ในกลศาสตร์ควอนตัมสถานะฟ็อคหรือสถานะเชิงจำนวนคือสถานะควอนตัมที่เป็นองค์ประกอบของปริภูมิฟ็อคโดยมีจำนวนอนุภาค (หรือควอนตัม ) ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน สถานะเหล่านี้ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวโซเวียตวลาดิมีร์ ฟ็อคสถานะฟ็อคมีบทบาทสำคัญใน การกำหนด สูตรควอนตัมแบบที่สองของกลศาสตร์ควอนตัม

การแสดงอนุภาคได้รับการกล่าวถึงโดยละเอียดเป็นครั้งแรกโดยPaul DiracสำหรับโบซอนและโดยPascual JordanและEugene Wignerสำหรับเฟอร์มิออน [ ^{1 ] : 35} สถานะ Fock ของโบซอนและเฟอร์มิออนเป็นไปตามความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์เกี่ยวกับตัวดำเนินการสร้างและทำลาย พื้นที่ Fock

เราสามารถระบุสถานะหลายอนุภาคของ อนุภาคที่เหมือนกัน Nตัวที่ไม่ปฏิสัมพันธ์กันได้ โดยการเขียนสถานะนั้นเป็นผลรวมของผลคูณเทนเซอร์ของ สถานะอนุภาคเดี่ยว Nสถานะ นอกจากนี้ ขึ้นอยู่กับความเป็นจำนวนเต็มของสปิน ของอนุภาค ผลคูณเทนเซอร์จะต้องเป็น ผล คูณแบบสลับ (สมมาตรผกผัน) หรือสมมาตร ของ ปริภูมิฮิลเบิร์ตอนุภาคเดี่ยวพื้นฐานโดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• เฟอร์มิออนซึ่งมี สปิน ครึ่งจำนวนเต็มและเป็นไปตามหลักการกีดกันของเปาลีสอดคล้องกับผลคูณเทนเซอร์แบบปฏิสมมาตร
• อนุภาคโบซอนที่มีสปินเป็นจำนวนเต็ม (และไม่ถูกควบคุมโดยหลักการกีดกัน) สอดคล้องกับผลคูณเทนเซอร์สมมาตร

ถ้าจำนวนอนุภาคเปลี่ยนแปลงได้ เราสร้างปริภูมิฟ็อค (Fock space)โดยใช้ผลรวมโดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert space) ที่เป็นผลคูณเทนเซอร์สำหรับแต่ละจำนวนอนุภาคในปริภูมิฟ็อค เราสามารถระบุสถานะเดียวกันได้ในสัญลักษณ์ใหม่ที่เรียกว่า สัญลักษณ์จำนวนการครอบครอง (occupancy number notation) โดยการระบุจำนวนอนุภาคในแต่ละสถานะหนึ่งอนุภาคที่เป็นไปได้

ให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของสถานะในปริภูมิฮิลเบิร์ตหนึ่งอนุภาคพื้นฐาน ซึ่งจะเหนี่ยวนำให้เกิดฐานที่สอดคล้องกันของปริภูมิฟ็อค เรียกว่า "ฐานจำนวนการครอบครอง" สถานะควอนตัมในปริภูมิฟ็อคเรียกว่าสถานะฟ็อคถ้ามันเป็นองค์ประกอบของฐานจำนวนการครอบครอง ${\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$

สถานะฟ็อค (Fock state) เป็นไปตามเกณฑ์สำคัญประการหนึ่ง คือ สำหรับแต่ละiสถานะดังกล่าวเป็นสถานะเฉพาะ (eigenstate) ของตัวดำเนินการจำนวนอนุภาค ที่สอดคล้องกับสถานะพื้นฐาน ที่ i คือ k _{i ค่าเฉพาะ} (eigenvalue)ที่สอดคล้องกันจะให้จำนวนอนุภาคในสถานะนั้น เกณฑ์นี้เกือบจะกำหนดสถานะฟ็อคได้ (นอกจากนี้ยังต้องเลือกตัวประกอบเฟส อีกด้วย ) ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} __{i}}}}}$

