วิธีโดเมนเวลาความแตกต่างจำกัด

วิธี ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ไทม์โดเมน ( FDTD ) หรือวิธีของยี (ตั้งชื่อตาม เคน เอส. ยีนักคณิตศาสตร์ประยุกต์ชาวจีน- อเมริกัน เกิดปี 1934) เป็น เทคนิค การวิเคราะห์เชิงตัวเลขที่ใช้สำหรับการสร้างแบบจำลองทางไฟฟ้าพลศาสตร์เชิงคำนวณ

ประวัติศาสตร์

แผนการความแตกต่างจำกัดสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบ ขึ้นอยู่กับเวลา (PDEs) ได้ถูกนำมาใช้เป็นเวลาหลายปีในปัญหาพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ^{[ 1 ]}รวมถึงแนวคิดของการใช้ตัวดำเนินการความแตกต่างจำกัดแบบศูนย์กลางบนกริดแบบสลับตำแหน่งในอวกาศและเวลาเพื่อให้ได้ความแม่นยำอันดับสอง^{[ 1 ]} ความแปลกใหม่ของแผนการ FDTD ของ Yee ซึ่งนำเสนอในบทความสำคัญในปี 1966 ของเขา^{[ 2 ]}คือการประยุกต์ใช้ตัวดำเนินการความแตกต่างจำกัดแบบศูนย์กลางบนกริดแบบสลับตำแหน่งในอวกาศและเวลาสำหรับแต่ละส่วนประกอบของสนามเวกเตอร์ไฟฟ้าและแม่เหล็กในสมการเคิร์ลของแม็กซ์เวลล์ คำอธิบาย "โดเมนเวลาความแตกต่างจำกัด" และคำย่อ "FDTD" ที่เกี่ยวข้องนั้นมีต้นกำเนิดมาจากAllen Tafloveในปี 1980 ^{[ 3 ]} ตั้งแต่ประมาณปี 1990 เทคนิค FDTD ได้ปรากฏขึ้นเป็นวิธีการหลักในการสร้างแบบจำลองเชิงคำนวณสำหรับปัญหาทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับ ปฏิสัมพันธ์ ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ากับโครงสร้างวัสดุ การประยุกต์ใช้งานแบบจำลอง FDTD ในปัจจุบันมีตั้งแต่ใกล้DC ( ธรณีฟิสิกส์ความถี่ต่ำมากที่เกี่ยวข้องกับโลกทั้งหมดและ ท่อนำคลื่น ไอโอโนสเฟี ยร์ ) ไปจนถึงไมโครเวฟ (เทคโนโลยีลายเซ็นเรดาร์ เสาอากาศอุปกรณ์สื่อสารไร้สาย การเชื่อมต่อดิจิทัล การถ่ายภาพ/การรักษาทางการแพทย์) ไปจนถึงแสงที่มองเห็นได้ ( ผลึกโฟตอนิกส์นาโน พ ลาสมอนิกส์โซลิตอนและไบโอโฟโตนิกส์ ) ^{[ 4 ]} ในปี 2549 มีสิ่งพิมพ์ที่เกี่ยวข้องกับ FDTD ประมาณ 2,000 ฉบับปรากฏในวารสารวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม (ดูความนิยม ) ณ ปี 2556 มีผู้จำหน่ายซอฟต์แวร์ FDTD เชิงพาณิชย์/กรรมสิทธิ์อย่างน้อย 25 ราย โครงการ FDTD ซอฟต์แวร์ฟรี/ โอเพนซอร์ส 13 โครงการ และโครงการ FDTD ซอฟต์แวร์ฟรี/ปิดแหล่งที่มา 2 โครงการ ซึ่งบางโครงการไม่ได้มีไว้สำหรับใช้ในเชิงพาณิชย์ (ดูลิงก์ภายนอก )

การพัฒนา FDTD และสมการของแม็กซ์เวลล์

( เรียนรู้วิธีและเวลาในการลบข้อความนี้ )

การทำความเข้าใจพื้นฐาน การพัฒนาทางเทคนิค และอนาคตที่เป็นไปได้ของเทคนิคเชิงตัวเลข FDTD สำหรับสมการของแม็กซ์เวลล์ สามารถทำได้โดยการพิจารณาประวัติความเป็นมาของเทคนิคเหล่านี้ก่อน ต่อไปนี้คือรายชื่อสิ่งพิมพ์สำคัญบางส่วนในสาขานี้

