ในตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณการอนุมานแบบแยกส่วนในรูปแบบ${\displaystyle (\phi \lor \psi )\to (\neg \phi \to \psi )}$โดยทั่วไปแล้วมักจะเกิดขึ้นเฉพาะใน${\displaystyle \to }$-ทิศทาง ในลำดับเสมือน จะมี

${\displaystyle \neg (x>0\lor 0>x)\to x\cong 0}$

และในความเป็นจริงแล้ว เงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งในสามข้อนี้เท่านั้นที่จะเป็นจริงได้ในคราวเดียว แต่กฎการแยกสามทาง ที่แข็งแกร่งกว่า และเป็นไปตาม หลักตรรกะ นั้น โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นจริงกล่าวคือ ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด

${\displaystyle (x>0\lor 0>x)\lor x\cong 0}$

ดูการวิเคราะห์${\displaystyle {\mathrm {LPO} }}$อย่างไรก็ตาม อาจมีการระบุถึงความไม่สอดคล้องกันอื่นๆ โดยอิงจากผลลัพธ์เชิงบวกอื่นๆ เช่น${\displaystyle (x+y>0)\to (x>0\lor y>0)}$ในทำนองเดียวกัน ลำดับที่ไม่สมมาตรในทฤษฎีควรเป็นไปตามคุณสมบัติความเป็นเส้นตรงแบบอ่อน${\displaystyle (y>x)\to (y>t\lor t>x)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle t}$เกี่ยวข้องกับตำแหน่งที่ตั้งของวัตถุจริง

ทฤษฎีนี้จะยืนยันสัจพจน์เพิ่มเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างภาคแสดงความเป็นบวก${\displaystyle x>0}$และการดำเนินการทางพีชคณิต รวมถึงการผกผันการคูณ ตลอดจนทฤษฎีบทค่ากลางสำหรับพหุนาม ในทฤษฎีนี้ ระหว่างจำนวนสองจำนวนใดๆ ที่แยกจากกัน จะมีจำนวนอื่นๆ อยู่ด้วย

ในบริบทของการวิเคราะห์ กริยาช่วยเชิงบวกเชิงตรรกะ

${\displaystyle x\#y\,:=\,(x>y\lor y>x)}$

อาจได้รับการกำหนดอย่างอิสระและก่อให้เกิดความสัมพันธ์ที่แยก จากกัน ด้วยเหตุนี้ การแทนที่หลักการข้างต้นจึงให้ความแน่นแฟ้น

${\displaystyle \neg (x\#0)\leftrightarrow (x\cong 0)}$

ดังนั้น ความห่างเหินจึงสามารถทำหน้าที่เป็นนิยามของ "${\displaystyle \cong }$"ทำให้มันกลายเป็นการปฏิเสธ การปฏิเสธทั้งหมดมีความเสถียรในตรรกะแบบสัญชาตญาณนิยม และดังนั้น

