ในทางคณิตศาสตร์การหารยาวเป็นวิธีการหาร มาตรฐาน ที่เหมาะสมสำหรับการหารจำนวนหลายหลัก ซึ่งง่ายพอที่จะทำด้วยมือได้ วิธีการนี้จะแบ่ง ปัญหา การหาร ออก เป็นขั้นตอนย่อยๆ ที่ง่ายขึ้นหลายขั้นตอน

เช่นเดียวกับปัญหาการหารทั้งหมด จำนวนหนึ่งเรียกว่าตัวตั้งหารจะถูกหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งเรียกว่าตัวหารทำให้ได้ผลลัพธ์ที่เรียกว่าผลหาร วิธีนี้ช่วยให้สามารถคำนวณจำนวนขนาดใหญ่ได้โดยทำตามขั้นตอนง่ายๆ^{[ 1 ]}รูปแบบย่อของการหารยาวเรียกว่าการหารสั้นซึ่งมักใช้^{[ 2 ]}แทนการหารยาวเมื่อตัวหารมีเพียงหลักเดียว

อัลกอริทึมที่เกี่ยวข้องมีมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 12 ^{[ 3 ]}อัล-ซามาวาล อัล-มัฆริบี (1125–1174) ได้ทำการคำนวณด้วยจำนวนทศนิยมซึ่งโดยพื้นฐานแล้วต้องใช้การหารยาว ทำให้ได้ผลลัพธ์เป็นทศนิยมอนันต์ แต่ไม่ได้กำหนดรูปแบบอัลกอริทึมอย่างเป็นทางการ^{[ 4 ]} คาลดรินี (1491) เป็นตัวอย่างการหารยาวที่พิมพ์ออกมาที่เก่าแก่ที่สุด ซึ่งรู้จักกันในชื่อ วิธี ดานดาในอิตาลีสมัยกลาง^{[ 5 ]}และมันก็ใช้งานได้จริงมากขึ้นด้วยการนำสัญกรณ์ทศนิยมมาใช้สำหรับเศษส่วนโดยพิทิสคัส (1608) อัลกอริทึมเฉพาะที่ใช้ในปัจจุบันได้รับการแนะนำโดยเฮนรี บริกส์ประมาณปี 1600 ^{[ 6 ]}

เครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ราคาไม่แพงได้กลายเป็นเครื่องมือที่ใช้กันทั่วไปในการหารในบริบททางการศึกษาและวิชาชีพทั่วโลก ลดการพึ่งพาเทคนิคกระดาษและดินสอแบบดั้งเดิม ภายในอุปกรณ์เหล่านี้จะใช้อัลกอริธึมการหาร ต่างๆ ซึ่งหลายอย่างอาศัยการประมาณค่าแบบวนซ้ำและการคูณเพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพการคำนวณ^{[ 7 ]}

แนวทางการสอนการหารแตกต่างกันไปในแต่ละประเทศและภูมิภาค ซึ่งสะท้อนถึงลำดับความสำคัญของหลักสูตรที่แตกต่างกัน ในอเมริกาเหนือ การหารยาวได้รับการลดความสำคัญลง หรือในบางกรณีก็ถูกลบออกจากบางส่วนของหลักสูตร ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการปฏิรูปคณิตศาสตร์ที่เน้นความเข้าใจเชิงแนวคิดและการใช้เทคโนโลยี^{[ 8 ]}

ในทางตรงกันข้าม ระบบการศึกษาหลายแห่งในยุโรปและเอเชียยังคงเน้นย้ำถึงความเชี่ยวชาญในอัลกอริทึมมาตรฐาน รวมถึงการหารยาว ในฐานะทักษะพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น หลักสูตรในประเทศต่างๆ เช่น ญี่ปุ่นและเยอรมนี มักจะแนะนำและเน้นย้ำการหารยาวในระหว่างการศึกษาระดับประถมศึกษา ควบคู่ไปกับกลยุทธ์การคำนวณทางจิตและเทคนิคการแก้ปัญหา^{[ 9 ]}

