ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทฤษฎีบทของเดอ ฟิเน็ตติกล่าวว่า การสังเกต ที่แลกเปลี่ยนได้นั้นเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขเมื่อเทียบกับตัวแปรแฝง บางอย่าง จากนั้นจึงสามารถกำหนดการ กระจายความน่าจะเป็นเชิงญาณวิทยา ให้กับตัวแปรนี้ ได้ ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามบรูโน เดอ ฟิเน็ตติและการใช้งานอย่างหนึ่งคือการให้แนวทางปฏิบัติกับคำกล่าวอันโด่งดังของเดอ ฟิเน็ตติที่ว่า "ความน่าจะเป็นไม่มีอยู่จริง" ^{[ 1 ]}

สำหรับกรณีพิเศษของลำดับ ตัวแปรสุ่ม เบอร์นูลลี ที่สามารถสลับเปลี่ยนได้ นั้น ระบุว่าลำดับดังกล่าวเป็น " ส่วนผสม " ของลำดับตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลี ที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน (iid)

ลำดับของตัวแปรสุ่มเรียกว่าสามารถสลับเปลี่ยนได้ (exchangeable) ถ้าการแจกแจงร่วมของลำดับนั้นไม่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อมีการสลับตำแหน่งของชุดดัชนีจำนวนจำกัด โดยทั่วไปแล้ว แม้ว่าตัวแปรในลำดับที่สามารถสลับเปลี่ยนได้นั้นจะไม่ เป็นอิสระต่อ กันแต่สามารถสลับเปลี่ยนกันได้เท่านั้น แต่ก็มี กลุ่มของตัวแปรสุ่มอิสระและมีการแจกแจง เหมือนกัน (iid) อยู่เบื้องหลัง กล่าวคือ มีปริมาณพื้นฐานที่โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถสังเกตได้ ซึ่งเป็น iid – ลำดับที่สามารถสลับเปลี่ยนได้จึงเป็นส่วนผสมของลำดับ iid เหล่านั้น

นักสถิติแบบเบย์เซียนมักจะแสวงหาการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของปริมาณสุ่มโดยพิจารณาจากข้อมูล แนวคิดเรื่องความสามารถในการแลกเปลี่ยนได้รับการแนะนำโดยเดอ ฟิเน็ตติ ทฤษฎีบทของเดอ ฟิเน็ตติอธิบายความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างความเป็นอิสระและความสามารถในการแลกเปลี่ยน^{[ 2 ]}

ลำดับอนันต์

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

ลำดับของตัวแปรสุ่มจะเรียกว่าสลับเปลี่ยนได้ ถ้าสำหรับจำนวนธรรมชาติn ใดๆ และลำดับจำกัด i , ..., i ใดๆ และการเรียงสับเปลี่ยนใดๆ ของลำดับ π:{ i , ..., i } → { i , ..., i },

${\displaystyle (X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{n}}){\text{ และ }}(X_{\pi (i_{1})},\dots ,X_{\pi (i_{n})})}$

ทั้งสองมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมเดียวกัน

ถ้าลำดับที่มีการแจกแจงเหมือนกันเป็นอิสระต่อกันลำดับนั้นก็จะสามารถสลับเปลี่ยนได้ อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง กล่าวคือ มีตัวแปรสุ่มที่สามารถสลับเปลี่ยนได้แต่ไม่เป็นอิสระต่อกันทางสถิติ ตัวอย่างเช่น แบบจำลองโถ โปลยา (Pólya urn model )

ตัวแปรสุ่มXมีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีก็ต่อเมื่อและสำหรับบางค่า ${\displaystyle \Pr(X=1)=p}$${\displaystyle \Pr(X=0)=1-p}$${\displaystyle p\in (0,1)}$

ทฤษฎีบทของเดอ ฟิเน็ตติกล่าวว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของลำดับอนันต์ที่สลับเปลี่ยนได้ของตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลีใดๆ นั้นเป็น " ส่วนผสม " ของการแจกแจงความน่าจะเป็นของลำดับตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลีที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน "ส่วนผสม" ในความหมายนี้หมายถึงค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก แต่ไม่จำเป็นต้องหมายถึงค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักที่มีค่าจำกัดหรืออนันต์นับได้ (เช่น แบบไม่ต่อเนื่อง) มันอาจเป็นปริพันธ์เหนือการวัด แทนที่จะเป็นผลรวมก็ได้

กล่าวโดยละเอียด สมมติว่าเป็นลำดับอนันต์ที่สลับเปลี่ยนได้ของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี แล้วจะมีมาตรวัดความน่าจะเป็นบางอย่างบนช่วงและตัวแปรสุ่มบางตัวที่ทำให้ ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$${\displaystyle m}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle Y}$

