เมทริกซ์แกมมา

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ เมทริกซ์แกมมา

ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เมทริกซ์แกมมาหรือที่เรียกว่าเมทริกซ์ดิแรกคือชุดของเมทริกซ์แบบดั้งเดิมที่มี ความสัมพันธ์ การสลับตำแหน่ง เฉพาะ

Q: โครงสร้างทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติสำคัญที่ทำให้เมทริกซ์แกมมาสามารถสร้าง พีชคณิตคลิฟฟอร์ด ได้ คือความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบผกผัน

Q: การแสดงสมการของ Dirac

ใน หน่วยธรรมชาติ สมการของ Dirac สามารถเขียนได้ดังนี้

ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เมทริกซ์แกมมาหรือที่เรียกว่าเมทริกซ์ดิแรกคือชุดของเมทริกซ์แบบดั้งเดิมที่มี ความสัมพันธ์ การสลับตำแหน่ง เฉพาะ ที่รับประกันว่าจะสร้างการแสดงเมทริกซ์ของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดนอกจากนี้ยังสามารถกำหนดเมทริกซ์แกมมาที่มีมิติสูงกว่าได้เมื่อตีความว่าเป็นเมทริกซ์ของการกระทำของชุดเวกเตอร์ฐาน ตั้งฉากสำหรับ เวกเตอร์ คอนทราแว เรียนต์ในปริภูมิมิงโกวสกี เวกเตอร์คอลัมน์ที่เมทริกซ์กระทำจะกลายเป็นปริภูมิของสปินเนอร์ซึ่งพีชคณิตคลิฟฟอร์ดของปริภูมิเวลาจะกระทำ สิ่งนี้ทำให้สามารถแสดงการหมุนเชิงพื้นที่ แบบอนันต์ และการเพิ่มความเร็วลอเรนซ์ได้สปินเนอร์ช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณปริภูมิเวลาโดยทั่วไป และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นพื้นฐานสำหรับสมการดิแรกสำหรับ อนุภาค สปินสั มพัทธภาพ เมทริกซ์แกมมาได้รับการแนะนำโดยพอล ดิแรกในปี 1928 ^[¹^]^[²^] $\ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,$ $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.$ ${\tfrac {\ 1\ }{2}}$

ในการแสดงแทนแบบ Dirac เมทริกซ์แกมมา แบบคอนทราเว เรียนต์ ทั้งสี่คือ

{\begin{aligned}\gamma ^{0}\ &=~~{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&=i\ {\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}

$\gamma ^{0}$ คือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนแบบไทม์ไลค์ส่วนอีกสามเมทริกซ์เป็น เมทริก ซ์แอนติเฮอร์มิเชียนแบบสเป ซไลค์ กล่าวโดยย่อคือและโดยที่แทนผลคูณโครเนกเกอร์และ(สำหรับ $j$ = 1, 2, 3 ) แทนเมทริกซ์เปาลี $\ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,$ $\ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,$ $\ \otimes \$ $\ \sigma ^{j}\$

นอกจากนี้ ในการอภิปรายเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่ม บางครั้ง เมทริกซ์เอกลักษณ์ ( $I$ ) จะถูกรวมเข้ากับเมทริกซ์แกมมาทั้งสี่ และยังมีเมทริกซ์เสริม "ตัวที่ห้า" ที่ไม่มีร่องรอยซึ่งใช้ร่วมกับเมทริกซ์แกมมาปกติด้วย

{\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}

"เมทริกซ์ที่ห้า" ไม่ใช่สมาชิกที่แท้จริงของชุดเมทริกซ์หลักทั้งสี่ แต่ใช้สำหรับแยกการแสดงแทนไครัล ซ้ายและขวาตาม นาม $\ \gamma ^{5}\$

เมทริกซ์แกมมามีโครงสร้างกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มแกมมาซึ่งเป็นโครงสร้างร่วมกันของเมทริกซ์แทนกลุ่มทั้งหมดในมิติใดๆ สำหรับเมตริกแบบใดๆตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ Pauli ขนาด 2×2 เป็นเซตของเมทริกซ์ "แกมมา" ในปริภูมิสามมิติที่มีเมตริกแบบยุคลิด (3, 0) ในห้ามิติของปริภูมิเวลาเมทริกซ์แกมมาทั้งสี่ข้างต้น รวมกับเมทริกซ์แกมมาที่ห้าที่จะกล่าวถึงต่อไป จะสร้างพีชคณิตคลิฟฟอร์ดขึ้นมา

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติสำคัญที่ทำให้เมทริกซ์แกมมาสามารถสร้างพีชคณิตคลิฟฟอร์ด ได้ คือความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบผกผัน

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,

โดยที่วงเล็บปีกกาแทนแอนติคอมมิวเทเตอร์คือเมตริกมินคอ ฟสกี ที่มีสัญลักษณ์(+ − − −)และคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 4 × 4 $\ \{,\}\$ $\ \eta _{\mu \nu }\$ $I_{4}$

คุณสมบัติที่กำหนดนี้มีความสำคัญยิ่งกว่าค่าตัวเลขที่ใช้ในการแสดงเมทริกซ์แกมมาโดยเฉพาะ เมทริกซ์แกมมา แบบโคแวเรียนต์ถูกกำหนดโดย

\ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,

และถือว่าใช้ สัญกรณ์ของไอน์สไตน์

โปรดทราบว่า ข้อกำหนดเครื่องหมายอื่นสำหรับเมตริก(− + + +)จำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงในสมการกำหนด:

\ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\

หรือการคูณเมทริกซ์แกมมาทั้งหมดด้วยซึ่งแน่นอนว่าจะเปลี่ยนคุณสมบัติความเป็นเฮอร์มิเชียนของเมทริกซ์เหล่านั้นตามรายละเอียดด้านล่าง ภายใต้ข้อกำหนดเครื่องหมายทางเลือกสำหรับเมตริก เมทริกซ์แกมมาโคแวเรียนต์จะถูกกำหนดโดย $i$

\ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}~.

โครงสร้างทางกายภาพ

พีชคณิตคลิฟฟอร์ดเหนือปริภูมิเวลา $V$ สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเซตของตัวดำเนินการเชิงเส้นจริงจาก $V$ ไปยังตัวมันเอง $End($ $V$ $)$ หรือโดยทั่วไปแล้ว เมื่อทำให้เป็นเชิงซ้อนจะเป็นเซตของตัวดำเนินการเชิงเส้นจากปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนสี่มิติใดๆ ไปยังตัวมันเอง กล่าวอย่างง่ายๆ คือ เมื่อกำหนดฐานสำหรับ $V$ แล้วก็คือเซตของ เมทริกซ์เชิงซ้อน $4\times4$ ทั้งหมด แต่มีโครงสร้างพีชคณิตคลิฟฟอร์ด ปริภูมิเวลาถือว่ามีเมตริกมินคอฟสกี $ημν$ $นอกจาก$ นี้ยังถือว่ามี ปริภูมิของสปินเนอร์ดิแรก $Ux$ ที่ทุกจุดในปริภูมิเวลา ซึ่งมีตัวแทนสปินเนอร์ดิแรกของ $กลุ่ม$ ลอเรนซ์ ฟิลด์ $ส$ ปินเนอร์ดิแรก $Ψ$ ของสมการดิแรก ซึ่งประเมินค่าที่จุด x ใดๆ $ใน$ $ปริภูมิ$ เวลา จะเป็นองค์ประกอบของ $Ux$ (ดูด้านล่าง) พีชคณิตคลิฟฟอร์ดถือว่ากระทำต่อ $Ux ด้วยเช่นกัน (โดยการคูณเมทริกซ์$ $กับ$ เวกเตอร์คอลัมน์ $Ψ($ $x$ $)$ ใน $Ux$ สำหรับทุก $x$ ) นี่จะเป็นมุมมองหลักขององค์ประกอบต่างๆในส่วนนี้ $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\$ $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,$ $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\$ $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\$

