ในฟิสิกส์อะตอม โมเลกุล และทัศนศาสตร์สัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์เป็นปริมาณที่อธิบายความน่าจะเป็นของการดูดกลืนหรือการปล่อยโฟตอนโดยอะตอมหรือโมเลกุล^{[ 1 ]} สัมประสิทธิ์ Aของไอน์สไตน์เกี่ยวข้องกับอัตราการปล่อยแสงโดยธรรมชาติ และ สัมประสิทธิ์ B ของไอน์สไตน์ เกี่ยวข้องกับการดูดกลืนและการปล่อยแสงแบบกระตุ้นตลอดบทความนี้ "แสง" หมายถึงรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ใดๆ ไม่จำเป็นต้องอยู่ในสเปกตรัมที่มองเห็นได้

ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ตั้งชื่อตามอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ผู้เสนอค่าเหล่านี้ในปี 1916

ในวิชาฟิสิกส์เราสามารถพิจารณาเส้นสเปกตรัมได้จากสองมุมมอง

เส้นสเปกตรัมการปล่อยแสงเกิดขึ้นเมื่ออะตอมหรือโมเลกุลเปลี่ยนสถานะจากระดับพลังงาน เฉพาะ E2ไปยังระดับพลังงานที่ต่ำกว่าE1 โดยปล่อยโฟตอน _{ที่ มีพลังงานและความยาวคลื่นเฉพาะออก มา}สเปกตรัมของโฟตอนจำนวนมากจะแสดงยอดการปล่อยแสงที่ความยาวคลื่นที่เกี่ยวข้องกับโฟตอนเหล่านั้น

เส้นดูดกลืนเกิดขึ้นเมื่ออะตอมหรือโมเลกุลเปลี่ยนสถานะจากสถานะพลังงานต่ำกว่า_E1 ไปสู่สถานะพลังงานสูงกว่าE2 โดยมีโฟตอนถูกดูดกลืนในกระบวนการนั้น โฟ _ตอนที่ถูกดูดกลืนเหล่านี้โดยทั่วไปมาจากรังสีต่อเนื่องพื้นหลัง (สเปกตรัมทั้งหมดของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า) และสเปกตรัมจะแสดงให้เห็นการลดลงของรังสีต่อเนื่องที่ความยาวคลื่นที่เกี่ยวข้องกับโฟตอนที่ถูกดูดกลืน

สถานะทั้งสองจะต้องเป็นสถานะผูกพันซึ่งอิเล็กตรอนถูกผูกติดอยู่กับอะตอมหรือโมเลกุล ดังนั้นการเปลี่ยนสถานะนี้จึงบางครั้งเรียกว่าการเปลี่ยนสถานะแบบ "ผูกพัน-ผูกพัน" ตรงข้ามกับการเปลี่ยนสถานะที่อิเล็กตรอนถูกขับออกจากอะตอมอย่างสมบูรณ์ ("ผูกพัน-อิสระ") เข้าสู่ สถานะ ต่อเนื่องทำให้เกิด อะตอม ที่แตกตัวเป็นไอออนและสร้างรังสีต่อเนื่อง

โฟตอนที่มีพลังงานเท่ากับผลต่างE ₂ − E ₁ระหว่างระดับพลังงานจะถูกปล่อยออกมาหรือถูกดูดซับในกระบวนการ ความถี่νที่เกิดเส้นสเปกตรัมมีความสัมพันธ์กับพลังงานของโฟตอนโดยเงื่อนไขความถี่ของโบร์E ₂ − E ₁ = hνโดยที่hแทน ค่าคงที่ ของพลังค์^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

เส้นสเปกตรัมอะตอมหมายถึงเหตุการณ์การปล่อยและการดูดกลืนในก๊าซ โดยที่คือความหนาแน่นของอะตอมในสถานะพลังงานสูงสำหรับเส้นนั้น และคือความหนาแน่นของอะตอมในสถานะพลังงานต่ำสำหรับเส้นนั้น ${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{1}}$

การแผ่รังสีเส้นอะตอมที่ความถี่νสามารถอธิบายได้ด้วยสัมประสิทธิ์การแผ่รังสี ที่มีหน่วยเป็นพลังงาน/(เวลา × ปริมาตร × มุมตัน) ε dt dV d Ω คือพลังงานที่ปล่อยออกมาจากองค์ประกอบปริมาตรในเวลาไปยังมุมตันสำหรับการแผ่รังสีเส้น อะตอม โดยที่คือสัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์สำหรับการแผ่รังสีแบบเกิดขึ้นเอง ซึ่งถูกกำหนดโดยคุณสมบัติภายในของอะตอมที่เกี่ยวข้องสำหรับระดับพลังงานสองระดับที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle dV}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle d\Omega }$$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {h\nu }{4\pi }}n_{2}A_{21},}$$${\displaystyle A_{21}}$