เมื่อ พิจารณา สมการเชิงอนุพันธ์ของแม็กซ์เวลล์จะเห็นได้ว่าการเปลี่ยนแปลงของสนาม E ในเวลา (อนุพันธ์เทียบกับเวลา) ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของสนาม H ในอวกาศ ( เคิร์ล ) ซึ่งส่งผลให้ความสัมพันธ์พื้นฐานของการก้าวเวลา FDTD ที่ว่า ณ จุดใด ๆ ในอวกาศ ค่าที่อัปเดตของสนาม E ในเวลาจะขึ้นอยู่กับค่าที่จัดเก็บของสนาม E และเคิร์ลเชิงตัวเลขของการกระจายตัวของสนาม H ในอวกาศ^{[ 2 ]}

สนาม H จะถูกปรับเปลี่ยนตามเวลาในลักษณะเดียวกัน ณ จุดใด ๆ ในอวกาศ ค่าที่อัปเดตของสนาม H ตามเวลาจะขึ้นอยู่กับค่าที่จัดเก็บไว้ของสนาม H และค่า curl เชิงตัวเลขของการกระจายตัวเฉพาะที่ของสนาม E ในอวกาศ การวนซ้ำเพื่ออัปเดตสนาม E และสนาม H ส่งผลให้เกิดกระบวนการเดินหน้าตามเวลา โดยที่ข้อมูลตัวอย่างที่เทียบเท่ากับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าต่อเนื่องที่กำลังพิจารณาจะแพร่กระจายในตารางเชิงตัวเลขที่จัดเก็บไว้ในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์

คำอธิบายนี้ใช้ได้กับเทคนิค FDTD แบบ 1 มิติ 2 มิติ และ 3 มิติ เมื่อพิจารณามิติหลายมิติ การคำนวณ curl เชิงตัวเลขอาจซับซ้อนขึ้น บทความสำคัญของ Kane Yee ในปี 1966 เสนอให้จัดเรียงส่วนประกอบเวกเตอร์ของสนาม E และสนาม H ในเชิงพื้นที่รอบเซลล์หน่วยสี่เหลี่ยมของตารางคำนวณแบบคาร์ทีเซียน เพื่อให้ส่วนประกอบเวกเตอร์ของสนาม E แต่ละส่วนอยู่กึ่งกลางระหว่างส่วนประกอบเวกเตอร์ของสนาม H สองส่วน และในทางกลับกัน^{[ 2 ]} แผนการนี้ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อYee latticeได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความแข็งแกร่งมาก และยังคงเป็นแกนหลักของโครงสร้างซอฟต์แวร์ FDTD ในปัจจุบันหลายๆ ตัว

Furthermore, Yee proposed a leapfrog scheme for marching in time wherein the E-field and H-field updates are staggered so that E-field updates are conducted midway during each time-step between successive H-field updates, and conversely.^[2] On the plus side, this explicit time-stepping scheme avoids the need to solve simultaneous equations, and furthermore yields dissipation-free numerical wave propagation. On the minus side, this scheme mandates an upper bound on the time-step to ensure numerical stability.^[9] As a result, certain classes of simulations can require many thousands of time-steps for completion.

To implement an FDTD solution of Maxwell's equations, a computational domain must first be established. The computational domain is simply the physical region over which the simulation will be performed. The E and H fields are determined at every point in space within that computational domain. The material of each cell within the computational domain must be specified. Typically, the material is either free-space (air), metal, or dielectric. Any material can be used as long as the permeability, permittivity, and conductivity are specified.

The permittivity of dispersive materials in tabular form cannot be directly substituted into the FDTD scheme. Instead, it can be approximated using multiple Debye, Drude, Lorentz or critical point terms. This approximation can be obtained using open fitting programs^[67] and does not necessarily have physical meaning.

Once the computational domain and the grid materials are established, a source is specified. The source can be current on a wire, applied electric field or impinging plane wave. In the last case FDTD can be used to simulate light scattering from arbitrary shaped objects, planar periodic structures at various incident angles,^[68][69] and photonic band structure of infinite periodic structures.^[70][71]

Since the E and H fields are determined directly, the output of the simulation is usually the E or H field at a point or a series of points within the computational domain. The simulation evolves the E and H fields forward in time.

Processing may be done on the E and H fields returned by the simulation. Data processing may also occur while the simulation is ongoing.