สถานะฟ็อคที่กำหนดจะถูกแทนด้วยในนิพจน์นี้แทนจำนวนอนุภาคในสถานะที่ i k _iและตัวดำเนินการจำนวนอนุภาคสำหรับสถานะที่ i จะกระทำต่อสถานะฟ็อคในลักษณะดังต่อไปนี้: ${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} __{1}},n_{{\mathbf {k} __{2}},..n_{{\mathbf {k} __{i}}...\rangle }$${\displaystyle n_{{\mathbf {k} __{i}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} __{i}}}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} __{i}}}}|n_{{\mathbf {k} __{1}},n_{{\mathbf {k} _{2}},..n_{{\mathbf {k} __{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} __{i}}|n_{{\mathbf {k} __{1}},n_{{\mathbf {k} __{2}},..n_{{\mathbf {k} __{i}}...\rangle }$

ดังนั้นสถานะ Fock จึงเป็นสถานะเฉพาะของตัวดำเนินการจำนวนที่มีค่าเฉพาะ[ ^{2 ] : 478} ${\displaystyle n_{{\mathbf {k} __{i}}}$

สถานะฟ็อค (Fock states) มักเป็น ฐานที่สะดวกที่สุดของปริภูมิฟ็อค (Fock space) องค์ประกอบของปริภูมิฟ็อคที่เป็นผลรวมของสถานะที่มีจำนวนอนุภาค ต่างกัน (และดังนั้นจึงไม่ใช่สถานะเฉพาะของตัวดำเนินการจำนวน) ไม่ใช่สถานะฟ็อค ด้วยเหตุนี้ องค์ประกอบทั้งหมดของปริภูมิฟ็อคจึงไม่ได้ถูกเรียกว่า "สถานะฟ็อค" เสมอไป

ถ้าเรากำหนดตัวดำเนินการจำนวนอนุภาครวมดังนี้ ${\textstyle {\widehat {N}}}$

${\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} __{i}}}},}$

นิยามของสถานะฟ็อค (Fock state) รับประกันว่าค่าความแปรปรวนของการวัด กล่าวคือ การวัดจำนวนอนุภาคในสถานะฟ็อค จะให้ค่าที่แน่นอนเสมอโดยไม่มีความผันผวน ${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}$

สำหรับสถานะสุดท้ายใดๆสถานะ Fock ใดๆ ของอนุภาคที่เหมือนกันสองตัวที่กำหนดโดยและตัวดำเนินการ ใดๆ เรามีเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับความไม่สามารถแยกแยะได้ : ^{[ 3 ] : 191} ${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle }$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}}$.

ดังนั้น เราจึงต้องมี${\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$

โดยที่สำหรับโบซอนและสำหรับเฟอร์มิออนเนื่องจากและเป็นค่าใดๆ ก็ได้ เราจึงสามารถกล่าวได้ว่า ${\displaystyle e^{i\เดลต้า }=+1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \langle f|}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$สำหรับโบซอนและ

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$สำหรับเฟอร์มิออน^{[ 3 ] : 191}

โปรดทราบว่าตัวดำเนินการนับจำนวนไม่ได้แยกแยะระหว่างโบซอนกับเฟอร์มิออน อันที่จริง มันเพียงแค่นับอนุภาคโดยไม่คำนึงถึงประเภทสมมาตรของพวกมัน หากต้องการรับรู้ความแตกต่างระหว่างพวกมัน เราจำเป็นต้องใช้ตัวดำเนินการอื่น ๆ นั่นคือตัวดำเนินการสร้างและตัวดำเนินการทำลาย

โบซอนซึ่งเป็นอนุภาคที่มีสปินจำนวนเต็ม ปฏิบัติตามกฎง่ายๆ คือ สถานะไอเกนประกอบของพวกมันมีความสมมาตร^{[ 4 ]}ภายใต้การดำเนินการโดยตัวดำเนินการแลกเปลี่ยนตัวอย่างเช่น ในระบบสองอนุภาคในการแสดงผลคูณเทนเซอร์ เรามี ${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$

