ทฤษฎีการแทนเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างพีชคณิตนามธรรม โดยการแทนองค์ประกอบต่างๆด้วยการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ [ ^{1 ] [ 2 ] โดย}พื้นฐานแล้ว การแทนทำให้วัตถุพีชคณิตนามธรรมเป็นรูปธรรมมากขึ้นโดยการอธิบายองค์ประกอบต่างๆ ด้วยเมทริกซ์และการดำเนินการทางพีชคณิต (เช่นการบวกเมทริกซ์การคูณเมทริกซ์ )

วัตถุพีชคณิตที่สอดคล้องกับคำอธิบายดังกล่าว ได้แก่กลุ่มพีชคณิตแบบเชื่อมโยงและพีชคณิตลี ที่โดดเด่นที่สุด (และในทางประวัติศาสตร์ถือเป็นอันดับแรก) คือทฤษฎีการแทนกลุ่มซึ่งองค์ประกอบของกลุ่มจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ผกผันได้ โดยที่การดำเนินการของกลุ่มคือการคูณเมทริกซ์^{[ 3 ] [ 4 ]}

ทฤษฎีการแทนเป็นวิธีการที่มีประโยชน์เพราะช่วยลดปัญหาในพีชคณิตนามธรรมให้เหลือเพียงปัญหาในพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นวิชาที่เข้าใจกันดี^{[ 5 ] [ 6 ]}การแทนวัตถุที่เป็นนามธรรมมากขึ้นในแง่ของพีชคณิตเชิงเส้นที่คุ้นเคยสามารถอธิบายคุณสมบัติและลดความซับซ้อนของการคำนวณภายในทฤษฎีที่เป็นนามธรรมมากขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น การแทนกลุ่มด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ ตมิติอนันต์ ช่วยให้สามารถนำวิธีการวิเคราะห์มาใช้กับทฤษฎีของกลุ่มได้^{[ 7 ] [ 8 ]}นอกจากนี้ ทฤษฎีการแทนยังมีความสำคัญในฟิสิกส์เพราะสามารถอธิบายได้ว่ากลุ่มสมมาตรของระบบทางกายภาพส่งผลต่อคำตอบของสมการที่อธิบายระบบนั้น อย่างไร ^{[ 9 ]}

ทฤษฎีการแทนนั้นแพร่หลายไปทั่วสาขาคณิตศาสตร์ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการแทนนั้นมีความหลากหลาย^{[ 10 ]}นอกเหนือจากผลกระทบต่อพีชคณิตแล้ว ทฤษฎีการแทนยัง...

• ขยายการวิเคราะห์ฟูริเยร์^ผ่านการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก [ ^{11 ]}
• เชื่อมโยงกับเรขาคณิตผ่านทฤษฎีอินวาเรียน^ต์และโปรแกรม Erlangen [ ^{12 ]}
• มีผลกระทบต่อทฤษฎีจำนวนผ่านรูปแบบอัตโนมัติและโปรแกรมLanglands ^{[ 13 ]}

ทฤษฎีการแทนมีหลายแนวทาง: สามารถศึกษาวัตถุเดียวกันได้โดยใช้วิธีการจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีโมดูลทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทฤษฎีตัวดำเนินการพีชคณิตเชิงการจัดเรียงและโทโพโลยี^{[ 14 ]}

ความสำเร็จของทฤษฎีการแทนนำไปสู่การสรุปทั่วไปมากมาย หนึ่งในการสรุปทั่วไปที่สุดคือในทฤษฎีหมวดหมู่ [ ^{15 ] วัตถุ}พีชคณิตที่ทฤษฎีการแทนนำไปใช้สามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่ประเภทเฉพาะ และการแทนเป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่วัตถุไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ [ ^{4 ] คำ}อธิบายนี้ชี้ให้เห็นถึงการสรุปทั่วไปตามธรรมชาติสองประการ:

• ประการแรก วัตถุเชิงพีชคณิตสามารถถูกแทนที่ด้วยหมวดหมู่ทั่วไปได้
• ประการที่สอง หมวดหมู่เป้าหมายของปริภูมิเวกเตอร์สามารถแทนที่ด้วยหมวดหมู่อื่น ๆ ที่เข้าใจได้เป็นอย่างดี

ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์^{[ 6 ]}ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเป็นหรือเป็นปริมาณเวกเตอร์คอลัมน์มาตรฐานn มิติ เหนือ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับ ในกรณีนี้ แนวคิดของทฤษฎีการแทนคือการทำพีชคณิตนามธรรมให้เป็นรูปธรรมโดยใช้เมทริกซ์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n\times n}$

มี วัตถุ พีชคณิต หลักสามประเภท ที่สามารถทำเช่นนี้ได้ ได้แก่กลุ่มพีชคณิตแบบเชื่อมโยงและพีชคณิตลี^{[ 16 ] [ 4 ]}

• เซตของ เมทริกซ์ ผกผัน ทั้งหมด เป็นกลุ่มภายใต้การคูณเมทริกซ์และทฤษฎีการแทนกลุ่มจะวิเคราะห์กลุ่มโดยการอธิบาย ("แทน") สมาชิกของกลุ่มในรูปของเมทริกซ์ผกผัน${\displaystyle n\times n}$
• การบวกและการคูณเมทริกซ์ทำให้เซตของ เมทริกซ์ ทั้งหมด กลายเป็นพีชคณิตแบบสมาคม และด้วยเหตุนี้จึงมีทฤษฎีการแสดงแทนของพีชคณิตแบบสมาคมที่สอดคล้องกัน${\displaystyle n\times n}$
• ถ้าเราแทนที่การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวสลับ เมทริกซ์ เมทริกซ์เหล่า นั้นก็จะกลายเป็นพีชคณิตลีแทน ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีการแทนของพีชคณิตลี${\displaystyle MN}$${\displaystyle MN-NM}$${\displaystyle n\times n}$

สิ่งนี้สามารถขยายไปสู่ฟิลด์ใดๆและปริภูมิเวกเตอร์ใดๆเหนือโดยใช้แผนที่เชิงเส้นแทนเมทริกซ์ และการประกอบ แทนการคูณเมทริกซ์ : มีกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมของ, พีชคณิตแบบสมาคมของเอนโดมอร์ฟิซึมทั้งหมดของ, และพีชคณิตลีที่สอดคล้องกัน${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle {\text{GL}}(V,\mathbb {F} )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\text{End}}_{\mathbb {F} }(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V,\mathbb {F} )}$

มีสองวิธีในการกำหนดการแสดงแทน^{[ 17 ]}วิธีแรกใช้แนวคิดของการกระทำโดยขยายวิธีที่เมทริกซ์กระทำกับเวกเตอร์คอลัมน์โดยการคูณเมทริกซ์

การแทนกลุ่มหรือพีชคณิต (แบบสมาคมหรือแบบลี) บนปริภูมิเวกเตอร์คือแผนที่ ที่ มีคุณสมบัติสองประการ ${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$$$หรือ ฟี โคลอน จี ไทม์ส วี ทู วี$$

