ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์ฟังก์ชันโฮโลโนมิกคือ ฟังก์ชันเรียบของตัวแปรหลายตัวที่เป็นคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นพหุนาม และสอดคล้องกับเงื่อนไขมิติที่เหมาะสมในแง่ของ ทฤษฎี โมดูลDกล่าวคือ ฟังก์ชันโฮโลโนมิกเป็นสมาชิกของโมดูลโฮโลโนมิกของฟังก์ชันเรียบ ฟังก์ชันโฮโลโนมิกยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นฟังก์ชันจำกัดเชิงอนุพันธ์หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันจำกัดDเมื่ออนุกรมกำลังของตัวแปรเป็นการกระจายเทย์เลอร์ของฟังก์ชันโฮโลโนมิก ลำดับของสัมประสิทธิ์ในดัชนีหนึ่งหรือหลายดัชนีก็เรียกว่าโฮโลโนมิก เช่นกัน ลำดับโฮโลโนมิกยังเรียกว่าลำดับเวียนเกิดP : พวกมันถูกกำหนดแบบเวียนเกิดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิดหลายตัวแปรที่สอดคล้องกับลำดับทั้งหมดและโดยการกำหนดค่าเฉพาะที่เหมาะสมของมัน สถานการณ์จะง่ายขึ้นในกรณีตัวแปรเดียว: ลำดับตัวแปรเดียวใดๆ ที่สอดคล้อง กับ ความสัมพันธ์เวียนเกิด เชิงเส้นเอกพันธุ์ ที่มีสัมประสิทธิ์พหุนาม หรือเทียบเท่ากับสมการผลต่างเชิงเส้นเอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์พหุนาม ถือเป็นลำดับโฮโลโนมิก^{[ 1 ]}

ให้เป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 (ตัวอย่างเช่นหรือ) ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$

ฟังก์ชันเรียกว่า-finite (หรือholonomic ) ถ้ามีพหุนามอยู่ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle f=f(x)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0}$

ใช้ได้กับทุกกรณีนอกจากนี้ยังสามารถเขียนได้ว่า โดยที่ ${\displaystyle x}$${\displaystyle Af=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}$

และเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่แมปไปยังเรียกว่าตัวดำเนินการทำลายล้างของ(ตัวดำเนินการทำลายล้างของก่อ ให้เกิด อุดมคติในริงเรียกว่าตัวทำลายล้างของ) ปริมาณเรียกว่าอันดับของตัวดำเนินการทำลายล้าง โดยการขยายความ ฟังก์ชันโฮโลโนมิกกล่าวได้ว่ามีอันดับเมื่อมีตัวดำเนินการทำลายล้างที่มีอันดับดังกล่าวอยู่ ${\displaystyle D_{x}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {K} [x][D_{x}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

ลำดับเรียกว่า-recursive (หรือholonomic ) ถ้ามีพหุนามอยู่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข ต่อไปนี้ ${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$${\displaystyle P}$${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

ใช้ได้กับทุกกรณีนอกจากนี้ยังสามารถเขียนได้ว่า โดยที่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle Ac=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

และตัวดำเนินการเลื่อนที่แมปไปยัง. เรียกว่าตัวดำเนินการทำลายล้างของ(ตัวดำเนินการทำลายล้างของก่อให้เกิดอุดมคติในริงเรียกว่าตัวทำลายล้างของ) ปริมาณเรียกว่าอันดับของตัวดำเนินการทำลายล้าง โดยการขยายความ ลำดับโฮโลโนมิกกล่าวได้ว่ามีอันดับเมื่อมีตัวดำเนินการทำลายล้างที่มีอันดับดังกล่าวอยู่ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbb {K} [n][S_{n}]}$${\displaystyle c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c}$${\displaystyle r}$

ฟังก์ชันโฮโลโนมิกคือฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับโฮโลโนมิกอย่างแม่นยำ: ถ้าเป็นโฮโลโนมิกแล้ว สัมประสิทธิ์ในการขยายอนุกรมกำลังจะเป็น ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle c_{n}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

สร้างลำดับโฮโลโนมิก ในทางกลับกัน สำหรับลำดับโฮโลโนมิกที่กำหนด ฟังก์ชันที่กำหนดโดยผลรวมข้างต้นจะเป็นโฮโลโนมิก (นี่เป็นจริงในแง่ของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมแม้ว่าผลรวมจะมีรัศมีของการลู่เข้าเป็น ศูนย์ก็ตาม ) ${\displaystyle c_{n}}$