${\displaystyle \neg \neg (x\cong y)\leftrightarrow (x\cong y)}$

การแยกส่วนสามส่วนที่เข้าใจยากนั้นจึงอ่านได้ดังนี้

${\displaystyle (x\#0)\lor \neg (x\#0)}$

ที่สำคัญคือการพิสูจน์การเชื่อมโยงแบบ "หรือ"${\displaystyle x\#y}$นำเสนอข้อมูลเชิงบวกในทั้งสองความหมายของคำนี้ ผ่านทาง${\displaystyle (\phi \to \neg \psi )\leftrightarrow (\psi \to \neg \phi )}$นอกจากนี้ยังสรุปได้ว่า${\displaystyle x\#0\to \neg (x\cong 0)}$กล่าวคือ การพิสูจน์ว่าจำนวนหนึ่งแตกต่างจากศูนย์นั้น ก็เป็นการพิสูจน์ว่าจำนวนนั้นไม่ใช่ศูนย์ด้วยเช่นกัน แต่ในทางสร้างสรรค์แล้ว ข้อความปฏิเสธสองครั้งนั้นไม่ได้หมายความว่าจะเป็นเช่นนั้นเสมอไป${\displaystyle \neg (x\cong 0)}$จะหมายความว่า${\displaystyle x\#0}$ดังนั้น ข้อความที่เทียบเท่ากันในทางคลาสสิกจำนวนมากจึงแยกออกเป็นข้อความที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับพหุนามที่กำหนดไว้${\displaystyle p\in {\mathbb {R} }[x]}$และคงที่${\displaystyle k\in {\mathbb {N} }}$คำกล่าวที่ว่า${\displaystyle k}$สัมประสิทธิ์ลำดับที่${\displaystyle a_{k}}$ของ${\displaystyle p}$การที่มันแตกต่างจากศูนย์นั้นมีความหมายที่หนักแน่นกว่าการกล่าวอ้างเพียงแค่ว่ามันไม่เป็นศูนย์ การพิสูจน์ข้อแรกจะอธิบายให้เห็นภาพชัดเจนยิ่งขึ้น${\displaystyle a_{k}}$และศูนย์มีความสัมพันธ์กันในแง่ของเงื่อนไขการเรียงลำดับบนจำนวนจริง ในขณะที่การพิสูจน์ในส่วนหลังแสดงให้เห็นว่าการปฏิเสธเงื่อนไขดังกล่าวจะนำไปสู่ความขัดแย้ง ในทางกลับกัน ก็ยังมีแนวคิดที่เข้มงวดและหลวมๆ เกี่ยวกับตัวอย่างเช่น การเป็นพหุนามอันดับสาม

ดังนั้นค่ากลางที่ถูกยกเว้นสำหรับ${\displaystyle x\#0}$Apriori แข็งแกร่งกว่า Apriori สำหรับ${\displaystyle x\cong 0}$อย่างไรก็ตาม โปรดดูการอภิปรายเกี่ยวกับหลักการเชิงสัจพจน์เพิ่มเติมที่เป็นไปได้เกี่ยวกับความแข็งแกร่งของ "${\displaystyle \cong }$" ด้านล่าง.

สุดท้ายนี้ ความสัมพันธ์${\displaystyle 0\geq x}$อาจถูกกำหนดหรือพิสูจน์ได้ว่าเทียบเท่ากับข้อความปฏิเสธเชิงตรรกะ${\displaystyle \neg (x>0)}$แล้วก็${\displaystyle x\leq 0}$ถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle 0\geq x}$ความสามารถในการตัดสินใจเกี่ยวกับความเป็นบวกจึงอาจแสดงได้ดังนี้${\displaystyle x>0\lor 0\geq x}$ซึ่งอย่างที่กล่าวไว้แล้วว่าโดยทั่วไปจะไม่สามารถพิสูจน์ได้ แต่การแยกส่วนโดยรวมก็จะไม่สามารถพิสูจน์ได้เช่นกัน${\displaystyle x\geq 0\lor 0\geq x}$ดูเพิ่มเติมที่การวิเคราะห์${\displaystyle {\mathrm {LLPO} }}$.

ตามกฎของเดอ มอร์แกน ที่ถูกต้อง การเชื่อมโยงของข้อความดังกล่าวจึงกลายเป็นการปฏิเสธการแยกจากกันด้วยเช่นกัน ดังนั้น

${\displaystyle (x\geq y\land y\geq x)\leftrightarrow (x\cong y)}$

การแยก${\displaystyle x>y\lor x\cong y}$หมายความว่า${\displaystyle x\geq y}$แต่ทิศทางอื่นก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยทั่วไปเช่นกัน ในฟิลด์ปิดจริงเชิงสร้างสรรค์ความสัมพันธ์ "${\displaystyle \geq }$" เป็นการปฏิเสธ และไม่เท่ากับการเชื่อมแบบ "หรือ" โดยทั่วไป

