ใน คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและการ เลือก (combinatorics ) ตารางละตินสอง ตาราง ที่มีขนาด ( ลำดับ ) เท่ากัน จะเรียกว่าตั้งฉากกันได้ (orthogonal ) ถ้าเมื่อวางซ้อนกันแล้ว ค่าที่จับคู่กันในแต่ละตำแหน่งนั้นแตกต่างกันทั้งหมด ชุดของตารางละตินที่มีลำดับเดียวกันทั้งหมด และทุกคู่ตั้งฉากกันได้ เรียกว่า ชุดของตารางละตินที่ตั้งฉากกัน (set of mutually orthogonal Latin squares ) แนวคิดเรื่องการตั้งฉากกันในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและการเลือก นี้ มีความเกี่ยวข้องอย่างมากกับแนวคิดเรื่องการแบ่งกลุ่ม (blocking) ในสถิติซึ่งทำให้มั่นใจได้ว่าตัวแปรอิสระนั้นเป็นอิสระอย่างแท้จริงโดยไม่มีความสัมพันธ์ที่ซ่อนเร้นหรือรบกวนอยู่ ดังนั้น คำว่า "ตั้งฉากกัน" จึงมีความหมายเหมือนกับ "อิสระ" ในแง่ที่ว่า การรู้ค่าของตัวแปรหนึ่งจะไม่ให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรอื่น

คำเก่าที่ใช้เรียกคู่ของตารางละตินตั้งฉากกันคือตารางกรีก-ละตินซึ่งออยเลอร์เป็นผู้ริเริ่มใช้

ตารางกรีก-ละตินหรือตารางออยเลอร์หรือคู่ของตารางละตินเชิงตั้งฉากลำดับnบนเซตสองเซตSและT (ซึ่งอาจเป็นเซตเดียวกันก็ได้) แต่ละตารางประกอบด้วย สัญลักษณ์ nตัว คือการจัดเรียงเซลล์ขนาดn × n โดยแต่ละเซลล์บรรจุ คู่ลำดับ( s , t )โดยที่sอยู่ในSและtอยู่ในTโดยที่ทุกแถวและทุกคอลัมน์จะมีองค์ประกอบของSและองค์ประกอบของTเพียงครั้งเดียว และไม่มีสองเซลล์ใดที่มีคู่ลำดับเดียวกัน

• ตารางกรีก-ละติน (คู่ของตารางละตินแบบตั้งฉาก)
• 
  คำสั่งซื้อที่ 3
• 
  คำสั่งซื้อที่ 4
• 
  คำสั่งซื้อที่ 5

การจัดเรียง พิกัด s (ซึ่งอาจคิดได้ว่าเป็นอักษรละติน) และ พิกัด t (อักษรกรีก) แต่ละแบบจะก่อให้เกิดตารางละตินดังนั้น ตารางกรีก-ละตินจึงสามารถแยกย่อยออกเป็นตารางละตินสองตารางที่ตั้งฉากกันได้ ความเป็นมุมฉากในที่นี้หมายความว่าทุกคู่( s ,  t )จากผลคูณคาร์ทีเซียนS × Tจะปรากฏเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ศึกษาตารางละตินเชิงตั้งฉากอย่างละเอียด โดยกำหนดให้เซตสองเซตคือS  = { A ,  B ,  C , ... } ซึ่งเป็น ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่nตัวแรก จาก อักษรละตินและT  = {α , β, γ, ... } ซึ่งเป็นตัวอักษรพิมพ์เล็กn ตัวแรกจาก อักษรกรีกจึงเป็นที่มาของชื่อ ตารางกรีก-ละติน

เมื่อมองตารางกรีก-ละตินเป็นคู่ของตารางละตินแบบตั้งฉากกัน แต่ละตารางละตินจะกล่าวได้ว่ามีคู่ตั้งฉากกันในตารางละตินใดๆ ตำแหน่งที่เลือกไว้หนึ่งตำแหน่งในแต่ละแถวและหนึ่งตำแหน่งในแต่ละคอลัมน์ซึ่งรายการทั้งหมดแตกต่างกันเรียกว่าเส้นตัดขวางของตารางนั้น^{[ 1 ]}พิจารณาสัญลักษณ์หนึ่งในตารางกรีก-ละติน ตำแหน่งที่ประกอบด้วยสัญลักษณ์นี้จะต้องอยู่ในแถวและคอลัมน์ที่แตกต่างกันทั้งหมด และนอกจากนี้ สัญลักษณ์อื่นในตำแหน่งเหล่านี้จะต้องแตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้น เมื่อมองเป็นคู่ของตารางละติน ตำแหน่งที่ประกอบด้วยสัญลักษณ์หนึ่งในตารางแรกจะสอดคล้องกับเส้นตัดขวางในตารางที่สอง (และในทางกลับกัน)

ตารางละตินที่กำหนดที่มีลำดับ n จะมีคู่ตั้งฉากก็ต่อเมื่อมีเส้นตัดขวางที่ไม่ทับซ้อนกัน n เส้น^{[ 2 ]}