สำหรับแต่ละการแปลงเชิงเส้น $S$ ของ $U x$ จะมีการแปลง $End(U x)$ ที่กำหนดโดย $SES -1$ สำหรับ $E$ ในถ้า $S$ เป็นส่วนหนึ่งของการแสดงแทนของกลุ่มลอเรนซ์ การกระทำที่เหนี่ยวนำ $E$ $\mapsto$ $SES$ $-1$ ก็จะเป็นส่วนหนึ่งของการแสดงแทนของกลุ่มลอเรนซ์เช่นกัน ดูทฤษฎีการแสดงแทนของกลุ่มลอเรนซ์ $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.$

ถ้า $S(Λ)$ คือการแสดงแทนสปินเนอร์ของ Dirac ที่กระทำบน $U x$ ของการแปลง Lorentz $Λ$ ใดๆ ในการแสดงแทนมาตรฐาน (เวกเตอร์ 4 ตัว) ที่กระทำบน $V$ แล้วจะมีตัวดำเนินการที่สอดคล้องกันบนที่กำหนดโดยสมการ: $\ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\$

\ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,

แสดงให้เห็นว่าปริมาณของ $γ μ$ สามารถมองได้ว่าเป็นฐานของปริภูมิการแสดงแทนของเวกเตอร์ 4 ตัวของกลุ่มลอเรนซ์ที่อยู่ในพีชคณิตคลิฟฟอร์ด เอกลักษณ์สุดท้ายสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ที่กำหนดสำหรับเมทริกซ์ที่อยู่ในกลุ่มออร์โธโกนอลไม่จำกัดซึ่งเขียนในสัญกรณ์ดัชนี นั่นหมายความว่าปริมาณในรูปแบบ $\ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,$

a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }

ควรพิจารณา γ เป็นเวกเตอร์ 4 มิติในการดำเนินการต่างๆ นอกจากนี้ยังหมายความว่าดัชนีสามารถยกขึ้นและลงบน $γ$ ได้ โดยใช้เมตริก $η μν$ เช่นเดียวกับเวกเตอร์ 4 มิติใดๆ สัญลักษณ์นี้เรียกว่าสัญลักษณ์สแลชของไฟน์แมน (Feynman slash notation ) การดำเนินการสแลชจะแปลงฐาน $e μ$ ของ $V$ หรือปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติใดๆ ไปเป็นเวกเตอร์ฐาน $γ μ$ กฎการแปลงสำหรับปริมาณที่มีเครื่องหมายสแลชนั้นง่ายๆ คือ

{a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.

สิ่งนี้แตกต่างจากกฎการแปลงสำหรับ $γ μ$ ซึ่งในที่นี้ถือว่าเป็นเวกเตอร์ฐาน (คงที่) ดังนั้น การกำหนดให้ทูเปิล 4 ตัวเป็นเวกเตอร์ 4 ตัว ซึ่งบางครั้งพบได้ในเอกสารทางวิชาการ จึงเป็นการเรียกชื่อที่ไม่ถูกต้องเล็กน้อย การแปลงแบบหลังสอดคล้องกับการแปลงเชิงรุกของส่วนประกอบของปริมาณที่ถูกขีดฆ่าในแง่ของฐาน $γ$ $μ$ และแบบแรกสอดคล้องกับการแปลงเชิงรับของฐาน $γ$ $μ$ เอง $\left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$

องค์ประกอบเหล่านี้ประกอบกันเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีของกลุ่มลอเรนซ์ นี่คือการแทนแบบสปินเมื่อเมทริกซ์เหล่านี้และผลรวมเชิงเส้นของพวกมันถูกยกกำลัง พวกมันจะเป็นการแทนแบบสปินเนอร์ของดิแรกของกลุ่มลอเรนซ์ เช่น $S(Λ)$ ข้างต้นมีรูปแบบนี้ พื้นที่ 6 มิติที่แผ่ขยายโดย $σ$ $μν$ คือพื้นที่แทนของการแทนแบบเทนเซอร์ของกลุ่มลอเรนซ์ สำหรับองค์ประกอบลำดับสูงของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดโดยทั่วไปและกฎการแปลงของพวกมัน โปรดดูบทความพีชคณิตดิแรกการแทนแบบสปินของกลุ่มลอเรนซ์ถูกเข้ารหัสในกลุ่มสปินSpin(1, 3) (สำหรับสปินเนอร์จริงที่ไม่มีประจุ) และในกลุ่มสปินที่ซับซ้อนSpin(1, 3)สำหรับสปินเนอร์ที่มีประจุ (ดิแรก) $\ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\$

การแสดงสมการของ Dirac

ในหน่วยธรรมชาติสมการของ Dirac สามารถเขียนได้ดังนี้

\ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\

สปินเนอร์ของ Dirac อยู่ ที่ไหน $\ \psi \$

เมื่อเปลี่ยนมาใช้สัญลักษณ์ของเฟย์นแมนสมการของดิแรกจะเป็นดังนี้

\ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.

เมทริกซ์ "แกมมา" ตัวที่ห้า`γ` ⁵

การกำหนดผลคูณของเมทริกซ์แกมมาทั้งสี่เป็น นั้นมีประโยชน์ ดังนั้น $\gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I$

\ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad

(ในฐานดิแรก)

แม้ว่าจะใช้ตัวอักษรแกมมา แต่ก็ไม่ใช่หนึ่งในเมทริกซ์แกมมาเลขดัชนี 5 เป็นสิ่งตกค้างจากสัญลักษณ์เก่า: เคยเรียกว่า " " $\ \gamma ^{5}\$ $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.$ $\ \gamma ^{0}\$ $\gamma ^{4}$

$\ \gamma ^{5}\$ นอกจากนี้ยังมีรูปแบบอื่นอีกด้วย:

\ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\

โดยใช้ธรรมเนียมหรือ $\varepsilon _{0123}=1\ ,$

\ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\

โดยใช้แบบแผนพิสูจน์ : $\varepsilon ^{0123}=1~.$

สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากการใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์แกมมาทั้งสี่ตัวนั้นมีคุณสมบัติสลับที่ได้ ดังนั้น

\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,

โดยที่เดลต้าโครเนกเกอร์แบบทั่วไปชนิด (4,4) ใน 4 มิติ ในการต่อต้านสมมาตร อย่างสมบูรณ์ ถ้าแทนสัญลักษณ์ Levi-Civitaใน $n$ มิติ เราสามารถใช้เอกลักษณ์จากนั้นเราจะได้ โดยใช้แบบแผน $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }$ $\ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\$ $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=-\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }$ $\ \varepsilon ^{0123}=1\ ,$

\ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=-{\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }

เมทริกซ์นี้มีประโยชน์ในการอภิปรายเกี่ยวกับไครัลลิตี ในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวอย่างเช่น สนามดิแรกสามารถฉายไปยังส่วนประกอบมือซ้ายและมือขวาได้โดย:

\ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.