1. สำหรับค่าใดๆใน(หรือใน) แผนที่ จะเป็นเชิงเส้น (เหนือ) ${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (g)\colon V&\to V\\v&\mapsto \Phi (g,v)\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbb {F} }$
2. ถ้าเราแนะนำสัญลักษณ์g · vสำหรับ( g , v ) แล้วสำหรับg ₁ , g ₂ ใดๆ ในGและvในV : โดยที่eคือสมาชิกเอกลักษณ์ของGและg ₁ g ₂คือผลคูณกลุ่มใน G${\displaystyle \Phi }$$${\displaystyle (2.1)\ควอด อี\cdot v=v}$$$${\displaystyle (2.2)\quad g_{1}\cdot (g_{2}\cdot v)=(g_{1}g_{2})\cdot v}$$

นิยามของพีชคณิตแบบเชื่อมโยงนั้นคล้ายคลึงกัน ยกเว้นว่าพีชคณิตแบบเชื่อมโยงไม่จำเป็นต้องมีองค์ประกอบเอกลักษณ์เสมอไป ในกรณีนี้สมการ (2.1) จะถูกละเว้น สมการ (2.2) เป็นการแสดงออกเชิงนามธรรมของการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ ซึ่งไม่เป็นจริงสำหรับตัวสลับเมทริกซ์ และไม่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับตัวสลับด้วย ดังนั้นสำหรับพีชคณิตลี ข้อกำหนดเพียงอย่างเดียวคือสำหรับx ₁ , x ₂ ใดๆ ในAและvในV : โดยที่ [ x ₁ , x ₂ ] คือวงเล็บลีซึ่งเป็นการขยายตัวสลับเมทริกซ์ MN − NM$${\displaystyle (2.2')\quad x_{1}\cdot (x_{2}\cdot v)-x_{2}\cdot (x_{1}\cdot v)=[x_{1},x_{2}]\cdot v}$$

วิธีที่สองในการกำหนดการแสดงแทนนั้นมุ่งเน้นไปที่แผนที่φที่ส่งgในGไปยังแผนที่เชิงเส้นφ ( g ): V → Vซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle \varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{1})\circ \varphi (g_{2})\quad {\text{สำหรับทุก }}g_{1},g_{2}\in G}$

และเช่นเดียวกันในกรณีอื่นๆ แนวทางนี้กระชับและเป็นนามธรรมมากกว่า จากมุมมองนี้:

• การแสดงแทนของกลุ่มGบนปริภูมิเวกเตอร์Vคือโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มφ : G → GL( V , F ); ^{[ 8 ]}
• การแทนพีชคณิตแบบเชื่อมโยงAบนปริภูมิเวกเตอร์Vคือโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตφ : A → End _F ( V ); ^{[ 8 ]}
• การแทนพีชคณิตลีบนปริภูมิเวกเตอร์คือ โฮโม มอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi :{\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {gl}}(V,\mathbb {F} )}$

ปริภูมิเวกเตอร์Vเรียกว่าปริภูมิแทนของφและมิติ ของมัน (ถ้ามีค่าจำกัด) เรียกว่ามิติของการแทน (บางครั้งเรียก ว่า ดีกรีดังเช่นใน^{[ 18 ]} ) นอกจากนี้ยังเป็นเรื่องปกติที่จะอ้างถึงVเองว่าเป็นตัวแทนเมื่อโฮโมมอร์ฟิซึมφชัดเจนจากบริบท มิฉะนั้นสามารถใช้สัญลักษณ์ ( V , φ ) เพื่อแสดงถึงการแทนได้

เมื่อVมีมิติจำกัดnเราสามารถเลือกฐานสำหรับVเพื่อระบุVกับF ⁿและด้วยเหตุนี้จึงสามารถกู้คืนการแสดงเมทริกซ์ที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์Fได้

การแทนที่ มีประสิทธิภาพหรือเที่ยงตรงคือการแทน ( V , φ ) ซึ่งโฮโมมอร์ฟิซึมφเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ถ้าและเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือซึ่งมีตัวแทนและของกลุ่มแล้วแผนที่สมมาตรจากไปเป็นแผนที่เชิงเส้นโดยที่ สำหรับทุกในและใน ในแง่ของและนี่หมายความว่า สำหรับทุกในนั่นคือแผนภาพต่อ ไปนี้สลับที่ได้ : ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \alpha :V\rightarrow W}$$${\displaystyle \alpha (g\cdot v)=g\cdot \alpha (v)}$$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi :G\rightarrow {\text{GL}}(V)}$${\displaystyle \psi :G\rightarrow {\text{GL}}(W)}$$${\displaystyle \alpha \circ \varphi (g)=\psi (g)\circ \alpha }$$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$

แผนที่สมมาตรสำหรับการแสดงแทนของพีชคณิตแบบเชื่อมโยงหรือพีชคณิตลีถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ถ้าสามารถผกผันได้ ก็จะเรียกว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมซึ่งในกรณีนี้และ(หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือและ) เป็นการแสดงแทนแบบไอโซมอร์ฟิกหรือเรียกอีกอย่างว่าการแสดงแทนที่เทียบเท่าแผนที่สมมาตรมักเรียกว่าแผนที่การสานกันของการแสดงแทน นอกจากนี้ ในกรณีของกลุ่มบางครั้งก็เรียกว่าแผนที่ หรือแผนที่เชิงเส้น^{[ 19 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

การแทนแบบไอโซมอร์ฟิกนั้น ในทางปฏิบัติแล้ว "เหมือนกัน" กล่าวคือ ให้ข้อมูลเดียวกันเกี่ยวกับกลุ่มหรือพีชคณิตที่ถูกแทน ดังนั้น ทฤษฎีการแทนจึงพยายามจำแนกการแทนต่างๆไปจนถึงระดับไอโซมอร์ฟิซึม

ถ้าเป็นการแทนกลุ่ม (เช่น) และเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของที่ถูกรักษาไว้โดยการกระทำของในแง่ที่ว่าสำหรับทุกและ( Serreเรียกสิ่งเหล่านี้ว่าเสถียรภายใต้^{[ 18 ]} ) แล้วเรียกว่าการแทนย่อย : โดยการกำหนดโดยที่คือการจำกัดของไปยังเป็นการแทนของและการรวมของเป็นแผนที่สมมาตร ปริภูมิผลหารยังสามารถทำให้เป็นการแทนของ ได้อีกด้วยถ้ามี การแทนย่อยสองรายการพอดี คือปริภูมิย่อยที่ไม่สำคัญ {0} และตัวมันเอง การแทนนั้นจะเรียกว่าไม่สามารถลดทอนได้ถ้ามี การแทนย่อยที่ไม่สำคัญที่เหมาะสม การแทนนั้นจะเรียกว่าสามารถลดทอนได้^{[ 20 ]}${\displaystyle (V,\psi )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g\cdot w\in W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle \phi :G\to {\text{Aut}}(W)}$$${\displaystyle \phi (g)}$${\displaystyle \psi (g)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (W,\phi )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle W\hookrightarrow V}$${\displaystyle V/W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

นิยามของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้นั้นบ่งบอกถึงทฤษฎีบทของ Schur : แผนที่สมมาตรระหว่างการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้จะเป็นได้ทั้งแผนที่ศูนย์หรือไอโซมอร์ฟิซึม เนื่องจากเคอร์เนลและภาพ ของมัน เป็นการแทนย่อย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเอนโดมอร์ฟิซึม สมมาตร ของก่อให้เกิดพีชคณิตการหารแบบ สมาคม เหนือฟิลด์พื้นฐานFถ้าFเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต เอนโดมอร์ฟิซึมสมมาตรเพียงอย่างเดียวของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้คือผลคูณเชิงสเกลาร์ของเอกลักษณ์ $${\displaystyle \alpha :(V,\psi )\to (V',\psi ')}$$${\displaystyle V=V'}$${\displaystyle V}$

การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ถือเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของทฤษฎีการแทนสำหรับกลุ่มจำนวนมาก: หากการแทนไม่สามารถลดทอนได้ มันจะถูกสร้างขึ้นจากการแทนย่อยและการหารซึ่งทั้งสองอย่างนั้น "เรียบง่ายกว่า" ในบางแง่ ตัวอย่างเช่น หากมีมิติจำกัด การแทนย่อยและการหารก็จะมีมิติที่เล็กกว่า มีตัวอย่างค้านที่การแทนมีการแทนย่อย แต่มีองค์ประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่ไม่ใช่แบบธรรมดาเพียงองค์ประกอบเดียว ตัวอย่างเช่น กลุ่มบวกมีการแทนสองมิติ กลุ่มนี้มีเวกเตอร์ที่คงที่โดยโฮโมมอร์ฟิซึมนี้ แต่ปริภูมิย่อยส่วนเติมเต็มจะแมปไปยัง ทำให้ มีการแทนย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้เพียงองค์ประกอบเดียว นี่เป็นจริงสำหรับกลุ่มยูนิโพเทนต์ทั้งหมด^{[ 21 ] : 112} ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$$${\displaystyle \phi (a)={\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}}}$$

ถ้า ( V , φ ) และ ( W , ψ ) เป็นการแทนของกลุ่ม (เช่น) Gแล้วผลรวมโดยตรงของVและWก็เป็นการแทนในรูปแบบมาตรฐาน ผ่านสมการ

${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$

ผลรวมโดยตรงของตัวแทนสองตัวไม่ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับกลุ่มG มากไป กว่าที่ตัวแทนทั้งสองให้ไว้แยกกัน หากตัวแทนเป็นผลรวมโดยตรงของตัวแทนย่อยที่ไม่ใช่ตัวแทนย่อยที่แท้จริงสองตัว จะกล่าวได้ว่าตัวแทนนั้นสามารถแยกส่วนได้ มิเช่นนั้นจะกล่าวได้ว่าตัวแทนนั้นไม่สามารถแยกส่วนได้

ภายใต้เงื่อนไขที่เอื้ออำนวย การแสดงผลแบบมิติจำกัดทุกรูปแบบจะเป็นผลรวมโดยตรงของการแสดงผลที่ไม่สามารถลดทอนได้: การแสดงผลดังกล่าวเรียกว่า การแสดงผลแบบกึ่งง่าย (semisimple ) ในกรณีนี้ การเข้าใจเฉพาะการแสดงผลที่ไม่สามารถลดทอนได้ก็เพียงพอแล้ว ตัวอย่างที่ปรากฏการณ์ " การลดทอนได้อย่างสมบูรณ์ " นี้เกิดขึ้น (อย่างน้อยในฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ ) ได้แก่ กลุ่มจำกัด (ดูทฤษฎีบทของ Maschke ) กลุ่มกระชับ และพีชคณิต Lie แบบกึ่งง่าย

ในกรณีที่การลดรูปอย่างสมบูรณ์ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข จำเป็นต้องเข้าใจว่าการสร้างตัวแทนที่ไม่สามารถแยกส่วนได้นั้น สามารถสร้างขึ้นจากตัวแทนที่ไม่สามารถลดรูปได้โดยใช้การขยายผลหารด้วยตัวแทนย่อยได้ อย่างไร

สมมติว่าและเป็นการแทนของกลุ่มจากนั้นเราสามารถสร้างการแทนของ G ที่กระทำบนปริภูมิเวกเตอร์ผลคูณเทนเซอร์ได้ดังนี้: ^{[ 22 ]}${\displaystyle \phi _{1}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{1})}$${\displaystyle \phi _{2}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{2})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi _{1}\otimes \phi _{2}}$${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(g)=\phi _{1}(g)\otimes \phi _{2}(g)}$.

ถ้าและเป็นการแทนของพีชคณิตลี สูตรที่ถูกต้องที่จะใช้คือ^{[ 23 ]}${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(X)=\phi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \phi _{2}(X)}$.

ผลิตภัณฑ์นี้สามารถระบุได้ว่าเป็นโคโปรดักต์บนโคอัลจีบราโดยทั่วไปแล้ว ผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้นั้นไม่ใช่สิ่งที่ลดทอนไม่ได้ กระบวนการแยกส่วนผลคูณเทนเซอร์เป็นผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้เรียกว่าทฤษฎีเคล็บช์-กอร์ดัน

ในกรณีของทฤษฎีการแสดงแทนของกลุ่ม SU(2) (หรือเทียบเท่ากับพีชคณิต Lie ที่ซับซ้อน) การแยกส่วนนั้นง่ายต่อการคำนวณ^{[ 24 ]}การแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้จะถูกกำกับด้วยพารามิเตอร์ที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบหรือครึ่งจำนวนเต็ม การแสดงแทนนั้นจะมีมิติสมมติว่าเราใช้ผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงแทนของการแสดงแทนสองแบบ โดยมีป้ายกำกับและโดยที่เราสมมติว่าจากนั้นผลคูณเทนเซอร์จะแยกส่วนเป็นผลรวมโดยตรงของสำเนาหนึ่งชุดของแต่ละการแสดงแทนที่มีป้ายกำกับโดยที่มีค่าตั้งแต่ถึงเพิ่มขึ้นทีละ 1 ตัวอย่างเช่น ถ้าค่าของที่เกิดขึ้นคือ 0, 1 และ 2 ดังนั้น การแสดงแทนผลคูณเทนเซอร์ที่มีมิติจะแยกส่วนเป็นผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนแบบ 1 มิติการแสดงแทนแบบ 3 มิติ และการ แสดง แทนแบบ 5 มิติ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle l}$${\displaystyle 2l+1}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle l_{2},}$${\displaystyle l_{1}\geq l_{2}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l_{1}-l_{2}}$${\displaystyle l_{1}+l_{2}}$${\displaystyle l_{1}=l_{2}=1}$${\displaystyle l}$${\displaystyle (2l_{1}+1)\times (2l_{2}+1)=3\times 3=9}$${\displaystyle (l=0),}$${\displaystyle (l=1),}$${\displaystyle (l=2)}$

ทฤษฎีการแทนนั้นโดดเด่นด้วยจำนวนสาขาที่มีและวิธีการที่หลากหลายในการศึกษาการแทนกลุ่มและพีชคณิต แม้ว่าทฤษฎีทั้งหมดจะมีแนวคิดพื้นฐานที่เหมือนกันดังที่ได้กล่าวไปแล้ว แต่ก็มีความแตกต่างกันอย่างมากในรายละเอียด ความแตกต่างมีอย่างน้อย 3 ประการ:

1. ทฤษฎีการแทนค่าขึ้นอยู่กับประเภทของวัตถุทางพีชคณิตที่ถูกแทนค่า มีกลุ่มหลายประเภท พีชคณิตแบบเชื่อมโยง และพีชคณิตลี และทฤษฎีการแทนค่าของแต่ละประเภทก็มีลักษณะเฉพาะตัว
2. ทฤษฎีการแทนค่าขึ้นอยู่กับลักษณะของปริภูมิเวกเตอร์ที่ใช้แทนวัตถุทางพีชคณิต ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดคือระหว่าง การแทนค่า แบบมิติจำกัดและการแทนค่าแบบมิติอนันต์ ในกรณีมิติอนันต์ โครงสร้างเพิ่มเติมมีความสำคัญ (ตัวอย่างเช่น ปริภูมินั้นเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตปริภูมิบานาคเป็นต้น) โครงสร้างทางพีชคณิตเพิ่มเติมสามารถกำหนดได้ในกรณีมิติจำกัดเช่นกัน
3. ทฤษฎีการแทนค่าขึ้นอยู่กับประเภทของฟิลด์ที่ใช้กำหนดปริภูมิเวกเตอร์ กรณีที่สำคัญที่สุดคือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ฟิลด์ของจำนวนจริงฟิลด์จำกัดและฟิลด์ของจำนวน p-adicความยากลำบากเพิ่มเติมเกิดขึ้นสำหรับฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวกและสำหรับฟิลด์ที่ไม่ปิดเชิงพีชคณิต

การแทนกลุ่มเป็นเครื่องมือที่สำคัญมากในการศึกษากลุ่มจำกัด^{[ 25 ]}นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกลุ่มจำกัดกับเรขาคณิตและผลึกศาสตร์ [ ^{26 ] การ}แทนกลุ่มจำกัดแสดงให้เห็นคุณสมบัติหลายอย่างของทฤษฎีทั่วไปและชี้ทางไปยังสาขาและหัวข้ออื่นๆ ในทฤษฎีการแทน

บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์การแทนกลุ่มจำกัดGมีคุณสมบัติที่สะดวกหลายประการ ประการแรก การแทนของGเป็นแบบกึ่งง่าย (ลดรูปได้อย่างสมบูรณ์) นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของ Maschkeซึ่งกล่าวว่า การแทนย่อยV ใดๆ ของการแทนG Wจะมี ส่วนเติมเต็มที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Gการพิสูจน์อย่างหนึ่งคือการเลือกการฉายภาพπ ใดๆ จากWไปยังVและแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยπ _Gที่กำหนดโดย

${\displaystyle \pi _{G}(x)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}g\cdot \pi (g^{-1}\cdot x).}$

π _Gเป็นเมทริกซ์สมมาตร และเคอร์เนลของมันคือส่วนเติมเต็มที่ต้องการ

การแทน Gในมิติจำกัดสามารถเข้าใจได้โดยใช้ทฤษฎีอักขระ : อักขระของการแทนφ : G → GL( V ) คือฟังก์ชันคลาสχ _φ : G → Fที่กำหนดโดย

${\displaystyle \chi _{\varphi }(g)=\mathrm {Tr} (\varphi (g))}$

ร่องรอยอยู่ที่ไหนการแสดงผลแบบลดทอนไม่ได้ของGนั้นถูกกำหนดโดยสมบูรณ์ด้วยลักษณะเฉพาะของมัน ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$

ทฤษฎีบทของ Maschke ใช้ได้ทั่วไปกับฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะpเป็นบวก เช่นฟิลด์จำกัด ตราบใดที่จำนวนเฉพาะpเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับอันดับของGเมื่อpและ | G | มีตัวประกอบร่วมกันจะมี การแสดงแทน Gที่ไม่ใช่แบบกึ่งง่าย ซึ่งมีการศึกษาในสาขาย่อยที่เรียกว่าทฤษฎีการแสดงแทนแบบโมดูลาร์

เทคนิคการหาค่าเฉลี่ยยังแสดงให้เห็นว่า ถ้าFเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนแล้ว การแสดงผลแบบ G ใดๆ ก็ตาม จะรักษาผลคูณภายใน บนV ไว้ ในแง่ที่ว่า ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle g\cdot v,g\cdot w\rangle =\langle v,w\rangle }$

สำหรับg ทั้งหมด ในGและv , w ทั้งหมดในWดังนั้น การแสดงแทน ด้วย G ใดๆ ก็ตาม จึงเป็นแบบ เอกภาพ

การแทนแบบเอกภาพนั้นเป็นแบบกึ่งง่ายโดยอัตโนมัติ เนื่องจากผลลัพธ์ของ Maschke สามารถพิสูจน์ได้โดยการหาค่าเติมเต็มเชิงตั้งฉากของการแทนย่อย เมื่อศึกษาการแทนของกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มจำกัด การแทนแบบเอกภาพจะให้การวางนัยทั่วไปที่ดีของการแทนแบบจริงและแบบเชิงซ้อนของกลุ่มจำกัด

ผลลัพธ์ต่างๆ เช่น ทฤษฎีบทของ Maschke และคุณสมบัติเอกภาพที่อาศัยการหาค่าเฉลี่ย สามารถขยายไปสู่กลุ่มทั่วไปได้มากขึ้นโดยการแทนที่ค่าเฉลี่ยด้วยปริพันธ์ โดยมีเงื่อนไขว่าต้องสามารถกำหนดแนวคิดของปริพันธ์ที่เหมาะสมได้ ซึ่งสามารถทำได้สำหรับกลุ่มทางทอพอโลยีแบบกระชับ (รวมถึงกลุ่ม Lie แบบกระชับ) โดยใช้การวัดของ Haarและทฤษฎีที่ได้เรียกว่า การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก เชิง นามธรรม

กลุ่มจำกัดอีกประเภทหนึ่งที่มีทฤษฎีการแทนที่ดีบนฟิลด์ใดๆ ก็คือกลุ่มจำกัดประเภทลี (Lie type ) ตัวอย่างที่สำคัญคือกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นบนฟิลด์จำกัด ทฤษฎีการแทนของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นและกลุ่มลีขยายตัวอย่างเหล่านี้ไปยังกลุ่มมิติอนันต์ ซึ่งกลุ่มหลังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแทนของพีชคณิตลีความสำคัญของทฤษฎีอักขระสำหรับกลุ่มจำกัดมีลักษณะคล้ายคลึงกับทฤษฎีน้ำหนักสำหรับการแทนของกลุ่มลีและพีชคณิตลี

การแทนกลุ่มจำกัดGยังเชื่อมโยงโดยตรงกับการแทนพีชคณิตผ่านพีชคณิตกลุ่มF [ G ] ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือFโดยมีองค์ประกอบของGเป็นฐาน พร้อมด้วยการดำเนินการคูณที่กำหนดโดยการดำเนินการของกลุ่ม ความเป็นเชิงเส้น และข้อกำหนดที่ว่าการดำเนินการของกลุ่มและการคูณสเกลาร์ต้องสลับที่ได้

การแสดงแทนแบบโมดูลาร์ของกลุ่มจำกัดGคือการแสดงแทนเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ | G | ดังนั้นทฤษฎีบทของ Maschke จึงไม่เป็นจริงอีกต่อไป (เนื่องจาก | G | ไม่สามารถผกผันได้ในFและดังนั้นจึงไม่สามารถหารด้วยมันได้) ^{[ 27 ]}อย่างไรก็ตามRichard Brauerได้ขยายทฤษฎีลักษณะเฉพาะไปสู่การแสดงแทนแบบโมดูลาร์ และทฤษฎีนี้มีบทบาทสำคัญในความก้าวหน้าในช่วงแรกๆ ไปสู่การจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกลุ่มง่ายที่ลักษณะเฉพาะไม่สอดคล้องกับวิธีการทางทฤษฎีกลุ่มอย่างเดียว เนื่องจากกลุ่มย่อย Sylow 2 ของพวก มัน "เล็กเกินไป" ^{[ 28 ]}

