ทฤษฎีบทจุดตรึง

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ทฤษฎีบทจุดตรึง

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทจุดตรึงคือผลลัพธ์ที่กล่าวว่าฟังก์ชันF จะมี จุดตรึงอย่างน้อยหนึ่ง จุด (จุดxที่F ( x ) = x ) ภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับFที่สามารถระบุได้ในแง่ทั่วไป

Q: ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบท จุดตรึงของ Banach (1922) ให้เกณฑ์ทั่วไปที่รับประกันว่า หากเป็นไปตามเกณฑ์นี้ ขั้นตอน การวนซ้ำ ของ ฟังก์ชันจะให้จุดตรึง [ 2 ]

Q: ในพีชคณิตและคณิตศาสตร์เชิงดิสครีต

ทฤษฎีบท Knaster–Tarski ระบุว่า ฟังก์ชันรักษาลำดับ ใดๆ บน แลตทิซที่สมบูรณ์ จะมีจุดคงที่ และที่จริงแล้วมีจุดคงที่ ที่เล็กที่สุด [ 7 ] ดูทฤษฎีบท Bourbaki–Witt ด้วย

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทจุดตรึงคือผลลัพธ์ที่กล่าวว่าฟังก์ชันF จะมี จุดตรึงอย่างน้อยหนึ่ง จุด (จุดxที่F ( x ) = x ) ภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับFที่สามารถระบุได้ในแง่ทั่วไป^{[ 1 ]}

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Banach (1922) ให้เกณฑ์ทั่วไปที่รับประกันว่า หากเป็นไปตามเกณฑ์นี้ ขั้นตอนการวนซ้ำ ของ ฟังก์ชันจะให้จุดตรึง^{[ 2 ]}

ในทางตรงกันข้ามทฤษฎีบทจุดตรึงของ Brouwer (1911) เป็นผลลัพธ์ที่ไม่สร้างสรรค์กล่าวคือฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ จากลูกบอลหน่วย ปิด ในปริภูมิยุคลิดมิติnไปยังตัวมันเองจะต้องมีจุดตรึง^[³^]แต่ไม่ได้อธิบายวิธีการหาจุดตรึง (ดูบทพิสูจน์ของ Sperner ด้วย )

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน โคไซน์มีความต่อเนื่องในช่วง [−1, 1] และแมปไปยังช่วง [−1, 1] ดังนั้นจึงต้องมีจุดตรึง สิ่งนี้ชัดเจนเมื่อพิจารณากราฟร่างของฟังก์ชันโคไซน์ จุดตรึงเกิดขึ้นเมื่อเส้นโค้งโคไซน์y = cos( x ) ตัดกับเส้นตรงy = x ในทาง ตัวเลข จุดตรึง (ที่รู้จักกันในชื่อเลขดอตตี ) มีค่าประมาณx = 0.73908513321516 (ดังนั้นx = cos( x ) สำหรับค่าx นี้ )

ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Lefschetz ^{[ 4 ]} (และทฤษฎีบทจุดตรึงของ Nielsen ) ^{[ 5 ]}จากโทโพโลยีเชิงพีชคณิตนั้นโดดเด่นเพราะให้วิธีการนับจุดตรึงในบางแง่

มี ทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาคหลายฉบับที่ ได้ขยายความไปในทิศทาง เดียวกัน และทฤษฎีบทเหล่านี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ใน ทฤษฎี สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยดู ทฤษฎีบทจุดตรึงใน ปริภูมิ อนันต์มิติ

ทฤษฎีคอลลาจในการ บีบ อัดแฟรกทัลพิสูจน์ว่าสำหรับภาพจำนวนมาก มีคำอธิบายฟังก์ชันที่ค่อนข้างเล็กซึ่งเมื่อนำไปใช้กับภาพเริ่มต้นใดๆ ซ้ำๆ จะลู่เข้าสู่ภาพที่ต้องการอย่างรวดเร็ว^{[ 6 ]}