ตารางCayley (ที่ไม่มีขอบเขต) ของกลุ่ม ใดๆ ที่มีลำดับคี่จะก่อให้เกิดตารางละตินที่มีคู่ตั้งฉาก^{[ 2 ]}

ดังนั้น ตารางกรีก-ละตินจึงมีอยู่สำหรับลำดับคี่ทั้งหมด เนื่องจากมีกลุ่มที่ประกอบด้วยลำดับเหล่านี้ ตารางกรีก-ละตินดังกล่าวเรียกว่าตารางแบบ อิงกลุ่ม

ออยเลอร์สามารถสร้างตารางกรีก-ละตินที่มีลำดับเป็นผลคูณของสี่ได้^{[ 2 ]}และดูเหมือนจะตระหนักถึงผลลัพธ์ต่อไปนี้

ไม่สามารถมีตาราง Graeco-Latin ที่ใช้กลุ่มได้หากลำดับเป็นผลคูณคี่ของสอง (นั่นคือ เท่ากับ 4k + 2 สำหรับจำนวนเต็มบวก kบางตัว) ^{[ 3 ]}

แม้ว่าจะได้รับการยอมรับจากการจัดการทางคณิตศาสตร์ดั้งเดิมของเขาในเรื่องนี้ แต่ตารางละตินแบบตั้งฉากมีมาก่อนออยเลอร์ ในรูปแบบของปริศนาเก่าที่เกี่ยวข้องกับไพ่^{[ 4 ]}การสร้างชุด 4 × 4 ได้รับการตีพิมพ์โดยJacques Ozanamในปี 1725 ^{[ 5 ]}ปัญหาคือการนำเอซ คิง ควีน และแจ็คทั้งหมดจากสำรับไพ่มาตรฐาน และจัดเรียงในตาราง 4 × 4 โดยที่แต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์มีไพ่ครบทั้งสี่ชุด รวมทั้งไพ่ที่มีค่าหน้าไพ่แต่ละค่าด้วย ปัญหานี้มีวิธีแก้ปัญหาหลายวิธี

A common variant of this problem was to arrange the 16 cards so that, in addition to the row and column constraints, each diagonal contains all four face values and all four suits as well.

According to Martin Gardner, who featured this variant of the problem in his November 1959 Mathematical Games column,^[6] the number of distinct solutions was incorrectly stated to be 72 by Rouse Ball. This mistake persisted for many years until the correct value of 144 was found by Kathleen Ollerenshaw. Each of the 144 solutions has eight reflections and rotations, giving 1152 solutions in total. The 144×8 solutions can be categorized into the following two equivalence classes:

For each of the two solutions, 24² = 576 solutions can be derived by permuting the four suits and the four face values, independently. No permutation will convert the two solutions into each other, because suits and face values are different.

A problem similar to the card problem above was circulating in St. Petersburg in the late 1700s and, according to folklore, Catherine the Great asked Euler to solve it, since he was residing at her court at the time.^[7] This problem is known as the thirty-six officers problem,^[8] and Euler introduced it as follows:^[9][10]

A very curious question, which has exercised for some time the ingenuity of many people, has involved me in the following studies, which seem to open a new field of analysis, in particular the study of combinations. The question revolves around arranging 36 officers to be drawn from 6 different regiments so that they are ranged in a square so that in each line (both horizontal and vertical) there are 6 officers of different ranks and different regiments.

ออยเลอร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่ในงานนี้เขาได้แสดงวิธีการสร้างตารางกรีก-ละตินที่nเป็นจำนวนคี่หรือเป็นพหุคูณของ 4 เมื่อสังเกตว่าไม่มีตารางอันดับสองอยู่ และไม่สามารถสร้างตารางอันดับหกได้ เขาจึงตั้งข้อสันนิษฐานว่าไม่มีตารางดังกล่าวสำหรับจำนวนคี่หรือคู่ ใดๆ n ≡ 2 ( mod 4 )การไม่มีอยู่ของตารางอันดับหกได้รับการยืนยันในปี ค.ศ. 1901 โดยGaston Tarryผ่านการพิสูจน์โดยการทำให้หมดสิ้น [ ^{11 ] [ 12 ] อย่างไรก็ตาม} ข้อสันนิษฐานของออยเลอร์ยังคงหาคำตอบไม่ได้จนกระทั่งปลายทศวรรษ ค.ศ. 1950 แต่ปัญหานี้ได้นำไปสู่งานสำคัญในด้าน คณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียง^{[ 13 ]}

ในปี พ.ศ. 2492 RC BoseและSS Shrikhandeได้สร้างตัวอย่างคัดค้านบางส่วน (เรียกว่าEuler spoilers ) ที่มีลำดับ 22 โดยใช้ความเข้าใจทางคณิตศาสตร์^{[ 14 ]} จากนั้นET Parkerพบตัวอย่างคัดค้านที่มีลำดับ 10 โดยใช้การค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์เป็นเวลาหนึ่งชั่วโมงบนคอมพิวเตอร์ ทางทหาร UNIVAC 1206ขณะทำงานที่ แผนก UNIVACของRemington Rand (นี่เป็นหนึ่งในปัญหาการจัดเรียงแบบแรกๆ ที่ได้รับการแก้ไขบนคอมพิวเตอร์ดิจิทัล )