การเรียกร้องคุณสมบัติความเป็นระเบียบเรียบร้อยที่ดีดังที่กล่าวมาข้างต้น แต่ในขณะเดียวกันก็ต้องมีคุณสมบัติความสมบูรณ์แบบที่แข็งแกร่งด้วยนั้น หมายความว่า${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$ที่น่าสังเกตคือการเติมเต็มแบบ MacNeilleมีคุณสมบัติความสมบูรณ์ที่ดีกว่าในฐานะชุดข้อมูล แต่มีทฤษฎีความสัมพันธ์เชิงลำดับที่ซับซ้อนกว่า และในทางกลับกัน คุณสมบัติการระบุตำแหน่งที่แย่กว่า แม้ว่าจะไม่ค่อยได้ใช้กันทั่วไป แต่โครงสร้างนี้ก็สามารถลดรูปเป็นจำนวนจริงแบบคลาสสิกได้เมื่อสมมติว่า${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$.

เนื่องจากค่าสูงสุดบนเซตจำกัดของจำนวนตรรกยะสามารถตัดสินได้ จึงสามารถกำหนดแผนที่ค่าสัมบูรณ์บนจำนวนจริงได้ และสามารถกำหนดการลู่เข้าของโคชี และลิมิตของลำดับจำนวนจริงได้ตามปกติ

ค่าสัมประสิทธิ์การลู่เข้ามักถูกนำมาใช้ในการศึกษาเชิงสร้างสรรค์ของลำดับโคชีของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงการเชื่อมโยงของใดๆ${\displaystyle \varepsilon >0}$ไปยังดัชนีที่เหมาะสม (ซึ่งลำดับจะอยู่ใกล้กันมากกว่า)${\displaystyle \varepsilon }$) จำเป็นต้องอยู่ในรูปแบบของฟังก์ชันที่ชัดเจนและเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด${\displaystyle \varepsilon \mapsto N(\varepsilon )}$ค่าสัมบูรณ์ดังกล่าวอาจนำมาพิจารณาสำหรับลำดับของจำนวนจริงได้ แต่ก็อาจนำมาพิจารณาสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดได้เช่นกัน ซึ่งในกรณีนี้ เรากำลังพิจารณาลำดับของคู่จำนวนจริงอยู่

เมื่อพิจารณาแบบจำลองดังกล่าวแล้ว จะทำให้สามารถกำหนดแนวคิดทางทฤษฎีเซตเพิ่มเติมได้ สำหรับเซตย่อยใดๆ ของจำนวนจริง เราอาจกล่าวถึงขอบเขตบนได้${\displaystyle b}$มีลักษณะเชิงลบโดยใช้${\displaystyle x\leq b}$อาจกล่าวได้ว่ามีขอบเขตบนต่ำสุดที่เกี่ยวข้องกับ "${\displaystyle \leq }$ค่า สูงสุด (Supremum)คือขอบเขตบนที่กำหนดโดยลำดับของจำนวนจริง ซึ่งมีลักษณะเฉพาะในเชิงบวกโดยใช้"${\displaystyle <}$". ถ้าเซตย่อยที่มีขอบเขตบนมีพฤติกรรมที่ดีเมื่อเทียบกับ "${\displaystyle <}$(ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป) มีค่าสูงสุด

