หมายเลขฟรีดแมน

Q: ฐานทัพอื่นๆ

นอกจากนี้ ยังมีจำนวนฟรีดแมนสำหรับฐานอื่นๆ นอกเหนือจากฐาน 10 ด้วย ตัวอย่างเช่น 11001 = 25 เป็นจำนวนฟรีดแมนใน ระบบเลขฐานสอง เนื่องจาก 11001 = 101 10

จำนวนฟรีดแมน (Friedman number)คือจำนวนเต็มที่แสดงในระบบตัวเลข ที่กำหนด ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของนิพจน์ที่ไม่ใช่นิพจน์พื้นฐาน โดยใช้ตัวเลข ทั้งหมดของจำนวนนั้นเอง ร่วมกับตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ พื้นฐานสี่อย่าง (+, −, ×, ÷) ตัวผกผันการบวกวงเล็บการยกกำลังและการต่อตัวเลขในที่นี้ คำว่าไม่ใช่นิพจน์พื้นฐาน หมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งการดำเนินการนอกเหนือจากการต่อตัวเลขถูกนำมาใช้ ไม่สามารถใช้เลขศูนย์นำหน้าได้ เนื่องจากจะทำให้ได้จำนวนฟรีดแมนพื้นฐานเช่นกัน เช่น 024 = 20 + 4 ตัวอย่างเช่น 347 เป็นจำนวนฟรีดแมนในระบบตัวเลขทศนิยมเนื่องจาก 347 = 7³ ⁺ 4 จำนวนฟรีดแมนในระบบตัวเลขทศนิยมมีดังนี้:

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, ... ( ลำดับA036057ในOEIS )

จำนวนฟรีดแมนตั้งชื่อตาม เอริช ฟรีดแมน ศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่เกษียณอายุแล้วจากมหาวิทยาลัยสเต็ตสันและผู้ชื่นชอบคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง

จำนวนเฉพาะฟรีดแมนคือ จำนวนฟรีดแมนที่เป็นจำนวนเฉพาะ ด้วย จำนวนเฉพาะฟรีดแมนในระบบเลขฐานสิบ ได้แก่:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, ... ( ลำดับA112419ในOEIS )

ผลลัพธ์ในฐาน 10

สูตรคำนวณของตัวเลขฟรีดแมนตัวแรกๆ มีดังนี้:

ตัวเลข	การแสดงออก	ตัวเลข	การแสดงออก	ตัวเลข	การแสดงออก	ตัวเลข	การแสดงออก
25	5 ²	127	2 ⁷ −1	289	(8+9) ²	688	8×86
121	11 ²	128	2 ⁽⁸⁻¹⁾	343	(3+4) ³	736	3 ⁶ +7
125	5 ⁽¹⁺²⁾	153	3×51	347	7 ³ +4	1022	2 ¹⁰ −2
126	6×21	216	6 ⁽²⁺¹⁾	625	5 ⁽⁶⁻²⁾	1024	(4−2) ¹⁰

จำนวน ฟรีดแมน ที่ดีคือจำนวนฟรีดแมนที่ตัวเลขในนิพจน์สามารถเรียงลำดับได้เหมือนกับตัวเลขในตัวเลขนั้นเอง ตัวอย่างเช่น เราสามารถเรียง 127 = 2 ⁷ − 1 เป็น 127 = −1 + 2 ⁷จำนวนฟรีดแมนที่ดีชุดแรก ได้แก่:

127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739 ( ลำดับA080035ในOEIS )

จำนวน เฉพาะฟรีดแมน ที่ดีคือ จำนวนฟรีดแมน ที่ดีที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วย จำนวนเฉพาะฟรีดแมนที่ดีกลุ่มแรกได้แก่:

127, 15667, 16447, 19739, 28559, 32771, 39343, 46633, 46663, 117619, 117643, 117763, 125003, 131071, 137791, 147419, 156253, 156257, 156259, 229373, 248839, 262139, 262147, 279967, 294829, 295247, 326617, 466553, 466561, 466567, 585643, 592763 649529, 728993, 759359, 786433, 937577 ( ลำดับA252483ในOEIS )

Michael Brand พิสูจน์ว่าความหนาแน่นของจำนวน Friedman ในหมู่จำนวนธรรมชาติคือ 1 ^{[ 1 ]}ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของจำนวนที่เลือกแบบสุ่มและสม่ำเสมอระหว่าง 1 ถึงnที่จะเป็นจำนวน Friedman มีแนวโน้มเข้าใกล้ 1 เมื่อnมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ ผลลัพธ์นี้ขยายไปถึงจำนวน Friedman ภายใต้ฐานการแสดงแทนใดๆ เขายังพิสูจน์ว่าสิ่งเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับจำนวน Friedman ที่ดีในระบบเลขฐานสอง เลขฐานสาม และเลขฐานสี่ด้วย^{[ 2 ]}กรณีของจำนวน Friedman ที่ดีในระบบเลขฐานสิบยังคงเปิดอยู่

จำนวนแวมไพร์เป็นกลุ่มย่อยของจำนวนฟรีดแมน โดยการดำเนินการเพียงอย่างเดียวคือการคูณจำนวนสองจำนวนที่มีจำนวนหลักเท่ากัน ตัวอย่างเช่น 1260 = 21 × 60

การค้นหาเลขฟรีดแมน 2 หลัก

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนฟรีดแมน 2 หลักจะมีน้อยกว่าจำนวนฟรีดแมน 3 หลัก และจะมีมากกว่าในฐานใดๆ ก็ตาม แต่จำนวนฟรีดแมน 2 หลักนั้นหาได้ง่ายกว่า หากเราแทนจำนวน 2 หลักด้วยmb + nโดยที่bคือฐาน และm , nเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึงb − 1 เราเพียงแค่ต้องตรวจสอบการรวมกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของmและnกับสมการmb + n = m ⁿและmb + n = n ^mเพื่อดูว่าสมการใดเป็นจริง เราไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับm + nหรือm × nเนื่องจากค่าเหล่านี้จะน้อยกว่าmb + n เสมอ เมื่อn < bและเช่นเดียวกันนี้ก็ใช้ได้กับm − nและm / nด้วย

ฐานทัพอื่นๆ

นอกจากนี้ ยังมีจำนวนฟรีดแมนสำหรับฐานอื่นๆ นอกเหนือจากฐาน 10 ด้วย ตัวอย่างเช่น 11001 = 25 เป็นจำนวนฟรีดแมนในระบบเลขฐานสองเนื่องจาก 11001 = 101 ¹⁰

ตัวเลข Friedman ที่รู้จักไม่กี่ตัวแรกในฐานเล็กอื่นๆ แสดงไว้ด้านล่าง เขียนด้วยฐานที่เกี่ยวข้อง ตัวเลขที่แสดงเป็นตัวหนาคือตัวเลข Friedman ที่ดี^{[ 3 ]}

ฐาน	ตัวเลขของฟรีดแมน
2	11001, 11011 , 111111 , 1001111, 1010001, ...
3	121, 221, 1022, 1122, 1211, ...
4	121, 123 , 1203, 1230, 1321, ...
5	121, 224 , 1232, 1241, 1242 , ...
6	24 , 52, 121, 124, 133, ...
7	121, 143, 144 , 264, 514, ...
8	33 , 121, 125, 143, 251, ...
9	121, 134, 314 , 628, 1304, ...
11	121, 2A9, 603, 1163, 1533, ...
12	121, 127, 135, 144, 163, ...
13	121, 237, 24A, 1245, 1246, ...
14	121, 128, 135 , 144 , 173, ...
15	26, 121, 136, 154, 336 , ...
16	121, 129, 145, 183, 27D, ...

