เมตริก Friedmann – Lemaître – Robertson –Walker ( FLRW ; /ˈfriːdmənləˈmɛtrə.../ ) เป็นเมตริกที่อธิบายเอกภพที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมมาตรและกำลังขยายตัว (หรือใน ทางกลับกัน อาจ หดตัวแกว่งหรือคงที่) ซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางแต่ไม่จำเป็นต้อง เชื่อมต่อ กันแบบง่ายๆ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} รูป แบบทั่วไปของ เมตริกนี้มาจากคุณสมบัติทางเรขาคณิตของความเป็นเนื้อเดียวกันและสมมาตร ขึ้นอยู่กับความชอบทางภูมิศาสตร์หรือประวัติศาสตร์ ชุดของนักวิทยาศาสตร์ทั้งสี่คน ได้แก่Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard P. RobertsonและArthur Geoffrey Walkerจะถูกจัดกลุ่มต่างๆ กันเป็นFriedmann , Friedmann–Robertson–Walker ( FRW ), Robertson–Walker ( RW ) หรือFriedmann–Lemaître ( FL ) เมื่อรวมกับสมการสนามของไอน์สไตน์ เมตริกจะให้สมการฟรีดมันน์ซึ่งได้รับการพัฒนาเป็นแบบจำลองมาตรฐานของจักรวาลวิทยา สมัยใหม่ ^{[ 4 ]}และได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมเป็นแบบจำลองแลมบ์ดา-ซีดีเอ็ม

เมตริกเป็นผลมาจากการสมมติว่ามวลในจักรวาลมีความหนาแน่นคงที่ – ความเป็นเนื้อเดียวกัน – และเท่ากันในทุกทิศทาง – ความสมมาตร เงื่อนไขทั้งสองนี้เรียกว่าหลักการทางจักรวาลวิทยาหากไม่มีหลักการนี้ เมตริกจะต้องถูกสกัดจากข้อมูลทางดาราศาสตร์ ซึ่งอาจเป็นไปไม่ได้^{[ 5 ] : 408} การสมมติความสมมาตรเพียงอย่างเดียวก็เพียงพอที่จะลดการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของมวลในจักรวาลให้เหลือเพียงการเปลี่ยนแปลงความเร็วในแนวรัศมี การสังเกตดาวฤกษ์โดยตรงแสดงให้เห็นว่าความเร็วของดาวฤกษ์ส่วนใหญ่เกิดจากการถอยห่างในแนวรัศมี ซึ่งเป็นการยืนยันสมมติฐานเหล่านี้สำหรับแบบจำลองทางจักรวาลวิทยา^{[ 6 ] : 65}

ในการวัดระยะทางในอวกาศนี้ หรือก็คือการกำหนดเมตริก เราสามารถเปรียบเทียบตำแหน่งของจุดสองจุดในอวกาศ ซึ่งเคลื่อนที่ไปพร้อมกับความเร็วเชิงรัศมีของมวลในแต่ละจุด จุดเหล่านี้อาจเปรียบได้กับกาแล็กซีในอุดมคติ แต่ละกาแล็กซีสามารถมีนาฬิกาเพื่อติดตามเวลาท้องถิ่น โดยนาฬิกาจะถูกซิงโครไนซ์โดยการจินตนาการว่าความเร็วเชิงรัศมีวิ่งย้อนกลับจนกระทั่งนาฬิกาทั้งสองตรงกันในอวกาศหลักการสมดุลที่ใช้กับแต่ละกาแล็กซีหมายความว่าสามารถวัดระยะทางได้โดยใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในระดับท้องถิ่น ดังนั้นระยะทางจึงสามารถสัมพันธ์กับเวลาท้องถิ่นtและพิกัดได้: ${\displaystyle d\tau }$

$${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$$

การกระจายมวลแบบไอโซโทรปิกและเป็นเนื้อเดียวกันนั้นมีความสมมาตรสูง การเขียนเมตริกใหม่ในพิกัดทรงกลมจะลดพิกัดจากสี่พิกัดเหลือสามพิกัด พิกัดรัศมีเขียนได้เป็นผลคูณของพิกัดร่วมเคลื่อนที่rและตัวประกอบมาตราส่วนที่ขึ้นอยู่กับเวลาR(t)เมตริกที่ได้สามารถเขียนได้หลายรูปแบบ สองรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปคือ:

$${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-R^{2}(t)\left(dr^{2}+S_{k}^{2}(r)d\psi ^{2}\right)}$$