การประเมินระดับนานาชาติ เช่นTrends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) เน้นย้ำถึงความแตกต่างเหล่านี้ โดยแสดงให้เห็นถึงความแตกต่างในความสมดุลระหว่างความคล่องแคล่วเชิงกระบวนการและความเข้าใจเชิงแนวคิดในระบบการศึกษาต่างๆ^{[ 10 ]}

แนวทางที่แตกต่างกันเหล่านี้สะท้อนให้เห็นถึงปรัชญาการศึกษาในวงกว้างเกี่ยวกับการสร้างสมดุลระหว่างความคล่องแคล่วในกระบวนการปฏิบัติ ความเข้าใจในแนวคิด และบทบาทของเทคโนโลยีในการศึกษาคณิตศาสตร์

ในประเทศที่ใช้ภาษาอังกฤษ การหารยาวไม่ได้ใช้ เครื่องหมาย ทับหาร⟨ ∕ ⟩หรือเครื่องหมายหาร⟨÷⟩แต่จะสร้างเป็นตารางแทน^{[ 11 ]}ตัวหารจะถูกคั่นจากตัวตั้งหารด้วยวงเล็บปิด⟨ ) ⟩หรือเส้นแนวตั้ง⟨ | ⟩ตัวตั้งหารจะถูกคั่นจากผลหารด้วยเส้นขีดบน (เช่น เส้นขีดบน ) การรวมกันของสัญลักษณ์ทั้งสองนี้บางครั้งเรียกว่าสัญลักษณ์การหารยาววงเล็บหารหรือแม้แต่ป้ายรถเมล์^{[ 12 ] [ 13 ]} มันพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ 18 จากสัญกรณ์บรรทัดเดียวแบบเดิมที่คั่นตัวตั้งหารจากผล หารด้วยวงเล็บเปิด^{[ 14 ] [ 15 ]}

กระบวนการเริ่มต้นด้วยการหารตัวเลขหลักซ้ายสุดของตัวตั้งหารด้วยตัวหาร ผลลัพธ์ (ปัดลงให้เป็นจำนวนเต็ม) จะกลายเป็นตัวเลขหลักแรกของผลลัพธ์ และ คำนวณ เศษเหลือ (ขั้นตอนนี้เขียนแทนด้วยการลบ) เศษเหลือนี้จะถูกนำไปใช้เมื่อทำซ้ำกระบวนการกับตัวเลขหลักถัดไปของตัวตั้งหาร (เขียนแทนด้วยการ "ดึงลง" ตัวเลขหลักถัดไปของเศษเหลือ) เมื่อประมวลผลตัวเลขทุกหลักเสร็จแล้วและไม่มีเศษเหลือ กระบวนการก็เสร็จสมบูรณ์

ตัวอย่างแสดงอยู่ด้านล่าง ซึ่งแสดงการหาร 500 ด้วย 4 (ได้ผลลัพธ์ 125)

1 2 5 (คำอธิบาย)  4 )500  4 ( 4 ×  1 = 4)  1 0 ( 5 - 4 =  1 )  8 ( 4 ×  2 = 8)  2 0 (10 - 8 =  2 )  20 ( 4 ×  5 = 20) 0 (20 - 20 = 0) 

ขั้นตอนโดยละเอียดมีดังต่อไปนี้:

1. จงหาลำดับตัวเลขที่สั้นที่สุดโดยเริ่มจากด้านซ้ายสุดของตัวตั้งหาร 500 ที่ตัวหาร 4 หารลงตัวได้อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ในกรณีนี้คือตัวเลขหลักแรก 5 จำนวนที่มากที่สุดที่ตัวหาร 4 สามารถคูณได้โดยไม่เกิน 5 คือ 1 ดังนั้นจึงนำเลข 1 มาวางไว้เหนือเลข 5 เพื่อเริ่มต้นสร้างผลหาร
2. ถัดไป นำ 1 มาคูณด้วยตัวหาร 4 เพื่อหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่เป็นพหุคูณของตัวหาร 4 โดยไม่เกิน 5 (ในกรณีนี้คือ 4) จากนั้นนำ 4 ไปวางไว้ใต้ 5 แล้วลบออก เพื่อหาเศษเหลือคือ 1 แล้วนำเศษเหลือนี้ไปวางไว้ใต้ 4 ที่อยู่ใต้ 5 อีกครั้ง
3. จากนั้น ตัวเลขหลักแรกที่ยังไม่ได้ใช้ในตัวตั้งหาร ซึ่งในกรณีนี้คือตัวเลขหลักแรก 0 หลังเลข 5 จะถูกคัดลอกลงไปด้านล่างและถัดจากเศษเหลือ 1 เพื่อให้ได้เลข 10
4. ณ จุดนี้ กระบวนการจะถูกทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนถึงจุดหยุด: จำนวนที่มากที่สุดที่ตัวหาร 4 สามารถคูณได้โดยไม่เกิน 10 คือ 2 ดังนั้นจึงเขียน 2 ไว้ด้านบนเป็นหลักที่สองจากซ้ายสุดของผลหาร จากนั้นนำ 2 ไปคูณกับตัวหาร 4 ได้ 8 ซึ่งเป็นผลคูณที่มากที่สุดของ 4 ที่ไม่เกิน 10 ดังนั้นจึงเขียน 8 ไว้ด้านล่าง 10 และทำการลบ 10 ลบ 8 เพื่อให้ได้เศษเหลือ 2 ซึ่งวางไว้ด้านล่าง 8
5. ตัวเลขหลักถัดไปของตัวตั้งหาร (เลข 0 ตัวสุดท้ายใน 500) จะถูกคัดลอกลงมาด้านล่างและถัดจากเศษเหลือ 2 เพื่อให้ได้ 20 จากนั้น ตัวเลขที่มากที่สุดที่สามารถคูณกับตัวหาร 4 ได้โดยไม่เกิน 20 ซึ่งก็คือ 5 จะถูกวางไว้ด้านบนเป็นตัวเลขผลหารลำดับที่สามจากซ้ายสุด ตัวเลข 5 นี้จะถูกคูณด้วยตัวหาร 4 ได้ 20 ซึ่งจะถูกเขียนไว้ด้านล่าง และถูกลบออกจาก 20 ที่มีอยู่แล้วเพื่อให้ได้เศษเหลือ 0 ซึ่งจะถูกเขียนไว้ด้านล่างของ 20 ตัวที่สอง
6. ณ จุดนี้ เนื่องจากไม่มีตัวเลขใดที่จะต้องนำลงมาจากตัวตั้งหารอีกแล้ว และผลลัพธ์ของการลบครั้งสุดท้ายคือ 0 เราจึงมั่นใจได้ว่ากระบวนการเสร็จสิ้นแล้ว

หากเศษเหลือสุดท้ายหลังจากที่เราใช้ตัวเลขหลักของตัวหารหมดแล้วไม่ใช่ 0 จะมีสองทางเลือกที่เป็นไปได้:

1. เราอาจจะหยุดแค่นั้นแล้วบอกว่า ตัวตั้งหารด้วยตัวหารคือผลหารที่เขียนไว้ด้านบน และเศษเหลือที่เขียนไว้ด้านล่าง จากนั้นเขียนคำตอบเป็นผลหารตามด้วยเศษส่วนที่เป็นเศษเหลือหารด้วยตัวหาร
2. เราสามารถขยายตัวตั้งหารโดยเขียนเป็น เช่น 500.000... แล้วดำเนินการต่อ (โดยใช้จุดทศนิยมในผลหารวางไว้เหนือจุดทศนิยมในตัวตั้งหารโดยตรง) เพื่อให้ได้คำตอบเป็นทศนิยม ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 31.75 4)127.00 12 (12 ÷ 4 = 3) 07 ( เศษ 0 นำตัวเลขถัดไปลงมา) 4 (7 ÷ 4 = 1 เศษ 3) 3.0 (นำเลข 0 และจุดทศนิยมลงมา) 2.8 (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2) 20 (มีการนำเลขศูนย์เพิ่มมาอีกตัว) 20 (5 × 4 = 20) 0 