การดูดกลืนรังสีเส้นอะตอมสามารถอธิบายได้ด้วยสัมประสิทธิ์การดูดกลืน ที่มีหน่วยเป็น 1/ความยาว นิพจน์κ' dxให้เศษส่วนของความเข้มที่ถูกดูดกลืนสำหรับลำแสงที่ความถี่νขณะเดินทางเป็นระยะทางdxสัมประสิทธิ์การดูดกลืนกำหนดโดย โดย ที่และคือสัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์สำหรับการดูดกลืนโฟตอนและการปล่อยแบบเหนี่ยวนำตามลำดับ เช่นเดียวกับสัมประสิทธิ์ สัมประสิทธิ์เหล่านี้ก็ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติภายในของอะตอมที่เกี่ยวข้องสำหรับระดับพลังงานสองระดับที่เกี่ยวข้อง สำหรับอุณหพลศาสตร์และสำหรับการประยุกต์ใช้กฎของเคิร์ชฮอฟฟ์จำเป็นต้องแสดงการดูดกลืนทั้งหมดเป็นผลรวมพีชคณิตของสององค์ประกอบ ซึ่งอธิบายโดยและ ตามลำดับ ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นการดูดกลืนที่เป็นบวกและลบ ซึ่งก็คือการดูดกลืนโฟตอนโดยตรง และสิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่าการปล่อยแบบกระตุ้นหรือแบบเหนี่ยวนำ ตามลำดับ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle \kappa }$$${\displaystyle \kappa '={\frac {h\nu }{4\pi }}(n_{1}B_{12}-n_{2}B_{21}),}$$${\displaystyle B_{12}}$${\displaystyle B_{21}}$${\displaystyle A_{21}}$${\displaystyle B_{12}}$${\displaystyle B_{21}}$

สมการข้างต้นไม่ได้พิจารณาอิทธิพลของรูปร่างเส้นสเปกตรัมเพื่อให้ได้ความถูกต้องแม่นยำ สมการข้างต้นจำเป็นต้องคูณด้วยรูปร่างเส้นสเปกตรัม (ที่ปรับให้เป็นมาตรฐานแล้ว) ซึ่งในกรณีนี้หน่วยจะเปลี่ยนไปโดยเพิ่มพจน์ 1/Hz เข้าไปด้วย

ภายใต้สภาวะสมดุลทางเทอร์โมไดนามิก ความหนาแน่นของจำนวนอนุภาคและค่าสัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์ และความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัม ให้ข้อมูลเพียงพอที่จะกำหนดอัตราการดูดกลืนและการปล่อยรังสีได้ ${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{1}}$

ความหนาแน่นของจำนวนและถูกกำหนดโดยสถานะทางกายภาพของก๊าซที่เกิดเส้นสเปกตรัม รวมถึงความสว่างสเปกตรัม เฉพาะที่ (หรือในบางการนำเสนอ ความหนาแน่น ของพลังงานรังสี สเปกตรัมเฉพาะที่ ) เมื่อสถานะนั้นเป็นสมดุลทางเทอร์โมไดนามิก อย่างเคร่งครัด หรือเป็น "สมดุลทางเทอร์โมไดนามิกเฉพาะที่" ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}การกระจายของสถานะการกระตุ้นของอะตอม (ซึ่งรวมถึงและ) จะกำหนดอัตราการปล่อยและการดูดกลืนของอะตอมให้เป็นไปตามกฎของ Kirchhoff ที่ว่าด้วยค่าการดูดกลืนและการแผ่รังสีเท่ากันในสมดุลทางเทอร์โมไดนามิกอย่างเคร่งครัด สนามรังสีจะเรียกว่ารังสีวัตถุดำและอธิบายได้ด้วยกฎของพลังค์ สำหรับการสมดุลทางอุณหพลศาสตร์เฉพาะที่นั้น สนามรังสีไม่จำเป็นต้องเป็นสนามแบบวัตถุดำ แต่ต้องมีอัตราการชนกันระหว่างอะตอมที่มากกว่าอัตราการดูดกลืนและการปล่อยควอนตัมของแสงอย่างมาก เพื่อให้การชนกันระหว่างอะตอมมีอิทธิพลเหนือการกระจายตัวของสถานะการกระตุ้นของอะตอมโดยสิ้นเชิง อย่างไรก็ตาม มีบางสถานการณ์ที่สมดุลทางอุณหพลศาสตร์เฉพาะที่ไม่เกิดขึ้น เนื่องจากผลกระทบจากรังสีที่รุนแรงมีอิทธิพลเหนือกว่าแนวโน้มที่จะเกิดการกระจายตัวของความเร็วโมเลกุลตามแบบแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ตัวอย่างเช่น ในชั้นบรรยากาศของดวงอาทิตย์ ความรุนแรงของรังสีมีอิทธิพลอย่างมาก ในชั้นบรรยากาศเบื้องบนของโลก ที่ระดับความสูงมากกว่า 100 กิโลเมตร ความหายากของการชนกันระหว่างโมเลกุลเป็นปัจจัยสำคัญ ${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{1}}$

