อนุญาต${\displaystyle G}$และ${\displaystyle H}$เป็นกลุ่ม และปล่อยให้${\displaystyle f:G\rightarrow H}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมดังนั้น:

1. แก่นของ​${\displaystyle f}$เป็นกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle G}$,
2. ภาพของ​${\displaystyle f}$เป็นกลุ่มย่อยของ${\displaystyle H}$, และ
3. ภาพของ${\displaystyle f}$มีโครงสร้างสมมาตรกับกลุ่มผลหาร${\displaystyle G/\ker f}$.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแล้ว${\displaystyle H}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle G/\ker f}$.

ทฤษฎีบทนี้มักเรียกว่า ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิ ซึมแรก

อนุญาต${\displaystyle G}$เป็นกลุ่ม ปล่อยให้${\displaystyle S}$เป็นกลุ่มย่อยของ${\displaystyle G}$และปล่อยให้${\displaystyle N}$เป็นกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle G}$จากนั้นจึงเป็นดังต่อไปนี้:

1. ผลิตภัณฑ์​${\displaystyle SN}$เป็นกลุ่มย่อยของ${\displaystyle G}$,
2. กลุ่มย่อย${\displaystyle N}$เป็นกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle SN}$,
3. ทางแยก${\displaystyle S\cap N}$เป็นกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle S}$, และ
4. กลุ่มผลหาร${\displaystyle (SN)/N}$และ${\displaystyle S/(S\cap N)}$มีโครงสร้างเหมือนกัน

ในทางเทคนิคแล้ว ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนั้น${\displaystyle N}$เป็นกลุ่มย่อยปกติ ตราบใดที่${\displaystyle S}$เป็นกลุ่มย่อยของตัวปรับมาตรฐานของ${\displaystyle N}$ใน${\displaystyle G}$ในกรณีนี้${\displaystyle N}$ไม่ใช่กลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle G}$, แต่${\displaystyle N}$ยังคงเป็นกลุ่มย่อยปกติของผลิตภัณฑ์${\displaystyle SN}$.

ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สอง^{[ 3 ]}ทฤษฎีบทเพชร^{[ 4 ]}หรือทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมด้านขนาน^{[ 5 ]}

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สองระบุกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ : ตัวอย่างเช่น กลุ่มบนเส้นโปรเจกทีฟเชิงซ้อนเริ่มต้นด้วยการตั้งค่า${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$กลุ่มของเมทริกซ์เชิงซ้อน 2 × 2 ที่ผกผันได้${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$กลุ่มย่อยของ เมทริก ซ์ดีเทอร์มิแนนต์ 1 และ${\displaystyle N}$กลุ่มย่อยปกติของเมทริกซ์สเกลาร์${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$เรามี${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$, ที่ไหน${\displaystyle I}$คือเมทริกซ์เอกลักษณ์และ${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$จากนั้นทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อที่สองกล่าวว่า:

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

อนุญาต${\displaystyle G}$เป็นกลุ่ม และ${\displaystyle N}$กลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle G}$. แล้ว

1. ถ้า${\displaystyle K}$เป็นกลุ่มย่อยของ${\displaystyle G}$โดยที่${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, แล้ว${\displaystyle G/N}$มีกลุ่มย่อยที่สมมาตรกับ${\displaystyle K/N}$.
2. ทุกกลุ่มย่อยของ${\displaystyle G/N}$อยู่ในรูปแบบ${\displaystyle K/N}$สำหรับกลุ่มย่อยบางกลุ่ม${\displaystyle K}$ของ${\displaystyle G}$โดยที่${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
3. ถ้า${\displaystyle K}$เป็นกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle G}$โดยที่${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, แล้ว${\displaystyle G/N}$มีกลุ่มย่อยปกติที่สมมาตรกับ${\displaystyle K/N}$.
4. ทุกกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle G/N}$อยู่ในรูปแบบ${\displaystyle K/N}$สำหรับกลุ่มย่อยปกติบางกลุ่ม${\displaystyle K}$ของ${\displaystyle G}$โดยที่${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
5. ถ้า${\displaystyle K}$เป็นกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle G}$โดยที่${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$จากนั้นกลุ่มผลหาร${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle G/K}$.