ในเดือนเมษายน พ.ศ. 2492 Parker, Bose และ Shrikhande ได้นำเสนอเอกสารของพวกเขาที่แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานของออยเลอร์เป็นเท็จสำหรับn ≥ 7 ทั้งหมด ^{[ 15 ]}ดังนั้น ตาราง Graeco-Latin จึงมีอยู่สำหรับลำดับn  > 1 ทั้งหมด ยกเว้นn = 2, 6ในฉบับเดือนพฤศจิกายน พ.ศ. 2492 ของ Scientific American Martin Gardner ได้ตีพิมพ์ผลลัพธ์นี้^{[ 6 ]}หน้าปกเป็นภาพ 10 × 10 ที่หักล้างสมมติฐานของออยเลอร์

การขยายตารางละตินแบบตั้งฉากซึ่งกันและกันไปสู่โดเมนควอนตัมได้รับการศึกษามาตั้งแต่ปี 2017 ^{[ 17 ]} ในการออกแบบเหล่านี้ แทนที่จะใช้ความเป็นเอกลักษณ์ของสัญลักษณ์ องค์ประกอบของอาร์เรย์จะเป็นสถานะควอนตัมที่ต้องตั้งฉากซึ่งกันและกันในแถวและคอลัมน์ ในปี 2021 ทีมฟิสิกส์ชาวอินเดีย-โปแลนด์ (Rather, Burchardt, Bruzda, Rajchel-Mieldzioć, Lakshminarayan และŻyczkowski ) ได้ค้นพบอาร์เรย์ของสถานะควอนตัมที่เป็นตัวอย่างของตารางละตินควอนตัมแบบตั้งฉากซึ่งกันและกันขนาด 6 หรือเทียบเท่ากับการจัดเรียงเจ้าหน้าที่ 36 นายที่พันกัน^{[ 16 ] [ 18 ] [ 19 ]} การตั้งค่านี้แก้ปัญหาทั่วไปของปัญหาเจ้าหน้าที่ออยเลอร์ 36 คน รวมทั้งให้ รหัส ตรวจจับข้อผิดพลาดควอนตัม ใหม่ ซึ่งช่วยให้สามารถเข้ารหัสระบบ 6 ระดับลงในระบบ 6 ระดับสามระบบที่รับรองการเกิดข้อผิดพลาดหนึ่งรายการ

สิ่งที่ทำให้ประวัติศาสตร์ของตารางละตินเชิงตั้งฉากมีความโดดเด่นเป็นพิเศษก็คือ แนวคิดนี้ไม่ได้ถูกค้นพบเพียงครั้งเดียว แต่ถูกค้นพบถึงสองครั้ง โดยเกิดขึ้นอย่างอิสระ ห่างกันหลายศตวรรษ และคนละโลกชเว ซอกจอง (최석정; 崔錫鼎; 1646–1715) เป็นรัฐบุรุษชั้นนำของ ราชวงศ์ โชซอนแห่งเกาหลี ดำรงตำแหน่งยองกุ้ยจอง (영의정) ซึ่งเป็นตำแหน่งรัฐมนตรีสูงสุดในราชอาณาจักร เทียบเท่ากับนายกรัฐมนตรีหลายสมัย แต่ควบคู่ไปกับอาชีพทางการเมือง เขายังสร้างผลงานทางคณิตศาสตร์ที่มีความลึกซึ้งอย่างเหลือเชื่อ ในตำรากูซูรยัค (구수략; 九數略) ที่ตีพิมพ์ราวปี 1700 ชเวได้สร้างตารางละตินเชิงตั้งฉากคู่หนึ่งที่มีลำดับที่ 9 ซึ่งเป็นความสำเร็จที่มาก่อน งานของ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ในเรื่องนี้อย่างน้อย 67 ปี^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}ชอยได้สร้างโครงสร้างนี้ขึ้นมาโดยอาศัยประเพณีทางปัญญาที่แตกต่างออกไปโดยสิ้นเชิง ซึ่งมีรากฐานมาจากลัทธิขงจื๊อใหม่ปรัชญาของอี้จิงและคณิตศาสตร์ตะวันออกแบบคลาสสิก โดยไม่มีความเชื่อมโยงใดๆ กับวิชาการร่วมสมัยของยุโรป โครงสร้างของเขาซึ่งมีชื่อว่าGugumosubyon-gungyang-do (구구모수변궁양도; 九九母數變宮陽圖) ใน Gusuryak ถูกนำไปใช้เพื่อสร้างตารางเวทมนตร์ลำดับที่ 9 ซึ่งผลรวมของทุกแถว คอลัมน์ และแนวทแยงมุมเท่ากับ 369 ปัจจุบัน นักวิชาการยกย่องชอยว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสมัยโชซอน ซึ่งเป็นบุคคลที่หาได้ยากที่ประสบความสำเร็จทั้งในด้านอำนาจทางการเมืองและความสำเร็จทางคณิตศาสตร์