คุณสมบัติบางประการได้แก่:

มันเป็นแบบเฮอร์มิเชียน:
$\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.$
ค่าไอเกนของมันคือ ±1 เพราะว่า:
$\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.$
มันมีคุณสมบัติการสลับตำแหน่งแบบผกผันกับเมทริกซ์แกมมาทั้งสี่:
$\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.$

ในความเป็นจริงและเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเนื่องจาก $\ \psi _{\mathrm {L} }\$ $\ \psi _{\mathrm {R} }\$ $\ \gamma ^{5}\$

\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,

และ

\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.

ห้ามิติ

พีชคณิตคลิฟฟอร์ดในมิติคี่มีพฤติกรรมเหมือนพีชคณิตคลิฟฟอร์ดสอง ชุดที่มีมิติน้อยกว่าหนึ่งชุด คือชุดซ้ายและชุดขวา ^{[ 3 ]}^{: 68}ดังนั้น เราสามารถใช้กลอุบายเล็กน้อยเพื่อนำ $i γ 5$ มาใช้ใหม่ เป็นหนึ่งในตัวสร้างของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดในห้ามิติ ในกรณีนี้ เซต ${γ 0, γ 1, γ 2, γ 3, i γ 5}$ จึงเป็นไปตามคุณสมบัติสองข้อสุดท้าย (โดยคำนึงถึงว่า $i 2 \equiv -1$ ) และคุณสมบัติของแกมมา 'เก่า' ก่อให้เกิดฐานของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดใน มิติปริภูมิ เวลา $5$ มิติสำหรับลายเซ็นเมตริก $(1,4$ ) ^{[ a ]}^{[ 4 ]}^{: 97} ในลายเซ็นเมตริก $(4,1)$ จะใช้เซต ${γ 0, γ 1, γ 2, γ 3, γ 5} โดยที่$ $γ μ$ เป็นค่าที่เหมาะสมสำหรับลายเซ็น $(3,1)$ ^{[ 5 ]}รูปแบบนี้จะถูกทำซ้ำสำหรับมิติของปริภูมิเวลา $2 n$ คู่ และมิติคี่ถัดไป $2 n + 1$ สำหรับทุก $n$ ≥ $1$ ^{[ 6 ]}^{: 457} สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดู เมทริกซ์ แกมมา มิติสูง

อัตลักษณ์

เอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นผลมาจากความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบผกผันพื้นฐาน ดังนั้นจึงใช้ได้ในทุกฐาน (แม้ว่าเอกลักษณ์สุดท้ายจะขึ้นอยู่กับการเลือกเครื่องหมายสำหรับ) $\gamma ^{5}$

อัตลักษณ์เบ็ดเตล็ด

1. $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}$

การพิสูจน์

พิจารณาความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบมาตรฐาน:

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}.

เราสามารถทำให้สถานการณ์นี้ดูคล้ายกันได้โดยใช้ตัวชี้วัดดังนี้: $\eta$

$\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }$	$=\gamma ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$
	$={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }+\eta _{\nu \mu }\right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$	( สมมาตร) $\eta$
	$={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\nu \mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)$	(ขยายความ)
	$={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)$	(เปลี่ยนชื่อคำศัพท์ทางด้านขวา)
	$={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}$
	$={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left(2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\right)=\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }I_{4}=4I_{4}.$

2. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$

การพิสูจน์
เช่นเดียวกับการพิสูจน์ข้อ 1 โดยเริ่มต้นจากความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบมาตรฐานอีกครั้ง: ${\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }\left(2\eta _{\mu }^{\nu }I_{4}-\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\right)\\&=2\gamma ^{\mu }\eta _{\mu }^{\nu }-\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\\&=2\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }=-2\gamma ^{\nu }.\end{aligned}}$

3. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$

การพิสูจน์

เพื่อแสดง

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.

ใช้ตัวสลับทิศทางเพื่อเลื่อนไปทางขวา $\gamma ^{\mu }$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$	$=\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$
	$=2\ \eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\rho }\right\}\gamma _{\mu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }.$

โดยใช้ความสัมพันธ์นี้เราสามารถยุบแกมมาสองตัวสุดท้าย และได้ $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$	$=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }2\eta ^{\mu \rho }\gamma _{\mu }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$
	$=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$
	$=2\left(\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\left\{\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }\right\}.$

สุดท้ายนี้ เมื่อใช้เอกลักษณ์แอนติคอมมิวเทเตอร์ เราจะได้

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.

4. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$

การพิสูจน์

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }$	$=(2\eta ^{\mu \nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (เอกลักษณ์แอนติคอมมิวเทเตอร์)
	$=2\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }\,$ (โดยใช้เอกลักษณ์ที่ 3)
	$=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (การเพิ่มดัชนี)
	$=2\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (เอกลักษณ์แอนติคอมมิวเทเตอร์)
	$=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$ (2 เงื่อนไขยกเลิก)

5. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}$

การพิสูจน์
ถ้าเช่นนั้นการตรวจสอบตัวตนก็ทำได้ง่าย กรณีนี้ก็เช่นเดียวกัน เมื่อหรือ $\mu =\nu =\rho$ $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0$ $\mu =\nu \neq \rho$ $\mu =\rho \neq \nu$ $\nu =\rho \neq \mu$ ในทางกลับกัน ถ้าดัชนีทั้งสามแตกต่างกันและและทั้งสองข้างสมมาตรอย่างสมบูรณ์ ด้านซ้ายสมมาตรเนื่องจากคุณสมบัติการสลับที่กันของเมทริกซ์ และด้านขวาสมมาตรเนื่องจากคุณสมบัติสมมาตรของดังนั้น จึงเพียงพอที่จะตรวจสอบเอกลักษณ์สำหรับกรณีของ, , และ $\eta ^{\mu \nu }=0$ $\eta ^{\mu \rho }=0$ $\eta ^{\nu \rho }=0$ $\gamma$ $\epsilon _{\sigma \mu \nu \rho }$ $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}$ $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}$ $\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ $\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ ${\begin{aligned}-i\epsilon ^{\sigma 012}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{3012}\left(-\gamma ^{3}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{3012}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\\-i\epsilon ^{\sigma 013}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{2013}\left(-\gamma ^{2}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{2013}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 023}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{1023}\left(-\gamma ^{1}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{1023}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 123}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{0123}\left(\gamma ^{0}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{0123}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\end{aligned}}$

6. ที่ไหน $\gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,$ $\ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\$

การพิสูจน์

เนื่องจากทั้งสองข้างหายไป มิฉะนั้น การคูณเอกลักษณ์ 5 ด้วยจากทางขวาจะให้ว่า $\ \nu =\rho \ ,$ $\ \epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0\$ $\ \gamma _{\mu }\$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$	$=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$
	$=\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+4\eta ^{\nu \rho }I_{4}-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ (ยกกำลังและใช้เอกลักษณ์ 1)

เนื่องจาก. ด้านซ้ายของสมการนี้ก็หายไปเช่นกัน เนื่องจากคุณสมบัติข้อที่ 3 การจัดเรียงใหม่จะได้ว่า $4\eta ^{\nu \rho }I_{4}=0$ $\nu \neq \rho$ $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$

$\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$	$=i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$
	$=-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (เนื่องจากมีคุณสมบัติสลับที่กับเมทริกซ์แกมมา) $\gamma ^{5}$

โปรดทราบว่าสำหรับ(สำหรับหายไป) โดยความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบมาตรฐาน ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า $2\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }=\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }=[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]$ $\sigma \neq \mu$ $\sigma =\mu$ $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }$

-[\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }]