ข้อความสุดท้ายบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สาม ส่วนข้อความสี่ข้อแรกมักจะรวมอยู่ในทฤษฎีบท D ด้านล่าง และเรียกว่าทฤษฎีบทแลตติส ทฤษฎีบทความสอดคล้องหรือทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สี่

อนุญาต${\displaystyle G}$เป็นกลุ่ม และ${\displaystyle N}$กลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle G}$โฮโมมอร์ฟิซึมการฉายภาพแบบแคนอนิก${\displaystyle G\rightarrow G/N}$กำหนดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของกลุ่มย่อยของ${\displaystyle G}$ประกอบด้วย${\displaystyle N}$และเซตของกลุ่มย่อย (ทั้งหมดของ)${\displaystyle G/N}$ภายใต้ความสัมพันธ์นี้ กลุ่มย่อยปกติจะสอดคล้องกับกลุ่มย่อยปกติ

ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทความสอดคล้องทฤษฎีบทแลตทิซและทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สี่

ทฤษฎีบทZassenhaus (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทผีเสื้อ) บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สี่^{[ 6 ]}

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรกสามารถแสดงได้ใน ภาษา ทฤษฎีหมวดหมู่โดยกล่าวว่าหมวดหมู่ของกลุ่มสามารถแยกตัวประกอบได้ (แบบปกติ เอพิมอร์ฟิซึม และแบบโมโนมอร์ฟิซึม) กล่าวอีกนัยหนึ่งเอพิมอร์ฟิซึมแบบปกติและโมโนมอร์ฟิซึมก่อให้เกิดระบบการแยกตัวประกอบสำหรับหมวดหมู่สิ่งนี้แสดงให้เห็นในแผนภาพการสลับตำแหน่งในส่วนขอบ ซึ่งแสดงวัตถุและมอร์ฟิซึมที่มีการดำรงอยู่ซึ่งสามารถอนุมานได้จากมอร์ฟิซึม${\displaystyle f:G\rightarrow H}$แผนภาพแสดงให้เห็นว่ามอร์ฟิซึมทุกตัวในหมวดหมู่ของกลุ่มมีเคอร์เนล ในความหมายเชิงทฤษฎีของหมวดหมู่ มอร์ฟิซึม fใดๆ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น${\displaystyle \iota \circ \pi }$โดยที่ιคือโมโนมอร์ฟิซึม และπคือเอพิโมร์ฟิซึม (ในหมวดหมู่โคนอร์มัลเอพิโมร์ฟิซึมทั้งหมดเป็นนอร์มัล) สิ่งนี้แสดงในแผนภาพด้วยวัตถุ${\displaystyle \ker f}$และโมโนมอร์ฟิซึม${\displaystyle \kappa$ :\ker f\rightarrow G} (เคอร์เนลเป็นโมโนมอร์ฟิซึมเสมอ) ซึ่งทำให้ลำดับที่แน่นอนสั้นๆที่วิ่งจากด้านล่างซ้ายไปยังด้านบนขวาของแผนภาพสมบูรณ์ การใช้ ข้อกำหนด ลำดับที่แน่นอนช่วยให้เราไม่ต้องวาดมอร์ฟิซึมศูนย์จาก${\displaystyle \ker f}$ถึง${\displaystyle H}$และ${\displaystyle G/\ker f}$.

