สมการการพาความร้อน-การแพร่เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบพาราโบลาที่รวมสม การ การแพร่และการพาความร้อน ( การพา ) เข้าด้วยกัน สมการนี้อธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพที่อนุภาค พลังงาน หรือปริมาณทางกายภาพอื่นๆ ถูกถ่ายโอนภายในระบบทางกายภาพเนื่องจากกระบวนการสองอย่าง คือการแพร่และการพา ขึ้นอยู่กับบริบท สมการเดียวกันนี้อาจเรียกว่าสมการการพาความร้อน - การแพร่สมการการดริฟต์-การ แพร่ ^{[ 1 ]}หรือ สมการการขนส่งสเกลา ร์(ทั่วไป) ^{[ 2 ]}

สมการทั่วไปในรูปแบบอนุรักษ์คือ^{[ 3 ] [ 4 ]} โดยที่ $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(D\nabla c-\mathbf {v} c\right)+R}$$

• cคือตัวแปรที่สนใจ (ความเข้มข้นของชนิดสารสำหรับการถ่ายเทมวลอุณหภูมิสำหรับการถ่ายเทความร้อน )
• Dคือค่าการแพร่ (หรือเรียกว่าสัมประสิทธิ์การแพร่ ) เช่นค่าการแพร่ของมวลสำหรับการเคลื่อนที่ของอนุภาค หรือค่าการแพร่ความร้อนสำหรับการถ่ายเทความร้อน
• vคือ สนาม ความเร็วที่ปริมาณนั้นเคลื่อนที่ไปด้วย มันเป็นฟังก์ชันของเวลาและพื้นที่ ตัวอย่างเช่น ในการเคลื่อนที่แบบพาความร้อน cอาจเป็นความเข้มข้นของเกลือในแม่น้ำ และ vก็จะเป็นความเร็วของการไหลของน้ำซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลาและตำแหน่ง อีกตัวอย่างหนึ่ง cอาจเป็นความเข้มข้นของฟองอากาศขนาดเล็กในทะเลสาบที่สงบ และ vก็จะเป็นความเร็วของฟองอากาศที่ลอยขึ้นสู่ผิวน้ำด้วยแรงลอยตัว (ดูด้านล่าง ) ขึ้นอยู่กับเวลาและตำแหน่งของฟองอากาศ สำหรับการไหลแบบหลายเฟสและการไหลในตัวกลางที่มีรูพรุนvคือความเร็วผิว (สมมติฐาน )
• Rอธิบายถึงแหล่งที่มาหรือแหล่งกำจัดของปริมาณcกล่าวคือ การสร้างหรือการทำลายปริมาณนั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับสารเคมีชนิดหนึ่งR > 0หมายความว่าปฏิกิริยาเคมีกำลังสร้างสารชนิดนั้นเพิ่มขึ้น และR < 0หมายความว่าปฏิกิริยาเคมีกำลังทำลายสารชนิดนั้น สำหรับการถ่ายเทความร้อนR > 0อาจเกิดขึ้นได้หากพลังงานความร้อนถูกสร้างขึ้นจากแรงเสียดทาน
• ∇แทนเกรเดียนต์และ∇ ⋅แทนไดเวอร์เจนซ์ในสมการนี้∇ cแทนเกรเดียนต์ความเข้มข้น

โดยทั่วไปD , vและRอาจแปรผันไปตามพื้นที่และเวลา ในกรณีที่ค่าเหล่านี้ขึ้นอยู่กับความเข้มข้นด้วย สมการจะกลายเป็นสมการไม่เชิงเส้น ทำให้เกิดปรากฏการณ์การผสมที่แตกต่างกันมากมาย เช่นการพาความร้อนแบบ Rayleigh–Bénardเมื่อvขึ้นอยู่กับอุณหภูมิในสูตรการถ่ายเทความร้อน และ การก่อตัวของรูปแบบ ปฏิกิริยา-การแพร่เมื่อRขึ้นอยู่กับความเข้มข้นในสูตรการถ่ายเทมวล

โดยทั่วไปแล้วจะมีปริมาณหลายอย่าง แต่ละอย่างมีสมการการพาความร้อนและการแพร่กระจายของตัวเอง ซึ่งการทำลายปริมาณหนึ่งจะนำไปสู่การสร้างปริมาณอื่น ตัวอย่างเช่น เมื่อมีเทนเผาไหม้ มันจะไม่เพียงแต่ทำลายมีเทนและออกซิเจนเท่านั้น แต่ยังสร้างคาร์บอนไดออกไซด์และไอน้ำด้วย ดังนั้น แม้ว่าสารเคมีแต่ละชนิดจะมีสมการการพาความร้อนและการแพร่กระจายของตัวเอง แต่พวกมันก็เชื่อมโยงกันและต้องแก้เป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์