=-{\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]\,

การคูณจากด้านซ้ายแล้วนำไปใช้จะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ $\ -{\tfrac {i}{2}}\gamma ^{5}\$ $\ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4}\$

ตรวจสอบตัวตน

เมทริกซ์แกมมาเป็นไปตามเอกลักษณ์ร่องรอย ต่อไปนี้ :

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0$
ร่องรอยของผลคูณใดๆ ของจำนวนคี่จะเป็นศูนย์ $\gamma ^{\mu }$
ร่องรอยของการคูณผลคูณของจำนวนคี่ยังคงเป็นศูนย์ $\gamma ^{5}$ $\gamma ^{\mu }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)$

การพิสูจน์ข้อความข้างต้นเกี่ยวข้องกับการใช้คุณสมบัติหลักสามประการของ ตัวดำเนินการ ร่องรอย :

$\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$
$\operatorname {tr} (rA)=r\cdot \operatorname {tr} (A)$
$\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BCA)=\operatorname {tr} (CAB)$

หลักฐาน 1

จากนิยามของเมทริกซ์แกมมา

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I

เราได้รับ

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \mu }I

หรือเทียบเท่า

{\frac {\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\ }{\ \eta ^{\mu \mu }\ }}=I\

โดยที่เป็นตัวเลข และเป็นเมทริกซ์ $\ \eta ^{\mu \mu }\$ $\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\$

\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })={\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })

(โดยการแทรกเอกลักษณ์และใช้

tr(r A) = r tr(A)

.)

=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })

(จากความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบผกผัน และเนื่องจากเรามีอิสระในการเลือก)

\mu \neq \nu

=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })

(โดยใช้ tr(ABC) = tr(BCA))

=-\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })

(ลบข้อมูลระบุตัวตนออก)

นี่หมายความว่า $\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })=0$

หลักฐานของ 2

เพื่อแสดง

\operatorname {tr} ({\text{odd num of }}\gamma )=0

ขั้นแรก โปรดสังเกตว่า

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0.

เราจะใช้ข้อเท็จจริงสองประการเกี่ยวกับเมทริกซ์แกมมาที่ห้าซึ่งกล่าวว่า: $\gamma ^{5}$

\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4},\quad \mathrm {and} \quad \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }

ดังนั้น เรามาใช้ข้อเท็จจริงสองข้อนี้เพื่อพิสูจน์เอกลักษณ์นี้สำหรับกรณีที่ไม่ธรรมดากรณีแรก: ผลรวมของเมทริกซ์แกมมาสามเมทริกซ์ ขั้นตอนแรกคือการใส่คู่หนึ่งไว้ข้างหน้าสามเมทริกซ์เดิม และขั้นตอนที่สองคือการสลับเมทริกซ์กลับไปยังตำแหน่งเดิม หลังจากใช้ประโยชน์จากความเป็นวัฏจักรของผลรวมของเมทริกซ์ $\gamma ^{5}$ $\gamma$ $\gamma ^{5}$

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{5}\right)$ (โดยใช้ tr(ABC) = tr(BCA))
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ (เดินทางสวนทางสามครั้ง) $\gamma ^{5}$
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$

สิ่งนี้จะสำเร็จได้ก็ต่อเมื่อ

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=0

การขยายไปสู่เมทริกซ์แกมมา 2n + 1 (n จำนวนเต็ม) นั้นหาได้จากการวางแกมมา-5 สองตัวไว้หลัง (เช่น) เมทริกซ์แกมมาตัวที่ 2n ในร่องรอย โดยสลับตัวหนึ่งไปทางขวา (ให้เครื่องหมายลบ) และสลับแกมมา-5 อีกตัวไปทางซ้าย 2n ขั้น [โดยเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น (-1)^2n = 1] จากนั้นเราใช้เอกลักษณ์วัฏจักรเพื่อรวมแกมมา-5 ทั้งสองเข้าด้วยกัน และเมื่อยกกำลังสองจะได้เอกลักษณ์ ทำให้ร่องรอยเท่ากับลบตัวเอง นั่นคือ 0

หลักฐาน 3
ถ้าเมทริกซ์แกมมาจำนวนคี่ปรากฏในร่องรอย (trace) ตามด้วยเครื่องหมายลบเป้าหมายของเราคือการย้ายจากด้านขวาไปด้านซ้าย ซึ่งจะทำให้ร่องรอยไม่เปลี่ยนแปลงตามคุณสมบัติวัฏจักร ในการย้ายนี้ เราต้องทำการสลับตำแหน่ง (anticommut) กับเมทริกซ์แกมมาอื่นๆ ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าเราต้องทำการสลับตำแหน่งเป็นจำนวนคี่ครั้งและรับเครื่องหมายลบ ร่องรอยที่เท่ากับค่าลบของตัวมันเองจะต้องเป็นศูนย์ $\gamma ^{5}$ $\gamma ^{5}$

หลักฐานของ 4

เพื่อแสดง

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }

เริ่มต้นด้วย

$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })$	$={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)+\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\right)$
	$={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\right)$
	$={\tfrac {1}{2}}2\eta ^{\mu \nu }\operatorname {tr} (I_{4})=4\eta ^{\mu \nu }$

หลักฐาน 5

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\right)$
	$=2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (1)$

สำหรับคำทางด้านขวา เราจะใช้รูปแบบการสลับกับคำข้างเคียงทางด้านซ้ายต่อไป $\gamma ^{\sigma }$

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\left(2\eta ^{\nu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\right)\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\eta ^{\nu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (2)$

อีกครั้ง สำหรับคำทางด้านขวา ให้สลับตำแหน่งกับคำที่อยู่ติดกันทางด้านซ้าย $\gamma ^{\sigma }$

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\left(2\eta ^{\mu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\right)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\eta ^{\mu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (3)$

สมการ (3) คือพจน์ทางด้านขวาของสมการ (2) และสมการ (2) คือพจน์ทางด้านขวาของสมการ (1) เราจะใช้เลขเอกลักษณ์ 3 เพื่อลดรูปพจน์ดังนี้:

2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=2\eta ^{\rho \sigma }\left(4\eta ^{\mu \nu }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }.

ดังนั้น ในที่สุด สมการ (1) เมื่อคุณใส่ข้อมูลทั้งหมดนี้เข้าไปจะได้

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }

-\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)

เงื่อนไขภายในร่องรอยสามารถวนซ้ำได้ ดังนั้น

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right).

ดังนั้นจริงๆแล้ว (4) คือ

2\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }

หรือ

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)

หลักฐาน 6

เพื่อแสดง

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0

,

เริ่มต้นด้วย

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$	(เพราะ) $\gamma ^{0}\gamma ^{0}=I_{4}$
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)$	(ต่อต้านการสลับตำแหน่งด้วย) $\gamma ^{5}$ $\gamma ^{0}$
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$	(หมุนคำภายในร่องรอย)
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$	(ลบ's ออก) $\gamma ^{0}$

เพิ่มเข้าไปทั้งสองด้านของด้านบนเพื่อดูผลลัพธ์ $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$

2\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0

.

นอกจากนี้ รูปแบบนี้ยังสามารถใช้เพื่อแสดงได้อีกด้วย

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0

.

เพียงแค่บวกตัวประกอบสองตัวของ โดย ที่และแตกต่างกันทำการสลับตำแหน่งแบบย้อนกลับสามครั้งแทนที่จะเป็นครั้งเดียว โดยเลือกเครื่องหมายลบสามตัว แล้ววนรอบโดยใช้คุณสมบัติแบบวนรอบของร่องรอย $\gamma ^{\alpha }$ $\alpha$ $\mu$ $\nu$

ดังนั้น,

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0

.