ในกรณีของสมดุลทางเทอร์โมไดนามิกและสมดุลทางเทอร์โมไดนามิกเฉพาะที่ ความหนาแน่นของจำนวนอะตอมทั้งในสถานะกระตุ้นและไม่กระตุ้นสามารถคำนวณได้จากการกระจายแบบแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์แต่สำหรับกรณีอื่นๆ (เช่นเลเซอร์ ) การคำนวณจะซับซ้อนกว่า

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้นำเสนอสัมประสิทธิ์ในปี พ.ศ. 2459 และ พ.ศ. 2460 ในชุดเอกสารที่สรุปทฤษฎีควอนตัมของการแผ่รังสีที่ปฏิสัมพันธ์กับสสาร^{[ 3 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} ไอน์สไตน์ได้นำเอาสมมติฐานควอนตัมข้อหนึ่งจากแบบจำลองอะตอมของบอร์มาใช้ นั่นคืออะตอมเหล่านั้นมีอยู่ในสถานะคงที่แต่ละสถานะมีพลังงาน ไอน์สไตน์ใช้ออสซิลเลเตอร์แบบคลาสสิกของแม็กซ์ พลังค์ในการอธิบายปฏิสัมพันธ์ระหว่างอะตอมเหล่านี้กับสนามรังสี โดยแทนที่ออสซิลเลเตอร์ที่ไม่เฉพาะเจาะจงของกฎของพลังค์ด้วยอะตอมของบอร์ เฟสสัมพัทธ์ของออสซิลเลเตอร์และสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะเป็นตัวกำหนดทิศทางการไหลของพลังงานระหว่างปฏิสัมพันธ์ ความน่าจะเป็นของปฏิสัมพันธ์เป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของฟลักซ์สเปกตรัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า โดยสมมติว่ามีเพียงสองระดับพลังงานการดูดกลืนจะสอดคล้องกับ โดย มีค่าคงที่สัดส่วนและการปล่อยจะสอดคล้องกับโดยมีค่าคงที่สัดส่วนการปล่อยประเภทนี้เรียกว่าการปล่อยแบบกระตุ้นไอน์สไตน์เพิ่มค่าคงที่ตัวที่สามซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของฟลักซ์ สอดคล้องกับการปล่อยแบบเกิดขึ้นเองในกรณีที่ไม่มีสนาม^{[ 17 ] [ 18 ] : 406} ${\displaystyle \rho (\nu ,T)}$${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$${\displaystyle a\rightarrow b}$${\displaystyle B_{ab}}$${\displaystyle b\rightarrow a}$${\displaystyle B_{ba}}$${\displaystyle A_{ba}}$

Paul Diracได้คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ในบทความปี 1927 ที่ชื่อว่า "ทฤษฎีควอนตัมของการปล่อยและการดูดกลืนรังสี" ^{[ 19 ] [ 20 ]}