เราควรจะสามารถแสดงคุณสมบัติสมมาตรเดียวกันในการแสดงพื้นที่ Fock ใหม่นี้ได้ สำหรับสิ่งนี้ เราขอแนะนำตัวดำเนินการสร้างและทำลายโบซอนิกที่ไม่ใช่เฮอร์มิเชียน^[ 4 ] ^{ซึ่งแสดง}ด้วยและตามลำดับ การกระทำของตัวดำเนินการเหล่านี้บนสถานะ Fock จะแสดงด้วยสมการสองสมการต่อไปนี้: ${\displaystyle b^{\dagger }}$${\displaystyle b}$

• ผู้ดำเนินการสร้าง: ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^{[ 4 ]}

• ผู้ดำเนินการทำลายล้าง: ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$^{[ 4 ]}

ตัวดำเนินการสร้างและทำลายสถานะ Fock ของโบซอนิกไม่ใช่ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน^{[ 4 ]}

ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งของตัวดำเนินการสร้างและทำลายในระบบโบซอนิกคือ

${\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}$^{[ 4 ]}

ตัวสลับสัญญาณอยู่ที่ไหนและเดลต้าโครเนกเกอร์อยู่ ที่ไหน${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

จำนวนอนุภาค (N)	สถานะฐานโบโซนิก[ 6 ] : 11
0	${\displaystyle |0,0,0...\rangle }$
1	${\displaystyle |1,0,0...\rangle }$, , ,... ${\displaystyle |0,1,0...\rangle }$${\displaystyle |0,0,1...\rangle }$
2	${\displaystyle |2,0,0...\rangle }$, , ,... ${\displaystyle |1,1,0...\rangle }$${\displaystyle |0,2,0...\rangle }$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

ตัวดำเนินการจำนวนสำหรับระบบโบซอนิกจะได้รับจาก โดยที่^{[ 4 ]}${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$

ตัวดำเนินการตัวเลขเป็นตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน

ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งของตัวดำเนินการสร้างและทำลายทำให้มั่นใจได้ว่าสถานะ Fock ของโบซอนิกมีพฤติกรรมสมมาตรที่เหมาะสมภายใต้การแลกเปลี่ยนอนุภาค ในที่นี้ การแลกเปลี่ยนอนุภาคระหว่างสองสถานะ (เช่นlและm ) ทำได้โดยการทำลายอนุภาคในสถานะlและสร้างอนุภาคในสถานะmหากเราเริ่มต้นด้วยสถานะ Fock และต้องการย้ายอนุภาคจากสถานะ l ไปยังสถานะ m เราจะดำเนินการกับสถานะ Fock ด้วยวิธีต่อไปนี้: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$${\displaystyle k_{l}}$${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}}$

โดยใช้ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งที่เรามีอยู่${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle &=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle \end{aligned}}}$

ดังนั้น สถานะ Bosonic Fock จึงมีพฤติกรรมสมมาตรภายใต้การดำเนินการโดยตัวดำเนินการแลกเปลี่ยน (Exchange operator)

• 
  ฟังก์ชันวิกเนอร์ของ${\displaystyle |0\rangle }$
• 
  ฟังก์ชันวิกเนอร์ของ${\displaystyle |1\rangle }$
• 
  ฟังก์ชันวิกเนอร์ของ${\displaystyle |2\rangle }$
• 
  ฟังก์ชันวิกเนอร์ของ${\displaystyle |3\rangle }$
• 
  ฟังก์ชันวิกเนอร์ของ${\displaystyle |4\rangle }$

ในการแสดงจำนวนการครอบครอง สถานะพื้นฐานของอนุภาคเดี่ยวจะถูกเขียนด้วยจำนวนการครอบครองของแต่ละออร์บิทัล สำหรับสถานะเฟอร์มิออน จำนวนการครอบครองสามารถเป็นได้เพียงศูนย์หรือหนึ่งเท่านั้น และลำดับของออร์บิทัลมีความสำคัญ^{[ 6 ] : 10}