หลักฐานของ 7
สำหรับการพิสูจน์เอกลักษณ์ 7 เทคนิคเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้ เว้นแต่จะเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ (0123) เพื่อให้แกมมาทั้ง 4 ตัวปรากฏขึ้น กฎการสลับตำแหน่งบ่งชี้ว่าการสลับดัชนีสองตัวจะเปลี่ยนเครื่องหมายของร่องรอย ดังนั้นต้องเป็นสัดส่วนกับค่าคงที่สัดส่วนคือซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการแทนค่าเขียนออกมาและจำไว้ว่าร่องรอยของเอกลักษณ์คือ 4 $\left(\mu \nu \rho \sigma \right)$ $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)$ $\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$ $\left(\epsilon ^{0123}=\eta ^{0\mu }\eta ^{1\nu }\eta ^{2\rho }\eta ^{3\sigma }\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{00}\eta ^{11}\eta ^{22}\eta ^{33}\epsilon _{0123}=-1\right)$ $4i$ $(\mu \nu \rho \sigma )=(0123)$ $\gamma ^{5}$

หลักฐานของ 8

ให้ แทนผลคูณของเมทริกซ์แกมมาด้วยพิจารณาเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนคอนจูเกตของ: $n$ $\Gamma =\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{\mu 2}\dots \gamma ^{\mu n}.$ $\Gamma$

$\Gamma ^{\dagger }$	$=\gamma ^{\mu n\dagger }\dots \gamma ^{\mu 2\dagger }\gamma ^{\mu 1\dagger }$
	$=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\gamma ^{0}\dots \gamma ^{0}\gamma ^{\mu 2}\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$	(เนื่องจากการคอนจูเกตเมทริกซ์แกมมากับจะได้เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนคอนจูเกตตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง) $\gamma ^{0}$
	$=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\dots \gamma ^{\mu 2}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$	(ตัวอักษร s ทั้งหมดยกเว้นตัวแรกและตัวสุดท้ายที่หายไป) $\gamma ^{0}$

เมื่อผันคำกริยาอีกครั้งเพื่อกำจัดตัวs สองตัวที่มีอยู่ เราจะเห็นว่านี่คือสิ่งที่ตรงกันข้ามกับทีนี้ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}$ $\Gamma$

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{\dagger }\right)$	(เนื่องจากร่องรอยไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงความคล้ายคลึง)
	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{*}\right)$	(เนื่องจากร่องรอยไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับตำแหน่ง)
	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma \right)$	(เนื่องจากร่องรอยของการคูณเมทริกซ์แกมมาเป็นจำนวนจริง)

การทำให้เป็นมาตรฐาน

สามารถเลือกเมทริกซ์แกมมาโดยมีเงื่อนไขความเป็นเฮอร์มิเชียนเพิ่มเติม ซึ่งถูกจำกัดโดยความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแอนติคอมมิวเทชันข้างต้นได้ อย่างไรก็ตาม เราสามารถกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมได้

\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}

เข้ากันได้กับ

\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}

และสำหรับเมทริกซ์แกมมาอื่นๆ (สำหรับk = 1, 2, 3 )

\left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}

เข้ากันได้กับ

\left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.

เราตรวจสอบได้ทันทีว่าความสัมพันธ์ของความเป็นเอกเทศเหล่านี้ใช้ได้กับการแสดงแทนของ Dirac หรือไม่

เงื่อนไขข้างต้นสามารถนำมารวมกันได้ในความสัมพันธ์

\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.

เงื่อนไขความเป็นเฮอร์มิเชียนไม่คงที่ภายใต้การกระทำของการแปลงลอเรนซ์เนื่องจากไม่ใช่การแปลงเอกภาพเสมอไป อันเนื่องมาจากกลุ่มลอเรนซ์ไม่เป็นคอมแพ็กต์ $\gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}$ $\Lambda$ $S(\Lambda )$

การผันประจุ

ตัว ดำเนินการ คอนจูเกชันประจุในฐานใดๆ สามารถนิยามได้ดังนี้

C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}

โดยที่หมายถึงเมทริกซ์ทรานสโพสรูปแบบที่ชัดเจนของ ขึ้นอยู่กับการเลือกใช้การแสดงแทนเฉพาะสำหรับเมทริกซ์แกมมา โดยมีค่าตัวประกอบเฟสที่กำหนดขึ้นเองได้ เนื่องจากถึงแม้ว่าการผันกลับประจุจะเป็นออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มแกมมาแต่ก็ไม่ใช่ออโตมอร์ฟิซึมภายใน (ของกลุ่ม) สามารถหาเมทริกซ์ผันกลับได้ แต่ขึ้นอยู่กับการแสดงแทน $(\cdot )^{\textsf {T}}$ $C$

อัตลักษณ์ที่ไม่ขึ้นกับการนำเสนอ ได้แก่:

{\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}

ตัวดำเนินการการผันประจุยังเป็นตัวดำเนินการเอกภาพ (unitary operator) ในขณะเดียวกันก็เป็นจริงสำหรับรูปแบบการแสดงแทนใดๆ ด้วย เมื่อกำหนดรูปแบบการแสดงแทนของเมทริกซ์แกมมาแล้ว ปัจจัยเฟสที่กำหนดโดยพลการสำหรับตัวดำเนินการการผันประจุนั้นไม่สามารถเลือกได้เสมอไปให้เป็นไปตามเงื่อนไข เช่นเดียวกับกรณีของรูปแบบการแสดงแทนทั่วไปทั้งสี่แบบที่กล่าวถึงด้านล่าง ซึ่งรู้จักกันในชื่อรูปแบบการแสดงแทนแบบ Dirac, chiral และ Majorana $C^{-1}=C^{\dagger }$ $\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $C^{\textsf {T}}=-C$ $C^{\dagger }=C^{\textsf {T}}$

สัญกรณ์สแลชของเฟย์นแมน

สัญกรณ์สแลชของเฟย์นแมนถูกกำหนดโดย

{a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }

สำหรับเวกเตอร์ 4 มิติใดๆ $a$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเอกลักษณ์ที่คล้ายคลึงกับตัวอย่างข้างต้น แต่ใช้สัญลักษณ์สแลชแทน:

${a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b\right]I_{4}-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }$
${a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }={\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}$
$\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)$
$\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]$
$\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0$
$\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }$
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}$ ^{[ 7 ]}
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}$ ^{[ 7 ]}
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}$ ^{[ 7 ]}
สัญลักษณ์ Levi-Civitaอยู่ที่ไหนและที่จริงแล้วร่องรอยของผลคูณของจำนวนคี่คือศูนย์ ดังนั้น $\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ $\sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.$ $\ \gamma \$
$\operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\$ สำหรับ $n$ ที่เป็นเลขคี่^{[ 8 ]}

หลายอย่างเป็นผลโดยตรงจากการขยายสัญกรณ์สแลชและการย่อรูปนิพจน์ในรูปแบบที่มีเอกลักษณ์ที่เหมาะสมในรูปของเมทริกซ์แกมมา $\ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \$

การนำเสนอแบบอื่น

บางครั้งเมทริกซ์ก็ถูกเขียนโดยใช้เมทริกซ์เอกลักษณ์ 2×2 , , และ $I_{2}$

\gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}

โดยที่kมีค่าตั้งแต่ 1 ถึง 3 และ σ ^kคือ เมทริก ซ์ Pauli

ฐานดิแรก

เมทริกซ์แกมมาที่เราเขียนมาจนถึงตอนนี้เหมาะสมสำหรับการกระทำกับสปินเนอร์ของ Diracที่เขียนในฐาน Dirac ; อันที่จริง ฐาน Dirac ถูกกำหนดโดยเมทริกซ์เหล่านี้ สรุปได้ว่า ในฐาน Dirac:

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.