• การวัดความน่าจะเป็นของคือและ${\displaystyle Y}$${\displaystyle m}$
• การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของลำดับทั้งหมดเมื่อกำหนดค่าของจะอธิบายได้โดยการกล่าวว่า ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$${\displaystyle Y}$
  • ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$เป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดและ${\displaystyle Y}$
  • สำหรับค่าใดๆความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เมื่อกำหนดค่าของคือ${\displaystyle i\in \{1,2,3,\ldots \}}$${\displaystyle X_{1}=1}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

สมมติว่าเป็นลำดับอนันต์ที่สลับเปลี่ยนได้ของตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลี แล้วจะเป็นตัวแปรสุ่มอิสระแบบมีเงื่อนไขและมีการกระจายเหมือนกัน โดยกำหนดให้เป็นซิกมาแอลเจบราที่สลับเปลี่ยนได้ (กล่าวคือ ซิกมาแอลเจบราที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่วัดได้เมื่อเทียบกับและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนดัชนีแบบจำกัด) ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$

ตามที่David Spiegelhalter (อ้างอิง 1) กล่าวไว้ ทฤษฎีบทนี้ให้แนวทางเชิงปฏิบัติต่อคำกล่าวของ de Finetti ที่ว่า "ความน่าจะเป็นไม่มีอยู่จริง" หากมุมมองของเราเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์นั้นเป็นอัตวิสัย แต่ยังคงไม่ได้รับผลกระทบจากลำดับที่เราสังเกตการณ์ ลำดับนั้นก็สามารถถือได้ว่าสามารถสลับเปลี่ยนกันได้ทฤษฎีบทของ de Finetti จึงหมายความว่า การเชื่อว่าลำดับนั้นสามารถสลับเปลี่ยนกันได้นั้น ในทางคณิตศาสตร์แล้วเทียบเท่ากับการกระทำราวกับว่าเหตุการณ์ต่างๆ เป็นอิสระต่อกันและมีความน่าจะเป็นพื้นฐานที่เป็นกลางในการเกิดขึ้น โดยความไม่แน่นอนของเราเกี่ยวกับความน่าจะเป็นนั้นถูกแสดงออกมาด้วยฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นแบบอัตวิสัย ตามที่ Spiegelhalter กล่าวว่า "นี่เป็นสิ่งที่น่าทึ่ง: มันแสดงให้เห็นว่า เริ่มต้นจากการแสดงออกถึงความเชื่อมั่นที่เฉพาะเจาะจง แต่เป็นเพียงอัตวิสัย เราควรจะกระทำราวกับว่าเหตุการณ์ต่างๆ ถูกขับเคลื่อนด้วยโอกาสที่เป็นกลาง"

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมคือ เราสร้างลำดับขึ้นมา

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

ของตัวแปรสุ่ม โดยการ "ผสม" ลำดับอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกันสองลำดับดังต่อไปนี้

เรากำหนดให้p = 2/3 ด้วยความน่าจะเป็น 1/2 และp = 9/10 ด้วยความน่าจะเป็น 1/2 เมื่อกำหนดเหตุการณ์p = 2/3 การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของลำดับคือX เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน และX  = 1 ด้วยความน่าจะเป็น 2/3 และX  = 0 ด้วยความน่าจะเป็น 1 − 2/3 เมื่อกำหนดเหตุการณ์ p  = 9/10 การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของลำดับคือX เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน และX = 1 ด้วยความน่าจะเป็น 9/10 และX  = 0 ด้วยความน่าจะเป็น 1 − 9/10

สามารถตีความได้ดังนี้: สร้างเหรียญเอียงสองเหรียญ เหรียญหนึ่งออกหัวด้วยความน่าจะเป็น 2/3 และอีกเหรียญหนึ่งออกหัวด้วยความน่าจะเป็น 9/10 โยนเหรียญยุติธรรมหนึ่งครั้งเพื่อตัดสินใจว่าจะใช้เหรียญเอียงเหรียญใดสำหรับการโยนทั้งหมดที่บันทึกไว้ ในที่นี้ "ออกหัว" ในการโยนครั้งที่ i หมายถึง X =1

ความเป็นอิสระที่กล่าวถึงในที่นี้คือ ความเป็นอิสระ แบบมีเงื่อนไข กล่าวคือ ตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลีในลำดับนั้นเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขเมื่อเหตุการณ์p  = 2/3 และเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขเมื่อเหตุการณ์p  = 9/10 แต่พวกมันไม่ได้เป็นอิสระแบบไม่มีเงื่อนไข พวกมันมีความสัมพันธ์ เชิงบวก กัน