ผลลัพธ์โดยทั่วไป

ในฐาน $b=mk-m$ ,

b^{2}+mb+k=(mk-m+m)b+k=mbk+k=k(mb+1)

เป็นเลขฟรีดแมน (เขียนในรูปแบบฐาน) $b$ เนื่องจาก 1 mk = k × m 1) ^{[ 4 ]}

ในฐาน $b>2$ ,

{(b^{n}+1)}^{2}=b^{2n}+2{b^{n}}+1

เป็นเลขฟรีดแมน (เขียนในรูปแบบฐาน) $b$ เช่น 100...00200...001 = 100..001 ²โดยที่ $n-1$ ศูนย์ระหว่างตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละตัว) ^{[ 4 ]}

ในฐาน $b={\frac {k(k-1)}{2}}$ ,

2b+k=2\left({\frac {k(k-1)}{2}}\right)+k=k^{2}-k+k=k^{2}

เป็นเลขฟรีดแมน (เขียนในรูปแบบฐาน) $b$ เนื่องจาก 2k = k2 ) ^จากการสังเกตว่าจำนวนทั้งหมดในรูปแบบ 2k × b2n ^{สามารถ}เขียนได้เป็นk000 ...0002 ^โดยมี 0 อยู่ n ตัว เรา ^จึงสามารถหาลำดับของจำนวนฟรีดแมนที่ต่อเนื่องกันซึ่งมีความยาวเท่าใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับ $k=5$ หรือในฐาน 10 250068 = 500 ² + 68 ซึ่งเราสามารถอนุมานช่วงของจำนวนฟรีดแมนที่ต่อเนื่องกันจาก 250000 ถึง 250099 ในฐาน 10ได้ อย่างง่ายดาย ^{[ 4 ]}

ตัวเลขฟรีดแมนแบบ Repdigit :

จำนวนซ้ำที่เล็กที่สุดในฐานใดๆ ที่เป็นจำนวนฟรีดแมน นั้นพบได้ในฐาน 8และคือ 3³ = ^3³
ตัวเลขซ้ำที่เล็กที่สุดในฐาน 10ที่ทราบว่าเป็นจำนวนฟรีดแมนคือ 99999999 = (9 + 9/9) ^9−9/9 − 9/9 จำนวนฟรีดแมนฐาน 10 ทั้งหมดที่มี 7 หลักหรือน้อยกว่าได้รับการคำนวณแล้ว^{[ 4 ]}
ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าตัวเลขซ้ำที่มีอย่างน้อย 22 หลักถือเป็นตัวเลขฟรีดแมนที่ดี^{[ 4 ]}

มีจำนวนเฉพาะฟรีดแมนเป็นอนันต์ในทุกฐาน เนื่องจากสำหรับฐาน $2\leq b\leq 6$ ตัวเลข

n\times 10^{1111}+11111111=n\times 10^{1111}+10^{1000}-1+0+0

ในฐาน 2

n\times 10^{102}+1101221=n\times 10^{102}+2^{101}+0+0

ในฐาน 3

n\times 10^{20}+310233=n\times 10^{20}+33^{3}+0

ในฐาน 4

n\times 10^{13}+2443111=n\times 10^{4+4}+(2\times 3)^{11}

ในฐาน 5

n\times 10^{13}+25352411=n\times 10^{2\times 5-1}+(5+2)^{(3+4)}

ในฐาน 6

สำหรับฐาน $7\leq b\leq 10$ ตัวเลข

n\times 10^{60}+164351=n\times 10^{60}+(10+4-3)^{5}+0+0+\ldots

ในระบบฐาน 7

n\times 10^{60}+163251=n\times 10^{60}+(10+3-2)^{5}+0+0+\ldots

ในระบบฐาน 8

n\times 10^{60}+162151=n\times 10^{60}+(10+2-1)^{5}+0+0+\ldots

ในระบบฐาน 9

n\times 10^{60}+161051=n\times 10^{60}+(10+1-0)^{5}+0+0+\ldots

ในระบบฐาน 10

และสำหรับฐาน $b>10$

n\times 10^{50}+{\text{15AA51}}=n\times 10^{50}+(10+{\text{A}}/{\text{A}})^{5}+0+0+\ldots

