเป็นมอร์ฟิซึมของโมดูล A${\displaystyle D(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \nabla :D(A)\to \mathrm {Diff} _{1}(M,M);u\mapsto \nabla _{u}}$

โดยที่ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ อันดับแรกบนนั้น เป็นไปตามกฎของไลบ์นิซ ${\displaystyle \nabla _{u}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in M.}$

การเชื่อมต่อบนโมดูลเหนือวงแหวนสลับที่นั้นมีอยู่เสมอ

ความโค้งของการเชื่อมต่อถูกกำหนดโดยตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับศูนย์ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}\,}$

บนโมดูลสำหรับทุกคน ${\displaystyle M}$${\displaystyle u,u'\in D(A)}$

ถ้าเป็นเวกเตอร์บันเดิล จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างการเชื่อมต่อเชิงเส้นบนและการเชื่อมต่อบน โมดูล -ของส่วนต่างๆ ของอย่างเคร่งครัดแล้วจะสอดคล้องกับอนุพันธ์ร่วมแปรของการเชื่อมต่อบน ${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle C^{\infty }(X)}$${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to X}$

แนวคิดของการเชื่อมต่อบนโมดูลเหนือวงแหวนสลับเปลี่ยนสามารถขยายไปยังโมดูลเหนือพีชคณิตสลับเปลี่ยนแบบแบ่งระดับได้โดยตรง[ 3 ^{]นี่คือ}กรณีของ ซูเปอร์คอนเน็กชันในซูเปอร์เรขาคณิตของ แมนิโฟลด์แบบแบ่งระดับและบันเดิลเวกเตอร์ซูเปอร์คอนเน็กชันมีอยู่เสมอ

ถ้าเป็นวงแหวนที่ไม่สลับที่กัน การเชื่อมต่อบน โมดูล A ด้านซ้ายและด้านขวา จะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการเชื่อมต่อบนโมดูลเหนือวงแหวนที่สลับที่กันได้^{[ 4 ]}อย่างไรก็ตาม การเชื่อมต่อเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมีอยู่ ${\displaystyle A}$

ตรงกันข้ามกับการเชื่อมต่อบนโมดูลซ้ายและขวา มีปัญหาในการกำหนดการเชื่อมต่อบน R - S - bimoduleเหนือวงแหวนที่ไม่สลับที่ RและSมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันของการเชื่อมต่อดังกล่าว^{[ 5 ]}ลองกล่าวถึงหนึ่งในนั้น การเชื่อมต่อบน R - S - bimodule ถูกกำหนดให้เป็นมอร์ฟิซึมของ bimodule ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P)}$

ซึ่งเป็นไปตามกฎของไลบ์นิซ

${\displaystyle \nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S,\quad p\in P.}$

• การเชื่อมต่อ (ชุดเวกเตอร์)
• ความสัมพันธ์ (คณิตศาสตร์)
• เรขาคณิตไม่สลับที่
• ซูเปอร์เรขาคณิต
• แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์บนพีชคณิตสลับที่

• Sardanashvily, G. (2009). "การบรรยายเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของโมดูลและวงแหวน". arXiv : 0910.1515 [ math-ph ].