เมื่อพิจารณาจากกฎแห่งจำนวนมากที่เข้มงวดเราสามารถกล่าวได้ว่า

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}={\begin{cases}2/3&{\text{with probability }}1/2,\\9/10&{\text{with probability }}1/2.\end{cases}}}$

แทนที่จะกระจุกตัวของความน่าจะเป็น 1/2 ที่จุดสองจุดระหว่าง 0 กับ 1 "การกระจายแบบผสม" สามารถเป็นการกระจายความน่าจะ เป็นใดๆ ก็ได้ ที่อยู่บนช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 ซึ่งจะเป็นการกระจายแบบใดนั้นขึ้นอยู่กับการกระจายร่วมของลำดับอนันต์ของตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลี

นิยามของความสามารถในการสลับเปลี่ยนได้ และข้อความของทฤษฎีบทนั้น ใช้ได้กับลำดับที่มีความยาวจำกัดด้วยเช่นกัน

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n},}$

แต่ทฤษฎีบทนี้โดยทั่วไปไม่เป็นจริงในกรณีนั้น มันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อลำดับนั้นสามารถขยายไปเป็นลำดับที่สลับเปลี่ยนได้ซึ่งมีความยาวอนันต์ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของลำดับที่สลับเปลี่ยนได้ของตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลีที่ไม่สามารถขยายไปเป็นลำดับที่สลับเปลี่ยนได้เช่นนั้นคือลำดับที่X = 1 −  X และX เป็น 0 หรือ 1 โดยแต่ละค่ามีโอกาส 1/2 ลำดับนี้สามารถสลับเปลี่ยนได้ แต่ไม่สามารถขยายไปเป็นลำดับที่สลับเปลี่ยนได้ที่มีความยาว 3 หรือแม้แต่ลำดับที่มีความยาวอนันต์

ทฤษฎีบทของ De Finetti สามารถแสดงเป็นขีดจำกัดเชิงหมวดหมู่ในหมวดหมู่ของเคอร์เนล Markovได้^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

ให้เป็นปริภูมิบอเรลมาตรฐานและพิจารณาปริภูมิของลำดับบน ซึ่งเป็นผลคูณที่นับได้(พร้อมด้วยซิกมาแอลเจบราผลคูณ ) ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$

กำหนดให้มี การเรียงสับเปลี่ยน แบบจำกัดจำนวนหนึ่งให้ใช้สัญลักษณ์ แทนการกระทำของการเรียงสับเปลี่ยนบนรวมถึงเคอร์เนลของมาร์คอฟที่เกิดจากการกระทำนั้นด้วย ในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่เรามีแผนภาพที่มีวัตถุเดียวและลูกศรจำนวนนับได้ ซึ่งแต่ละลูกศรแทนการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละแบบ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle X^{\mathbb {N} }\to X^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$

โปรดจำไว้ว่าการวัดความน่าจะ เป็นเทียบเท่ากับเคอร์เนลของมาร์คอฟจากปริภูมิที่วัดได้จุดเดียวการวัดความน่าจะเป็นบนจะสลับเปลี่ยนได้ก็ต่อเมื่อ ในฐานะเคอร์เนลของมาร์คอฟสำหรับทุกการเรียงสับเปลี่ยนโดยทั่วไปแล้ว สำหรับปริภูมิบอเรลมาตรฐานใดๆเราสามารถเรียกเคอร์เนลของมาร์คอฟว่าสลับเปลี่ยนได้ถ้าสำหรับทุก กล่าวคือ ถ้าแผนภาพต่อไปนี้สลับกันได้ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \sigma \circ p=p}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle k:Y\to X}$${\displaystyle \sigma \circ k=k}$${\displaystyle \sigma }$

ให้กรวย​

ทฤษฎีบทของ De Finetti สามารถระบุได้ว่าเป็นข้อเท็จจริงที่ว่าพื้นที่ของการวัดความน่าจะเป็นเหนือ( Girry monad ) ก่อให้เกิด กรวย สากล (หรือลิมิต ) ^{[ 4 ]} โดยละเอียดมากขึ้น ให้พิจารณาเคอร์เนล Markov ที่สร้างขึ้นดังต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบทการขยายของ Kolmogorov : ${\displaystyle PX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {iid} _{\mathbb {N} }:PX\to X^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \mathrm {iid} _{\mathbb {N} }(A_{1}\times \dots \times A_{n}\times X\times \dots |p)=p(A_{1})\cdots p(A_{n})}$