นอกจากจะมีประโยชน์ในทฤษฎีกลุ่มแล้ว การแสดงแทนแบบโมดูลาร์ยังเกิดขึ้นตามธรรมชาติในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ เช่นเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีการเข้ารหัส คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและทฤษฎีจำนวน

การแทนแบบเอกภาพของกลุ่มGคือการแทนเชิงเส้นφของG บน ปริภูมิฮิลเบิร์ต จริงหรือ (โดยปกติ) เชิงซ้อน Vโดยที่φ ( g ) เป็นตัวดำเนินการเอกภาพสำหรับทุกg ∈ Gการแทนแบบนี้ถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในกลศาสตร์ควอนตัม ตั้งแต่ทศวรรษ ¹⁹²⁰โดยเฉพาะอย่างยิ่งด้วยอิทธิพลของHermann Weyl [ ^{29 ]}และสิ่งนี้ได้เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการพัฒนาทฤษฎี โดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านการวิเคราะห์การแทนของกลุ่ม PoincaréโดยEugene Wigner [ ^{30 ] หนึ่ง}ในผู้บุกเบิกในการสร้างทฤษฎีทั่วไปของการแทนแบบเอกภาพ (สำหรับกลุ่มG ใดๆ แทนที่จะเป็นเพียงกลุ่มเฉพาะที่มีประโยชน์ในการใช้งาน) คือGeorge Mackeyและทฤษฎีที่ครอบคลุมได้รับการพัฒนาโดยHarish-Chandraและคนอื่นๆ ในช่วงทศวรรษ 1950 และ 1960 ^{[ 31 ]}

เป้าหมายหลักคือการอธิบาย " คู่เอกภาพ " ซึ่ง เป็นปริภูมิของการแสดงแทนเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ของG ^{[ 32 ]}ทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาอย่างดีในกรณีที่Gเป็นกลุ่มโทโพโลยีแบบกะทัดรัดเฉพาะที่ (Hausdorff) และการแสดงแทนมีความต่อเนื่องอย่างเข้มแข็ง [ ^{11 ] สำหรับ} G ที่ เป็นกลุ่ม อาเบล คู่เอกภาพก็คือปริภูมิของอักขระในขณะที่สำหรับGที่เป็นกลุ่ม กะทัดรัด ทฤษฎีบทของปีเตอร์-ไวล์ แสดงให้เห็นว่าการ แสดง แทนเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้นั้นมีมิติจำกัด และคู่เอกภาพเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 33 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้าGเป็นกลุ่มวงกลมS ¹อักขระจะถูกกำหนดโดยจำนวนเต็ม และคู่เอกภาพคือZ

สำหรับ Gที่ไม่กระชับคำถามที่ว่าการแสดงแทนใดเป็นแบบเอกภาพนั้นเป็นคำถามที่ละเอียดอ่อน แม้ว่าการแสดงแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้จะต้อง "ยอมรับได้" (เช่นโมดูล Harish-Chandra ) และการตรวจจับว่าการแสดงแทนที่ยอมรับได้ใดมีรูปแบบเซสควิลิเนียร์ คงที่ที่ไม่เสื่อม สภาพนั้นทำได้ง่าย แต่ก็ยากที่จะระบุว่าเมื่อใดรูปแบบนี้เป็นบวกแน่นอน คำอธิบายที่มีประสิทธิภาพของคู่เอกภาพ แม้แต่สำหรับกลุ่มที่มีพฤติกรรมค่อนข้างดี เช่นกลุ่ม Lie ลดรูป จริง (ที่กล่าวถึงด้านล่าง) ก็ยังคงเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญในทฤษฎีการแสดงแทน ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้วสำหรับกลุ่มเฉพาะหลายกลุ่ม เช่นSL(2, R )และกลุ่มLorentz ^{[ 34 ]}

ความเป็นคู่ระหว่างกลุ่มวงกลมS ¹และจำนวนเต็มZหรือโดยทั่วไประหว่างทอรัสT ⁿและZ ⁿเป็นที่รู้จักกันดีในการวิเคราะห์ในฐานะทฤษฎีอนุกรมฟูริเยร์และการแปลงฟูริเยร์ก็แสดงข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิของอักขระบนปริภูมิเวกเตอร์จริงเป็นปริภูมิเวกเตอร์คู่ เช่นกัน ดังนั้นทฤษฎีการแสดงแทนแบบเอกภาพและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก จึง มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรมใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์นี้โดยการพัฒนาการวิเคราะห์ฟังก์ชันบนกลุ่มโทโพโลยีแบบกระชับเฉพาะที่และปริภูมิที่เกี่ยวข้อง^{[ 11 ]}

เป้าหมายหลักคือการจัดเตรียมรูปแบบทั่วไปของการแปลงฟูริเยร์และทฤษฎีบทแพลนเชอเรลซึ่งทำได้โดยการสร้างการวัดบนคู่เอกภาพและไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างการแสดงแบบปกติของGบนปริภูมิ L ² ( G ) ของ ฟังก์ชัน ที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนGและการแสดงบน ปริภูมิของ ฟังก์ชันL ²บนคู่เอกภาพ ความเป็นคู่ของปอนต์จาจินและทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์ บรรลุผลนี้สำหรับ Gแบบอาเบลและแบบกระชับตามลำดับ^{[ 33 ] [ 35 ]}

แนวทางอีกประการหนึ่งเกี่ยวข้องกับการพิจารณาการแสดงแทนแบบเอกภาพทั้งหมด ไม่ใช่เฉพาะการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้เท่านั้น การแสดงแทนเหล่านี้ก่อให้เกิดหมวดหมู่และทฤษฎีทวิภาวะของ Tannaka–Kreinให้วิธีการในการกู้คืนกลุ่มกระชับจากหมวดหมู่ของการแสดงแทนแบบเอกภาพ

หากกลุ่มนั้นไม่ใช่ทั้งกลุ่มอาเบเลียนและกลุ่มคอมแพ็กต์ ก็ยังไม่มีทฤษฎีทั่วไปใดที่เป็นที่รู้จักซึ่งมีรูปแบบคล้ายคลึงกับทฤษฎีบทของแพลนเชอเรลหรือการผกผันฟูริเยร์ แม้ว่าอเล็กซานเดอร์ โกรเทนดีคจะขยายทฤษฎีทวิภาวะของทานนากา-เครนไปสู่ความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นและหมวดหมู่ทานนากา

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกยังได้รับการขยายจากการวิเคราะห์ฟังก์ชันบนกลุ่มGไปสู่ฟังก์ชันบนปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับGด้วย ทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาอย่างดีเป็นพิเศษสำหรับปริภูมิสมมาตรและให้ทฤษฎีของรูปแบบอัตโนมัติ (ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป)