ในตัวอย่างนี้ ส่วนทศนิยมของผลลัพธ์คำนวณโดยการดำเนินการต่อจากหลักหน่วย โดย "ดึง" เลขศูนย์ลงมาเป็นส่วนทศนิยมของตัวตั้งหาร

ตัวอย่างนี้ยังแสดงให้เห็นว่า ในช่วงเริ่มต้นของกระบวนการ ขั้นตอนที่ให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์สามารถละเว้นได้ เนื่องจากเลขหลักแรก 1 น้อยกว่าตัวหาร 4 ดังนั้นขั้นตอนแรกจึงดำเนินการกับเลขสองหลักแรกคือ 12 แทน ในทำนองเดียวกัน หากตัวหารคือ 13 ก็ควรดำเนินการขั้นตอนแรกกับ 127 แทนที่จะเป็น 12 หรือ 1

1. จงหาตำแหน่งของจุดทศนิยมทั้งหมดในตัวตั้งหารn และตัวหารm
2. ถ้าจำเป็น ให้ลดรูปปัญหาการหารยาวโดยการเลื่อนจุดทศนิยมของตัวหารและตัวตั้งหารไปทางขวา (หรือทางซ้าย) เป็นจำนวนตำแหน่งทศนิยมเท่ากัน เพื่อให้จุดทศนิยมของตัวหารอยู่ทางขวาของหลักสุดท้าย
3. เมื่อทำการหารยาว ให้เรียงตัวเลขให้ตรงจากบนลงล่างใต้กระดานคำนวณ
4. หลังจากแต่ละขั้นตอน โปรดตรวจสอบให้แน่ใจว่าเศษที่เหลือจากขั้นตอนนั้นน้อยกว่าตัวหาร หากไม่เป็นเช่นนั้น อาจมีปัญหาอยู่สามประการคือ การคูณผิด การลบผิด หรือต้องใช้ผลหารที่มากกว่านี้
5. ในที่สุด เศษที่เหลือr จะถูก บวกเข้ากับผลหารที่เพิ่มขึ้นในรูปเศษส่วน r ⁄ m

การนำเสนอขั้นตอนพื้นฐานของกระบวนการ (ด้านบน) เน้นที่ขั้นตอนที่จะต้องดำเนินการ มากกว่าคุณสมบัติของขั้นตอนเหล่านั้นที่รับประกันว่าผลลัพธ์จะถูกต้อง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งq × m + r = nโดยที่qคือผลหารสุดท้ายและr คือ เศษเหลือสุดท้าย) การนำเสนอที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยต้องใช้การเขียนเพิ่มเติม และต้องเปลี่ยนแปลงตัวเลขของผลหาร แทนที่จะเพียงแค่ปรับปรุง แต่สามารถให้ความกระจ่างมากขึ้นว่าทำไมขั้นตอนเหล่านี้จึงให้คำตอบที่ถูกต้อง โดยอนุญาตให้ประเมินค่าq × m + rณ จุดกลางของกระบวนการ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติสำคัญที่ใช้ในการหาที่มาของอัลกอริทึม (ด้านล่าง )

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะปรับเปลี่ยนขั้นตอนพื้นฐานข้างต้น โดยเติมเลข 0 ลงในช่องว่างหลังตัวเลขของผลหารที่กำลังคำนวณ อย่างน้อยจนถึงหลักหน่วย และรวมเลข 0 เหล่านั้นไว้ในตัวเลขที่เราเขียนไว้ด้านล่างวงเล็บหารด้วย