Hilborn ได้เปรียบเทียบสูตรต่างๆ สำหรับการหาค่าสัมประสิทธิ์ของ Einstein โดยผู้เขียนหลายคน^{[ 21 ]} ตัวอย่างเช่น Herzberg ใช้ค่าความเข้มแสงและเลขคลื่น^{[ 22 ]} Yariv ใช้พลังงานต่อหน่วยปริมาตรต่อหน่วยช่วงความถี่^{[ 23 ]}เช่นเดียวกับสูตรที่ใหม่กว่า (2008) ^{[ 24 ]} Mihalas & Weibel-Mihalas ใช้ค่าความสว่างและความถี่^{[ 13 ]}เช่นเดียวกับ Chandrasekhar ^{[ 25 ]}และ Goody & Yung ^{[ 26 ]} Loudon ใช้ความถี่เชิงมุมและความสว่าง^{[ 27 ]}

การปล่อยแบบเกิดขึ้นเอง (Spontaneous emission) คือกระบวนการที่อิเล็กตรอนสลายตัว "โดยธรรมชาติ" (กล่าวคือโดยไม่มีอิทธิพลภายนอกใดๆ) จากระดับพลังงานที่สูงกว่าไปยังระดับพลังงานที่ต่ำกว่า กระบวนการนี้อธิบายได้ด้วยสัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์A ₂₁ ( s ⁻¹ ) ซึ่งให้ความน่าจะเป็นต่อหน่วยเวลาที่อิเล็กตรอนในสถานะ 2 ที่มีพลังงานจะสลายตัวโดยธรรมชาติไปยังสถานะ 1 ที่มีพลังงานโดยปล่อยโฟตอนที่มีพลังงานE ₂ − E ₁ = hν ออกมา เนื่องจากหลักการความไม่แน่นอนของพลังงาน-เวลาการเปลี่ยนสถานะจึงสร้างโฟตอนในช่วงความถี่แคบๆ ที่เรียกว่าความกว้างของเส้นสเปกตรัม (spectral linewidth ) ถ้าคือความหนาแน่นของจำนวนอะตอมในสถานะiแล้ว การเปลี่ยนแปลงในความหนาแน่นของจำนวนอะตอมในสถานะ 2 ต่อหน่วยเวลาเนื่องจากการปล่อยแบบเกิดขึ้นเองจะเป็น ${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle n_{i}}$$${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\text{spontaneous}}=-A_{21}n_{2}.}$$

กระบวนการเดียวกันนี้ส่งผลให้ประชากรของรัฐที่ 1 เพิ่มขึ้น: $${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\text{spontaneous}}=A_{21}n_{2}.}$$

การปล่อยอิเล็กตรอนแบบกระตุ้น (หรือที่เรียกว่าการปล่อยอิเล็กตรอนแบบเหนี่ยวนำ) คือกระบวนการที่อิเล็กตรอนถูกเหนี่ยวนำให้กระโดดจากระดับพลังงานที่สูงกว่าไปยังระดับพลังงานที่ต่ำกว่าโดยการมีอยู่ของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่ความถี่ (หรือใกล้เคียง) ของการเปลี่ยนสถานะ จากมุมมองทางเทอร์โมไดนามิกส์ กระบวนการนี้ต้องถือว่าเป็นการดูดกลืนเชิงลบ กระบวนการนี้อธิบายได้ด้วยสัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์⁽ m³J⁻¹s⁻² ) ซึ่ง^{ให้ความ}น่าจะเป็นต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยความหนาแน่นพลังงานของสนามรังสีต่อหน่วยความถี่ที่อิเล็กตรอนในสถานะ 2 ที่มีพลังงาน จะสลาย ตัวไปยังสถานะ 1 ที่มีพลังงานโดยปล่อยโฟตอนที่มีพลังงานE₂ ₋ E₁ ₌ hνการเปลี่ยนแปลงในความหนาแน่นของจำนวนอะตอมในสถานะ 1 ต่อหน่วยเวลาเนื่องจากการปล่อยอิเล็กตรอนแบบเหนี่ยวนำจะเป็น โดย ที่แทนความหนาแน่นพลังงานสเปกตรัมของสนามรังสีแบบไอโซโทรปิกที่ความถี่ของการเปลี่ยนสถานะ (ดูกฎของพลังค์ ) ${\displaystyle B_{21}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}}$$${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\text{neg. absorb.}}=B_{21}n_{2}\rho (\nu ),}$$${\displaystyle \rho (\nu )}$

การปล่อยแสงแบบกระตุ้นเป็นหนึ่งในกระบวนการพื้นฐานที่นำไปสู่การพัฒนาเลเซอร์อย่างไรก็ตาม รังสีเลเซอร์นั้นแตกต่างอย่างมากจากกรณีของรังสีไอโซโทรปิกในปัจจุบัน