หรือ

$${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-R^{2}(t)\left({\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\psi ^{2}\right)}$$

มุมระหว่างสองตำแหน่งนั้นอยู่ ที่เท่าไร และ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle S_{-1}(r)=\sinh(r),S_{0}=1,S_{1}=\sin(r).}$$

(ความหมายของrในสมการเหล่านี้ไม่เหมือนกัน) รูปแบบอื่นๆ ที่พบได้ทั่วไปจะใช้ตัวประกอบมาตราส่วนที่ไม่มีมิติ

$${\displaystyle a(t)={\frac {R(t)}{R_{0}}}}$$

โดยที่เวลาศูนย์คือตอนนี้^{[ 6 ] : 70}

ปัจจัยมาตราส่วนที่ขึ้นอยู่กับเวลาซึ่งมีบทบาทสำคัญในจักรวาลวิทยา มีสิ่งที่เทียบเคียงได้กับรัศมีของทรงกลม ทรงกลมเป็นพื้นผิว 2 มิติที่ฝังอยู่ในปริภูมิ 3 มิติ รัศมีของทรงกลมอยู่ในมิติที่สาม: มันไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิว 2 มิติ อย่างไรก็ตาม ค่าของรัศมีนี้ส่งผลต่อระยะทางที่วัดบนพื้นผิว 2 มิติ ในทำนองเดียวกัน ปัจจัยมาตราส่วนจักรวาลวิทยาไม่ใช่ระยะทางในปริภูมิ 3 มิติของเรา แต่ค่าของมันส่งผลต่อการวัดระยะทาง^{[ 7 ] : 147} ${\displaystyle R(t)}$

การนำเมตริกไปใช้กับจักรวาลวิทยาและการทำนายวิวัฒนาการตามเวลาจำเป็นต้องใช้สมการสนามของไอน์สไตน์และวิธีการคำนวณความหนาแน่นเช่นสมการสถานะทางจักรวาลวิทยากระบวนการนี้ช่วยให้สามารถหาคำตอบเชิงวิเคราะห์โดยประมาณของสมการสนามของไอน์สไตน์ซึ่งให้สมการฟรีดมันน์ ได้ เมื่อ สมมติ ว่าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมเป็นแบบไอโซโทรปิกและเป็นเนื้อเดียวกัน แบบจำลองที่ใช้เมตริก FLRW และปฏิบัติตามสมการฟรีดมันน์เรียกว่า แบบ จำลองFRW ^{[ 6 ] : 73} การสังเกตดาวโดยตรงแสดงให้เห็นว่าความเร็วของดาวถูกครอบงำโดยการถอยห่างในแนวรัศมี ซึ่งเป็นการตรวจสอบความถูกต้องของสมมติฐานเหล่านี้สำหรับแบบจำลองทางจักรวาลวิทยา^{[ 6 ] : 65} แบบจำลองเหล่านี้เป็นพื้นฐานของ แบบจำลองจักรวาลวิทยา บิ๊กแบง มาตรฐาน รวมถึงแบบจำลองΛCDM ในปัจจุบัน ^{[ 8 ] : 25.1.3} ${\displaystyle \rho (t),}$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

เมตริก FLRW ถือว่าพื้นที่มีความเป็นเนื้อเดียวกันและสมมาตร^{[ 9 ] : 404} ในขณะที่สมมาตรเชิงพื้นที่เหล่านี้ทำให้เรขาคณิตเชิงพื้นที่ของเมตริกขึ้นอยู่กับเวลาโดยทั่วไป แต่สมมาตรเหล่านี้จำกัดส่วนประกอบเชิงเวลา ( ) ให้เป็นอิสระจากตำแหน่งเชิงพื้นที่ ดังนั้น ด้วยการเลือกเวลาพิกัดที่เหมาะสม ซึ่งแสดงถึงเวลาที่เหมาะสมหรือ "เวลาจักรวาล" ที่ผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ร่วมกันแบบซิงโครไนซ์นับ ส่วนประกอบเมตริกเชิงเวลาจึงสามารถตั้งค่าเป็นค่าคงที่ได้เสมอ เมตริกทั่วไปที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้คือ ${\displaystyle g_{00}}$