สมการการพาความร้อน-การแพร่กระจายสามารถหาได้โดยง่าย^{[ 4 ​​]}จากสมการความต่อเนื่องซึ่งระบุว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณสเกลาร์ในปริมาตรควบคุมเชิงอนุพันธ์ นั้นกำหนดโดยการไหลและการแพร่กระจายเข้าและออกจากส่วนนั้นของระบบพร้อมกับการสร้างหรือการบริโภคใดๆ ภายในปริมาตรควบคุม: โดยที่j คือ ฟลักซ์ทั้งหมดและRคือแหล่งกำเนิดปริมาตรสุทธิสำหรับcมีแหล่งกำเนิดฟลักซ์สองแหล่งในสถานการณ์นี้ ประการแรก ฟลักซ์การแพร่กระจายเกิดขึ้นเนื่องจากการแพร่กระจาย โดยทั่วไปจะประมาณโดยกฎข้อแรกของฟิก : กล่าวคือ ฟลักซ์ของวัสดุที่แพร่กระจาย (สัมพันธ์กับการเคลื่อนที่โดยรวม) ในส่วนใดส่วนหนึ่งของระบบเป็นสัดส่วนกับความชัน ของความเข้มข้นในท้องถิ่น ประการที่สอง เมื่อมีการพาความร้อนหรือการไหลโดยรวม จะมีฟลักซ์ที่เกี่ยวข้องเรียกว่าฟลักซ์การพาความร้อน : ฟลักซ์ทั้งหมด (ในระบบพิกัดคงที่) กำหนดโดยผลรวมของทั้งสองนี้: เสียบลงในสมการความต่อเนื่อง: $${\displaystyle {\frac {\บางส่วน c}{\บางส่วน t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,}$$$${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{diff}}=-D\nabla c}$$$${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{adv}}=\mathbf {v} c}$$$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}}+\mathbf {j} _{\text{adv}}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.}$$

ในสถานการณ์ทั่วไป ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายจะคงที่ ไม่มีแหล่งกำเนิดหรือแหล่งดูดซับ และสนามความเร็วจะอธิบายการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ (กล่าวคือ มีค่าไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์ ) จากนั้นสูตรจะลดรูปเหลือ: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v} \cdot \nabla c.}$$

ในกรณีนี้ สมการสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบการแพร่กระจาย อย่างง่ายได้ : $${\displaystyle {\frac {dc}{dt}}=D\nabla ^{2}c,}$$

โดยที่อนุพันธ์ของด้านซ้ายมือคืออนุพันธ์เชิงวัสดุของตัวแปรcในวัสดุที่ไม่เกิดปฏิกิริยากันD = 0 (ตัวอย่างเช่น เมื่ออุณหภูมิใกล้ศูนย์สัมบูรณ์ ก๊าซเจือจางจะมีค่าการแพร่ของมวล เกือบเป็นศูนย์ ) ดังนั้นสมการการขนส่งจึงเป็นเพียงสมการความต่อเนื่อง: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla c=0.}$$

การใช้การแปลงฟูริเยร์ทั้งในโดเมนเวลาและโดเมนพื้นที่ (นั่นคือ ด้วยเคอร์เนลอินทิกรัล ) จะสามารถหา สมการลักษณะเฉพาะ ได้ดังนี้: ซึ่งให้คำตอบทั่วไป: โดยที่เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ที่หาอนุพันธ์ได้ ใดๆ นี่คือพื้นฐานของการวัดอุณหภูมิสำหรับคอนเดนเซตโบส-ไอน์สไตน์ใกล้เคียง^{[ 6 ]}ผ่านวิธีการเวลาบิน^{[ 7 ]}${\displaystyle e^{i\omega t+i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$$${\displaystyle i\omega {\tilde {c}}+\mathbf {v} \cdot i\mathbf {k} {\tilde {c}}=0\rightarrow \omega =-\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} ,}$$$${\displaystyle c=f(\mathbf {x} -\mathbf {v} t),}$$${\displaystyle f}$

สมการการพาความร้อน-การแพร่กระจายแบบคงที่อธิบาย พฤติกรรม สภาวะคงที่ของระบบการพาความร้อน-การแพร่กระจาย^{[ 8 ]}ในสภาวะคงที่⁠∂ c/∂ t⁠ = 0ดังนั้นสมการที่ต้องแก้จึงกลายเป็นสมการอันดับสอง: ในมิติเชิงพื้นที่หนึ่งมิติ สมการสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle \nabla \cdot (-D\nabla c+\mathbf {v} c)=R.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(-D(x){\frac {dc(x)}{dx}}+v(x)c(x)\right)=R(x)}$$