หรือใช้ผลิตภัณฑ์ Kronecker :

\gamma ^{0}=(\sigma ^{3}\otimes I_{2}),\quad \gamma ^{k}=(i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{k}),\quad \gamma ^{5}=(\sigma ^{1}\otimes I_{2})~.

ในฐาน Dirac ตัวดำเนินการผันประจุเป็นปฏิสมมาตรจริง^{[ 9 ]}^{: 691–700}

C_{D}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.

ฐานเวล์ (ไครัล)

อีกทางเลือกหนึ่งที่นิยมใช้คือ ฐาน Weylหรือฐานไครัลซึ่งยังคงเหมือนเดิมแต่แตกต่างกัน และดังนั้นจึงแตกต่างกันด้วย และเป็นแนวทแยง $\gamma ^{k}$ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{5}$

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},

หรือเขียนในรูปแบบที่กระชับกว่า:

\gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).

ฐานWeylมีข้อดีตรงที่การฉายภาพไครัลมีรูปแบบที่เรียบง่าย

\psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.

คุณสมบัติเอกเทศของการฉายภาพไครัลนั้นปรากฏชัดเจน

โดยการใช้สัญลักษณ์อย่างไม่ถูกต้อง เล็กน้อย และนำสัญลักษณ์เหล่านั้นกลับมาใช้ใหม่เราก็สามารถระบุได้ $\psi _{\mathrm {L} /R}$

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},

โดยที่ตอนนี้และตัวหมุนเวล์แบบสององค์ประกอบสำหรับคนถนัดซ้ายและถนัดขวา $\psi _{\mathrm {L} }$ $\psi _{\mathrm {R} }$

ตัวดำเนินการผันประจุในฐานนี้เป็นตัวดำเนินการปฏิสมมาตรจริง

C_{W}=UC_{D}U^{\text{T}}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}

ฐาน Weyl สามารถหาได้จากฐาน Dirac ดังนี้

\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }

ผ่านการแปลงเอกภาพ

U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.

ฐานเวล์ (ไครัล) (รูปแบบอื่น)

ทางเลือกที่เป็นไปได้อีกทางหนึ่ง^{[ 10 ]}ของฐาน Weyl คือ

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.

การฉายภาพไครัลมีรูปแบบที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยจากตัวเลือก Weyl อื่นๆ

\psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},

โดยที่และคือสปินเนอร์สององค์ประกอบ Weyl แบบมือซ้ายและมือขวา ตามลำดับ $\psi _{\mathrm {L} }$ $\psi _{\mathrm {R} }$

ตัวดำเนินการคอนจูเกชันประจุในฐานนี้คือ

C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.

ฐานนี้สามารถได้มาจากฐาน Dirac ข้างต้นโดยใช้การแปลงเอกภาพ $\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }$

U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.

ฐานมาโจรานา

นอกจากนี้ยังมี ฐาน มาโจรานาซึ่งเมทริกซ์ดิแรกทั้งหมดเป็นจำนวนจินตนาการ ในขณะที่สปินเนอร์และสมการดิแรกเป็นจำนวนจริง เมื่อใช้เมทริกซ์เปาลีฐานนี้สามารถเขียนได้ดังนี้

{\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}

เมทริกซ์การผันประจุอยู่ ที่ไหนซึ่งตรงกับเวอร์ชันของ Dirac ที่กำหนดไว้ข้างต้น $C$

เหตุผลที่ทำให้เมทริกซ์แกมมาทั้งหมดเป็นจำนวนจินตนาการก็เพื่อให้ได้เมตริกฟิสิกส์อนุภาค(+, −, −, −)ซึ่งมวลยกกำลังสองเป็นค่าบวก อย่างไรก็ตาม การแสดงผลแบบมาโจรานาเป็นจำนวนจริง เราสามารถแยกตัวประกอบ ออกมาเพื่อให้ได้การแสดงผลที่แตกต่างออกไป โดยมีสปินเนอร์จริงสี่องค์ประกอบและเมทริกซ์แกมมาจริง ผลที่ตามมาจากการกำจัดคือเมตริกเดียวที่เป็นไปได้ที่มีเมทริกซ์แกมมาจริงคือ( −, +, +, +) $\ i\$ $\ i\$

ฐานมาโจรานาสามารถหาได้จากฐานดิแรกข้างต้นโดยใช้การแปลงเอกภาพ $\gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }$

U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.

Cl _1,3 (C) และ Cl _1,3 (R)

พีชคณิตของ Dirac สามารถถือได้ว่าเป็นการทำให้ซับซ้อนขึ้นของพีชคณิตจริง Cl _1,3 ( ) ซึ่งเรียกว่าพีชคณิตปริภูมิเวลา : $\mathbb {R}$

\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C}

Cl _1,3 ( ) แตกต่างจาก Cl _1,3 ( ): ใน Cl _1,3 ( ) อนุญาตเฉพาะการรวมเชิงเส้น จริง ของเมทริกซ์แกมมาและผลคูณของเมทริกซ์เหล่านั้นเท่านั้น $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

มีสองสิ่งที่ควรชี้แจง เนื่องจากพีชคณิตคลิฟฟอร์ด Cl _1,3 ( ) และ Cl ₄ ( ) เป็นไอโซมอร์ฟิก ดูการจำแนกประเภทของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดเหตุผลก็คือลายเซ็นพื้นฐานของเมตริกกาลอวกาศสูญเสียลายเซ็น (1,3) เมื่อเปลี่ยนไปสู่การทำให้เป็นเชิงซ้อน อย่างไรก็ตาม การแปลงที่จำเป็นในการนำรูปแบบทวิเชิงเส้นไปสู่รูปแบบแคนอนิกเชิงซ้อนไม่ใช่การแปลงลอเรนซ์ ดังนั้นจึงไม่ "อนุญาต" (อย่างน้อยที่สุดก็ทำได้ยาก) เนื่องจากฟิสิกส์ทั้งหมดเชื่อมโยงอย่างแน่นหนากับสมมาตรลอเรนซ์ และควรคงไว้ให้ปรากฏ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

ผู้สนับสนุนพีชคณิตเชิงเรขาคณิตพยายามที่จะทำงานกับพีชคณิตจริงทุกครั้งที่เป็นไปได้ พวกเขาโต้แย้งว่าโดยทั่วไปแล้วเป็นไปได้ (และมักจะให้ความกระจ่าง) ที่จะระบุการมีอยู่ของหน่วยจินตนาการในสมการทางกายภาพ หน่วยดังกล่าวเกิดขึ้นจากปริมาณหนึ่งในหลายๆ ปริมาณในพีชคณิตคลิฟฟอร์ดจริงที่ยกกำลังสองได้ −1 และสิ่งเหล่านี้มีความสำคัญทางเรขาคณิตเนื่องจากคุณสมบัติของพีชคณิตและการปฏิสัมพันธ์ของปริภูมิย่อยต่างๆ ผู้สนับสนุนบางคนยังตั้งคำถามว่าจำเป็นหรือมีประโยชน์หรือไม่ที่จะแนะนำหน่วยจินตนาการเพิ่มเติมในบริบทของสมการดิแรก^{[ 11 ]}^{: x–xi}