รูปแบบหนึ่งของการวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์ที่เป็นทางการ ซึ่งจำลองคุณสมบัติลำดับที่อธิบายไว้ข้างต้น สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับลำดับของจำนวนตรรกยะได้${\displaystyle x}$การปฏิบัติตามเงื่อนไขความสม่ำเสมอ${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|\leq {\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{m}}}$อีกทางเลือกหนึ่งคือการใช้แบบที่รัดแน่นกว่า${\displaystyle 2^{-n}}$แทนที่จะ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$และในกรณีหลัง ควรใช้ดัชนีที่ไม่เป็นศูนย์ ไม่มีจำนวนตรรกยะสองตัวใดในลำดับปกติที่มีค่ามากกว่า${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$แยกออกจากกัน และด้วยเหตุนี้จึงสามารถคำนวณจำนวนธรรมชาติที่เกินจำนวนจริงใดๆ ได้ สำหรับลำดับปกติ จะกำหนดคุณสมบัติความเป็นบวกแบบหลวมๆ ที่เป็นบวกเชิงตรรกะดังนี้${\displaystyle x>0\,:=\,\exists n.x_{n}>{\tfrac {1}{n}}}$โดยที่ความสัมพันธ์ทางด้านขวามืออยู่ในรูปของจำนวนตรรกยะ ในทางรูปธรรม จำนวนจริงบวกในภาษานี้คือลำดับปกติพร้อมกับความเป็นบวกตามธรรมชาติ นอกจากนี้${\displaystyle x\cong y\,:=\,\forall n.|x_{n}-y_{n}|\leq {\tfrac {2}{n}}}$ซึ่งในเชิงตรรกะแล้วเทียบเท่ากับการปฏิเสธ${\displaystyle \neg \exists n.|x_{n}-y_{n}|>{\tfrac {2}{n}}}$นี่เป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดที่พิสูจน์ได้ และในทางกลับกันก็เป็น ความสัมพันธ์ สมมูลผ่านทางภาคแสดงนี้ ลำดับปกติในแถบ${\displaystyle |x_{n}|\leq {\tfrac {2}{n}}}$ถือว่าเทียบเท่ากับลำดับศูนย์ คำจำกัดความดังกล่าวเข้ากันได้กับการวิจัยแบบคลาสสิก และรูปแบบต่างๆ ของการวิจัยนี้ก็ได้รับการศึกษามาเป็นอย่างดีก่อนหน้านี้เช่นกัน หนึ่งมี${\displaystyle y>x}$เช่น${\displaystyle (y-x)>0}$. อีกด้วย,${\displaystyle x\geq 0}$อาจกำหนดได้จากคุณสมบัติที่ไม่เป็นลบเชิงตัวเลข ดังนี้${\displaystyle x_{n}\geq -{\tfrac {1}{n}}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle n}$แต่ต่อมาแสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากับการปฏิเสธเชิงตรรกะของข้อก่อนหน้า^{[ 5 ] [ 6 ]}

คำจำกัดความข้างต้นของ${\displaystyle x\cong y}$ใช้ขอบเขตทั่วไป${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$รูปแบบที่เป็นทางการอื่นๆ ใช้คำจำกัดความโดยตรงว่า สำหรับขอบเขตคงที่ใดๆ${\displaystyle {\tfrac {2}{N}}}$ตัวเลข${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ในที่สุดแล้วจะต้องอยู่ใกล้กันตลอดไปอย่างน้อยที่สุด ขอบเขตที่ลดลงอย่างรวดเร็วแบบทวีคูณ${\displaystyle 2^{-n}}$นอกจากนี้ยังใช้ในเงื่อนไขจำนวนจริงด้วย${\displaystyle \forall n.|x_{n}-x_{n+1}|<2^{-n}}$และเช่นเดียวกันสำหรับความเท่าเทียมกันของจำนวนจริงสองจำนวนดังกล่าว นอกจากนี้ ลำดับของจำนวนตรรกยะอาจจำเป็นต้องมีโมดูลัสของการลู่เข้า คุณสมบัติเชิงบวกอาจถูกกำหนดให้แยกจากกันอย่างถาวรโดยจำนวนตรรกยะบางจำนวน

การเลือกฟังก์ชันใน${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$หรือหลักการที่แข็งแกร่งกว่านั้นจะช่วยสนับสนุนกรอบการทำงานดังกล่าว

