การอินทิเกรตแบบ จาน หรือที่รู้จักในแคลคูลัสเชิงอิน ทิกรัล ว่าวิธีจานเป็นวิธีการคำนวณปริมาตรของทรงตันที่เกิดจากการหมุนของวัสดุแข็ง เมื่อทำการอินทิเกรตตามแกนที่ขนานกับแกนการหมุนวิธีนี้จำลองรูปทรงสามมิติที่ได้เป็นกองของจานจำนวนอนันต์ที่มีรัศมีแตกต่างกันและมีความหนาเล็กน้อย นอกจากนี้ยังสามารถใช้หลักการเดียวกันนี้กับวงแหวนแทนจาน ( วิธี "แหวนรอง ") เพื่อให้ได้ทรงตันกลวงที่เกิดจากการหมุน ซึ่งแตกต่างจากการอินทิเกรตแบบเปลือกที่ทำการอินทิเกรตตามแกนที่ตั้งฉากกับแกนการหมุน

ถ้าฟังก์ชันที่จะหมุนเป็นฟังก์ชันของxอินทิกรัลต่อไปนี้แสดงถึงปริมาตรของทรงเรขาคณิตที่เกิดจากการหมุน:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx}$

โดยที่R ( x )คือระยะห่างระหว่างฟังก์ชันกับแกนหมุน วิธีนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อแกนหมุนอยู่ในแนวนอนเท่านั้น (ตัวอย่างเช่นy = 3หรือค่าคงที่อื่นๆ)

ถ้าฟังก์ชันที่จะหมุนเป็นฟังก์ชันของyอินทิกรัลต่อไปนี้จะให้ปริมาตรของทรงเรขาคณิตที่เกิดจากการหมุน:

${\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy}$

โดยที่R ( y )คือระยะห่างระหว่างฟังก์ชันกับแกนหมุน วิธีนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อแกนหมุนอยู่ในแนวตั้งเท่านั้น (ตัวอย่างเช่นx = 4หรือค่าคงที่อื่นๆ)

เพื่อให้ได้ทรงตันกลวงที่เกิดจากการหมุน (วิธี "แหวนรอง") ขั้นตอนคือการนำปริมาตรของทรงตันกลวงด้านในมาลบออกจากปริมาตรของทรงตันกลวงด้านนอก ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้ปริพันธ์เดียวในลักษณะต่อไปนี้:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx}$

โดยที่R _O ( x )คือฟังก์ชันที่อยู่ห่างจากแกนหมุนมากที่สุด และR _I ( x )คือฟังก์ชันที่อยู่ใกล้กับแกนหมุนมากที่สุด ตัวอย่างเช่น รูปต่อไปนี้แสดงการหมุนรอบ แกน xของ "ใบไม้" สีแดงที่อยู่ระหว่างเส้นโค้งรากที่สองและเส้นโค้งกำลังสอง:

ปริมาตรของทรงเรขาคณิตนี้คือ:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

ควรระมัดระวังอย่าคำนวณค่ากำลังสองของผลต่างระหว่างฟังก์ชันทั้งสอง แต่ควรคำนวณค่าผลต่างของกำลังสองของฟังก์ชันทั้งสองแทน

${\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}}$

(สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะกับการหมุนรอบ แกน x เท่านั้น )

ในการหมุนรอบแกนแนวนอนใดๆ เพียงแค่ลบค่าของแกนนั้นออกจากสูตรแต่ละสูตร ถ้าhคือค่าของแกนแนวนอน ปริมาตรจะเท่ากับ...

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

ตัวอย่างเช่น ในการหมุนบริเวณระหว่างy = −2 x + x ²และy = xตามแกนy = 4จะต้องทำการอินทิเกรตดังนี้:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.}$

ขอบเขตของการอินทิเกรตคือค่าศูนย์ของสมการแรก ลบด้วยค่าศูนย์ของสมการที่สอง โปรดสังเกตว่า เมื่อทำการอินทิเกรตตามแกนอื่นที่ไม่ใช่แกนxกราฟของฟังก์ชันที่อยู่ห่างจากแกนหมุนมากที่สุดอาจไม่ชัดเจน ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ แม้ว่ากราฟของy = xจะอยู่สูงกว่ากราฟของy = −2x + x² เมื่อ เทียบกับแกน x แต่เมื่อเทียบกับแกนหมุนแล้ว ฟังก์ชันy = xคือฟังก์ชันภายใน: กราฟของมันอยู่ใกล้กับy = 4หรือสมการของแกนหมุนในตัวอย่าง ^{มากกว่า}

แนวคิดเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้ได้กับทั้ง แกน yและแกนแนวตั้งอื่นๆ เพียงแค่ต้องแก้สมการแต่ละสมการหาค่าxก่อนที่จะนำไปแทนในสูตรการอินทิเกรต

• รากฐานแห่งการปฏิวัติ
• การผสานรวมเชลล์