กลุ่มLieเป็นกลุ่มที่เป็นแมนิโฟลด์เรียบ ด้วย กลุ่มเมทริกซ์คลาสสิกจำนวนมากเหนือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนเป็นกลุ่ม Lie ^{[ 36 ]}กลุ่มที่สำคัญหลายกลุ่มในฟิสิกส์และเคมีเป็นกลุ่ม Lie และทฤษฎีการแทนของกลุ่มเหล่านี้มีความสำคัญต่อการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกลุ่มในสาขาเหล่านั้น^{[ 9 ]}

ทฤษฎีการแทนกลุ่ม Lie สามารถพัฒนาได้ก่อนโดยพิจารณากลุ่มกระชับ ซึ่งผลลัพธ์ของทฤษฎีการแทนกระชับสามารถนำไปใช้ได้^{[ 32 ]}ทฤษฎีนี้สามารถขยายไปสู่การแทนแบบมิติจำกัดของกลุ่ม Lie กึ่งง่ายโดยใช้กลอุบายเอกภาพของ Weyl : แต่ละกลุ่ม Lie จริงกึ่งง่ายGมีการทำให้ซับซ้อน ซึ่งเป็นกลุ่ม Lie เชิงซ้อนG ^cและกลุ่ม Lie เชิงซ้อนนี้มีกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดK การแทนแบบมิติจำกัดของ Gสอดคล้องกับการแทนแบบมิติจำกัดของK อย่างใกล้ ชิด

กลุ่ม Lie ทั่วไปเป็นผลคูณกึ่งตรงของกลุ่ม Lie ที่แก้ได้และกลุ่ม Lie กึ่งง่าย ( การแยกส่วนของ Levi ) ^{[ 37 ]}การจำแนกประเภทของการแสดงแทนของกลุ่ม Lie ที่แก้ได้นั้นโดยทั่วไปทำได้ยาก แต่มักจะง่ายในกรณีปฏิบัติ การแสดงแทนของผลคูณกึ่งตรงสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้ผลลัพธ์ทั่วไปที่เรียกว่าทฤษฎี Mackeyซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของวิธีการที่ใช้ใน การจำแนกประเภท ของการแสดงแทนของกลุ่ม Poincaré ของ Wigner

พีชคณิตลีเหนือฟิลด์Fคือปริภูมิเวกเตอร์เหนือFที่มีการดำเนินการทวิเชิงเส้นแบบสมมาตรเฉียง ที่เรียกว่าวงเล็บลีซึ่งสอดคล้องกับเอกลักษณ์ของจาโคบีพีชคณิตลีเกิดขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งในฐานะปริภูมิสัมผัสของกลุ่มลีที่องค์ประกอบเอกลักษณ์นำไปสู่การตีความว่าเป็น "สมมาตรอนันต์เล็ก" ^{[ 37 ]}แนวทางที่สำคัญต่อทฤษฎีการแทนของกลุ่มลีคือการศึกษาทฤษฎีการแทนที่สอดคล้องกันของพีชคณิตลี แต่การแทนของพีชคณิตลีก็มีความน่าสนใจในตัวเช่นกัน^{[ 38 ]}

พีชคณิตลี เช่นเดียวกับกลุ่มลี มีการแยกส่วนแบบเลวีออกเป็นส่วนกึ่งง่ายและส่วนที่แก้ได้ โดยทฤษฎีการแทนของพีชคณิตลีที่แก้ได้นั้นโดยทั่วไปไม่สามารถจัดการได้ ในทางตรงกันข้าม การแทนแบบมิติจำกัดของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายนั้นเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์หลังจากงานของÉlie Cartanการแทนของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย 𝖌 จะถูกวิเคราะห์โดยการเลือกพีชคณิตย่อยของ Cartanซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นพีชคณิตย่อยสูงสุดทั่วไป 𝖍 ของ 𝖌 ซึ่งวงเล็บลีเป็นศูนย์ ("อาเบเลียน") การแทนของ 𝖌 สามารถแยกออกเป็นปริภูมิน้ำหนักที่เป็นปริภูมิไอเกนสำหรับการกระทำของ 𝖍 และอนาล็อกอนันต์ของอักขระ โครงสร้างของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายจึงลดการวิเคราะห์การแทนลงเหลือเพียงการจัดเรียงที่เข้าใจง่ายของน้ำหนักที่เป็นไปได้ที่สามารถเกิดขึ้นได้^{[ 37 ]}

มีพีชคณิตลีมิติอนันต์หลายประเภทที่มีการศึกษาการแสดงแทน ในบรรดาพีชคณิตเหล่านี้ พีชคณิต Kac–Moody ถือเป็นประเภทที่สำคัญ^{[ 39 ]} พีชคณิต เหล่านี้ตั้งชื่อตามVictor KacและRobert Moodyซึ่งค้นพบโดยอิสระ พีชคณิตเหล่านี้เป็นการวางนัยทั่วไปของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายมิติจำกัดและมีคุณสมบัติเชิงการจัดเรียงร่วมกันหลายอย่าง ซึ่งหมายความว่าพวกมันมีการแสดงแทนประเภทหนึ่งที่สามารถเข้าใจได้ในลักษณะเดียวกับการแสดงแทนของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย

พีชคณิตลีเชิงอัฟฟินเป็นกรณีพิเศษของพีชคณิตแค็ก-มูดี ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลและทฤษฎีแบบจำลองที่แก้ได้อย่างแม่นยำแค็กค้นพบการพิสูจน์ที่สง่างามของเอกลักษณ์เชิงการจัดเรียงบางอย่างเอกลักษณ์แมคโดนัลด์ซึ่งอิงตามทฤษฎีการแทนของพีชคณิตแค็ก-มูดีเชิงอัฟฟิน

พีชคณิต Lie superalgebrasเป็นการวางนัยทั่วไปของพีชคณิต Lie ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานมี การจัดระดับ Z ₂และคุณสมบัติสมมาตรเฉียงและเอกลักษณ์ Jacobi ของวงเล็บ Lie จะถูกแก้ไขโดยเครื่องหมาย ทฤษฎีการแสดงแทนของพวกมันคล้ายกับทฤษฎีการแสดงแทนของพีชคณิต Lie ^{[ 40 ]}

กลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น (หรือโดยทั่วไปคือโครงร่างกลุ่ม แอฟฟิน ) เป็นกลุ่มอนาล็อกในเรขาคณิตพีชคณิตของกลุ่มลีแต่ครอบคลุมฟิลด์ทั่วไปมากกว่าแค่RหรือCโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ครอบคลุมฟิลด์จำกัด พวกมันก่อให้เกิดกลุ่มจำกัดประเภทลีแม้ว่ากลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นจะมีการจัดประเภทที่คล้ายคลึงกับกลุ่มลีมาก แต่ทฤษฎีการแทนของกลุ่มเหล่านี้ค่อนข้างแตกต่างกัน (และเข้าใจได้ยากกว่ามาก) และต้องใช้เทคนิคที่แตกต่างกัน เนื่องจากโทโพโลยีของซาริสกิค่อนข้างอ่อนแอ และเทคนิคจากการวิเคราะห์ก็ไม่สามารถใช้งานได้อีกต่อไป^{[ 41 ]}