การดูดกลืนคือกระบวนการที่โฟตอนถูกดูดกลืนโดยอะตอม ทำให้อิเล็กตรอนกระโดดจากระดับพลังงานต่ำไปสู่ระดับพลังงานสูง กระบวนการนี้อธิบายได้ด้วยสัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์ (m³J⁻¹s⁻²) ซึ่งให้ความน่าจะเป็นต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยความหนาแน่นของพลังงานของสนามรังสีต่อหน่วยความถี่ ที่อิเล็กตรอนในสถานะที่ 1 ที่มีพลังงาน จะดูดกลืนโฟตอนที่มีพลังงาน^{E₂ −} E₁ ₌ ^hνและกระโดดไปยังสถานะที่ 2 _ที่มีพลังงานการเปลี่ยนแปลงในความหนาแน่นของจำนวนอะตอมในสถานะที่ 1 ต่อหน่วยเวลาเนื่องจากการดูดกลืนจะเป็น ${\displaystyle B_{12}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$$${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\text{pos. absorb.}}=-B_{12}n_{1}\rho (\nu ).}$$

สัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์คือความน่าจะเป็นคงที่ต่อเวลาที่เกี่ยวข้องกับอะตอมแต่ละตัว และไม่ขึ้นอยู่กับสถานะของแก๊สที่อะตอมเหล่านั้นเป็นส่วนหนึ่ง ดังนั้น ความสัมพันธ์ใดๆ ที่เราสามารถหาได้ระหว่างสัมประสิทธิ์ ณ สภาวะสมดุลทางเทอร์โมไดนามิก จะใช้ได้กับทุกกรณี

ที่สภาวะสมดุลทางเทอร์โมไดนามิก เราจะมีสมดุลอย่างง่าย ซึ่งการเปลี่ยนแปลงสุทธิของจำนวนอะตอมที่ถูกกระตุ้นใดๆ จะเป็นศูนย์ โดยสมดุลกับการสูญเสียและการได้มาอันเนื่องมาจากกระบวนการทั้งหมด ในส่วนของการเปลี่ยนสถานะจากระดับหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่ง เราจะมีสมดุลโดยละเอียดเช่นกัน ซึ่งระบุว่าการแลกเปลี่ยนสุทธิระหว่างสองระดับใดๆ จะสมดุลกัน เนื่องจากความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะจะไม่ได้รับผลกระทบจากการมีอยู่หรือไม่มีอยู่ของอะตอมที่ถูกกระตุ้นอื่นๆ สมดุลโดยละเอียด (ใช้ได้เฉพาะที่สภาวะสมดุลเท่านั้น) กำหนดให้การเปลี่ยนแปลงของจำนวนอะตอมในระดับที่ 1 เมื่อเวลาผ่านไปอันเนื่องมาจากกระบวนการทั้งสามข้างต้นต้องเป็นศูนย์ $${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}\rho (\nu )-B_{12}n_{1}\rho (\nu ).}$$

นอกเหนือจากการปรับสมดุลอย่างละเอียดแล้ว ที่อุณหภูมิTเราอาจใช้ความรู้เกี่ยวกับการกระจายพลังงานสมดุลของอะตอม ดังที่ระบุไว้ในการกระจายของแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์และการกระจายสมดุลของโฟตอน ดังที่ระบุไว้ในกฎการแผ่รังสีของวัตถุดำของพลังค์เพื่อหาความสัมพันธ์สากลระหว่างสัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์

จากการกระจายของ Boltzmann เรามีจำนวนชนิดอะตอมที่ถูกกระตุ้นi ดังนี้ : โดยที่nคือความหนาแน่นรวมของชนิดอะตอมที่ถูกกระตุ้นและไม่ถูกกระตุ้นkคือค่าคงที่ของ Boltzmann Tคืออุณหภูมิคือความเสื่อม (เรียกอีกอย่างว่าความหลากหลาย) ของสถานะiและZคือฟังก์ชันพาร์ติชันจากกฎการแผ่รังสีของวัตถุดำของ Planck ที่อุณหภูมิTเรามีความสว่างสเปกตรัม (ความสว่างคือพลังงานต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยมุมตันต่อหน่วยพื้นที่ฉาย เมื่อรวมในช่วงสเปกตรัมที่เหมาะสม) ^{[ 28 ]}ที่ความถี่ν โดยที่^{[ 29 ]} โดยที่คือความเร็วแสงและคือ ค่าคงที่ ของ Planck$${\displaystyle {\frac {n_{i}}{n}}={\frac {g_{i}e^{-E_{i}/kT}}{Z}},}$$${\displaystyle g_{i}}$$${\displaystyle \rho _{\nu }(\nu ,T)=F(\nu ){\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},}$$$${\displaystyle F(\nu )={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}},}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$

เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการของการปรับสมดุลโดยละเอียด และระลึกไว้ว่าE ₂ − E ₁ = hνจะได้ หรือ $${\displaystyle A_{21}g_{2}e^{-h\nu /kT}+B_{21}g_{2}e^{-h\nu /kT}{\frac {F(\nu )}{e^{h\nu /kT}-1}}=B_{12}g_{1}{\frac {F(\nu )}{e^{h\nu /kT}-1}},}$$$${\displaystyle A_{21}g_{2}(1-e^{-h\nu /kT})+B_{21}g_{2}F(\nu )e^{-h\nu /kT}=B_{12}g_{1}F(\nu ).}$$

สมการข้างต้นจะต้องเป็นจริงที่อุณหภูมิใดๆ ดังนั้นจากนั้นจึงได้ และจากนั้น${\displaystyle T\to \infty }$$${\displaystyle B_{21}g_{2}=B_{12}g_{1},}$$${\displaystyle T\to 0}$$${\displaystyle A_{21}g_{2}=B_{21}g_{2}F(\nu ).}$$

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์ทั้งสามจึงมีความสัมพันธ์กันโดย และ $${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}=F(\nu )}$$$${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}.}$$

เมื่อนำความสัมพันธ์นี้ไปแทนในสมการเดิม ก็จะสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างและ ได้เช่นกัน โดยเกี่ยวข้องกับกฎของพลังค์ ${\displaystyle A_{21}}$${\displaystyle B_{12}}$

ความแรงของออสซิลเลเตอร์ ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้กับภาคตัดขวางสำหรับการดูดซับ: ^{[ 21 ]}${\displaystyle f_{12}}$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{2}}{4\varepsilon _{0}m_{e}c}}\,f_{12}\,\phi _{\nu }={\frac {\pi e^{2}}{2\varepsilon _{0}m_{e}c}}\,f_{12}\,\phi _{\omega },}$$

โดยที่คือประจุของอิเล็กตรอนคือมวลของอิเล็กตรอน และและคือฟังก์ชันการกระจายแบบนอร์มาไลซ์ในความถี่และความถี่เชิงมุมตามลำดับ วิธีนี้ทำให้สามารถแสดงค่าสัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์ทั้งสามค่าได้ในรูปของความแรงของการสั่นแบบเดี่ยวที่เกี่ยวข้องกับเส้นสเปกตรัมอะตอมเฉพาะนั้น: ${\displaystyle e}$${\displaystyle m_{e}}$${\displaystyle \phi _{\nu }}$${\displaystyle \phi _{\omega }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{12}&={\frac {e^{2}}{4\varepsilon _{0}m_{e}h\nu }}f_{12},\\[1ex]B_{21}&={\frac {e^{2}}{4\varepsilon _{0}m_{e}h\nu }}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}f_{12},\\[1ex]A_{21}&={\frac {2\pi \nu ^{2}e^{2}}{\varepsilon _{0}m_{e}c^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}f_{12}.\end{aligned}}}$$

ค่าสัมประสิทธิ์ A และ B สามารถคำนวณได้โดยใช้กลศาสตร์ควอนตัม โดยใช้การประมาณไดโพลในทฤษฎีการรบกวนแบบขึ้นอยู่กับเวลา ในขณะที่การคำนวณสัมประสิทธิ์ B ทำได้ง่าย แต่การคำนวณสัมประสิทธิ์ A ต้องใช้ผลลัพธ์ของการควอนตัมขั้นที่สองเนื่องจากทฤษฎีที่พัฒนาโดยการประมาณไดโพลและทฤษฎีการรบกวนแบบขึ้นอยู่กับเวลาให้คำอธิบายแบบกึ่งคลาสสิกของการเปลี่ยนผ่านทางอิเล็กตรอนซึ่งมีค่าเป็นศูนย์เมื่อสนามรบกวนมีค่าเป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์ A ซึ่งควบคุมการปล่อยแบบเกิดขึ้นเองไม่ควรมีค่าเป็นศูนย์เมื่อสนามรบกวนมีค่าเป็นศูนย์ ผลลัพธ์สำหรับอัตราการเปลี่ยนผ่านของระดับอิเล็กตรอนต่างๆ อันเป็นผลมาจากการปล่อยแบบเกิดขึ้นเองมีดังนี้ (ในหน่วย SI): ^{[ 30 ] [ 21 ] [ 31 ]}$${\displaystyle w_{i\to f}^{\text{s.emi}}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}\left|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle \right|^{2}=A_{if}}$$