$${\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2},}$$

โดยที่ครอบคลุมพื้นที่ 3 มิติที่มีความโค้งสม่ำเสมอ นั่นคือพื้นที่วงรีพื้นที่ยุคลิดหรือพื้นที่ไฮเปอร์โบลิกโดยปกติจะเขียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดเชิงพื้นที่สามพิกัด แต่ก็มีข้อกำหนดหลายประการในการเขียนเช่นนั้น ซึ่งจะอธิบายรายละเอียดด้านล่างไม่ขึ้นอยู่กับ– การพึ่งพาเวลาทั้งหมดอยู่ในฟังก์ชันซึ่งเรียกว่า " ตัวประกอบมาตราส่วน " ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle t}$${\displaystyle a(t)}$

ในพิกัดเชิงขั้วที่มีเส้นรอบวงลดลง เมตริกเชิงพื้นที่จะมีรูปแบบ^{[ 10 ] [ 11 ]}

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{ where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}$$

${\displaystyle k}$เป็นค่าคงที่ที่แสดงถึงความโค้งของพื้นที่ มีข้อกำหนดหน่วยที่ใช้กันทั่วไปสองแบบ:

• ${\displaystyle k}$อาจถือได้ว่ามีหน่วยเป็นความยาว⁻²ซึ่งในกรณีนี้จะมีหน่วยเป็นความยาวและไม่มีหน่วยดังนั้น จึงเป็นความโค้งเกาส์เซียนของปริภูมิ ณ เวลาที่ บางครั้งเรียกว่า เส้นรอบวงลดรูปเนื่องจากเท่ากับเส้นรอบวงที่วัดได้ของวงกลม (ที่ค่าของ นั้น)ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด หารด้วย(เช่นเดียวกับของพิกัดชวาร์ซชิลด์ ) ในกรณีที่เหมาะสมมักเลือกให้เท่ากับ 1 ในยุคจักรวาลวิทยาปัจจุบัน เพื่อให้วัดระยะทางร่วมเคลื่อนที่${\displaystyle r}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a(t)=1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle r}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• หรืออีกทางหนึ่งอาจถือว่า เป็นสมาชิกของเซต{−1, 0, +1} (สำหรับความโค้งลบ ศูนย์ และบวก ตามลำดับ) จากนั้นจะไม่มีหน่วยและมีหน่วยเป็นความยาว เมื่อคือรัศมีของความโค้งของปริภูมิ และอาจเขียนได้อีกแบบว่า${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle k=\pm 1}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle R(t)}$

ข้อเสียของพิกัดเส้นรอบวงที่ลดลงคือ พิกัดเหล่านี้ครอบคลุมเพียงครึ่งหนึ่งของทรงกลม 3 มิติในกรณีที่ความโค้งเป็นบวก เส้นรอบวงที่เกินจุดนั้นจะเริ่มลดลง ทำให้เกิดภาวะเสื่อมสภาพ (นี่ไม่ใช่ปัญหาหากพื้นที่เป็นรูปวงรี กล่าวคือ ทรงกลม 3 มิติที่มีจุดตรงข้ามระบุตำแหน่งได้)

ใน ระบบพิกัด ไฮเปอร์สเฟริคัลหรือ ระบบพิกัด ที่ปรับความโค้งให้เป็นมาตรฐานพิกัดจะเป็นสัดส่วนกับระยะทางรัศมี ซึ่งทำให้ได้ค่าดังนี้ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}$$

ที่ไหนเหมือนเดิมและ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Omega } }$

$${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}$$

เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว มีข้อกำหนดหน่วยวัดทั่วไปสองแบบ:

• ${\displaystyle k}$อาจถือได้ว่ามีหน่วยเป็นความยาว⁻²ซึ่งในกรณีนี้จะมีหน่วยเป็นความยาวและไม่มีหน่วย ดังนั้นจะเป็นความโค้งเกาส์เซียนของปริภูมิ ณ เวลาที่ ในกรณี ที่เหมาะสมมักจะเลือกให้เท่ากับ 1 ในยุคจักรวาลวิทยาปัจจุบัน เพื่อให้วัดระยะทางร่วมเคลื่อนที่${\displaystyle r}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a(t)=1}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• หรืออีกวิธีหนึ่ง เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้อาจถือว่า เป็นส่วนหนึ่งของเซต {−1 ,0, +1} (สำหรับความโค้งลบ ศูนย์ และบวก ตามลำดับ) จากนั้นจะไม่มีหน่วยและมีหน่วยเป็นความยาว เมื่อคือรัศมีของความโค้งของปริภูมิ และอาจเขียนได้อีกแบบว่าโปรดสังเกตว่าเมื่อโดยพื้นฐาน แล้ว เป็นมุมที่สามร่วมกับและอาจใช้ตัวอักษรแทนได้${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle k=\pm 1}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle k=+1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle r}$

แม้ว่าโดยปกติจะนิยามแบบเป็นช่วงๆ ดังที่กล่าวมาข้างต้น แต่ก็เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของทั้งและ นอกจาก นี้ยังสามารถเขียนในรูปอนุกรมกำลังได้ อีกด้วย${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$

$${\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }$$

หรือเช่น

$${\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}}),}$$

โดยที่คือฟังก์ชัน sinc ที่ไม่ได้ทำให้เป็นค่าปกติ และคือรากที่สองเชิงซ้อน รากที่สองศูนย์ หรือรากที่สองจริงของนิยามเหล่านี้ใช้ได้กับทุกค่าของ${\displaystyle \mathrm {sinc} }$${\displaystyle {\sqrt {k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

เมื่อคนเราสามารถเขียนได้ง่ายๆ ${\displaystyle k=0}$

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$$

สิ่งนี้สามารถขยายได้โดยการกำหนด ${\displaystyle k\neq 0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \,,\\y&=r\sin \theta \cos \phi \,,\\z&=r\sin \theta \sin \phi \,,\end{aligned}}}$$

โดยที่เป็นหนึ่งในพิกัดรัศมีที่กำหนดไว้ข้างต้น แต่กรณีนี้เกิดขึ้นได้ยาก ${\displaystyle r}$

ในพื้นที่ FLRW แบบแบนโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน ส่วนประกอบที่เหลืออยู่ของเทนเซอร์ริชชีคือ^{[ 12 ]}${\displaystyle (k=0)}$

$${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}\left(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2}\right)}$$

และสเกลาร์ริชชีคือ

$${\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}$$

ในพื้นที่ FLRW ทั่วไปที่ใช้พิกัดทรงกลม (เรียกว่า "พิกัดเชิงขั้วเส้นรอบวงลดลง" ข้างต้น) ส่วนประกอบที่เหลืออยู่ของเทนเซอร์ริชชีคือ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{tt}&=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\\[1ex]R_{rr}&={\frac {c^{-2}\left(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2}\right)+2k}{1-kr^{2}}}\\[1ex]R_{\theta \theta }&=r^{2}\left[c^{-2}\left(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2}\right)+2k\right]\\[1ex]R_{\phi \phi }&=r^{2}\sin ^{2}(\theta )\left[c^{-2}\left(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2}\right)+2k\right]\end{aligned}}}$$

และสเกลาร์ริชชีคือ

$${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}}}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}+{\frac {c^{2}k}{a^{2}(t)}}\right).}$$

ในปี พ.ศ. 2465 และ พ.ศ. 2467 นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตAlexander Friedmann ^{[ 14 ] [ 15 ]}และในปี พ.ศ. 2460 Georges Lemaîtreนักบวชชาวเบลเยียม นักดาราศาสตร์ และศาสตราจารย์ฟิสิกส์ประจำมหาวิทยาลัยคาทอลิกแห่ง Leuvenได้ผลลัพธ์ที่เป็นอิสระต่อกัน^{[ 16 ] [ 17 ]}ซึ่งอาศัยเมตริก Howard P. RobertsonจากสหรัฐอเมริกาและArthur Geoffrey Walkerจากสหราชอาณาจักรได้สำรวจปัญหานี้เพิ่มเติมในช่วงทศวรรษ พ.ศ. 2473 ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}ในปี พ.ศ. 2478 Robertson และ Walker ได้พิสูจน์อย่างเข้มงวดว่าเมตริก FLRW เป็นเมตริกเดียวบนปริภูมิเวลาที่เป็นเนื้อเดียวกันและสมมาตรในเชิงพื้นที่ (ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น นี่เป็นผลลัพธ์ทางเรขาคณิตและไม่ได้เชื่อมโยงกับสมการของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยเฉพาะ ซึ่ง Friedmann และ Lemaître สมมติไว้เสมอ)