ในพีชคณิตและคณิตศาสตร์เชิงดิสครีต

ทฤษฎีบทKnaster–Tarskiระบุว่าฟังก์ชันรักษาลำดับ ใดๆ บนแลตทิซที่สมบูรณ์จะมีจุดคงที่ และที่จริงแล้วมีจุดคงที่ที่เล็กที่สุด^{[ 7 ]}ดูทฤษฎีบท Bourbaki–Witt ด้วย

ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์ในการตีความเชิงนามธรรมซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของการวิเคราะห์โปรแกรมแบบสถิต

หัวข้อทั่วไปในแคลคูลัสแลมบ์ดาคือการหาจุดคงที่ของนิพจน์แลมบ์ดาที่กำหนด นิพจน์แลมบ์ดาทุกนิพจน์มีจุดคงที่ และตัวรวมจุดคงที่คือ "ฟังก์ชัน" ที่รับนิพจน์แลมบ์ดาเป็นอินพุตและสร้างจุดคงที่ของนิพจน์นั้นเป็นเอาต์พุต^{[ 8 ]}ตัวรวมจุดคงที่ที่สำคัญคือตัวรวม Yที่ใช้ในการให้คำจำกัดความ แบบ เรียกซ้ำ

ในความหมายเชิงสัญลักษณ์ของภาษาโปรแกรม ทฤษฎีบท Knaster–Tarski กรณีพิเศษถูกนำมาใช้เพื่อสร้างความหมายของนิยามแบบเรียกซ้ำ ในขณะที่ทฤษฎีบทจุดตรึงถูกนำมาใช้กับฟังก์ชัน "เดียวกัน" (จากมุมมองเชิงตรรกะ) แต่การพัฒนาทฤษฎีนั้นแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง

นิยามเดียวกันของฟังก์ชันเรียกซ้ำสามารถให้ได้ในทฤษฎีความสามารถในการคำนวณโดยการใช้ทฤษฎีบทการเรียกซ้ำของ Kleene ^{[ 9 ]}ผลลัพธ์เหล่านี้ไม่ใช่ทฤษฎีบทที่เทียบเท่ากัน ทฤษฎีบท Knaster–Tarski เป็นผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่าที่ใช้ในความหมายเชิงสัญลักษณ์มาก^{[ 10 ]}อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาจากวิทยานิพนธ์ Church–Turingความหมายเชิงสัญชาตญาณของพวกมันก็เหมือนกัน กล่าวคือ ฟังก์ชันเรียกซ้ำสามารถอธิบายได้ว่าเป็นจุดคงที่ที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันบางอย่าง ซึ่งแมปฟังก์ชันไปยังฟังก์ชัน

เทคนิคการวนซ้ำฟังก์ชันเพื่อหาจุดตรึงข้างต้น สามารถนำไปใช้ในทฤษฎีเซต ได้เช่นกัน บทพิสูจน์จุดตรึงสำหรับฟังก์ชันปกติระบุว่า ฟังก์ชันต่อเนื่องที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดจากลำดับหนึ่งไปยังลำดับอื่น ๆ จะมีจุดตรึงหนึ่งจุด (และหลายจุด)

ตัวดำเนินการปิดทุกตัวบนเซตลำดับบางส่วนจะมีจุดตรึงอยู่หลายจุด จุดเหล่านี้คือ "องค์ประกอบปิด" ที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการปิด และเป็นเหตุผลหลักที่ทำให้มีการกำหนดตัวดำเนินการปิดขึ้นมาตั้งแต่แรก

อินโวลูชันทุก ตัว บนเซตจำกัดที่มีจำนวนสมาชิกเป็นเลขคี่จะมีจุดตรึงอยู่หนึ่งจุด โดยทั่วไปแล้ว สำหรับอินโวลูชันทุกตัวบนเซตจำกัดของสมาชิก จำนวนสมาชิกและจำนวนจุดตรึงจะมีค่า เท่า กันDon Zagierใช้ข้อสังเกตเหล่านี้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Fermat เกี่ยวกับผลรวมของกำลังสองสองจำนวน ด้วยประโยคเดียว โดยอธิบายอินโวลูชันสองตัวบนเซตเดียวกันของสามจำนวนเต็ม ซึ่งตัวหนึ่งสามารถแสดงได้ง่ายว่ามีจุดตรึงเพียงจุดเดียว และอีกตัวหนึ่งมีจุดตรึงสำหรับแต่ละการแสดงแทนของจำนวนเฉพาะที่กำหนด (สอดคล้องกับ 1 mod 4) เป็นผลรวมของกำลังสองสองจำนวน เนื่องจากอินโวลูชันตัวแรกมีจำนวนจุดตรึงเป็นเลขคี่ ดังนั้นตัวที่สองก็มีจำนวนจุดตรึงเป็นเลขคี่เช่นกัน และด้วยเหตุนี้จึงมีการแสดงแทนในรูปแบบที่ต้องการอยู่เสมอ^{[ 11 ]}