While the FDTD technique computes electromagnetic fields within a compact spatial region, scattered and/or radiated far fields can be obtained via near-to-far-field transformations.^[14]

เนื่องจากความเป็นเชิงเส้นของวิธีการ FDTD ขอบเขตความเสถียรของวิธีการ FDTD อาจถูกกำหนดโดยการวิเคราะห์ความเสถียรของ Von Neumannวิธีนี้ถือว่าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเป็นสัดส่วนกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อนแบบโมโนโครมาติก หลังจากขั้นตอนเวลาหนึ่งขั้น ขนาดของแอมพลิจูดของสนามที่เสถียรจะต้องคงที่หรือน้อยกว่า ซึ่งนำไปสู่เงื่อนไข Courant–Friedrichs–Lewyซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ของพารามิเตอร์ FDTD เพื่อให้มั่นใจถึงความเสถียร^{[ 4 ]}

เทคนิคการสร้างแบบจำลองทุกวิธีล้วนมีจุดแข็งและจุดอ่อน และวิธีการ FDTD ก็เช่นกัน

• FDTD เป็นเทคนิคการสร้างแบบจำลองอเนกประสงค์ที่ใช้ในการแก้สมการของแม็กซ์เวลล์ เทคนิคนี้ใช้งานง่าย ผู้ใช้จึงสามารถเข้าใจวิธีการใช้งานและรู้ว่าจะคาดหวังอะไรจากแบบจำลองที่กำหนดได้
• FDTD เป็นเทคนิคในโดเมนเวลา และเมื่อใช้พัลส์แบบบรอดแบนด์ (เช่น พัลส์แบบเกาส์เซียน) เป็นแหล่งกำเนิด จะสามารถหาการตอบสนองของระบบในช่วงความถี่กว้างได้ด้วยการจำลองเพียงครั้งเดียว ซึ่งมีประโยชน์ในแอปพลิเคชันที่ความถี่เรโซแนนซ์ไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด หรือเมื่อใดก็ตามที่ต้องการผลลัพธ์แบบบรอดแบนด์
• เนื่องจาก FDTD คำนวณสนาม E และ H ทุกที่ในโดเมนการคำนวณขณะที่มันเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา จึงเหมาะสำหรับการแสดงผลแบบเคลื่อนไหวของการเคลื่อนที่ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าผ่านแบบจำลอง การแสดงผลประเภทนี้มีประโยชน์ในการทำความเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในแบบจำลอง และช่วยให้มั่นใจได้ว่าแบบจำลองทำงานได้อย่างถูกต้อง
• เทคนิค FDTD ช่วยให้ผู้ใช้สามารถระบุวัสดุได้ทุกจุดภายในโดเมนการคำนวณ วัสดุไดอิเล็กทริกและแม่เหล็กเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นหลากหลายชนิดสามารถจำลองได้อย่างเป็นธรรมชาติและง่ายดาย
• FDTD ช่วยให้สามารถกำหนดผลกระทบของช่องเปิดได้โดยตรง สามารถค้นหาผลกระทบของการกำบัง และสามารถค้นหาสนามทั้งภายในและภายนอกโครงสร้างได้โดยตรงหรือโดยอ้อม
• FDTD ใช้ฟิลด์ E และ H โดยตรง เนื่องจากแอปพลิเคชันการจำลอง EMI/EMC ส่วนใหญ่สนใจฟิลด์ E และ H จึงสะดวกตรงที่ไม่ต้องทำการแปลงใดๆ หลังจากการจำลองเสร็จสิ้นเพื่อให้ได้ค่าเหล่านี้