ชุดของตารางละตินที่มีลำดับเดียวกัน โดยที่ตารางแต่ละคู่ตั้งฉากกัน (กล่าวคือ ก่อให้เกิดตารางกรีก-ละติน) เรียกว่า ชุดของตารางละตินที่ตั้งฉากกัน (หรือตารางละตินที่ตั้งฉากกันเป็นคู่ ) และมักจะย่อเป็นMOLSหรือMOLS( n )เมื่อระบุลำดับอย่างชัดเจน

ตัวอย่างเช่น ชุดของ MOLS(4) จะได้รับดังนี้: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\\2&1&4&3\\3&4&1&2\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\2&1&4&3\end{matrix}}.}$

และชุดของ MOLS(5): ^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\\3&4&5&1&2\\4&5&1&2&3\\5&1&2&3&4\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&1&2\\5&1&2&3&4\\2&3&4&5&1\\4&5&1&2&3\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\5&1&2&3&4\\4&5&1&2&3\\3&4&5&1&2\\2&3&4&5&1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\4&5&1&2&3\\2&3&4&5&1\\5&1&2&3&4\\3&4&5&1&2\end{matrix}}.}$

แม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะแสดง MOLS ในรูปแบบเมทริกซ์แบบ "ผสม" ที่คล้ายกับตารางกรีก-ละตินก็ตาม

1,1,1,1	2,2,2,2	3,3,3,3	4,4,4,4	5,5,5,5
2,3,5,4	3,4,1,5	4,5,2,1	5,1,3,2	1,2,4,3
3,5,4,2	4,1,5,3	5,2,1,4	1,3,2,5	2,4,3,1
4,2,3,5	5,3,4,1	1,4,5,2	2,5,1,3	3,1,2,4
5,4,2,3	1,5,3,4	2,1,4,5	3,2,5,1	4,3,1,2

สำหรับตัวอย่าง MOLS(5) ข้างต้น เป็นเรื่องปกติมากกว่าที่จะแสดง MOLS ในรูปแบบอาร์เรย์เชิงตั้งฉาก (ดูด้านล่าง ) ^{[ 25 ]}

ในตัวอย่างของ MOLS ที่กล่าวมาแล้วนั้น ได้ใช้ตัวอักษร (ชุดสัญลักษณ์) เดียวกันสำหรับแต่ละช่อง แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็นเสมอไป ดังที่ตารางกรีก-ละตินแสดงให้เห็น ในความเป็นจริงแล้ว สามารถใช้ชุดสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงสำหรับแต่ละช่องในชุด MOLS ได้ ตัวอย่างเช่น

เป็นการแสดงถึงตัวอย่าง MOLS(5) ผสมข้างต้น โดยที่ MOLS ทั้งสี่มีตัวอักษรดังต่อไปนี้ตามลำดับ:

• สีพื้นหลัง: ดำ , สีแดงเข้ม , สีเขียวอมฟ้า , สีน้ำเงินเข้มและสีเงิน
• สีพื้นหน้า: ขาวแดงเขียวมะนาวน้ำเงินและเหลือง
• ข้อความ: fjords , jawbox , phlegm , qiviutและzincky
• ตระกูลแบบอักษร: แบบอักษรมีเชิง (serif) , แบบอักษร ไม่มีเชิง (sans-serif) , แบบอักษรคงที่ (monospaced) , แบบอักษรเขียนหวัด (cursive)และแบบอักษรมีเชิงหนา (slab-serif )

ตารางข้างต้นจึงอนุญาตให้ทดสอบค่าห้าค่าในแต่ละมิติที่แตกต่างกันสี่มิติได้โดยใช้เพียง 25 ข้อมูลสังเกตการณ์ แทนที่จะเป็น 625 (= 5 ⁴ ) ข้อมูลสังเกตการณ์ที่จำเป็นในแบบแผนการทดลองแบบแฟคทอเรียลเต็มรูปแบบเนื่องจากคำทั้งห้าคำครอบคลุมตัวอักษรทั้งหมด 26 ตัวในอักษรภาษาอังกฤษ ตารางนี้จึงอนุญาตให้ตรวจสอบตัวอักษรแต่ละตัวในแบบอักษรและสีที่แตกต่างกันห้าแบบได้

คุณสมบัติการตั้งฉากซึ่งกันและกันของเซต MOLS นั้นไม่ได้รับผลกระทบจาก

• โดยการสลับแถวของช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมดพร้อมกัน
• สลับตำแหน่งคอลัมน์ของช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมดพร้อมกัน และ
• การสลับตำแหน่งขององค์ประกอบในตารางใดๆ อย่างอิสระ