ซึ่งสามารถอินทิเกรตได้หนึ่งครั้งในตัวแปรพื้นที่xเพื่อให้ได้:

$${\displaystyle D(x){\frac {dc(x)}{dx}}-v(x)c(x)=-\int _{x}R(x')dx'}$$

ในกรณีที่ D ไม่เป็นศูนย์ นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งแบบไม่เอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์แปรผันในตัวแปร c(x):

$${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$ โดยที่สัมประสิทธิ์คือ: และ: ในทางกลับกัน ในตำแหน่งxที่D = 0เทอมการแพร่อันดับแรกจะหายไป และคำตอบจะกลายเป็นเพียงอัตราส่วน: $${\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{D(x)}}}$$$${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{D(x)}}\int _{x}R(x')\,dx'}$$

$${\displaystyle c(x)={\frac {1}{v(x)}}\int _{x}R(x')\,dx'}$$

ในบางกรณี สนามความเร็วเฉลี่ยvมีอยู่เนื่องจากแรง ตัวอย่างเช่น สมการอาจอธิบายการไหลของไอออนที่ละลายในของเหลว โดยมีสนามไฟฟ้าดึงไอออนไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง (เช่นในเจลอิเล็กโทรโฟเรซิส ) ในสถานการณ์นี้ มักเรียกว่าสมการดริฟต์-ดิฟฟิวชันหรือสมการสโมลูโชว์สกี^{[ 1 ]}ตามชื่อของมาเรียน สโมลูโชว์สกีผู้ซึ่งอธิบายไว้ในปี พ.ศ. 2458 ^{[ 9 ]} (ไม่ควรสับสนกับความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์-สโมลูโชว์สกีหรือสมการการจับตัวเป็นก้อนของสโมลูโชว์สกี )

โดยทั่วไป ความเร็วเฉลี่ยจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงที่ใช้ ทำให้ได้สมการดังนี้: ^{[ 10 ] [ 11 ]} โดยที่Fคือแรง และζเป็นตัวกำหนดแรงเสียดทานหรือแรงต้านหนืด (ค่าผกผันของ ζ ⁻¹เรียกว่าความคล่องตัว ) $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot \left(\zeta ^{-1}\mathbf {F} c\right)+R}$$

เมื่อแรงเกี่ยวข้องกับพลังงานศักยภาพF = −∇ U (ดูแรงอนุรักษ์ ) คำตอบ สภาวะคงที่ของสมการข้างต้น (เช่น0 = R = ⁠)∂ c/∂ t)คือ: (โดยสมมติว่า Dและ ζคงที่) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีอนุภาคมากขึ้นในบริเวณที่มีพลังงานต่ำกว่า โปรไฟล์ความเข้มข้นนี้คาดว่าจะสอดคล้องกับการกระจายแบบโบลต์ซมันน์ (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือการวัดของกิบบส์ ) จากสมมติฐานนี้ความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์สามารถพิสูจน์ได้: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle c\propto \exp \left(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\right)}$$$${\displaystyle D\zeta =k_{\mathrm {B} }T.}$$

สมการการพาความร้อนและการแพร่กระจายเป็นสมการที่ค่อนข้างง่ายซึ่งอธิบายการไหล หรืออีกนัยหนึ่งคืออธิบายระบบที่เปลี่ยนแปลงแบบสุ่ม ดังนั้น สมการเดียวกันหรือคล้ายกันจึงเกิดขึ้นในบริบทมากมายที่ไม่เกี่ยวข้องกับการไหลผ่านอวกาศ

• โดยหลักการแล้ว สมการนี้เหมือนกับสมการฟอกเกอร์-พลังค์สำหรับการกระจายตัวของอนุภาคทุกประการ
• มันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสมการ Black–Scholesและสมการอื่นๆ ในคณิตศาสตร์ทางการเงิน^{[ 12 ]}
• สมการ นี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสมการนาเวียร์-สโตกส์เนื่องจากการไหลของโมเมนตัมในของไหลนั้นมีความคล้ายคลึงทางคณิตศาสตร์กับการไหลของมวลหรือพลังงาน ความสอดคล้องกันนี้ชัดเจนที่สุดในกรณีของของไหลนิวตันที่ไม่สามารถอัดได้ ซึ่งในกรณีนี้สมการนาเวียร์-สโตกส์จะเป็นดังนี้:$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}\mathbf {j} -\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {j} +(\mathbf {f} -\nabla P)}$$

โดยที่jคือโมเมนตัมของของไหล (ต่อหน่วยปริมาตร) ณ แต่ละจุด (เท่ากับความหนาแน่นρคูณด้วยความเร็วการไหลu ) μคือความหนืดPคือความดันของของไหล และf คือ แรงภายนอกอื่นๆเช่นแรงโน้มถ่วงในสมการนี้ พจน์ทางด้านซ้ายมืออธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม ณ จุดใดจุดหนึ่ง พจน์แรกทางด้านขวามืออธิบายถึงการแพร่กระจายของโมเมนตัมโดยความหนืด พจน์ ที่สองทางด้านขวามืออธิบายถึงการไหลแบบพาความร้อนของโมเมนตัม และสองพจน์สุดท้ายทางด้านขวามืออธิบายถึงแรงภายนอกและแรงภายในที่สามารถทำหน้าที่เป็นแหล่งกำเนิดหรือตัวดูดซับของโมเมนตัมได้