• เนื่องจาก FDTD กำหนดให้โดเมนการคำนวณทั้งหมดต้องเป็นกริด และการแบ่งส่วนเชิงพื้นที่ของกริดต้องละเอียดเพียงพอที่จะแยกแยะทั้งความยาวคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เล็กที่สุดและคุณลักษณะทางเรขาคณิตที่เล็กที่สุดในแบบจำลอง จึงสามารถพัฒนาโดเมนการคำนวณขนาดใหญ่มาก ซึ่งส่งผลให้เวลาในการแก้ปัญหานานมาก แบบจำลองที่มีคุณลักษณะยาวและบาง (เช่น ลวด) นั้นยากที่จะสร้างแบบจำลองใน FDTD เนื่องจากต้องใช้โดเมนการคำนวณขนาดใหญ่เกินไป วิธีการต่างๆ เช่นการขยายโหมดไอเกนสามารถนำเสนอทางเลือกที่มีประสิทธิภาพมากกว่า เนื่องจากไม่จำเป็นต้องใช้กริดละเอียดตามทิศทาง z ^{[ 72 ]}
• ไม่มีวิธีใดที่จะกำหนดค่าเฉพาะสำหรับค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าและสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็ก ณ รอยต่อของวัสดุได้
• ขั้นตอนเชิงพื้นที่และเวลาต้องเป็นไปตามเงื่อนไข CFLมิฉะนั้นการอินทิเกรตแบบกระโดดข้ามที่ใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอาจไม่เสถียร
• FDTD ค้นหาฟิลด์ E/H โดยตรงทุกที่ในโดเมนการคำนวณ หากต้องการค่าฟิลด์ที่ระยะทางไกล ระยะทางดังกล่าวอาจทำให้โดเมนการคำนวณมีขนาดใหญ่เกินไป การขยายฟิลด์ระยะไกลมีให้สำหรับ FDTD แต่ต้องมีการประมวลผลภายหลังในระดับหนึ่ง^{[ 4 ]}
• เนื่องจากการจำลอง FDTD คำนวณสนาม E และ H ที่ทุกจุดภายในโดเมนการคำนวณ โดเมนการคำนวณจึงต้องมีขนาดจำกัดเพื่อให้สามารถเก็บไว้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ได้ ในหลายกรณีจะทำได้โดยการแทรกขอบเขตเทียมลงในพื้นที่การจำลอง ต้องระมัดระวังเพื่อลดข้อผิดพลาดที่เกิดจากขอบเขตดังกล่าว มีเงื่อนไขขอบเขตดูดซับ (ABC) ที่มีประสิทธิภาพสูงจำนวนมากที่ใช้จำลองโดเมนการคำนวณที่ไม่มีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 4 ]} การใช้งาน FDTD สมัยใหม่ส่วนใหญ่ใช้วัสดุดูดซับพิเศษที่เรียกว่าชั้นที่จับคู่ได้อย่างสมบูรณ์แบบ (PML) เพื่อใช้ในการสร้างขอบเขตดูดซับ^{[ 42 ] [ 47 ]}
• Because FDTD is solved by propagating the fields forward in the time domain, the electromagnetic time response of the medium must be modeled explicitly. For an arbitrary response, this involves a computationally expensive time convolution, although in most cases the time response of the medium (or Dispersion (optics)) can be adequately and simply modeled using either the recursive convolution (RC) technique, the auxiliary differential equation (ADE) technique, or the Z-transform technique. An alternative way of solving Maxwell's equations that can treat arbitrary dispersion easily is the pseudo-spectral spatial domain (PSSD), which instead propagates the fields forward in space.

The most commonly used grid truncation techniques for open-region FDTD modeling problems are the Mur absorbing boundary condition (ABC),^[13] the Liao ABC,^[16] and various perfectly matched layer (PML) formulations.^{[4][43][42][47]} The Mur and Liao techniques are simpler than PML. However, PML (which is technically an absorbing region rather than a boundary condition per se) can provide orders-of-magnitude lower reflections. The PML concept was introduced by J.-P. Berenger in a seminal 1994 paper in the Journal of Computational Physics.^[42] Since 1994, Berenger's original split-field implementation has been modified and extended to the uniaxial PML (UPML), the convolutional PML (CPML), and the higher-order PML. The latter two PML formulations have increased ability to absorb evanescent waves, and therefore can in principle be placed closer to a simulated scattering or radiating structure than Berenger's original formulation.

To reduce undesired numerical reflection from the PML additional back absorbing layers technique can be used.^[73]

ถึงแม้ว่าโดยทั่วไปแล้วปริมาณงานตีพิมพ์ทางวิชาการจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาเดียวกัน และความสนใจในเทคนิคแม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ (CEM) ทั้งหมดจะขยายตัวอย่างมาก แต่ก็มีเหตุผลหลักเจ็ดประการที่ทำให้ความสนใจในวิธีการแก้ปัญหาเชิงคำนวณ FDTD สำหรับสมการของแม็กซ์เวลล์ขยายตัวอย่างมหาศาล:

1. FDTD ไม่จำเป็นต้องใช้การผกผันเมทริกซ์ เนื่องจากเป็นการคำนวณแบบชัดเจนทั้งหมด FDTD จึงหลีกเลี่ยงความยากลำบากของการผกผันเมทริกซ์ที่จำกัดขนาดของสมการอินทิกรัลโดเมนความถี่และแบบจำลองแม่เหล็กไฟฟ้าไฟไนต์เอเลเมนต์ให้โดยทั่วไปมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้า น้อยกว่า ^{10⁹ ตัว[ 4 ]}แบบจำลอง FDTD ที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสนามมากถึง 10⁹ ตัว^ได้ถูกใช้งานแล้ว ไม่มีขีดจำกัดบนที่แท้จริงของจำนวนนี้^{[ 4 ]}
2. FDTD มีความแม่นยำและแข็งแกร่ง แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดในการคำนวณ FDTD เป็นที่เข้าใจกันดี และสามารถจำกัดขอบเขตเพื่อให้สามารถสร้างแบบจำลองที่แม่นยำสำหรับปัญหาปฏิสัมพันธ์ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่หลากหลายมาก^{[ 4 ]}
3. FDTD จัดการกับพฤติกรรมแบบอิมพัลส์ได้อย่างเป็นธรรมชาติ เนื่องจากเป็นเทคนิคในโดเมนเวลา FDTD จึงคำนวณการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบแม่เหล็กไฟฟ้าโดยตรง ดังนั้น การจำลอง FDTD เพียงครั้งเดียวจึงสามารถให้รูปคลื่นเวลาแบบอัลตร้าไวด์แบนด์หรือการตอบสนองแบบไซน์ในสภาวะคงที่ที่ความถี่ใดๆ ภายในสเปกตรัมการกระตุ้นได้^{[ 4 ]}
4. FDTD จัดการกับพฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้อย่างเป็นธรรมชาติ เนื่องจากเป็นเทคนิคในโดเมนเวลา FDTD จึงคำนวณการตอบสนองที่ไม่เป็นเชิงเส้นของระบบแม่เหล็กไฟฟ้าโดยตรง ซึ่งช่วยให้สามารถผสมผสาน FDTD กับชุดสมการเชิงอนุพันธ์เสริมที่อธิบายความไม่เป็นเชิงเส้นจากมุมมองแบบคลาสสิกหรือกึ่งคลาสสิกได้อย่างเป็นธรรมชาติ^{[ 4 ]} แนวทางการวิจัยหนึ่งคือการพัฒนาอัลกอริทึมแบบไฮบริดที่รวมแบบจำลองอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบคลาสสิกของ FDTD เข้ากับปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นจากอิเล็กโทรไดนามิกส์ควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งความผันผวนของสุญญากาศ เช่นผลกระทบของแคสิเมียร์^{[ 4 ] [ 74 ]}
5. FDTD เป็นแนวทางที่เป็นระบบ ด้วย FDTD การระบุโครงสร้างใหม่ที่จะสร้างแบบจำลองจะลดลงเหลือเพียงปัญหาของการสร้างตาข่ายแทนที่จะเป็นการปรับปรุงสมการอินทิกรัลที่อาจซับซ้อน ตัวอย่างเช่น FDTD ไม่จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชันกรีนที่ขึ้นอยู่กับโครงสร้าง^{[ 4 ]}
6. สถาปัตยกรรมคอมพิวเตอร์แบบประมวลผลขนานกลายเป็นระบบหลักในการประมวลผลซูเปอร์คอมพิวเตอร์ FDTD ปรับขนาดได้อย่างมีประสิทธิภาพสูงบนคอมพิวเตอร์แบบประมวลผลขนานที่ใช้ CPU และทำงานได้ดีเยี่ยมบนเทคโนโลยีเร่งความเร็วแบบ GPU ที่พัฒนาขึ้นใหม่^{[ 4 ]}
7. ความสามารถในการแสดงภาพด้วยคอมพิวเตอร์กำลังเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ในขณะที่แนวโน้มนี้ส่งผลดีต่อเทคนิคเชิงตัวเลขทั้งหมด แต่เป็นประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับวิธีการ FDTD ซึ่งสร้างอาร์เรย์ของปริมาณสนามที่เคลื่อนที่ตามเวลาซึ่งเหมาะสมสำหรับการใช้งานในวิดีโอสีเพื่อแสดงพลวัตของสนาม^{[ 4 ]}
8. ความไม่สมมาตรได้รับการจัดการตามธรรมชาติโดยวิธี FDTD เซลล์ Yee ซึ่งมีส่วนประกอบในแต่ละทิศทางคาร์ทีเซียน สามารถกำหนดค่าด้วยคุณลักษณะที่ไม่สมมาตรได้อย่างง่ายดาย^{[ 4 ​​]}