ฟังก์ชัน (หรือลำดับ) โฮโลโนมิกมีคุณสมบัติการปิด หลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชัน (หรือลำดับ) โฮโลโนมิกก่อตัวเป็นวงแหวนอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่ปิดภายใต้การหาร ดังนั้นจึงไม่ก่อตัวเป็น ฟิลด์

ถ้าและเป็นฟังก์ชันโฮโลโนมิกแล้ว ฟังก์ชันต่อไปนี้ก็จะเป็นฟังก์ชันโฮโลโนมิกเช่นกัน: ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$${\displaystyle \textstyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}$โดยที่และเป็นค่าคงที่${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$( ผลคูณโคชีของลำดับ)
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}}$(ผลคูณฮาดามาร์ดของลำดับ)
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}f_{k}\right)x^{n}}$
• ${\displaystyle h(x)=f(a(x))}$โดยที่เป็นฟังก์ชันพีชคณิต ใดๆ ก็ได้ อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่ฟังก์ชันโฮโลโนมิก${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle a(f(x))}$

คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของฟังก์ชันโฮโลโนมิกคือ คุณสมบัติการปิดนั้นมีประสิทธิภาพ กล่าวคือ เมื่อกำหนดตัวดำเนินการทำลายสำหรับและแล้ว ตัวดำเนินการทำลายสำหรับที่กำหนดโดยใช้การดำเนินการใดๆ ข้างต้น สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

ตัวอย่างของฟังก์ชันโฮโลโนมิก ได้แก่:

• ฟังก์ชันพีชคณิตทั้งหมดรวมถึงพหุนามและฟังก์ชันตรรกยะ
• ฟังก์ชัน ไซน์และโคไซน์ (แต่ไม่ใช่แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์)
• ฟังก์ชัน ไฮเปอร์โบลิกไซน์และโคไซน์ (แต่ไม่ใช่ไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์)
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม (ฐานใดก็ได้)
• ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป ซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันของโดยที่พารามิเตอร์ทั้งหมดคงที่${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$
• ฟังก์ชันข้อผิดพลาด${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
• ฟังก์ชันเบส เซล, , ,${\displaystyle J_{n}(x)}$${\displaystyle Y_{n}(x)}$${\displaystyle I_{n}(x)}$${\displaystyle K_{n}(x)}$
• ฟัง ก์ชั่ นAiry${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

กลุ่มของฟังก์ชันโฮโลโนมิกเป็นซูเปอร์เซตโดยสมบูรณ์ของกลุ่มฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ตัวอย่างของฟังก์ชันพิเศษที่เป็นโฮโลโนมิกแต่ไม่ใช่ไฮเปอร์จีโอเมตริก ได้แก่ฟังก์ชันเฮิน

ตัวอย่างของลำดับโฮโลโนมิก ได้แก่:

• ลำดับของจำนวนฟิโบนาชชี และโดยทั่วไปแล้วลำดับเวียนเกิดคงที่ ทั้งหมด${\displaystyle F_{n}}$
• ลำดับของแฟกทอเรียล${\displaystyle n!}$
• ลำดับของสัมประสิทธิ์ทวินาม (เป็นฟังก์ชันของหรือ)${\displaystyle \textstyle {n \choose k}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$
• ลำดับของจำนวนฮาร์มอนิก และโดยทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มใดๆ${\displaystyle \textstyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$${\displaystyle \textstyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$${\displaystyle m}$
• ลำดับตัวเลขคาตาลัน
• ลำดับของตัวเลขมอตซกิน
• การแจงนับความผิดปกติทางจิต

ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ฟังก์ชันเบสเซล และพหุนามเชิงตั้งฉาก แบบคลาสสิก นอกจากจะเป็นฟังก์ชันโฮโลโนมิกของตัวแปรแล้ว ยังเป็นลำดับโฮโลโนมิกเมื่อเทียบกับพารามิเตอร์ของมันด้วย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเบสเซลและ เป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นอันดับสอง${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}}$

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่เป็นไปตามหลักโฮโลโนมิก ได้แก่:

• ฟังก์ชัน^{[ 2 ]}${\displaystyle {\tfrac {x}{e^{x}-1}}}$
• ฟังก์ชัน^{[ 3 ]}${\displaystyle \tan x+\sec x}$
• โดยทั่วไปแล้ว ผลหารของฟังก์ชันโฮโลโนมิกสองฟังก์ชันจะไม่ใช่ฟังก์ชันโฮโลโนมิก

ตัวอย่างของลำดับที่ไม่ใช่แบบโฮโลโนมิก ได้แก่:

• เลขเบอร์นูลลี
• จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนสลับกัน^{[ 4 ]}
• จำนวนของพาร์ติชันจำนวนเต็ม^{[ 3 ]}
• ตัวเลข^{[ 3 ]}${\displaystyle \log n}$
• ตัวเลขที่^{[ 3 ]}${\displaystyle n^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} }$
• จำนวนเฉพาะ^{[ 3 ]}
• การแจงนับการเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่สามารถลดทอนได้และเชื่อมต่อกัน^{[ 5 ]}

ฟังก์ชันโฮโลโนมิกเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในพีชคณิตคอมพิวเตอร์ฟังก์ชันหรือลำดับโฮโลโนมิกสามารถแทนได้ด้วยข้อมูลจำนวนจำกัด กล่าวคือ ตัวดำเนินการทำลายล้างและชุดค่าเริ่มต้นจำนวนจำกัด และคุณสมบัติการปิดช่วยให้สามารถดำเนินการต่างๆ เช่น การทดสอบความเท่าเทียม การหาผลรวม และการหาปริพันธ์ในลักษณะเชิงอัลกอริทึม ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา เทคนิคเหล่านี้ช่วยให้สามารถพิสูจน์โดยอัตโนมัติสำหรับเอกลักษณ์ฟังก์ชันและเอกลักษณ์เชิงการจัดเรียงพิเศษจำนวนมาก

ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีอัลกอริธึมที่รวดเร็วสำหรับการประเมินฟังก์ชันโฮโลโนมิกด้วยความแม่นยำตามต้องการ ณ จุดใด ๆ ในระนาบเชิงซ้อน และสำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขของรายการใด ๆ ในลำดับโฮโลโนมิก

ซอฟต์แวร์ที่ใช้ในการทำงานกับฟังก์ชันโฮโลโนมิก ได้แก่:

• แพ็คเกจ HolonomicFunctions [1]สำหรับMathematicaซึ่งพัฒนาโดย Christoph Koutschan รองรับการคำนวณคุณสมบัติการปิดและการพิสูจน์เอกลักษณ์สำหรับฟังก์ชันโฮโลโนมิกแบบตัวแปรเดียวและหลายตัวแปร
• ไลบรารีalgolib [2]สำหรับMapleซึ่งประกอบด้วยแพ็กเกจต่อไปนี้:
  • gfunซึ่งพัฒนาโดย Bruno Salvy, Paul Zimmermann และ Eithne Murray สำหรับคุณสมบัติการปิดตัวแปรเดียวและการพิสูจน์[3]
  • mgfunซึ่งพัฒนาโดย Frédéric Chyzak สำหรับคุณสมบัติการปิดแบบหลายตัวแปรและการพิสูจน์[4]
  • numgfunพัฒนาโดย Marc Mezzarobba สำหรับการประเมินค่าเชิงตัวเลข

พจนานุกรมฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์แบบไดนามิก (Dynamic Dictionary of Mathematical functions) ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 6 กรกฎาคม 2010 ที่Wayback Machineเป็นซอฟต์แวร์ออนไลน์ที่ใช้ฟังก์ชันโฮโลโนมิก (holonomic functions) สำหรับศึกษาฟังก์ชันคลาสสิกและฟังก์ชันพิเศษต่างๆ โดยอัตโนมัติ (เช่น การประเมินค่า ณ จุดใดจุดหนึ่ง อนุกรมเทย์เลอร์และการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกด้วยความแม่นยำตามที่ผู้ใช้กำหนด สมการเชิงอนุพันธ์ ความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับสัมประสิทธิ์ของอนุกรมเทย์เลอร์ อนุพันธ์ อินทิกรัลไม่จำกัด การพล็อต ฯลฯ)