รายชื่อทฤษฎีบทจุดตรึง

ทฤษฎีบทจุดตรึงของอาติยาห์-บอตต์
ทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาค
ทฤษฎีบทของเบกิช
ทฤษฎีบทจุดตรึงของโบเรล
ทฤษฎีบทบูร์บากิ-วิตต์
ทฤษฎีบทจุดตรึงของบราวเดอร์
ทฤษฎีบทจุดตรึงของบราวเวอร์
ทฤษฎีบทจุดตรึงของโรเธ
ทฤษฎีบทจุดตรึงของคาริสติ
ทฤษฎีบทแนวทแยงหรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทจุดตรึง สำหรับการสร้างประโยคอ้างอิงตนเองในตรรกะลำดับที่หนึ่ง
ทฤษฎีบทจุดตรึงของลอว์เวียร์
ทฤษฎีบทจุดตรึงแบบไม่ต่อเนื่อง
ทฤษฎีบทจุดตรึงของเอิร์ล-แฮมิลตัน
ตัวรวมจุดตรึงซึ่งแสดงให้เห็นว่าทุกเทอมในแคลคูลัสแลมบ์ดา แบบไม่ระบุประเภท มีจุดตรึง
ทฤษฎีบทจุดตรึงสำหรับฟังก์ชันปกติ
คุณสมบัติจุดคงที่
ทฤษฎีบทจุดตรึงในปริภูมิอนันต์มิติ
ปริภูมิเมตริกแบบฉีด
ทฤษฎีบทจุดตรึงของคากุทานิ
ทฤษฎีบทจุดตรึงของคลีน
ทฤษฎีบทคนาสเตอร์-ทาร์สกี
ทฤษฎีบทจุดตรึงของเลฟเชตซ์
ทฤษฎีบทจุดตรึงของนีลเซ่น
ทฤษฎีบทปวงกาเร-เบิร์คฮอฟฟ์พิสูจน์การมีอยู่ของจุดตรึงสองจุด
ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Ryll-Nardzewski
ทฤษฎีบทจุดตรึงของมาร์คอฟ-คาคูทานิ
ทฤษฎีบทจุดตรึงของชอเดอร์
ทฤษฎีระดับเชิงทอพอโลยี
ทฤษฎีบทจุดตรึงของไทโคนอฟฟ์