สำหรับสัมประสิทธิ์ B การประยุกต์ใช้การประมาณไดโพลโดยตรงในทฤษฎีการรบกวนที่ขึ้นอยู่กับเวลาจะให้ผลลัพธ์ (ในหน่วย SI): ^{[ 32 ] [ 31 ]}$${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{\text{abs}}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}}\left|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle \right|^{2}=B_{if}^{\text{abs}}u(\omega _{fi})}$$$${\displaystyle w_{i\to f}^{\text{emi}}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}}\left|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle \right|^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})}$$

โปรดทราบว่าสูตรอัตราการเปลี่ยนสถานะขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการโมเมนต์ไดโพล สำหรับการประมาณค่าลำดับสูงกว่านั้น จะเกี่ยวข้องกับโมเมนต์ควอดรูโพลและเงื่อนไขอื่นๆ ที่คล้ายกัน

ในที่นี้ สัมประสิทธิ์ B จะถูกเลือกให้สอดคล้องกับฟังก์ชันการกระจายพลังงาน บ่อยครั้งที่คำจำกัดความที่แตกต่างกันของสัมประสิทธิ์ B เหล่านี้จะถูกแยกแยะด้วยตัวยก เช่น เทอม ที่สอดคล้องกับการกระจายความถี่ และเทอมที่สอดคล้องกับการกระจาย^{[ 21 ]}สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ B จะแปรผกผันกับสูตรของการกระจายพลังงานที่เลือก ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนผ่านจึงเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงข้อตกลง ${\displaystyle \omega }$${\textstyle B_{21}^{f}={\frac {B_{21}^{\omega }}{2\pi }}}$${\textstyle B_{21}^{f}}$${\textstyle B_{21}^{\omega }}$${\displaystyle \omega }$

ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ AB จึงคำนวณโดยใช้การประมาณไดโพลดังนี้: โดยที่และ ค่าสัมประสิทธิ์ B สอดคล้องกับฟังก์ชันการกระจายพลังงาน $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{ab}&={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}\left|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle \right|^{2}\\[1ex]B_{ab}&={\frac {\pi e^{2}}{3\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}}\left|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle \right|^{2}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}}$${\displaystyle \omega }$

ดังนั้นจึงได้อัตราส่วนต่อไปนี้ด้วย: และ$${\displaystyle {\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1}$$$${\displaystyle {\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}}$$

จากทฤษฎีจะสรุปได้ว่า: ^{[ 31 ]} โดยที่และคือจำนวนระดับพลังงานที่ถูกครอบครองของและตามลำดับ โดยที่ . โปรดทราบว่าจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการรบกวนที่ขึ้นอยู่กับเวลา ข้อเท็จจริงที่ว่ารังสีที่ มีค่า ใกล้เคียงกับค่าของเท่านั้นที่จะทำให้เกิดการปล่อยหรือการดูดซับแบบกระตุ้นตามลำดับ จะถูกนำมาใช้ $${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\to a}^{\text{s.emi}}-N_{b}w_{b\to a}^{\text{emi}}+N_{a}w_{a\to b}^{\text{abs}}}$$${\displaystyle N_{a}}$${\displaystyle N_{b}}$${\displaystyle E_{a}}$${\displaystyle E_{b}}$${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{ba}}$

โดยที่การจัดจำหน่ายของแม็กซ์เวลล์เกี่ยวข้องและรับประกัน${\displaystyle N_{a}}$${\displaystyle N_{b}}$${\displaystyle {\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }}$

เมื่อแก้เงื่อนไขสมดุลโดยใช้สมการและอัตราส่วนข้างต้นในขณะที่ขยายไปสู่​​เราจะได้: ซึ่งเป็นการกระจายพลังงานความถี่เชิงมุมจากกฎของพลังค์^{[ 31 ]}${\displaystyle u}$${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=0}$${\displaystyle \omega _{ba}}$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}}$$

• สเปกตรัมการปล่อยแสงจากแหล่งกำเนิดแสงต่างๆ