ถ้าลำดับนั้นแยกออกทางขวา (กล่าวคือ มีมอร์ฟิซึมσที่แมป)${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$(ไปยัง ภาพ πก่อนหน้าของตัวมันเอง) แล้วGคือผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มย่อยปกติ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$และกลุ่มย่อย${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$ถ้ามันถูกแบ่งทางซ้าย (เช่น มีอยู่บางส่วน)${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$โดยที่${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$) ดังนั้นจึงต้องมีการแบ่งทางขวาด้วย และ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$เป็นการ แยกส่วน ผลคูณโดยตรงของGโดยทั่วไป การมีอยู่ของการแยกทางขวาไม่ได้หมายความถึงการมีอยู่ของการแยกทางซ้าย แต่ในหมวดหมู่แบบอาเบล (เช่นหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบล ) การแยกทางซ้ายและการแยกทางขวาจะเทียบเท่ากันโดยทฤษฎีบทการแยกและการแยกทางขวาเพียงพอที่จะสร้างการแยกส่วนผลรวมโดยตรง${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$ในหมวดหมู่แบบอาเบเลียน โมโนมอร์ฟิซึมทั้งหมดก็เป็นแบบปกติด้วย และแผนภาพอาจขยายได้ด้วยลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ชุดที่สอง${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$.

ในทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อที่สอง ผลคูณSNคือการเชื่อมต่อของSและNในแลตทิซของกลุ่มย่อยของGในขณะที่จุดตัดS  ∩ Nคือจุดร่วม 

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สามได้รับการขยายความโดยบทพิสูจน์ย่อยทั้งเก้าข้อไปสู่หมวดหมู่แบบอาเบเลียนและแผนที่ทั่วไประหว่างวัตถุต่างๆ

ด้านล่างนี้เราได้นำเสนอทฤษฎีบทสี่ข้อ ซึ่งมีชื่อกำกับว่า A, B, C และ D โดยทั่วไปมักมีการกำหนดหมายเลขทฤษฎีบทเหล่านี้ว่า "ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรก", "ข้อที่สอง..." เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีข้อตกลงที่เป็นสากลเกี่ยวกับการกำหนดหมายเลข ในที่นี้เราได้ยกตัวอย่างทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่ปรากฏในเอกสารทางวิชาการ โปรดสังเกตว่าทฤษฎีบทเหล่านี้มีทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกันสำหรับวงแหวนและโมดูล

โดยทั่วไปแล้ว การรวมทฤษฎีบท D ซึ่งมักรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทแลตติสหรือทฤษฎีบทการจับคู่ เข้าไว้ในกลุ่มทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมนั้นค่อนข้างไม่บ่อยนัก แต่หากรวมไว้ด้วยแล้ว มักจะเป็นทฤษฎีบทสุดท้าย

อนุญาต${\displaystyle R}$และ${\displaystyle S}$เป็นแหวน และปล่อยให้${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงดังนั้น:

1. แก่นของ​${\displaystyle \varphi }$เป็นอุดมคติสองด้านของ${\displaystyle R}$,
2. ภาพของ​${\displaystyle \varphi }$เป็นวงแหวนย่อยของ${\displaystyle S}$, และ
3. ภาพของ${\displaystyle \varphi }$มีโครงสร้างเหมือนกับวงแหวนผลหาร${\displaystyle R/\ker \varphi }$.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle \varphi }$เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแล้ว${\displaystyle S}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle R/\ker \varphi }$[ ^{17 ]​}

อนุญาต${\displaystyle R}$เป็นแหวน ให้${\displaystyle S}$เป็นซับริงของ${\displaystyle R}$และปล่อยให้${\displaystyle I}$เป็นอุดมคติสองด้านของ${\displaystyle R}$. แล้ว:

1. ผลรวม${\displaystyle S+I=\{s+i\mid s\in S,i\in I\}}$เป็นวงแหวนย่อยของ${\displaystyle R}$,
2. ทางแยก${\displaystyle S\cap I}$เป็นอุดมคติสองด้านของ${\displaystyle S}$, และ
3. วงแหวนผลหาร${\displaystyle (S+I)/I}$และ${\displaystyle S/(S\cap I)}$มีโครงสร้างเหมือนกัน