จำนวนอนุภาค (N)	สถานะพื้นฐานเฟอร์มิออนิก[ 6 ] : 11 ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle }$
0	${\displaystyle |0,0,0...\rangle }$
1	${\displaystyle |1,0,0...\rangle }$, , ,... ${\displaystyle |0,1,0...\rangle }$${\displaystyle |0,0,1...\rangle }$
2	${\displaystyle |1,1,0...\rangle }$...​​​ ${\displaystyle |0,1,1...\rangle }$${\displaystyle |0,1,0,1...\rangle }$${\displaystyle |1,0,1,0...\rangle }$
...	...

เพื่อรักษาพฤติกรรมแบบแอนตี้สมมาตรของเฟอร์มิออน ตัวดำเนินการสร้างและทำลายเฟอร์มิออนที่ไม่ใช่เฮอร์มิเชียนจะถูกกำหนดสำหรับสถานะเฟอร์มิออนิกฟ็อคดังนี้: ^{[ 4 ]}${\displaystyle |\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

• ตัวดำเนินการสร้างจะทำงานบนสถานะพื้นฐานดังนี้: ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^{[ 4 ]}

• ตัวดำเนินการทำลายล้างทำหน้าที่ดังนี้: ${\textstyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$

ความสัมพันธ์แบบแอนติคอมมิวเทชันของตัวดำเนินการสร้างและทำลายในระบบเฟอร์มิออนมีดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\dagger }\right\}\equiv c_{i}^{\,}c_{j}^{\dagger }+c_{j}^{\dagger }c_{i}^{\,}&=\delta _{ij},\\\left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\,}\right\}&=0,\end{aligned}}}$^{[ 4 ]}

โดยที่คือตัวผกผันการสลับตำแหน่งและคือเดลต้าโครเนกเกอร์ความสัมพันธ์การผกผันการสลับตำแหน่งเหล่านี้สามารถใช้เพื่อแสดงพฤติกรรมแบบผกผันสมมาตรของสถานะเฟอร์มิออนิกฟ็อคได้ ${\displaystyle {\{\ ,\ \}}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

ตัวดำเนินการจำนวนสำหรับเฟอร์มิออนกำหนดโดย. ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$^{[ 4 ]}

การกระทำของตัวดำเนินการจำนวน รวมถึงตัวดำเนินการสร้างและทำลาย อาจดูเหมือนกับของโบซอนิก แต่จุดพลิกผันที่แท้จริงมาจากการกำหนดจำนวนการครอบครองสูงสุดของแต่ละสถานะในสถานะฟ็อคของเฟอร์มิออนิก การขยายตัวอย่างเฟอร์มิออนิก 2 อนุภาคข้างต้น เราต้องแน่ใจก่อนว่าสถานะฟ็อคของเฟอร์มิออนิกได้มาจากการใช้ผลรวมของตัวดำเนินการเรียงสับเปลี่ยนกับผลคูณเทนเซอร์ของไอเกนเกตดังต่อไปนี้: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle =S_{-}\left|i_{1},i_{2},i_{3}...i_{l}...\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\left|i_{1}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{1}\right\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left|i_{N}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{N}\right\rangle _{N}\end{vmatrix}}}$^{[ 7 ] : 16}

ดีเทอร์มิแนนต์นี้เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์สเลเตอร์ (Slater determinant ) ถ้าสถานะของอนุภาคเดี่ยวใดๆ เหมือนกัน แถวสองแถวของดีเทอร์มิแนนต์สเลเตอร์จะเหมือนกัน ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นศูนย์ ดังนั้นเฟอร์มิออน ที่เหมือนกันสองตัว จะต้องไม่ครอบครองสถานะเดียวกัน (ซึ่งเป็นข้อความของหลักการกีดกันของเปาลี ) ดังนั้น จำนวนการครอบครองของสถานะเดี่ยวใดๆ จึงเป็น 0 หรือ 1 เท่านั้น ค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับสถานะฟ็อคของเฟอร์มิออนจะต้องเป็น 0 หรือ 1 เท่านั้น ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$