ในคณิตศาสตร์ของเรขาคณิตแบบรีมันน์ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดพีชคณิตคลิฟฟอร์ด Cl _p,q ( ) สำหรับมิติ $p,q$ ใดๆ สปินเนอร์ของเวล์จะแปลงรูปภายใต้การกระทำของกลุ่มสปิน การทำให้กลุ่มสปินเป็นจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่ากลุ่มสปินซีเป็นผลคูณของกลุ่มสปินกับวงกลมผลคูณเป็นเพียงสัญลักษณ์เพื่อระบุกับจุดสำคัญทางเรขาคณิตของเรื่องนี้คือ มันแยกสปินเนอร์จริง ซึ่งแปรผันร่วมภายใต้การแปลงลอเรนซ์ ออกจากส่วนประกอบ ซึ่งสามารถระบุได้กับเส้นใยของปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าคือการพันกันของพาริตีและการผันประจุในลักษณะที่เหมาะสมสำหรับการเชื่อมโยงสถานะอนุภาค/ปฏิอนุภาคของดิแรก (เทียบเท่ากับสถานะไครัลในฐานเวล์) สปินเนอร์ของดิแรกตราบใดที่มันมีส่วนประกอบซ้ายและขวาที่เป็นอิสระเชิงเส้น ก็สามารถมีปฏิสัมพันธ์กับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าได้ สิ่งนี้ตรงกันข้ามกับสปินเนอร์ Majoranaและสปินเนอร์ ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators) ซึ่งไม่สามารถ ( กล่าวคือเป็นกลางทางไฟฟ้า) เนื่องจากมีการจำกัดสปินเนอร์อย่างชัดเจนเพื่อไม่ให้มีปฏิสัมพันธ์กับส่วนที่มาจากการทำให้ซับซ้อน สปินเนอร์ ELKO เป็นสปินเนอร์คลาส 5 ของ Lounesto ^[¹²^]^{: 84} $\mathbb {R}$ $\mathrm {Spin} (n)$ $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)$ $\mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ $S^{1}\cong U(1).$ $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ $(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}$ $(-a,-u).$ $U(1)$ $\mathrm {U} (1)$ $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ $S^{1}$

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติร่วมสมัยในวิชาฟิสิกส์ พีชคณิตของ Dirac ยังคงเป็นสภาพแวดล้อมมาตรฐานที่ สปินเนอร์ของสมการ Dirac "ดำรงอยู่" มากกว่าพีชคณิตของปริภูมิเวลา

คุณสมบัติอื่นๆ ที่ไม่ต้องมีการแสดง

เมทริกซ์แกมมาสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ โดยมีค่าไอเกนสำหรับและค่าไอเกน สำหรับ $\pm 1$ $\gamma ^{0}$ $\pm i$ $\gamma ^{k}$

การพิสูจน์
สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้สำหรับและเป็นไปตามหลักการเดียวกันสำหรับเราสามารถเขียนใหม่ได้ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{i}$ $(\gamma ^{0})^{2}=+1$ เช่น $(\gamma ^{0}+1)(\gamma ^{0}-1)=0.$ จากผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักกันดีในพีชคณิตเชิงเส้นหมายความว่ามีฐานซึ่งเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีค่าลักษณะเฉพาะ $\gamma ^{0}$ $\{\pm 1\}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้หมายความว่าเป็นทั้งเฮอร์มิเชียนและยูนิแทรีในเวลาเดียวกัน ในขณะที่เป็นทั้งแอนติเฮอร์มิเชียนและยูนิแทรีในเวลาเดียวกัน $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{i}$

นอกจากนี้ ค่าไอเกนแต่ละค่ามีจำนวนซ้ำกันสองค่า

การพิสูจน์
ถ้าเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของแล้วก็เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะตรงข้ามกัน ดังนั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสามารถจับคู่กันได้หากมีความสัมพันธ์กันโดยการคูณด้วยผลลัพธ์ที่ได้ก็คล้ายคลึงกันสำหรับ $v$ $\ \gamma ^{0}\ ,$ $\ \gamma ^{1}v\$ $\ \gamma ^{1}~.$ $\ \gamma ^{i}~.$

โดยทั่วไปแล้ว หากไม่ใช่ค่าว่าง ผลลัพธ์ที่คล้ายกันก็ยังคงใช้ได้ เพื่อความชัดเจน เราจะจำกัดเฉพาะกรณีบรรทัดฐานที่เป็นบวกโดยที่กรณีที่เป็นลบก็จะได้ในทำนองเดียวกัน $\ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\$ $\ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\$ $\ p\cdot p=m^{2}>0~.$

การพิสูจน์
สามารถแสดงให้เห็นได้ $p\!\!\!/^{2}=m^{2}\ ,$ ดังนั้นด้วยเหตุผลเดียวกันกับผลลัพธ์แรกเมทริกซ์จึงสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ด้วยค่าลักษณะเฉพาะ เราสามารถปรับเหตุผลสำหรับผลลัพธ์ที่สองได้เล็กน้อย เราเลือกเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งตั้งฉากกับ จากนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสามารถจับคู่กันได้ในทำนองเดียวกันหากมีความสัมพันธ์กันโดยการคูณด้วย $\ p\!\!\!/\$ $\ \pm m~.$ $\ q_{\mu }\$ $p_{\mu }~.$ $\ q\!\!\!/~.$

ดังนั้น พื้นที่คำตอบของสมการ(นั่นคือ แกนหลักของด้านซ้ายมือ) จึงมีมิติเท่ากับ 2 ซึ่งหมายความว่า พื้นที่คำตอบสำหรับคำตอบคลื่นระนาบของสมการของดิแรกมีมิติเท่ากับ 2 $\ p\!\!\!/-m=0\$

ผลลัพธ์นี้ยังคงใช้ได้กับสมการ Dirac ที่ไม่มีมวล กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าnull แล้วnullity จะเป็น 2 $p_{\mu }$ $p\!\!\!/$

การพิสูจน์
ถ้าเป็นศูนย์ โดยการแยกส่วนค่าลักษณะเฉพาะแบบทั่วไป สามารถเขียนลงในฐานบางอย่างได้เป็นแนวทแยงในบล็อกจอร์แดนที่มีค่าลักษณะเฉพาะเป็น 0 โดยมีบล็อก 0, 1 หรือ 2 บล็อก และค่าในแนวทแยงอื่นๆ เป็นศูนย์ ปรากฏว่าเป็นกรณีที่มี 2 บล็อก กรณีศูนย์เป็นไปไม่ได้ เพราะถ้าเป็นไปตามความเป็นอิสระเชิงเส้นเราต้องมีแต่เวกเตอร์ศูนย์นั้นโดยนิยามแล้วไม่ใช่ศูนย์ พิจารณาและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะศูนย์ของสังเกตว่า ก็เป็นศูนย์เช่นกันและเป็นไปตามเงื่อนไข $p_{\mu }$ $p\!\!\!/p\!\!\!/=0.$ $2\times 2$ $\ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=0\ ,$ $\ \gamma ^{\mu }\$ $\ p_{\mu }=0~.$ $(q_{\mu })=(\|\mathbf {p} \|,-\mathbf {p} )$ $v$ $p\!\!\!/$ $q_{\mu }$ $p\!\!\!/q\!\!\!/+q\!\!\!/p\!\!\!/=4\|\mathbf {p} \|.-()$ ถ้าเช่นนั้นมันจะไม่สามารถเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะศูนย์ของพร้อมกันได้โดย () เมื่อพิจารณาถ้าเราใช้แล้วเราจะได้ ดังนั้นหลังจากปรับขนาดแล้วและให้บล็อกจอร์แดน สิ่งนี้ให้การจับคู่ จะต้องมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะศูนย์อีกตัวหนึ่งของ $p\!\!\!/v=0$ $q\!\!\!/$ $q\!\!\!/v$ $p\!\!\!/$ $p\!\!\!/q\!\!\!/v=4\|\mathbf {p} \|v$ $v$ $q\!\!\!/v$ $2\times 2$ $p\!\!\!/$ ซึ่งสามารถนำมาใช้สร้างบล็อกจอร์แดนที่สองได้ นอกจากนี้คู่เหล่านี้ยังมีโครงสร้างที่น่าสนใจอีกด้วย หากลูกศรซ้ายสอดคล้องกับการประยุกต์ใช้และลูกศรขวาสอดคล้องกับการประยุกต์ใช้และ เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะศูนย์ของโดยไม่รวมปัจจัยสเกลาร์ เราจะได้ว่า $p\!\!\!/$ $q\!\!\!/$ $v$ $p\!\!\!/$ $0\leftarrow v\leftrightarrow q\!\!\!/v\rightarrow 0$ .