อนุญาต${\displaystyle R}$เป็นแหวน และ${\displaystyle I}$อุดมคติสองด้านของ${\displaystyle R}$. แล้ว

1. ถ้า${\displaystyle A}$เป็นวงแหวนย่อยของ${\displaystyle R}$โดยที่${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$, แล้ว${\displaystyle A/I}$เป็นวงแหวนย่อยของ${\displaystyle R/I}$.
2. ทุกวงแหวนย่อยของ${\displaystyle R/I}$อยู่ในรูปแบบ${\displaystyle A/I}$สำหรับซับริงบางอัน${\displaystyle A}$ของ${\displaystyle R}$โดยที่${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$.
3. ถ้า${\displaystyle J}$เป็นอุดมคติสองด้านของ${\displaystyle R}$โดยที่${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$, แล้ว${\displaystyle J/I}$เป็นอุดมคติสองด้านของ${\displaystyle R/I}$.
4. อุดมคติทุกด้าน ไม่ว่าจะเป็นซ้าย ขวา หรือสองด้าน${\displaystyle R/I}$อยู่ในรูปแบบ${\displaystyle J/I}$สำหรับอุดมคติฝ่ายซ้าย ฝ่ายขวา หรือฝ่ายสองด้าน${\displaystyle J}$ของ${\displaystyle R}$โดยที่${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$.
5. ถ้า${\displaystyle J}$เป็นอุดมคติสองด้านของ${\displaystyle R}$โดยที่${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$จากนั้นวงแหวนผลหาร${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle R/J}$.

อนุญาต${\displaystyle I}$เป็นอุดมคติสองด้านของ${\displaystyle R}$การติดต่อสื่อสาร${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$เป็นการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่ง ที่รักษาคุณสมบัติการรวมไว้ระหว่างเซตของวงแหวนย่อย${\displaystyle A}$ของ${\displaystyle R}$ที่มี${\displaystyle I}$และชุดของวงแหวนย่อยของ⁠${\displaystyle R/I}$. ^{[ 18 ]}​

อนุญาต${\displaystyle M}$และ${\displaystyle N}$เป็นโมดูล และให้${\displaystyle \varphi :M\rightarrow N}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลดังนั้น:

1. แก่นของ​${\displaystyle \varphi }$เป็นโมดูลย่อยของ${\displaystyle M}$,
2. ภาพของ​${\displaystyle \varphi }$เป็นโมดูลย่อยของ${\displaystyle N}$, และ
3. ภาพของ${\displaystyle \varphi }$มีโครงสร้างเหมือนกับโมดูลผลหาร${\displaystyle M/\ker \varphi }$.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle \varphi }$เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแล้ว${\displaystyle N}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle M/\ker \varphi }$.

อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นโมดูล และให้${\displaystyle S}$และ${\displaystyle T}$เป็นโมดูลย่อยของ${\displaystyle M}$. แล้ว:

1. ผลรวม${\displaystyle S+T=\{s+t\mid s\in S,t\in T\}}$เป็นโมดูลย่อยของ${\displaystyle M}$,
2. ทางแยก${\displaystyle S\cap T}$เป็นโมดูลย่อยของ${\displaystyle M}$, และ
3. โมดูลผลหาร${\displaystyle (S+T)/T}$และ${\displaystyle S/(S\cap T)}$มีโครงสร้างเหมือนกัน

ให้Mเป็นโมดูล และTเป็นซับโมดูลของM

1. ถ้า${\displaystyle S}$เป็นโมดูลย่อยของ${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$, แล้ว${\displaystyle S/T}$เป็นโมดูลย่อยของ${\displaystyle M/T}$.
2. ทุกโมดูลย่อยของ${\displaystyle M/T}$อยู่ในรูปแบบ${\displaystyle S/T}$สำหรับโมดูลย่อยบางส่วน${\displaystyle S}$ของ${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$.
3. ถ้า${\displaystyle S}$เป็นโมดูลย่อยของ${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$จากนั้นโมดูลผลหาร${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle M/S}$.

อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นโมดูล${\displaystyle N}$โมดูลย่อยของ${\displaystyle M}$มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างโมดูลย่อยของ${\displaystyle M}$ที่มี${\displaystyle N}$และโมดูลย่อยของ${\displaystyle M/N}$ความสัมพันธ์ดังกล่าวแสดงโดย${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$สำหรับทุกคน${\displaystyle A\supseteq N}$ความสัมพันธ์นี้สลับที่ได้กับกระบวนการหาผลรวมและการหาจุดตัด (กล่าวคือ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของแลตทิซระหว่างแลตทิซของโมดูลย่อยของ${\displaystyle M/N}$และโครงข่ายของโมดูลย่อยของ${\displaystyle M}$ที่มี${\displaystyle N}$). ^{[ 19 ]}

อนุญาต${\displaystyle f:A\rightarrow B}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของ พีชคณิต จากนั้นภาพของ${\displaystyle f}$เป็นพีชคณิตย่อยของ${\displaystyle B}$ความสัมพันธ์ที่กำหนดโดย${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$(เช่นแกนหลักของ${\displaystyle f}$) เป็นความสอดคล้องบน${\displaystyle A}$และพีชคณิต${\displaystyle A/\Phi }$และ${\displaystyle \operatorname {im} f}$สมมาตรกัน (โปรดทราบว่าในกรณีของกลุ่ม)${\displaystyle f(x)=f(y)}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$ดังนั้นในกรณีนี้เราจึงได้แนวคิดเรื่องแกนหลักที่ใช้ในทฤษฎีกลุ่มกลับมาอีกครั้ง)

กำหนดให้พีชคณิต${\displaystyle A}$พีชคณิตย่อย${\displaystyle B}$ของ${\displaystyle A}$และความสอดคล้อง${\displaystyle \Phi }$บน${\displaystyle A}$, อนุญาต${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$เป็นร่องรอยของ${\displaystyle \Phi }$ใน${\displaystyle B}$และ${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$กลุ่มของชั้นสมมูลที่ตัดกัน${\displaystyle B}$. แล้ว

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$เป็นความสอดคล้องกันบน${\displaystyle B}$,
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$เป็นพีชคณิตย่อยของ${\displaystyle A/\Phi }$, และ
3. พีชคณิต${\displaystyle [B]^{\Phi }}$มีโครงสร้างสมมาตรกับพีชคณิต${\displaystyle B/\Phi _{B}}$.

อนุญาต${\displaystyle A}$เป็นพีชคณิตและ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันสองประการบน${\displaystyle A}$โดยที่${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$. แล้ว${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$เป็นความสอดคล้องกันบน${\displaystyle A/\Psi }$, และ${\displaystyle A/\Phi }$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

อนุญาต${\displaystyle A}$เป็นพีชคณิตและแทนด้วย${\displaystyle \operatorname {Con} A}$เซตของความสอดคล้องทั้งหมดบน${\displaystyle A}$ชุด ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$เป็นแลตติซที่สมบูรณ์ซึ่งเรียงลำดับโดยการรวม^{[ 20 ]} ถ้า${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$เป็นความสอดคล้อง และเราใช้สัญลักษณ์ แทน${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$เซตของความสอดคล้องทั้งหมดที่ประกอบด้วย${\displaystyle \Phi }$(เช่น${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$เป็น ตัวกรองหลักใน${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ยิ่งไปกว่านั้น มันยังเป็นโครงข่ายย่อยด้วย) จากนั้นแผนที่ ${\displaystyle \alpha$ :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi } เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของแลตทิซ ^{[ 21 ] [ 22 ]}