โดยใช้การดำเนินการเหล่านี้ ชุด MOLS ใดๆ ก็สามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ซึ่งหมายความว่าแถวแรกของทุกช่องจะเหมือนกันและโดยปกติจะเรียงลำดับตามธรรมชาติ และช่องหนึ่งจะมีคอลัมน์แรกอยู่ในลำดับนี้เช่นกัน^{[ 26 ]}ตัวอย่าง MOLS(4) และ MOLS(5) ในตอนต้นของส่วนนี้ได้ถูกจัดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานแล้ว

โดยการวางเซตของ MOLS( n ) ในรูปแบบมาตรฐานและตรวจสอบรายการในแถวที่สองและคอลัมน์แรกของแต่ละช่อง จะเห็นได้ว่ามีช่อง ไม่เกิน n − 1 ช่อง ^{[ 27 ]}เซตของMOLS( n ) จำนวน n − 1 เรียกว่าเซตสมบูรณ์ของ MOLSเซตสมบูรณ์เป็นที่ทราบกันว่ามีอยู่เมื่อnเป็นจำนวนเฉพาะหรือกำลังของจำนวนเฉพาะ (ดูการสร้างฟิลด์จำกัดด้านล่าง ) อย่างไรก็ตาม จำนวน MOLS ที่อาจมีอยู่สำหรับลำดับn ที่กำหนด นั้นยังไม่เป็นที่ทราบสำหรับn ทั่วไป และเป็นหัวข้อการวิจัยในด้าน คณิตศาสตร์ เชิง การจัดเรียง

เซตของMOLS( n ) จำนวน n − 1 เทียบเท่ากับระนาบแอฟฟิน จำกัด ลำดับn (ดูNetsด้านล่าง) ^{[ 10 ]}เนื่องจากระนาบแอฟฟินจำกัดทุกระนาบสามารถขยายไปยังระนาบโปรเจคทีฟจำกัดลำดับเดียวกันได้อย่างไม่ซ้ำกัน ความเทียบเท่านี้จึงสามารถแสดงได้ในแง่ของการมีอยู่ของระนาบโปรเจคทีฟเหล่านี้^{[ 28 ]}

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ชุดสมบูรณ์ของ MOLS( n ) จะมีอยู่หากnเป็นจำนวนเฉพาะหรือกำลังของจำนวนเฉพาะ ดังนั้นระนาบเชิงฉายที่มีลำดับดังกล่าวจึงมีอยู่ ระนาบเชิงฉายจำกัดที่มีลำดับแตกต่างจากเหล่านี้ และด้วยเหตุนี้ชุดสมบูรณ์ของ MOLS ที่มีลำดับดังกล่าวจึงไม่เป็นที่ทราบกันว่ามีอยู่^{[ 10 ]}

The only general result on the non-existence of finite projective planes is the Bruck–Ryser theorem, which says that if a projective plane of order n exists and n ≡ 1 (mod 4) or n ≡ 2 (mod 4), then n must be the sum of two (integer) squares.^[29] This rules out projective planes of orders 6 and 14 for instance, but does not guarantee the existence of a plane when n satisfies the condition. In particular, n = 10 satisfies the conditions, but no projective plane of order 10 exists, as was shown by a very long computer search,^[30] which in turn implies that there do not exist nine MOLS of order 10.

No other existence results are known. As of 2020, the smallest order for which the existence of a complete set of MOLS is undetermined is 12.^[10]

The minimum number of MOLS(n) is known to be 2 for all n except for n = 2 or 6, where it is 1. However, more can be said, namely,^[31]

MacNeish's Theorem: If ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$ is the factorization of the integer n into powers of distinct primes ${\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots ,p_{r}}$ then

the minimum number of MOLS(n) ${\displaystyle \geq {\underset {i}{\operatorname {min} }}\{p_{i}^{\alpha _{i}}-1\}.}$

MacNeish's theorem does not give a very good lower bound, for instance if n ≡ 2 (mod 4), that is, there is a single 2 in the prime factorization, the theorem gives a lower bound of 1, which is beaten if n > 6. On the other hand, it does give the correct value when n is a power of a prime.

For general composite numbers, the number of MOLS is not known. The first few values starting with n = 2, 3, 4... are 1, 2, 3, 4, 1, 6, 7, 8, ... (sequence A001438 in the OEIS).

The smallest case for which the exact number of MOLS(n) is not known is n = 10. From the Graeco-Latin square construction, there must be at least two and from the non-existence of a projective plane of order 10, there are fewer than nine. However, no set of three MOLS(10) has ever been found even though many researchers have attempted to discover such a set.^[32]

สำหรับn ที่มีขนาดใหญ่พอ จำนวน MOLS จะมากกว่าดังนั้นสำหรับทุกkจะมีเพียงจำนวนจำกัดของn เท่านั้น ที่ทำให้จำนวน MOLS เท่ากับk [ ^{33 ] ยิ่ง}ไปกว่านั้น ค่าต่ำสุดคือ 6 สำหรับn > 90 ทั้งหมด${\displaystyle {\sqrt[{14.8}]{n}}}$