วิธีแก้ปัญหานี้ ซึ่งมักเรียกว่าเมตริก โรเบิร์ตสัน-วอล์กเกอร์ เนื่องจากพวกเขาได้พิสูจน์คุณสมบัติทั่วไปของมันแล้วนั้น แตกต่างจากแบบจำลอง พลวัต "ฟรีดมันน์-เลอแมตร์" แบบจำลองเหล่านี้เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับa ( t ) ที่สมมติว่าส่วนประกอบเพียงอย่างเดียวของพลังงานความเครียดคือสสารเย็น ("ฝุ่น"), รังสี และค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยา

แบบจำลองจักรวาลวิทยามาตรฐานปัจจุบันแบบจำลอง Lambda-CDMใช้เมตริก FLRW โดยการรวมข้อมูลการสังเกตจากการทดลองบางอย่าง เช่นWMAPและPlanckเข้ากับผลลัพธ์ทางทฤษฎีของทฤษฎีบท Ehlers–Geren–Sachsและการวางนัยทั่วไป^{[ 26 ]}นักฟิสิกส์ดาราศาสตร์เห็นพ้องต้องกันว่าเอกภพยุคแรกเกือบจะเป็นเนื้อเดียวกันและสมมาตร (เมื่อเฉลี่ยในระดับที่ใหญ่มาก) และเกือบจะเป็นปริภูมิเวลา FLRW อย่างไรก็ตาม ความพยายามที่จะยืนยันการตีความเชิงจลนศาสตร์ล้วนๆ ของไดโพลพื้นหลังไมโครเวฟจักรวาล (CMB) ผ่านการศึกษาดาราจักรวิทยุ^{[ 27 ]}และควาซาร์^{[ 28 ]}แสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันในขนาด เมื่อพิจารณาตามความเป็นจริง การสังเกตเหล่านี้ขัดแย้งกับเอกภพที่อธิบายโดยเมตริก FLRW ยิ่งไปกว่านั้น อาจกล่าวได้ว่ามีค่าสูงสุดของค่าคงที่ฮับเบิลภายในจักรวาลวิทยา FLRW ที่ยอมรับได้โดยการสังเกตในปัจจุบัน=${\displaystyle H_{0}}$71 ± 1 กม./วินาที/Mpcและขึ้นอยู่กับว่าการกำหนดค่าในท้องถิ่นบรรจบกันอย่างไร สิ่งนี้อาจชี้ให้เห็นถึงการแตกสลายของเมตริก FLRW ในเอกภพตอนปลาย ซึ่งจำเป็นต้องมีคำอธิบายที่นอกเหนือจากเมตริก FLRW ^{[ 29 ] [ 22 ]}

• นอร์ธ, จอห์น เดวิด (1990). การวัดจักรวาล: ประวัติศาสตร์ของจักรวาลวิทยาสมัยใหม่ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-66517-7.
• Harrison, ER (1967). "การจำแนกประเภทของแบบจำลองจักรวาลวิทยาแบบเอกรูป" . ประกาศรายเดือนของราชสมาคมดาราศาสตร์ . 137 (1): 69– 79. Bibcode : 1967MNRAS.137...69H . doi : 10.1093/mnras/137.1.69 . ISSN  0035-8711 .
• D'Inverno, Ray (1992). การแนะนำทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ (ฉบับพิมพ์ซ้ำ). อ็อกซ์ฟอร์ด [อังกฤษ] : นิวยอร์ก: Clarendon Press; Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.( โปรดดูบทที่ 23 สำหรับบทนำที่ชัดเจนและกระชับเป็นพิเศษเกี่ยวกับแบบจำลอง FLRW)