ทฤษฎีอินวาเรียนต์ศึกษาการกระทำบนวาไรตี้พีชคณิตจากมุมมองของผลกระทบต่อฟังก์ชันซึ่งสร้างการแทนกลุ่ม ในทางคลาสสิก ทฤษฎีนี้เกี่ยวข้องกับคำถามของการอธิบายอย่างชัดเจนของฟังก์ชันพหุนามที่ไม่เปลี่ยนแปลงหรือเป็นอินวาเรียนต์ภายใต้การแปลงจากกลุ่มเชิงเส้น ที่กำหนด แนวทางสมัยใหม่วิเคราะห์การแยกส่วนของการแทนเหล่านี้ออกเป็นส่วนที่ไม่สามารถลดทอนได้^{[ 42 ]}

ทฤษฎีอินวาเรียนต์ของกลุ่มอนันต์มีความเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกกับการพัฒนาพีชคณิตเชิงเส้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีของรูปแบบกำลังสองและ ดีเทอร์ มิแนนต์อีกหัวข้อหนึ่งที่มีอิทธิพลซึ่งกันและกันอย่างมากคือเรขาคณิตเชิงฉาย ซึ่งทฤษฎีอินวาเรียนต์สามารถนำมาใช้จัดระเบียบหัวข้อนี้ได้ และในช่วงทศวรรษ 1960 เดวิด มัมฟอร์ดได้เติมชีวิตชีวาใหม่ให้กับหัวข้อนี้ในรูปแบบของทฤษฎีอินวาเรียนต์ทางเรขาคณิตของ เขา ^{[ 43 ]}

ทฤษฎีการแทนของกลุ่ม Lie กึ่งง่ายมีรากฐานมาจากทฤษฎีอินแวเรียนต์^{[ 36 ]}และความเชื่อมโยงที่แข็งแกร่งระหว่างทฤษฎีการแทนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมีความคล้ายคลึงกันหลายประการในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ โดยเริ่มต้นจากโครงการ ErlangenของFelix Kleinและความเชื่อมโยงของÉlie Cartanซึ่งวางกลุ่มและสมมาตรไว้ที่ใจกลางของเรขาคณิต^{[ 44 ]}การพัฒนาสมัยใหม่เชื่อมโยงทฤษฎีการแทนและทฤษฎีอินแวเรียนต์เข้ากับสาขาที่หลากหลาย เช่นโฮโลโน มี ตัวดำเนิน การ เชิงอนุพันธ์และทฤษฎีของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว

รูปแบบอัตโนมัติเป็นการวางนัยทั่วไปของรูปแบบโมดูลาร์ ไปสู่ ฟังก์ชันวิเคราะห์ทั่วไปมากขึ้นอาจเป็นตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวที่มีคุณสมบัติการแปลงที่คล้ายกัน^{[ 45 ]}การวางนัยทั่วไปเกี่ยวข้องกับการแทนที่กลุ่มโมดูลาร์PSL ₂ ( R )และกลุ่มย่อยความสอดคล้อง ที่เลือก โดยกลุ่ม Lie กึ่งง่ายGและกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องΓเช่นเดียวกับที่รูปแบบโมดูลาร์สามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนผลหารของครึ่งพื้นที่บนH = PSL ₂ ( R )/SO(2) รูปแบบอัตโนมัติสามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (หรือวัตถุที่คล้ายกัน) บนΓ\ G / Kโดยที่Kคือ (โดยทั่วไป) กลุ่มย่อยขนาดกะทัดรัดสูงสุดของGอย่างไรก็ตาม ต้องใช้ความระมัดระวัง เนื่องจากผลหารมักมีจุดเอกฐาน ผลหารของกลุ่ม Lie กึ่งง่ายโดยกลุ่มย่อยขนาดกะทัดรัดเป็นพื้นที่สมมาตรดังนั้นทฤษฎีของรูปแบบอัตโนมัติจึงเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนพื้นที่สมมาตร

ก่อนการพัฒนาทฤษฎีทั่วไป มีกรณีพิเศษที่สำคัญหลายกรณีที่ได้รับการศึกษาอย่างละเอียด รวมถึงรูปแบบมอดูลาร์ของฮิลเบิร์ตและรูปแบบมอดูลาร์ของซีเกลผลลัพธ์ที่สำคัญในทฤษฎีนี้ได้แก่สูตรร่องรอยของเซลเบิร์กและการตระหนักรู้ของโรเบิร์ต แลงแลนด์สว่าทฤษฎีบทรีมันน์-รอชสามารถนำไปใช้ในการคำนวณมิติของปริภูมิของรูปแบบออโตมอร์ฟิกได้ แนวคิดต่อมาของ "การแสดงแทนแบบออโตมอร์ฟิก" ได้พิสูจน์แล้วว่ามีคุณค่าทางเทคนิคอย่างมากในการจัดการกับกรณีที่Gเป็นกลุ่มพีชคณิตซึ่งถือว่าเป็นกลุ่มพีชคณิตอะเดลิกผลที่ตามมาคือ ปรัชญาทั้งหมดโปรแกรมของแลงแลนด์สได้พัฒนาขึ้นรอบความสัมพันธ์ระหว่างการแสดงแทนและคุณสมบัติเชิงทฤษฎีจำนวนของรูปแบบออโตมอร์ฟิก^{[ 46 ]}

ในแง่หนึ่ง การแทน ด้วยพีชคณิตแบบเชื่อมโยง (associative algebra representations) เป็นการขยายแนวคิดของการแทนด้วยกลุ่ม (groups) และพีชคณิตลี (Lie algebras) การแทนด้วยกลุ่มจะเหนี่ยวนำให้เกิดการแทนด้วยวงแหวนกลุ่ม (group ring ) หรือพีชคณิตกลุ่ม (group algebra ) ที่สอดคล้องกัน ในขณะที่การแทนด้วยพีชคณิตลีจะสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับการแทนด้วยพีชคณิตห่อหุ้มสากล (universal enveloping algebra ) อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีการแทนด้วยพีชคณิตแบบเชื่อมโยงทั่วไปนั้นไม่มีคุณสมบัติที่ดีทั้งหมดของทฤษฎีการแทนด้วยกลุ่มและพีชคณิตลี

เมื่อพิจารณาถึงการแทนค่าของพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ เราสามารถลืมฟิลด์พื้นฐานไปได้ และมองพีชคณิตเชิงสัมพันธ์นั้นว่าเป็นวงแหวน และการแทนค่าของมันเป็นโมดูล วิธีการนี้ให้ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจอย่างยิ่ง กล่าวคือ ผลลัพธ์หลายอย่างในทฤษฎีการแทนค่าสามารถตีความได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์เกี่ยวกับโมดูลบนวงแหวน

พีชคณิตฮอปฟ์เป็นวิธีการหนึ่งในการปรับปรุงทฤษฎีการแทนของพีชคณิตแบบเชื่อมโยง ในขณะที่ยังคงรักษาทฤษฎีการแทนของกลุ่มและพีชคณิตลีไว้เป็นกรณีพิเศษ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลคูณเทนเซอร์ของการแทนสองแบบเป็นการแทนอย่างหนึ่ง เช่นเดียวกับปริภูมิเวกเตอร์คู่ขนาน