ชุด MOLS( q ) ที่สมบูรณ์จะมีอยู่เมื่อใดก็ตามที่qเป็นจำนวนเฉพาะหรือกำลังของจำนวนเฉพาะ สิ่งนี้เป็นผลมาจากการสร้างที่อิงตามฟิลด์จำกัดGF ( q ) ซึ่งมีอยู่เฉพาะเมื่อqเป็นจำนวนเฉพาะหรือกำลังของจำนวนเฉพาะ^{[ 34 ]}กลุ่มการคูณของGF ( q ) เป็นกลุ่มวัฏจักรดังนั้นจึงมีตัวสร้าง λ ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดของฟิลด์สามารถแสดงเป็นกำลังที่แตกต่างกันของ λ ได้ ตั้งชื่อ องค์ประกอบ qของGF ( q ) ดังต่อไปนี้:

α ₀ = 0, α ₁ = 1, α ₂ = แลมบ์, α ₃ = แลมบ์ดา² , ..., α _{คิว -1} = แลม^{บ์ -2} .

ตอนนี้ λ ^{q -1} = 1 และกฎการคูณในแง่ของ α คือ α _i α _j = α _tโดยที่t = i + j -1 (mod q -1) ตารางละตินถูกสร้างขึ้นดังนี้สมาชิก ที่ ( i, j ) ในตารางละติน L _r (โดยที่r ≠ 0) คือ L _r ( i,j ) = α _i + α _r α _jโดยที่การดำเนินการทั้งหมดเกิดขึ้นในGF ( q ) ในกรณีที่ฟิลด์เป็นฟิลด์เฉพาะ ( q = pจำนวนเฉพาะ) โดยที่องค์ประกอบของฟิลด์ถูกแทนด้วยวิธีปกติ คือจำนวนเต็มโมดูลpข้อกำหนดการตั้งชื่อข้างต้นสามารถละทิ้งได้ และกฎการสร้างสามารถลดรูปได้เป็น L _r ( i,j ) = i + rjโดยที่r ≠ 0 และi , jและrเป็นองค์ประกอบของGF ( p ) และการดำเนินการทั้งหมดอยู่ในGF ( p ) ตัวอย่าง MOLS(4) และ MOLS(5) ข้างต้นเกิดขึ้นจากโครงสร้างนี้ แม้ว่าจะมีการเปลี่ยนตัวอักษรก็ตาม

ชุด MOLS ที่สมบูรณ์ทั้งหมดไม่ได้เกิดขึ้นจากการสร้างนี้ ระนาบเชิงฉายที่เกี่ยวข้องกับชุด MOLS ที่สมบูรณ์ซึ่งได้จากการสร้างฟิลด์นี้เป็นประเภทพิเศษ คือระนาบเชิงฉายแบบเดซาร์เกเซียน มี ระนาบเชิงฉายที่ไม่ใช่เดซาร์เกเซียนอยู่และชุด MOLS ที่สมบูรณ์ที่สอดคล้องกันไม่สามารถหาได้จากฟิลด์จำกัด^{[ 35 ]}

อาร์เรย์เชิงตั้งฉาก OA( k,n ) ที่มีความแข็งแรงสองและดัชนีหนึ่งคืออาร์เรย์A ขนาด n ² × k ( k ≥ 2 และn ≥ 1 จำนวนเต็ม) ที่มีรายการจากเซตขนาดnโดยที่ภายในสองคอลัมน์ใดๆ ของA ( ความแข็งแรง ) คู่ลำดับของสัญลักษณ์ทุกคู่จะปรากฏในแถวเดียวของA ( ดัชนี ) เท่านั้น ^{[ 36 ]}

OA( s + 2, n ) เทียบเท่ากับs MOLS( n ) ^{[ 36 ]} ตัวอย่างเช่น ตัวอย่าง MOLS(4) ที่ให้ไว้ข้างต้นและทำซ้ำที่นี่

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\&L_{1}&&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\&L_{2}&&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\2&1&4&3\\&L_{3}&&\end{matrix}}}$

สามารถใช้เพื่อสร้าง OA(5,4) ได้:

ร	ค	ล1	แอล2	แอล3
1	1	1	1	1
1	2	2	2	2
1	3	3	3	3
1	4	4	4	4
2	1	2	4	3
2	2	1	3	4
2	3	4	2	1
2	4	3	1	2
3	1	3	2	4
3	2	4	1	3
3	3	1	4	2
3	4	2	3	1
4	1	4	3	2
4	2	3	4	1
4	3	2	1	4
4	4	1	2	3

โดยที่ค่าในคอลัมน์ที่กำกับด้วยrและcแทนแถวและคอลัมน์ของตำแหน่งในตาราง และส่วนที่เหลือของแถวสำหรับ ค่า rและc ที่กำหนดไว้ จะถูกเติมด้วยค่าในตำแหน่งนั้นในแต่ละตารางละติน กระบวนการนี้สามารถย้อนกลับได้ กล่าวคือ เมื่อกำหนด OA( s , n ) โดยที่s ≥ 3 ให้เลือกสองคอลัมน์ใดก็ได้เพื่อทำ หน้าที่เป็น rและcจากนั้นเติมตารางละตินด้วยค่าในคอลัมน์ที่เหลือ