เมทริกซ์ Dirac แบบยุคลิด

ในทฤษฎีสนามควอนตัมเราสามารถ หมุน แกนเวลาแบบวิก (Wick rotate) เพื่อเปลี่ยนจากปริภูมิ มีนคอฟสกี (Minkowski space)ไปสู่ปริภูมิยูคลิด (Euclidean space ) ซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งใน กระบวนการ ปรับค่ามาตรฐาน บางอย่าง รวมถึงทฤษฎีเกจแบบแลตติส (Lattice gauge theory ) ในปริภูมิยูคลิด มีการแสดงเมทริกซ์ดิแรก (Dirac matrices) สองแบบที่ใช้กันทั่วไป:

การแสดงผลแบบไครัล

\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}

โปรดสังเกตว่าปัจจัยต่างๆได้ถูกแทรกเข้าไปในเมทริกซ์แกมมาเชิงพื้นที่แล้ว เพื่อให้พีชคณิตคลิฟฟอร์ดแบบยุคลิด $i$

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}

จะปรากฏขึ้น นอกจากนี้ยังควรสังเกตว่ามีรูปแบบอื่น ๆ ที่แทรกเข้าไปในเมทริกซ์ตัวใดตัวหนึ่งแทน เช่น ในโค้ด QCD แบบแลตติสที่ใช้ฐานไครัล $-i$

ในปริภูมิยูคลิด

\gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.

โดยใช้ตัวผกผันการสลับตำแหน่งและสังเกตว่าในปริภูมิยูคลิดจะแสดงให้เห็นว่า $\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }$

\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}

ในฐานไครัลในปริภูมิยูคลิด

\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}

ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงจากเวอร์ชันของมินคอฟสกี

การนำเสนอแบบไม่สัมพัทธภาพ

\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}

เชิงอรรถ

↑ เซตของเมทริกซ์ $(Γ a) = (γ μ, i γ 5)$ โดยมี $a = (0, 1, 2, 3, 4)$ เป็นไปตามพีชคณิตห้ามิติของคลิฟฟอร์ด ${Γ a, Γ b}$ = 2 η ^ab

ดูเพิ่มเติม

การอ้างอิง

^คูกิน 2016
^โลนิโกร 2023
^ โยส ต์ 2002
^ Tong 2007บันทึกย่อทฤษฎีสนามควอนตัมเบื้องต้นเหล่านี้จัดทำขึ้นสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาโท (Part III)
^ไวน์เบิร์ก 2002 , § 5.5.
^ de Wit & Smith 2012
^ ^a^b^c Feynman, Richard P. (1949). "แนวทางอวกาศ-เวลาสู่ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์" . Physical Review . 76 (6): 769– 789. Bibcode : 1949PhRv...76..769F . doi : 10.1103/PhysRev.76.769 – via APS.
^ คาปลู นอฟสกี 2008
^ Itzykson & Zuber 2012
^คาคุ 1993
^เฮสเตเนส 2015
^โรดริเกสและโอลิเวียรา 2007

ลิงก์ภายนอก

เมทริกซ์ Diracบน Mathworld รวมถึงคุณสมบัติของกลุ่มเมทริกซ์เหล่านั้น
เมทริกซ์ Dirac ในฐานะกลุ่มนามธรรมบน GroupNames
"เมทริกซ์ของ Dirac" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]

[4] เซตของเมทริกซ์ $(Γ a) = (γ μ, i γ 5)$ โดยมี $a = (0, 1, 2, 3, 4)$ เป็นไปตามพีชคณิตห้ามิติของคลิฟฟอร์ด ${Γ a, Γ b}$ = 2 η ^ab

[FOOTNOTEKukin2016-1] คูกิน 2016

[FOOTNOTELonigro2023-2] โลนิโกร 2023

[FOOTNOTEJost2002-3] โยส ต์ 2002

[FOOTNOTETong2007These_introductory_quantum_field_theory_notes_are_for_Part&nbsp;III_(masters_level)_students.-5] Tong 2007บันทึกย่อทฤษฎีสนามควอนตัมเบื้องต้นเหล่านี้จัดทำขึ้นสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาโท (Part III)

[FOOTNOTEWeinberg2002§&nbsp;5.5-6] ไวน์เบิร์ก 2002 , § 5.5.

[FOOTNOTEde_WitSmith2012-7] Wit & Smith 2012

[:0-8] Feynman, Richard P. (1949). "แนวทางอวกาศ-เวลาสู่ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์" . Physical Review . 76 (6): 769– 789. Bibcode : 1949PhRv...76..769F . doi : 10.1103/PhysRev.76.769 – via APS.

[FOOTNOTEKaplunovsky2008-9] คาปลู นอฟสกี 2008

[FOOTNOTEItzyksonZuber2012-10] Itzykson & Zuber 2012

[FOOTNOTEKaku1993-11] คาคุ 1993

[FOOTNOTEHestenes2015-12] เฮสเตเนส 2015

[FOOTNOTERodriguesOliveira2007-13] โรดริเกสและโอลิเวียรา 2007

[

[

[ 3 ]

[ a ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[

เมทริกซ์แกมมา

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์

โครงสร้างทางกายภาพ

การแสดงสมการของ Dirac

เมทริกซ์ "แกมมา" ตัวที่ห้าγ 5

ห้ามิติ

อัตลักษณ์

อัตลักษณ์เบ็ดเตล็ด

ตรวจสอบตัวตน

การทำให้เป็นมาตรฐาน

การผันประจุ

สัญกรณ์สแลชของเฟย์นแมน

การนำเสนอแบบอื่น

ฐานดิแรก

ฐานเวล์ (ไครัล)

ฐานเวล์ (ไครัล) (รูปแบบอื่น)

ฐานมาโจรานา

Cl 1,3 (C) และ Cl 1,3 (R)

คุณสมบัติอื่นๆ ที่ไม่ต้องมีการแสดง

เมทริกซ์ Dirac แบบยุคลิด

การแสดงผลแบบไครัล

การนำเสนอแบบไม่สัมพัทธภาพ

เชิงอรรถ

ดูเพิ่มเติม

การอ้างอิง

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

เมทริกซ์ "แกมมา" ตัวที่ห้า`γ` ⁵

Cl _1,3 (C) และ Cl _1,3 (R)