พีชคณิตฮอปฟ์ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มมีโครงสร้างพีชคณิตแบบสลับที่ได้ ดังนั้นพีชคณิตฮอปฟ์ทั่วไปจึงเรียกว่ากลุ่มควอนตัมแม้ว่าคำนี้มักจะจำกัดอยู่เฉพาะพีชคณิตฮอปฟ์บางชนิดที่เกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของกลุ่มหรือพีชคณิตห่อหุ้มสากลของกลุ่มเหล่านั้นก็ตาม ทฤษฎีการแทนของกลุ่มควอนตัมได้เพิ่มความเข้าใจเชิงลึกที่น่าประหลาดใจให้กับทฤษฎีการแทนของกลุ่มลีและพีชคณิตลี ตัวอย่างเช่น ผ่านทางฐานผลึกของคาชิวาระ

การแสดงแทนเชิงเซต ( หรือที่เรียกว่าการ แสดง แทนการกระทำของกลุ่มหรือการแสดงแทนการเรียงสับเปลี่ยน ) ของกลุ่มGบนเซตXกำหนดโดยฟังก์ชันρจากGไปยังX โดยที่ ^Xคือเซตของฟังก์ชันจากXไปยังXโดยที่สำหรับทุกg ₁ , g ₂ในGและทุกxในX :

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]].}$

เงื่อนไขนี้และสัจพจน์สำหรับกลุ่มบ่งชี้ว่าρ ( g ) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (หรือการเรียงสับเปลี่ยน ) สำหรับทุกgในGดังนั้นเราจึงสามารถนิยามการแสดงแทนการเรียงสับเปลี่ยนได้อย่างเทียบเท่าว่าเป็น โฮโม มอ ร์ฟิซึมของกลุ่มจาก G ไปยังกลุ่มสมมาตร S _XของX

ทุกกลุ่มGสามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเพียงชิ้นเดียวมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่นี้ก็คือสมาชิกของGนั่นเอง เมื่อกำหนดหมวดหมู่C ใดๆ การแทนGในCก็คือฟังก์ชันจากGไปยังCฟังก์ชันดังกล่าวจะเลือกวัตถุXในCและโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากG ไปยัง Aut( X ) ซึ่ง เป็น กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของX

ในกรณีที่CคือVect _Fซึ่งเป็นหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Fนิยามนี้เทียบเท่ากับการแสดงแทนเชิงเส้น ในทำนองเดียวกัน การแสดงแทนเชิงเซตก็คือการแสดงแทนของGในหมวดหมู่ของเซตนั่นเอง

อีกตัวอย่างหนึ่ง ลองพิจารณาหมวด หมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี Top การแทนในTopคือโฮโมมอร์ฟิซึมจากGไปยัง กลุ่ม โฮโมมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงทอพอโลยีX

รูปแบบการแสดงผลสามประเภทที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแสดงผลเชิงเส้น ได้แก่:

• การแทนเชิงโปรเจคทีฟ : อยู่ในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟสามารถอธิบายได้ว่าเป็น "การแทนเชิงเส้นจนถึงการแปลงสเกลาร์"
• การแทนแบบแอฟฟิน : อยู่ในหมวดหมู่ของปริภูมิแอฟฟินตัวอย่างเช่นกลุ่มยุคลิดกระทำแบบแอฟฟินต่อ ปริภูมิ ยุคลิด
• การแทนร่วมกันของกลุ่มเอกภาพและกลุ่มปฏิเอกภาพ : ในหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีมอร์ฟิซึมเป็นการแปลงเชิงเส้นหรือการแปลงปฏิเชิงเส้น

เนื่องจากกลุ่มเป็นหมวดหมู่ ดังนั้นจึงสามารถพิจารณาการแทนหมวดหมู่อื่นๆ ได้ด้วย การวางนัยทั่วไปที่ง่ายที่สุดคือการแทนไปยังโมโนอิดซึ่งเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเดียว กลุ่มเป็นโมโนอิดที่ทุกมอร์ฟิซึมสามารถผกผันได้ โมโนอิดทั่วไปมีการแทนในหมวดหมู่ใดๆ ก็ได้ ในหมวดหมู่ของเซต การแทนเหล่านี้คือการกระทำของโมโนอิดแต่สามารถศึกษาการแทนโมโนอิดบนปริภูมิเวกเตอร์และวัตถุอื่นๆ ได้เช่นกัน

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถผ่อนคลายข้อสมมติที่ว่าหมวดหมู่ที่ถูกแทนนั้นมีวัตถุเพียงหนึ่งเดียวได้ ในกรณีทั่วไปทั้งหมด นี่เป็นเพียงทฤษฎีของฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่ และแทบจะไม่มีอะไรให้กล่าวเพิ่มเติมได้เลย

กรณีพิเศษหนึ่งกรณีมีผลกระทบอย่างมากต่อทฤษฎีการแทนค่า นั่นคือทฤษฎีการแทนค่าของควีเวอร์^{[ 15 ]}ควีเวอร์เป็นเพียงกราฟแบบมีทิศทาง (โดยอนุญาตให้มีวงวนและลูกศรหลายลูก) แต่สามารถทำให้เป็นหมวดหมู่ (และพีชคณิต) ได้โดยการพิจารณาเส้นทางในกราฟ การแทนค่าของหมวดหมู่/พีชคณิตดังกล่าวได้ให้ความกระจ่างในหลายแง่มุมของทฤษฎีการแทนค่า ตัวอย่างเช่น โดยการอนุญาตให้คำถามทฤษฎีการแทนค่าที่ไม่กึ่งง่ายเกี่ยวกับกลุ่มลดลงในบางกรณีเหลือเพียงคำถามทฤษฎีการแทนค่ากึ่งง่ายเกี่ยวกับควีเวอร์

สำหรับตอนนี้ โปรดดูข้อมูลต่อไปนี้

• Vershik, Anatoly. "ระหว่าง "ใหญ่มาก" และ "อนันต์": ทฤษฎีการแสดงแทนเชิงอะซิมโทติก"ความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ 33 ( 2): 467– 476 สืบค้นเมื่อ21 ตุลาคม 2022
• อนาโตลี เวอร์ชิก, บรรยายสองครั้งเกี่ยวกับทฤษฎีการแทนเชิงอะซิมโทติกและสถิติของไดอะแกรมยัง ใน: เวอร์ชิก เอเอ็ม, ยาคูโบวิช วาย. (บรรณาธิการ) คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเชิงอะซิมโทติกพร้อมการประยุกต์ใช้กับฟิสิกส์คณิตศาสตร์ บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1815 สปริงเกอร์ 2003
• G. Olshanski, ทฤษฎีการแทนเชิงอะซิมโทติก, บันทึกการบรรยาย 2009–2010
• https://ncatlab.org/nlab/show/asymptotic+representation+theory

• "ทฤษฎีการแทน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Alexander Kirillov Jr. , บทนำเกี่ยวกับกลุ่ม Lie และพีชคณิต Lie (2008). ตำราเรียน ฉบับร่างเบื้องต้นในรูปแบบไฟล์ PDF สามารถดาวน์โหลดได้จากหน้าเว็บของผู้เขียน
• เควิน ฮาร์ทเน็ตต์(2020) บทความเกี่ยวกับทฤษฎีการเป็นตัวแทนในนิตยสาร Quanta
• Grabowski, Jan (2025). ทฤษฎีการเป็นตัวแทน: แนวทางเชิงหมวดหมู่ . สำนักพิมพ์ Open Book Publishers . ISBN 978-1-80511-716-2.