อาร์เรย์เชิงตั้งฉากทั่วไปมากขึ้นแสดงถึงการขยายแนวคิดของ MOLS เช่น ลูกบาศก์ละตินที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน

เน็ต (เรขาคณิต) ( k,n ) คือเซตขององค์ประกอบn² ที่เรียกว่า จุดและเซตของเซตย่อยkn ที่เรียกว่า เส้นหรือบล็อกโดยแต่ละเซตย่อยมีขนาดn และมีคุณสมบัติที่ว่าเส้นสองเส้น ^ที่แตกต่างกันจะตัดกันที่จุดไม่เกินหนึ่งจุด นอกจากนี้ เส้นยังสามารถแบ่งออกเป็นkคลาสคู่ขนาน (ไม่มีเส้นสองเส้นใดมาบรรจบกัน) โดยแต่ละคลาสประกอบด้วย เส้น nเส้น^{[ 37 ]}

เน็ต ( n + 1, n ) คือ ระนาบ เชิงเส้นอันดับn

ชุดk MOLS( n ) เทียบเท่ากับเน็ต ( k + 2, n ) ^{[ 10 ]}

ในการสร้างเน็ต ( k + 2, n ) จากk MOLS( n ) ให้แทน MOLS ด้วยอาร์เรย์เชิงตั้งฉาก OA( k + ​​2, n ) (ดูด้านบน ) คู่ลำดับของรายการในแต่ละแถวของอาร์เรย์เชิงตั้งฉากในคอลัมน์ที่ติดป้ายกำกับrและcจะถือเป็นพิกัดของจุดn ²จุดของเน็ต แต่ละคอลัมน์อื่น (นั่นคือ ตารางละติน) จะใช้เพื่อกำหนดเส้นในคลาสขนาน เส้น nเส้นที่กำหนดโดยคอลัมน์ที่ติดป้ายกำกับ L _iจะถูกแทนด้วยl _ijจุดบนl _ijจะเป็นจุดที่มีพิกัดที่สอดคล้องกับแถวที่รายการในคอลัมน์ L _iคือjมีคลาสขนานเพิ่มเติมอีกสองคลาสที่สอดคล้องกับ คอลัมน์ rและcเส้นr _jและc _jประกอบด้วยจุดที่มีพิกัดแรกเป็นjหรือพิกัดที่สองเป็นjตามลำดับ การสร้างนี้สามารถย้อนกลับได้^{[ 38 ]}

ตัวอย่างเช่น OA(5,4) ในส่วนด้านบนสามารถใช้สร้างเน็ต (5,4) (ระนาบเชิงเส้นอันดับ 4) ได้ จุดบนแต่ละเส้นกำหนดโดย (แต่ละแถวด้านล่างเป็นกลุ่มเส้นขนาน):

l 11 :	(1,1) (2,2) (3,3) (4,4)	l 12 :	(1,2) (2,1) (3,4) (4,3)	l 13 :	(1,3) (2,4) (3,1) (4,2)	l 14 :	(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)
l 21 :	(1,1) (2,4) (3,2) (4,3)	l 22 :	(1,2) (2,3) (3,1) (4,4)	l 23 :	(1,3) (2,2) (3,4) (4,1)	l 24 :	(1,4) (2,1) (3,3) (4,2)
l 31 :	(1,1) (2,3) (3,4) (4,2)	l 32 :	(1,2) (2,4) (3,3) (4,1)	l 33 :	(1,3) (2,1) (3,2) (4,4)	l 34 :	(1,4) (2,2) (3,1) (4,3)
r 1 :	(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)	r 2 :	(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)	r 3 :	(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)	r 4 :	(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
c 1 :	(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)	c 2 :	(1,2) (2,2) (3,2) (4,2)	ค3 :	(1,3) (2,3) (3,3) (4,3)	c 4 :	(1,4) (2,4) (3,4) (4,4)

การออกแบบตามขวางที่มี กลุ่ม kกลุ่มขนาดnและดัชนี λ ซึ่งแสดงด้วย T[ k , λ; n ] คือสามสิ่ง ( X, G, B ) โดยที่: ^{[ 39 ]}

• Xคือเซตของ พันธุ์ kn ;
• G = { G ₁ , G ₂ , ..., G _k } คือตระกูลของ เซต kn (เรียกว่ากลุ่มแต่ไม่ใช่ในความหมายทางพีชคณิต) ซึ่งประกอบกันเป็นพาร์ติชันของ X
• Bคือกลุ่มของ เซต k (เรียกว่าบล็อก ) ของความหลากหลาย โดยที่ เซต k แต่ละ เซตในB จะตัดกับกลุ่ม Giแต่ละกลุ่ม_ในความหลากหลายเพียงหนึ่งเดียว และความหลากหลายสองคู่ใดๆ ที่อยู่ในกลุ่มต่างกันจะปรากฏร่วมกันในบล็อก λ ในB อย่าง แน่นอน