สำหรับเซตย่อยที่วัดได้ทั้งหมดของโปรดทราบว่าเราสามารถตีความเคอร์เนลนี้ได้ว่ารับการวัดความน่าจะเป็นเป็นอินพุตและส่งคืนลำดับ iidบนที่กระจายตามเนื่องจากลำดับ iid สามารถสลับเปลี่ยนได้ดังนั้น จึงเป็นเคอร์เนลที่สลับเปลี่ยนได้ในความหมายที่กำหนดไว้ข้างต้น เคอร์เนลไม่ได้เพียงแค่สร้างกรวย แต่เป็น กรวย ลิมิต : เมื่อกำหนดเคอร์เนลที่สลับเปลี่ยนได้ใดๆจะมีเคอร์เนลที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียวที่ทำให้ นั่นคือทำให้แผนภาพต่อไปนี้สลับเปลี่ยนกันได้: ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in PX}$${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathrm {iid} _{\mathbb {N} }:PX\to X^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathrm {iid} _{\mathbb {N} }:PX\to X^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle k:Y\to X}$${\displaystyle {\tilde {k}}:Y\to PX}$${\displaystyle k=\mathrm {iid} _{\mathbb {N} }\circ {\tilde {k}}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับมาตรวัดความน่าจะเป็นที่แลกเปลี่ยนได้ใดๆบน จะมีมาตรวัดความน่าจะเป็นที่ไม่ซ้ำกันบน ( กล่าวคือ มาตรวัดความน่าจะเป็นเหนือมาตรวัดความน่าจะเป็น) เช่นนั้น กล่าวคือ เช่นนั้นสำหรับเซตย่อยที่วัดได้ทั้งหมดของ${\displaystyle p}$${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle {\tilde {p}}}$${\displaystyle PX}$${\displaystyle p=\mathrm {iid} _{\mathbb {N} }\circ {\tilde {p}}}$${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle p(A_{1}\times \dots \times A_{n}\times X\times \dots )=\int _{PX}\mathrm {iid} _{\mathbb {N} }(A_{1}\times \dots \times A_{n}\times X\times \dots |q)\,{\tilde {p}}(dq)=\int _{PX}q(A_{1})\cdots q(A_{n})\,{\tilde {p}}(dq).}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นส่วนผสมของการวัดแบบ iidบน(การวัดที่สร้างขึ้นโดยในอินทิกรัลข้างต้น) ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$

ทฤษฎีบทของ de Finetti สำหรับ ลำดับที่แลกเปลี่ยนได้แบบจำกัด^{[ 6 ] [ 7 ]}และสำหรับลำดับที่แลกเปลี่ยนได้แบบ Markov ^{[ 8 ]}ได้รับการพิสูจน์โดย Diaconis และ Freedman และโดย Kerns และ Szekely แนวคิดสองประการของการแลกเปลี่ยนบางส่วนของอาร์เรย์ ซึ่งรู้จักกันในชื่อ การแลกเปลี่ยน แบบแยกและการแลกเปลี่ยนแบบร่วมนำไปสู่การขยายทฤษฎีบทของ de Finetti สำหรับอาร์เรย์โดย Aldous และ Hoover ^{[ 9 ]}

ทฤษฎีบท de Finetti ที่คำนวณได้แสดงให้เห็นว่า หากโปรแกรมคอมพิวเตอร์ให้ลำดับของตัวแปรสุ่มจริงที่แลกเปลี่ยนกันได้ โปรแกรมที่สุ่มตัวอย่างจากการวัดการผสมสามารถกู้คืนได้โดยอัตโนมัติ^{[ 10 ]}

ในการตั้งค่าความน่าจะเป็นอิสระมีการขยายทฤษฎีบทของเดอ ฟิเน็ตติแบบไม่สลับที่ซึ่งกำหนดลักษณะของลำดับที่ไม่สลับที่ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนควอนตัม^{[ 11 ]}

การขยายทฤษฎีบทของเดอ ฟิเน็ตติไปสู่สถานะควอนตัมพบว่ามีประโยชน์ในข้อมูลควอนตัม [ ^{12 ] [ 13 ] [ 14 ] ใน}หัวข้อต่างๆ เช่นการกระจายกุญแจควอนตัม^{[ 15 ]}และการตรวจจับการพันกัน^{[ 16 ]}การขยายทฤษฎีบทของเดอ ฟิเน็ตติแบบหลายตัวแปรสามารถใช้เพื่อหาค่าสถิติของโบส-ไอน์สไตน์จากสถิติของอนุภาคคลาสสิก (เช่น อนุภาคอิสระ) ^{[ 17 ]}

• ทฤษฎีโชเกต์
• กฎศูนย์-หนึ่งของฮิววิตต์-ซาเวจ
• ทฤษฎีบทเครน-มิลแมน
• ซิกมาแอลเจบราที่ไม่เปลี่ยนแปลง

• Accardi, L. (2001) [1994], "ทฤษฎีบทของ De Finetti" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• ทฤษฎีบทการแทนของเดอ ฟิเน็ตติ เจ๋งตรงไหน?
• ทฤษฎีบทของเดอ ฟิเน็ตติที่ห้องปฏิบัติการn