ดูเพิ่มเติม

สูตรติดตาม

เชิงอรรถ

^บราวน์, อาร์เอฟ, บรรณาธิการ (1988). ทฤษฎีจุดตรึงและการประยุกต์ใช้ . สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 0-8218-5080-6.
^ไจล์ส, จอห์น อาร์. (1987). บทนำสู่การวิเคราะห์ปริภูมิเมตริก . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-35928-3.
^ Eberhard Zeidler,การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันประยุกต์: หลักการสำคัญและการประยุกต์ใช้ , Springer, 1995.
^ Solomon Lefschetz (1937). "เกี่ยวกับสูตรจุดตรึง". Ann. of Math. 38 (4): 819– 822. doi : 10.2307/1968838 .
↑ เฟนเชล, แวร์เนอร์ ; นีลเซ่น, ยาคอบ (2003) ชมิดต์, แอสมุส แอล. (เอ็ด.) กลุ่มของไอโซเมตรีที่ไม่ต่อเนื่องกันในระนาบไฮเปอร์โบลิก เดอ กรอยเตอร์ ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 29. เบอร์ลิน: Walter de Gruyter & Co.
^บาร์นสลีย์, ไมเคิล. (1988). แฟรกทัลทุกหนทุกแห่ง . สำนักพิมพ์ Academic Press, Inc. ISBN 0-12-079062-9.
^ Alfred Tarski (1955). "ทฤษฎีบทจุดตรึงเชิงแลตติสและการประยุกต์ใช้" . Pacific Journal of Mathematics . 5:2 : 285– 309.
^ Peyton Jones, Simon L. (1987). การนำการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันไปใช้ . Prentice Hall International.
^ Cutland, NJ, Computability: An introduction to recursive function theory , Cambridge University Press, 1980. ISBN 0-521-29465-7
^พื้นฐานของการตรวจสอบโปรแกรมฉบับที่ 2 โดย Jacques Loeckx และ Kurt Sieber สำนักพิมพ์ John Wiley & Sons ISBN 0-471-91282-4บทที่ 4 ทฤษฎีบท 4.24 หน้า 83 เป็นสิ่งที่ใช้ในความหมายเชิงสัญลักษณ์ ในขณะที่ทฤษฎีบท Knaster–Tarski นั้นมีให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด 4.3–5 ในหน้า 90
^ Zagier, D. (1990), "การพิสูจน์ด้วยประโยคเดียวว่าจำนวนเฉพาะp ≡ 1 (mod 4) ทุกตัวเป็นผลรวมของกำลังสองสองจำนวน", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi : 10.2307/2323918 , MR 1041893 .

ลิงก์ภายนอก

วิธีจุดคงที่

[1] บราวน์, อาร์เอฟ, บรรณาธิการ (1988). ทฤษฎีจุดตรึงและการประยุกต์ใช้ . สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 0-8218-5080-6.

[2] ไจล์ส, จอห์น อาร์. (1987). บทนำสู่การวิเคราะห์ปริภูมิเมตริก . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-35928-3.

[3] Eberhard Zeidler,การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันประยุกต์: หลักการสำคัญและการประยุกต์ใช้ , Springer, 1995.

[4] Solomon Lefschetz (1937). "เกี่ยวกับสูตรจุดตรึง". Ann. of Math. 38 (4): 819– 822. doi : 10.2307/1968838 .

[5] เฟนเชล, แวร์เนอร์ ; นีลเซ่น, ยาคอบ (2003) ชมิดต์, แอสมุส แอล. (เอ็ด.) กลุ่มของไอโซเมตรีที่ไม่ต่อเนื่องกันในระนาบไฮเปอร์โบลิก เดอ กรอยเตอร์ ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 29. เบอร์ลิน: Walter de Gruyter & Co.

[6] บาร์นสลีย์, ไมเคิล. (1988). แฟรกทัลทุกหนทุกแห่ง . สำนักพิมพ์ Academic Press, Inc. ISBN 0-12-079062-9.

[7] Alfred Tarski (1955). "ทฤษฎีบทจุดตรึงเชิงแลตติสและการประยุกต์ใช้" . Pacific Journal of Mathematics . 5:2 : 285– 309.

[8] Peyton Jones, Simon L. (1987). การนำการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันไปใช้ . Prentice Hall International.

[9] Cutland, NJ, Computability: An introduction to recursive function theory , Cambridge University Press, 1980. ISBN 0-521-29465-7

[10] พื้นฐานของการตรวจสอบโปรแกรมฉบับที่ 2 โดย Jacques Loeckx และ Kurt Sieber สำนักพิมพ์ John Wiley & Sons ISBN 0-471-91282-4บทที่ 4 ทฤษฎีบท 4.24 หน้า 83 เป็นสิ่งที่ใช้ในความหมายเชิงสัญลักษณ์ ในขณะที่ทฤษฎีบท Knaster–Tarski นั้นมีให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด 4.3–5 ในหน้า 90

[11] Zagier, D. (1990), "การพิสูจน์ด้วยประโยคเดียวว่าจำนวนเฉพาะp ≡ 1 (mod 4) ทุกตัวเป็นผลรวมของกำลังสองสองจำนวน", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi : 10.2307/2323918 , MR 1041893 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]