พฤติกรรมแบบแอนติสมมาตรของสถานะเฟอร์มิออนิกภายใต้ตัวดำเนินการแลกเปลี่ยนนั้นได้รับการจัดการโดยความสัมพันธ์แบบแอนติคอมมิวเทชัน ในที่นี้ การแลกเปลี่ยนอนุภาคระหว่างสองสถานะทำได้โดยการทำลายอนุภาคหนึ่งในสถานะหนึ่งและสร้างอนุภาคหนึ่งในอีกสถานะหนึ่ง หากเราเริ่มต้นด้วยสถานะฟ็อคและต้องการย้ายอนุภาคจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง เราจะดำเนินการกับสถานะฟ็อคด้วยวิธีต่อไปนี้: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$${\displaystyle k_{l}}$${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}}$

โดยใช้ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบผกผัน เราจะได้

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}=-c_{\mathbf {k} _{l}}.c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle }$

แต่, $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}}$$

ดังนั้น สถานะ Fock ของเฟอร์มิออนจึงมีสมมาตรแบบปฏิสมมาตรภายใต้การดำเนินการโดยตัวดำเนินการแลกเปลี่ยนอนุภาค

ในทฤษฎีควอนตัมแบบที่สอง ฟังก์ชัน ความหนาแน่นของแฮมิลโท เนียน กำหนดโดย

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^{[ 3 ] : 189}

แฮมิลโทเนียนทั้งหมดกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

ในทฤษฎี Schrödinger อิสระ^{[ 3 ] : 189}

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

และ

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

และ

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$,

ตัวดำเนินการทำลายล้างอยู่ ที่ไหน${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

เฉพาะอนุภาคที่ไม่เกิดปฏิกิริยาต่อกันเท่านั้นที่การสลับตำแหน่งจะเกิดขึ้นได้ โดยทั่วไปแล้วการสลับตำแหน่งจะไม่เกิดขึ้น สำหรับอนุภาคที่ไม่เกิดปฏิกิริยาต่อกัน ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

หากไม่สลับที่กันได้ แฮมิลโทเนียนก็จะไม่เป็นไปตามนิพจน์ข้างต้น ดังนั้นโดยทั่วไปแล้ว สถานะฟ็อคจึงไม่ใช่สถานะพลังงานของระบบ

สถานะสุญญากาศหรือสถานะพลังงานต่ำที่สุดจะเป็นศูนย์ในสถานะนี้: ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\dagger }}$

${\displaystyle \langle 0|a|0\rangle =\langle 0|a^{\dagger }|0\rangle =0}$

สนามไฟฟ้า สนามแม่เหล็ก และศักย์เวกเตอร์มีการขยายโหมดในรูปแบบทั่วไปเดียวกัน:

${\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t}+\varepsilon a^{\dagger }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t}}$

ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการสนามเหล่านี้จะหายไปในสถานะสุญญากาศ:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

อย่างไรก็ตาม ค่าคาดหวังของกำลังสองของตัวดำเนินการสนามเหล่านี้ไม่ใช่ศูนย์: มีความผันผวนของสนามในสถานะสุญญากาศความผันผวนของสุญญากาศ เหล่านี้ เป็นสาเหตุของปรากฏการณ์ที่น่าสนใจมากมาย รวมถึงการเลื่อนแลมบ์ในทัศนศาสตร์ควอนตัม

ในฟิลด์แบบหลายโหมด ตัวดำเนินการสร้างและทำลายแต่ละตัวจะทำงานบนโหมดของตัวเอง ดังนั้นและจะทำงานเฉพาะบน เท่านั้นเนื่องจากตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับโหมดต่างๆ ทำงานในปริภูมิย่อยที่แตกต่างกันของปริภูมิฮิลเบิร์ต ฟิลด์ทั้งหมดจึงเป็นผลคูณโดยตรงของเหนือทุกโหมด: ${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}$${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}$${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }$${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