วิธีนี้ช่วยให้เราคงความสัมพันธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงในทุกขั้นตอนได้ นั่นคือ q × m + r = nโดยที่qคือผลหารที่สร้างขึ้นบางส่วน (อยู่เหนือวงเล็บหาร) และr คือเศษเหลือที่สร้างขึ้นบางส่วน (ตัวเลขด้านล่างวงเล็บหาร) โปรดสังเกตว่า ในตอนเริ่มต้นq=0และr=nดังนั้นคุณสมบัตินี้จึงเป็นจริงในตอนเริ่มต้น กระบวนการนี้จะลดค่า r และเพิ่มค่า q ในแต่ละขั้นตอน และจะหยุดลงเมื่อr<mหากเราต้องการคำตอบในรูปแบบผลหาร + เศษเหลือที่เป็นจำนวนเต็ม

เมื่อกลับมาพิจารณา ตัวอย่าง 500 ÷ 4ข้างต้นอีกครั้ง เราจะพบว่า

1 2 5 ( qเปลี่ยนแปลงจาก 000 เป็น 100เป็น 1 20เป็น 1 2 5ตามหมายเหตุด้านล่าง) 4)500 400 ( 4 × 100 = 400) 100 (500 - 400 = 100 ; ตอนนี้q= 100 , r= 100 ; หมายเหตุq×4+r = 500 .) 80 ( 4 × 20 = 80) 20 (100 - 80 = 20 ; ตอนนี้q= 1 20 , r= 20 ; หมายเหตุq×4+r = 500 .) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 ( 20 - 20 = 0; ตอนนี้q= 1 2 5 , r= 0 ; หมายเหตุq×4+r = 500 .) 

สามารถใช้ตัวหารที่มีจำนวนหลักใดก็ได้ ในตัวอย่างนี้ 1260257 จะถูกหารด้วย 37 ขั้นแรก ตั้งโจทย์ดังนี้:

 37)1260257 

นำตัวเลขแต่ละหลักของ 1260257 มาใช้จนกว่าจะได้ตัวเลขที่มากกว่าหรือเท่ากับ 37 ดังนั้น 1 และ 12 น้อยกว่า 37 แต่ 126 มากกว่า จากนั้น คำนวณหาตัวคูณที่มากที่สุดของ 37 ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 126 ดังนั้น 3 × 37 = 111 ซึ่งน้อยกว่า 126 แต่ 4 × 37 มากกว่า 126 จึงเขียนตัวคูณ 111 ไว้ใต้ 126 และเขียน 3 ไว้ด้านบนตรงตำแหน่งที่จะแสดงคำตอบ:

 3  37)1260257 111 

โปรดสังเกตอย่างระมัดระวังว่าตัวเลขเหล่านี้อยู่ในหลักค่าประจำหลักใด เลข 3 ในผลหารจะอยู่ในหลักเดียวกัน (หลักหมื่น) กับเลข 6 ในตัวตั้งหาร 1260257 ซึ่งเป็นหลักเดียวกับตัวเลขหลักสุดท้ายของ 111

จากนั้นนำเลข 111 ไปลบออกจากบรรทัดด้านบน โดยไม่สนใจตัวเลขทั้งหมดทางด้านขวา:

 3  37)1260257 111 15 

ตอนนี้ให้คัดลอกตัวเลขจากหลักที่มีค่าน้อยกว่าถัดไปของตัวตั้งหารลงมา แล้วนำไปต่อท้ายผลลัพธ์ 15:

 3  37)1260257 111 150 

กระบวนการจะทำซ้ำ: นำจำนวนทวีคูณที่มากที่สุดของ 37 ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 150 มาลบ เช่น 148 = 4 × 37 ดังนั้นจึงบวก 4 เข้าไปที่ด้านบนเป็นหลักถัดไปของผลหาร จากนั้นจึงนำผลลัพธ์ของการลบไปบวกเพิ่มอีกหนึ่งหลักจากตัวตั้งหาร:

 34  37)1260257 111 150 148 22 

จำนวนทวีคูณที่มากที่สุดของ 37 ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 22 คือ 0 × 37 = 0 การลบ 0 ออกจาก 22 จะได้ 22 เรามักจะไม่เขียนขั้นตอนการลบ แต่เราจะนำตัวเลขอีกหลักหนึ่งจากตัวตั้งลบมาใช้แทน:

 340  37)1260257 111 150 148 225 

ทำซ้ำกระบวนการนี้ไปเรื่อยๆ จนกระทั่ง 37 หารบรรทัดสุดท้ายลงตัวพอดี:

 34061 37)1260257 111 150 148 225 222 37 

สำหรับสกุลเงินและหน่วยวัดที่ไม่ใช่ระบบทศนิยม (เช่น ระบบ เงินปอนด์สเตอร์ลิง ของอังกฤษ ก่อนปี 1971) และหน่วยวัดที่ไม่ใช่ระบบทศนิยม (เช่น ระบบavoirdupois ) จะต้องใช้การหาร แบบผสมลองพิจารณาการแบ่ง 50 ไมล์ 600 หลา ออกเป็น 37 ส่วน:

 ไมล์ - หลา - ฟุต - นิ้ว  1 - 634 1 9 r. 15" 37) 50 - 600 - 0 - 0 37 22880 66 348 13 23480 66 348 1760 222 37 333 22880 128 29 15 ===== 111 348 == 170 === 148 22 66 == 

แต่ละคอลัมน์ทั้งสี่จะดำเนินการตามลำดับ เริ่มจากไมล์: 50/37 = 1 เหลือเศษ 13 ไม่สามารถหารต่อได้ ดังนั้นให้ทำการคูณแบบยาวด้วย 1,760 เพื่อแปลงไมล์เป็นหลา ผลลัพธ์คือ 22,880 หลา นำค่านี้ไปไว้ด้านบนของคอลัมน์หลาและบวกกับ 600 หลาในตัวตั้งหารจะได้ 23,480 ทำการหารแบบยาว 23,480 / 37 ตามปกติจะได้ 634 เหลือเศษ 22 นำเศษที่ได้มาคูณด้วย 3 เพื่อให้ได้ฟุตและนำไปไว้ในคอลัมน์ฟุต ทำการหารแบบยาวของฟุตจะได้ 1 เหลือเศษ 29 จากนั้นคูณด้วยสิบสองเพื่อให้ได้ 348 นิ้ว ทำการหารแบบยาวต่อไปจนได้เศษสุดท้าย 15 นิ้ว ซึ่งแสดงอยู่ในบรรทัดผลลัพธ์

เมื่อผลหารไม่ใช่จำนวนเต็ม และกระบวนการหารขยายออกไปเกินจุดทศนิยม อาจเกิดสิ่งใดสิ่งหนึ่งต่อไปนี้:

1. กระบวนการอาจสิ้นสุดลง ซึ่งหมายความว่าเศษเหลือเป็น 0 หรือ
2. อาจได้เศษเหลือที่เหมือนกับเศษเหลือครั้งก่อนที่เกิดขึ้นหลังจากเขียนจุดทศนิยมแล้ว ในกรณีหลังนี้ การดำเนินการต่อไปจะไม่มีประโยชน์ เพราะนับจากจุดนั้นเป็นต้นไป ลำดับตัวเลขเดียวกันจะปรากฏในผลหารซ้ำไปเรื่อยๆ ดังนั้นจึงมีการขีดเส้นทับลำดับที่ซ้ำกันเพื่อแสดงว่ามันซ้ำไปเรื่อยๆ (กล่าวคือจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นได้ทั้งทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมซ้ำ )