เป็นที่น่าสังเกตว่าลำดับใน${\displaystyle {\mathbb {Q} }^{\mathbb {N} }}$สามารถเขียนโค้ดได้อย่างกระชับ เนื่องจากแต่ละส่วนสามารถแมปไปยังคลาสย่อยที่ไม่ซ้ำกันได้${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ลำดับของจำนวนตรรกยะ${\displaystyle i\mapsto {\tfrac {n_{i}}{d_{i}}}(-1)^{s_{i}}}$อาจเข้ารหัสเป็นชุดของเลขสี่${\displaystyle \langle i,n_{i},d_{i},s_{i}\rangle \in {\mathbb {N} }^{4}}$ในทางกลับกัน สิ่งนี้สามารถเข้ารหัสเป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกันได้${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{n_{i}}\cdot 5^{d_{i}}\cdot 7^{s_{i}}}$โดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิต นอกจากนี้ยัง มีฟังก์ชันการจับคู่ ที่ประหยัดกว่า หรือแท็กการเข้ารหัสส่วนขยาย หรือเมตาเดตา ตัวอย่างเช่น การใช้การเข้ารหัสนี้ ลำดับจะเป็นดังนี้${\displaystyle i\mapsto {\textstyle \sum }_{k=0}^{i}{\tfrac {1}{k!}}}$, หรือ${\displaystyle 1,2,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},\dots }$อาจใช้ในการคำนวณเลขของออยเลอร์และด้วยโค้ดข้างต้น จะแมปไปยังคลาสย่อย${\displaystyle \{15,90,24300,6561000,\dots \}}$ของ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$แม้ว่าตัวอย่างนี้ ซึ่งเป็นลำดับของผลรวมที่ชัดเจน จะเป็นฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำโดยสมบูรณ์ตั้งแต่แรก แต่การเข้ารหัสยังหมายความว่าวัตถุเหล่านี้อยู่ในขอบเขตของตัวบ่งปริมาณในเลขคณิตอันดับสองด้วย

ในบางกรอบแนวคิดของการวิเคราะห์ลำดับหรือจำนวนตรรกยะที่มีพฤติกรรมที่ดี และความสัมพันธ์ต่างๆ เช่นจำนวนจริง จะถูกเรียกว่าเช่นนั้น${\displaystyle x\cong y}$เรียกว่าจำนวนเท่าเทียมหรือจำนวนจริงอย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่ามีคุณสมบัติบางอย่างที่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองจำนวนนี้ได้${\displaystyle \cong }$- ที่เกี่ยวข้องจริง ๆ

ในทางตรงกันข้าม ในทฤษฎีเซตที่จำลองจำนวนธรรมชาติ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$และยืนยันการมีอยู่ของปริภูมิฟังก์ชันที่ไม่สามารถนับได้ในทางคลาสสิก (และแน่นอนว่าสามารถกล่าวได้ว่า)${\displaystyle {\mathsf {CZF}}}$หรือแม้กระทั่ง${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$) ตัวเลขที่เทียบเท่ากับ "${\displaystyle \cong }$" ใน${\displaystyle {\mathbb {Q} }^{\mathbb {N} }}$อาจถูกรวบรวมเป็นเซต และเซตนี้เรียกว่าจำนวนจริงโคชีในภาษาดังกล่าว ลำดับตรรกยะปกติจะถูกลดระดับให้เป็นเพียงตัวแทนของจำนวนจริงโคชี ความเท่าเทียมกันของจำนวนจริงเหล่านั้นจะได้รับจากความเท่าเทียมกันของเซต ซึ่งถูกควบคุมโดยสัจพจน์ทางทฤษฎีเซตของความขยาย ผลที่ตามมาคือทฤษฎีเซตจะพิสูจน์คุณสมบัติสำหรับจำนวนจริง กล่าวคือสำหรับเซตประเภทนี้ ซึ่งแสดงโดยใช้ความเท่าเทียมกันเชิงตรรกะ จำนวนจริงเชิงสร้างสรรค์ในกรณีที่มีสัจพจน์การเลือกที่เหมาะสมจะเป็นจำนวนจริงโคชีที่สมบูรณ์ แต่จะไม่สมบูรณ์แบบตามลำดับโดยอัตโนมัติ^{[ 7 ]}