ตัวดำเนินการสร้างและทำลายจะทำงานกับสถานะหลายโหมดโดยการเพิ่มหรือลดสถานะตัวเลขของโหมดของตนเองเท่านั้น:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}}$

นอกจากนี้ เรายังกำหนดตัวดำเนินการจำนวน รวม สำหรับฟิลด์ ซึ่งเป็นผลรวมของตัวดำเนินการจำนวนในแต่ละโหมด:

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}}$

สถานะฟ็อคแบบหลายโหมดเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการจำนวนรวม ซึ่งค่าลักษณะเฉพาะคือจำนวนการครอบครองรวมของทุกโหมด

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle }$

ในกรณีของอนุภาคที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์กัน ตัวดำเนินการจำนวนและแฮมิลโทเนียนจะสลับที่กันได้ ดังนั้นสถานะฟ็อคแบบหลายโหมดจึงกลายเป็นสถานะเฉพาะของแฮมิลโทเนียนแบบหลายโหมด

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

โดยทั่วไปแล้ว โฟตอนเดี่ยวจะถูกสร้างขึ้นโดยใช้ตัวปล่อยเดี่ยว (อะตอม ไอออน โมเลกุลศูนย์ไนโตรเจน-วาแคนซี [ ^{8 ] จุด}ควอนตัม^{[ 9 ]} ) อย่างไรก็ตาม แหล่งกำเนิดเหล่านี้ไม่ได้มีประสิทธิภาพมากนักเสมอไป มักมีความน่าจะเป็นต่ำที่จะได้รับโฟตอน เดี่ยว ตามต้องการ และมักมีความซับซ้อนและไม่เหมาะสมที่จะใช้งานนอกสภาพแวดล้อมของห้องปฏิบัติการ

แหล่งกำเนิดอื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไปสามารถแก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้ แต่ต้องแลกมาด้วยพฤติกรรมที่ไม่แน่นอน แหล่งกำเนิดโฟตอนเดี่ยวแบบมีสัญญาณบ่งชี้ คือแหล่งกำเนิดโฟตอนสองตัวแบบความน่าจะเป็น ซึ่งคู่โฟตอนจะถูกแยกออก และการตรวจพบโฟตอนหนึ่งตัวจะบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของโฟตอนที่เหลือ แหล่งกำเนิดเหล่านี้มักอาศัยคุณสมบัติทางแสงที่ไม่เป็นเชิงเส้นทางของวัสดุบางชนิด เช่นลิเธียมไนโอเบต ที่มีการจัดเรียงขั้วเป็นระยะ ( การแปลงพารามิเตอร์แบบเกิดขึ้นเอง ) หรือซิลิคอน ( การผสมคลื่นสี่คลื่น แบบเกิดขึ้นเอง ) เป็นต้น

การแทนแบบ P ของ Glauber–Sudarshanสำหรับสถานะ Fock แสดงให้เห็นว่าสถานะเหล่านี้เป็นกลศาสตร์ควอนตัมล้วนๆ และไม่มีคู่เทียบแบบคลาสสิก ค่าของสถานะเหล่านี้ในการแทนนั้นคืออนุพันธ์อันดับที่ ' ของฟังก์ชันเดลต้าของ Diracดังนั้นจึงไม่ใช่การกระจายความน่าจะเป็น แบบคลาสสิ ก ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}$${\displaystyle 2n}$

• สถานะที่สอดคล้องกัน
• ขีดจำกัดของไฮเซนเบิร์ก
• แสงที่ไม่ใช่แบบคลาสสิก

• วลาดาน วูเลติช จากMITได้ใช้กลุ่มอะตอมเพื่อสร้างแหล่งกำเนิดสถานะฟ็อค (หรือที่รู้จักกันในชื่อโฟตอนเดี่ยว) ( เก็บถาวรเมื่อ 15 มิถุนายน 2023 ที่Wayback Machine (PDF))
• สร้างและวัดสถานะโฟตอนเดี่ยว (สถานะฟ็อค) ด้วยการทดลองเชิงโต้ตอบQuantumLab