ตัวเลขของฟรีดแมนใช้ได้กับทุกอย่าง $n$ ตัวเลขในรูปแบบนี้เป็นลำดับเลขคณิต $pn+q$ , ที่ไหน $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์โดยไม่คำนึงถึงฐาน $b$ และ $b+1$ จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันจะมีอยู่ไม่จำกัดเสมอ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทของดิริชเลต์เกี่ยวกับลำดับเลขคณิตลำดับนี้จึงมีจำนวนเฉพาะอยู่ไม่จำกัดจำนวน

การใช้เลขโรมัน

ในความหมายอย่างง่ายที่สุดตัวเลขโรมัน ทั้งหมด ที่มีสัญลักษณ์มากกว่าหนึ่งตัวถือเป็นตัวเลขฟรีดแมน การสร้างตัวเลขนี้ทำได้ง่ายๆ โดยการใส่เครื่องหมาย + เข้าไปในตัวเลข และบางครั้งก็ใส่เครื่องหมาย − ด้วยการสลับลำดับของสัญลักษณ์เล็กน้อย

มีการวิจัยเกี่ยวกับจำนวนฟรีดแมนที่เป็นเลขโรมันซึ่งใช้ตัวดำเนินการอื่นๆ ในการแสดงออก จำนวนฟรีดแมนที่เป็นเลขโรมันตัวแรกที่ค้นพบคือ 8 เนื่องจาก VIII = (V - I) × II นอกจากนี้ยังพบตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ อีกด้วย

ความยากในการค้นหาจำนวนฟรีดแมนที่ไม่ใช่จำนวนธรรมดาในเลขโรมันไม่ได้เพิ่มขึ้นตามขนาดของจำนวน (เช่นเดียวกับ ระบบ การนับแบบตำแหน่ง ) แต่เพิ่มขึ้นตามจำนวนสัญลักษณ์ที่มี ตัวอย่างเช่น การตรวจสอบว่า 147 (CXLVII) เป็นจำนวนฟรีดแมนในเลขโรมันหรือไม่นั้นยากกว่าการตรวจสอบ 1001 (MI) มาก อย่างไรก็ตาม ด้วยเลขโรมัน เราสามารถสร้างนิพจน์ฟรีดแมนได้ค่อนข้างมากจากนิพจน์ใหม่ที่เราค้นพบ เนื่องจาก 8 เป็นจำนวนฟรีดแมนในเลขโรมันที่ไม่ใช่จำนวนธรรมดาที่ดี จึงสรุปได้ว่าจำนวนใดๆ ที่ลงท้ายด้วย VIII ก็เป็นจำนวนฟรีดแมนเช่นกัน

ลิงก์ภายนอก

ลำดับOEIS A036057 (หมายเลข Friedman)
- ตัวเลขฟรีดแมนอื่นๆในสารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์
"ตัวเลขฟรีดแมน" Githubปัญหาประจำเดือน สิงหาคม 2000
แบรนด์, ไมเคิล (พ.ย. 2013). "จำนวนฟรีดแมนมีความหนาแน่น 1" . คณิตศาสตร์ประยุกต์แบบไม่ต่อเนื่อง . 161 ( 16– 17): 2389– 2395. doi : 10.1016/j.dam.2013.05.027 .
ลำดับOEIS A119710 (ตัวเลขหลงตัวเองขั้นสุดโต่ง)
- "ตัวเลขหลงตัวเองสุดขั้ว - ตัวเลขที่เหนือกว่า"สถาบันวิจัยเชิงทฤษฎีส่วนขยายของตัวเลขฟรีดแมน

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]