ในบริบทนี้ อาจเป็นไปได้ที่จะสร้างแบบจำลองทฤษฎีหรือจำนวนจริงโดยใช้การตัดของ เดเดคินด์ (Dedekind cuts)${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$อย่างน้อยก็เมื่อสมมติว่า${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$หรือการเลือกแบบพึ่งพา โครงสร้างเหล่านี้มีโครงสร้างเหมือนกัน

อีกแนวทางหนึ่งคือการกำหนดจำนวนจริงให้เป็นเซตย่อยบางส่วนของ${\displaystyle {\mathbb {Q} }\times {\mathbb {Q} }}$โดยเก็บคู่ที่แสดงถึงช่วงเวลาที่มีสิ่งมีชีวิตอาศัยอยู่และตัดกันเป็นคู่ๆ

โปรดจำไว้ว่าการสั่งจองล่วงหน้าสำหรับพระคาร์ดินัล "${\displaystyle \leq }$ในทฤษฎีเซต แนวคิดหลักคือ การมีอยู่ แบบฉีด (injection existence) ดังนั้น ทฤษฎีเชิงสร้างสรรค์ของลำดับเชิงคาร์ดินัลจึงอาจแตกต่างจากทฤษฎีแบบคลาสสิกอย่างมาก ในที่นี้ เซตต่างๆ เช่น${\displaystyle {\mathbb {Q} }^{\mathbb {N} }}$หรือบางแบบจำลองของจำนวนจริงอาจถือได้ว่าเป็นจำนวนนับย่อย

ถึงกระนั้นการสร้างแนวทแยงของแคนเตอร์พิสูจน์ว่าเซตกำลังนั้นนับไม่ได้ เช่น${\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$และพื้นที่ใช้งานธรรมดา เช่น${\displaystyle {\mathbb {Q} }^{\mathbb {N} }}$มี ความถูกต้อง ตามสัญชาตญาณสมมติว่า${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$หรืออีกทาง เลือกหนึ่งคือสัจพจน์ การเลือกที่นับได้ แบบจำลองของ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$มักจะนับไม่ได้เสมอ แม้แต่ในกรอบโครงสร้างเชิงสร้างสรรค์^{[ 8 ]}รูปแบบหนึ่งของการสร้างแนวทแยงที่เกี่ยวข้องกับบริบทปัจจุบันอาจกำหนดได้ดังนี้ พิสูจน์โดยใช้การเลือกที่นับได้และสำหรับจำนวนจริงเป็นลำดับของจำนวนตรรกยะ: ^{[ 9 ]}

สำหรับจำนวนจริงสองคู่ใดๆ${\displaystyle a<b}$และลำดับของจำนวนจริงใดๆ${\displaystyle x_{n}}$มีอยู่จริง${\displaystyle z}$กับ${\displaystyle a<z<b}$และ${\displaystyle \forall (n\in {\mathbb {N} }).x_{n}\,\#\,z}$.

การกำหนดสูตรของจำนวนจริงโดยอาศัยโมดูลัสที่ชัดเจน ช่วยให้สามารถดำเนินการแยกกันได้

ตามที่คานาโมริ กล่าวไว้ ว่า "มีการบิดเบือนทางประวัติศาสตร์ที่เชื่อมโยงการทำให้เป็นแนวทแยงกับการไม่สร้างสรรค์" และองค์ประกอบเชิงสร้างสรรค์ของการโต้แย้งแนวทแยงปรากฏอยู่ในงานของแคนเตอร์แล้ว^{[ 10 ]}