การมีอยู่ของการออกแบบ T[ k ,1; n ] เทียบเท่ากับการมีอยู่ของk -2 MOLS( n ) ^{[ 40 ]}

การออกแบบตามขวาง T[ k ,1; n ] คือโครงสร้างเหตุการณ์คู่ ของเน็ต ( k,n ) นั่นคือ มี จุด nkจุดและ บล็อก n ²บล็อก แต่ละจุดอยู่ในnบล็อก แต่ละบล็อกประกอบด้วย จุด kจุด จุดเหล่านี้ตกอยู่ใน กลุ่มสมมูล kกลุ่ม (กลุ่ม) ที่มีขนาดnโดยที่จุดสองจุดในกลุ่มเดียวกันจะไม่อยู่ในบล็อกเดียวกัน ในขณะที่จุดสองจุดในกลุ่มที่ต่างกันจะอยู่ในบล็อกเดียวกันพอดี^{[ 41 ]}

ตัวอย่างเช่น การใช้เน็ต (5,4) จากส่วนก่อนหน้า เราสามารถสร้างการออกแบบตามขวาง T[5,1;4] ได้ บล็อกที่เกี่ยวข้องกับจุด ( i, j ) ของเน็ตจะถูกแทนด้วยb _ijจุดของการออกแบบจะได้รับจากแผนผังต่อไปนี้: r _i ↔ i , c _j ↔ 5 jและl _ij ↔ 5 i + jจุดของการออกแบบจึงถูกแทนด้วยจำนวนเต็ม 1, ..., 20 บล็อกของการออกแบบมีดังนี้:

ข11 :	6 11 16 1 5	ข22 :	6 13 19 2 10	ข33 :	6 14 17 3 15	ข44 :	6 12 18 4 20
ข12 :	7 12 17 1 10	ข21 :	7 14 18 2 5	ข34 :	7 13 16 3 20	ข43 :	7 11 19 4 15
ข13 :	8 13 18 1 15	ข24 :	8 11 17 2 20	ข31 :	8 12 19 3 5	ข42 :	8 14 16 4 10
ข14 :	9 14 19 1 20	ข23 :	9 12 16 2 15	ข32 :	9 11 18 3 10	ข41 :	9 13 17 4 5

กลุ่มทั้งห้ากลุ่มมีดังนี้:

6 7 8 9

11 12 13 14

16 17 18 19

1 2 3 4

5 10 15 20

เซตของk MOLS( n ) เทียบเท่ากับการแบ่งขอบของ กราฟ สมบูรณ์ ( k + 2)-partite K _{n ,..., n}ออกเป็นกราฟย่อยสมบูรณ์ที่มีลำดับk + 2 ^{[ 10 ]}

ตารางละตินแบบตั้งฉากซึ่งกันและกันมีประโยชน์มากมาย ใช้เป็นจุดเริ่มต้นในการสร้างโครงสร้างต่างๆ ในการออกแบบการทดลองทางสถิติ การจัดตารางการแข่งขันและรหัสแก้ไขและตรวจจับข้อผิดพลาดความสนใจของออยเลอร์ในตารางกรีก-ละตินเกิดจากความปรารถนาที่จะสร้างตารางมหัศจรรย์นักเขียนชาวฝรั่งเศสจอร์จส์ เปเร็ก ได้วางโครงสร้างนวนิยายเรื่องLife: A User's Manual ในปี 1978 โดยใช้ตารางกรีก-ละตินขนาด 10×10 เป็นแกนหลัก

• ปริศนาของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เกี่ยวกับนายทหาร 36 นายคลังบทความเด่นของ AMS (ตารางละตินในทางปฏิบัติและทฤษฎี ตอนที่ 2)
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ปัญหาเจ้าหน้าที่ 36 คน" . แมทเวิลด์ .
• ผลงานของออยเลอร์เกี่ยวกับตารางละตินและตารางออยเลอร์ที่ Convergence
• เครื่องมือ Java ที่ช่วยในการสร้างตารางกรีก-ละติน (ไม่ได้สร้างตารางเองโดยอัตโนมัติ)ที่cut-the-knot
• อะไรก็ได้ที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส: ตั้งแต่ตารางมหัศจรรย์ไปจนถึงซูโดกุ
• ข้อเท็จจริงทางประวัติศาสตร์และความสัมพันธ์กับตารางมหัศจรรย์แอปพลิเคชัน JavaScript สำหรับแก้ตารางกรีก-ละตินขนาด 1x1 ถึง 10x10และซอร์สโค้ด ที่เกี่ยวข้อง (JavaScript ในเบราว์เซอร์ Firefox และอุปกรณ์มือถือ HTML5)
• Grime, James (8 พฤษภาคม 2020). "Euler Squares" (วิดีโอ) . YouTube . Brady Haran . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 12 ธันวาคม 2021. เรียกดูเมื่อ9 พฤษภาคม 2020 .