สมการการพาความร้อน-การแพร่ (โดยที่R = 0 ) สามารถมองได้ว่าเป็นสมการฟอกเกอร์-พลังค์ซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่แบบสุ่มที่มีค่าสัมประสิทธิ์การแพร่Dและค่าเบี่ยงเบนvตัวอย่างเช่น สมการนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนที่แบบบราวน์ของอนุภาคเดี่ยว โดยที่ตัวแปรcอธิบายถึงการกระจายความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะอยู่ในตำแหน่งที่กำหนด ณ เวลาที่กำหนด เหตุผลที่สามารถใช้สมการในลักษณะนั้นได้ก็เพราะว่าไม่มีความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ระหว่างการกระจายความน่าจะเป็นของอนุภาคเดี่ยวกับการกระจายความเข้มข้นของกลุ่มอนุภาคจำนวนอนันต์ (ตราบใดที่อนุภาคเหล่านั้นไม่ปฏิสัมพันธ์กัน)

สมการ Langevinอธิบายการพา การแพร่ และปรากฏการณ์อื่นๆ ในลักษณะสุ่มอย่างชัดเจน รูปแบบที่ง่ายที่สุดรูปแบบหนึ่งของสมการ Langevin คือเมื่อ "เทอมเสียงรบกวน" เป็นแบบเกาส์เซียนในกรณีนี้ สมการ Langevin จะเทียบเท่ากับสมการการพาและการแพร่ อย่างไรก็ตาม สมการ Langevin เป็นแบบทั่วไปมากกว่า^{[ 11 ]}

ในฟิสิกส์เซมิคอนดักเตอร์สมการนี้เรียกว่าสมการดริฟต์-ดิฟฟิวชันคำว่า "ดริฟต์" เกี่ยวข้องกับกระแสดริฟต์และความเร็วดริฟต์สมการนี้มักเขียนดังนี้: ^{[ 13 ]} โดยที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla nn\mu _{n}\mathbf {E} \\{\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} \\{\frac {\บางส่วน n}{\บางส่วน t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R\\{\frac {\บางส่วน p}{\บางส่วน t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R\end{aligned}}}$$

• nและpคือความเข้มข้น (ความหนาแน่น) ของอิเล็กตรอนและโฮลตามลำดับ
• q > 0คือประจุพื้นฐาน
• JnและJpคือกระแสไฟฟ้าที่เกิดจากอิเล็กตรอนและโฮล
• ⁠เจ/− qและ​​เจ/qคือ "กระแสอนุภาค" ที่สอดคล้องกันของอิเล็กตรอนและโฮล ตามลำดับ
• Rแทนการสร้างและการรวมตัวของพาหะ ( R > 0สำหรับการสร้างคู่อิเล็กตรอน-โฮล, R < 0สำหรับการรวมตัว)
• Eคือเวกเตอร์สนามไฟฟ้า
• ${\displaystyle \mu _{n}}$และคือค่าการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนและโฮล${\displaystyle \mu _{p}}$

สัมประสิทธิ์การแพร่และค่าการเคลื่อนที่สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์ดังที่แสดงข้างต้น: โดยที่k คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์และTคืออุณหภูมิสัมบูรณ์กระแสดริฟต์และกระแสการแพร่หมายถึงสองพจน์ในนิพจน์สำหรับJแยกกัน ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\\D_{p}&={\frac {\mu _{p}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{aligned}}}$$

สมการนี้สามารถแก้ได้พร้อมกับสมการของปัวซง ด้วย วิธีเชิงตัวเลข^{[ 14 ]}

ตัวอย่างผลลัพธ์ของการแก้สมการการแพร่แบบดริฟต์แสดงอยู่ทางด้านขวา เมื่อแสงส่องไปยังจุดศูนย์กลางของสารกึ่งตัวนำ ตัวนำจะถูกสร้างขึ้นตรงกลางและแพร่ไปยังปลายทั้งสองข้าง สมการการแพร่แบบดริฟต์ถูกแก้ในโครงสร้างนี้ และการกระจายความหนาแน่นของอิเล็กตรอนแสดงอยู่ในรูป จะเห็นได้ว่ามีการไล่ระดับของตัวนำจากจุดศูนย์กลางไปยังปลายทั้งสองข้าง

• เซเวลล์, แกรนวิลล์ (1988). การแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วยวิธีเชิงตัวเลข . สำนักพิมพ์ Academic Press. ISBN 0-12-637475-9.