Taflove ได้โต้แย้งว่าปัจจัยเหล่านี้รวมกันบ่งชี้ว่า FDTD จะยังคงเป็นหนึ่งในเทคนิคอิเล็กโทรไดนามิกส์เชิงคำนวณที่โดดเด่น (รวมถึง ปัญหา ฟิสิกส์หลายมิติ อื่นๆ ด้วย ) ^{[ 4 ]}

• แม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ
• การขยายโหมดเฉพาะ
• วิธีการแพร่กระจายลำแสง
• โดเมนความถี่ผลต่างจำกัด
• วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์
• วิธีเมทริกซ์การกระเจิง
• การประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับวิธีผลต่างจำกัดในโดเมนเวลา (Finite-difference time-domain method )

โครงการ ซอฟต์แวร์ฟรี / ซอฟต์แวร์โอเพนซอร์ส ของ FDTD:

• FDTD++ : ซอฟต์แวร์ FDTD ขั้นสูงที่มีฟังก์ชันครบครัน พร้อมด้วยแบบจำลองวัสดุที่ซับซ้อนและรูปทรงที่กำหนดไว้ล่วงหน้า รวมถึงฟอรัมสนทนา/ให้ความช่วยเหลือ และการสนับสนุนทางอีเมล
• openEMS (โปรแกรมแก้ปัญหา EC-FDTD แบบ 3 มิติเต็มรูปแบบสำหรับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและทรงกระบอก เขียนด้วยภาษา C++ โดยใช้ ส่วนต่อประสานกับ Matlab / Octave )
• pFDTD (โค้ด FDTD 3 มิติที่เขียนด้วยภาษา C++ พัฒนาโดย Se-Heon Kim)
• JFDTD (โค้ด FDTD ภาษา C++ 2 มิติ/3 มิติ ที่พัฒนาขึ้นสำหรับนาโนโฟโตนิกส์โดย Jeffrey M. McMahon)
• WOLFSIM ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 2 กรกฎาคม 2551 ที่Wayback Machine (NCSU) (2 มิติ)
• Meep ( MIT , FDTD แบบขนาน 2 มิติ/3 มิติ/ทรงกระบอก)
• (เรดาร์ทางภูมิศาสตร์) FDTD
• bigboy (ไม่มีการบำรุงรักษา ไม่มีไฟล์สำหรับเผยแพร่ ต้องดาวน์โหลดซอร์สโค้ดจาก CVS)
• รหัส Parallel (MPI&OpenMP) FDTD ในภาษา C++ (พัฒนาโดย Zs. Szabó)
• โค้ด FDTD ในภาษา Fortran 90
• โค้ด FDTD ในภาษาซีสำหรับการจำลองคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า 2 มิติ
• Angora (ซอฟต์แวร์ FDTD แบบขนาน 3 มิติ พัฒนาและดูแลโดย Ilker R. Capoglu)
• GSvit (โปรแกรมแก้ปัญหา FDTD 3 มิติ พร้อมรองรับการประมวลผลด้วยการ์ดกราฟิก เขียนด้วยภาษา C มีส่วนติดต่อผู้ใช้แบบกราฟิก XSvit ให้ใช้งาน)
• gprMax (ซอฟต์แวร์โอเพนซอร์ส (GPLv3) โค้ดสำหรับสร้างแบบจำลอง FDTD 3 มิติ/2 มิติ ในภาษา Python/Cython พัฒนาขึ้นสำหรับ GPR แต่สามารถใช้สำหรับการสร้างแบบจำลอง EM ทั่วไปได้)

โปรเจกต์ FDTD แบบฟรีแวร์ / ซอฟต์แวร์ปิด (บางโปรเจกต์ไม่เหมาะสำหรับการใช้งานเชิงพาณิชย์):

• EMTL (Electromagnetic Template Library) (ไลบรารี C++ ฟรีสำหรับการจำลองทางแม่เหล็กไฟฟ้า เวอร์ชันปัจจุบันส่วนใหญ่ใช้การคำนวณ FDTD)