ความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันโมโนโทน

Q: คำจำกัดความ

กำหนดให้ ลิมิตจากทางซ้าย เป็น 0}} f(x-h)"}}"> 0}}f(x-h)}"> เอฟ ( x − ) := ลิม z ↗ x เอฟ ( z ) = ลิม ชม. > 0 ชม. → 0 เอฟ ( x − ชม.

Q: คำแถลงที่แม่นยำ

อนุญาต เอฟ {\displaystyle f} เป็นฟังก์ชัน โมโนโทน ค่าจริงที่กำหนดบน ช่วงหนึ่ง ฉัน . {\displaystyle I.} ดังนั้นเซตของความไม่ต่อเนื่องประเภทแรกจึง มีจำนวนนับ ได้ มากที่สุด

ในสาขาคณิตศาสตร์วิเคราะห์มีทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีบทหนึ่งอธิบายถึงเซตของจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันค่าจริง เอกภาค ของตัวแปรจริง โดยจุดไม่ต่อเนื่องทั้งหมดของฟังก์ชัน (เอกภาค) ดังกล่าวจะต้องเป็นจุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดและมีจำนวนไม่เกินจำนวนนับได้

โดยปกติ ทฤษฎีบทนี้มักปรากฏในเอกสารโดยไม่มีชื่อเรียก ในงานเขียนล่าสุดบางชิ้นเรียกว่าทฤษฎีบทของฟรอดา ในวิทยานิพนธ์ปี 1929 อเล็กซานดรู ฟรอดา ระบุว่าผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักกันดีอยู่แล้ว และเขาได้ให้ การพิสูจน์เบื้องต้นของตนเองเพื่อความสะดวก^{[ 1 ]}งานก่อนหน้านี้เกี่ยวกับความไม่ต่อเนื่องได้มีการกล่าวถึงแล้วในบันทึกความทรงจำปี 1875 ของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสฌอง กาสตง ดาร์บูซ์^{[ 2 ]}

คำจำกัดความ

กำหนดให้ลิมิตจากทางซ้ายเป็น $f\left(x^{-}\right):=\lim _{z\nearrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(xh)$ และกำหนดลิมิตจากทางขวาด้วย $f\left(x^{+}\right):=\lim _{z\searrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x+h).$

ถ้า $f\left(x^{+}\right)$ และ $f\left(x^{-}\right)$ มีอยู่และจำกัด ดังนั้นความแตกต่าง $f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)$ เรียกว่าการกระโดด^{[ 3 ]}ของ $f$ ที่ $x.$

พิจารณาฟังก์ชันค่าจริง $f$ ของตัวแปรจริง $x$ กำหนดไว้ในบริเวณใกล้เคียงของจุดหนึ่ง $x.$ ถ้า $f$ ไม่ต่อเนื่อง ณ จุดนั้น $x$ ดังนั้นความไม่ต่อเนื่องจะเป็นความไม่ต่อเนื่องที่ขจัดออกได้หรือความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญหรือความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด (เรียกอีกอย่างว่าความไม่ต่อเนื่องประเภทแรก ) ^{[ 4 ]} ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่ $x$ จากนั้นกระโดดที่ $x$ เป็นศูนย์ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า $f$ ไม่ต่อเนื่องที่ $x,$ การกระโดดอาจเป็นศูนย์ที่ $x$ ถ้า $f\left(x^{+}\right)=f\left(x^{-}\right)\neq f(x).$

คำแถลงที่แม่นยำ

อนุญาต $f$ เป็นฟังก์ชัน โมโนโทนค่าจริงที่กำหนดบนช่วงหนึ่ง $I.$ ดังนั้นเซตของความไม่ต่อเนื่องประเภทแรกจึง มีจำนวนนับ ได้มากที่สุด

สามารถพิสูจน์ได้^{[ 5 ]}^{[ 3 ]}ว่าจุดไม่ต่อเนื่องทั้งหมดของฟังก์ชันค่าจริงแบบโมโนโทนที่กำหนดบนช่วงนั้นเป็นการไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด และด้วยเหตุนี้ ตามคำนิยามของเรา จึงเป็นประเภทแรก ด้วยข้อสังเกตนี้ ทฤษฎีบทจึงมีรูปแบบที่แข็งแกร่งขึ้น:

อนุญาต $f$ เป็นฟังก์ชันเอกภาคที่กำหนดบนช่วง $I.$ ดังนั้นเซตของจุดไม่ต่อเนื่องจึงมีจำนวนมากที่สุดที่นับได้

หลักฐาน

การพิสูจน์นี้เริ่มต้นด้วยการพิสูจน์กรณีพิเศษที่โดเมนของฟังก์ชันเป็นช่วงปิดและมีขอบเขต $[a,b].$ ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}การพิสูจน์กรณีทั่วไปเป็นไปตามกรณีพิเศษนี้

พิสูจน์เมื่อโดเมนปิดและมีขอบเขต

มีการให้หลักฐานสองประการสำหรับกรณีพิเศษนี้

หลักฐานที่ 1

อนุญาต $I:=[a,b]$ เป็นช่วงเวลาและปล่อยให้ $f:I\to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง (เช่น ฟังก์ชัน ที่เพิ่มขึ้น ) จากนั้นสำหรับใดๆ $a<x<b,$ $f(a)~\leq ~f\left(a^{+}\right)~\leq ~f\left(x^{-}\right)~\leq ~f\left(x^{+}\right)~\leq ~f\left(b^{-}\right)~\leq ~f(b).$ อนุญาต $\alpha >0$ และปล่อยให้ $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}$ เป็น $n$ คะแนนภายใน $I$ ซึ่งการกระโดดของ $f$ มากกว่าหรือเท่ากับ $\alpha$ : $f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\geq \alpha ,\ i=1,2,\ldots ,n$

สำหรับใดๆ $i=1,2,\ldots ,n,$ $f\left(x_{i}^{+}\right)\leq f\left(x_{i+1}^{-}\right)$ ดังนั้น $f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\geq 0.$ เพราะเหตุนี้, ${\begin{alignedat}{9}f(b)-f(a)&\geq f\left(x_{n}^{+}\right)-f\left(x_{1}^{-}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\right]\\&\geq \sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]\\&\geq n\alpha \end{alignedat}}$ และด้วยเหตุนี้ $n\leq {\frac {f(b)-f(a)}{\alpha }}.$

เนื่องจาก $f(b)-f(a)<\infty$ เรามีจำนวนจุดที่การกระโดดมากกว่า $\alpha$ มีค่าจำกัด (หรืออาจเป็นศูนย์ก็ได้)

กำหนดเซตต่อไปนี้: $S_{1}:=\left\{x:x\in I,f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)\geq 1\right\},$ $S_{n}:=\left\{x:x\in I,{\frac {1}{n}}\leq f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)<{\frac {1}{n-1}}\right\},\ n\geq 2.$

แต่ละชุด $S_{n}$ คือเซตจำกัดหรือเซตว่างการรวมกัน $S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}$ ประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่การกระโดดเป็นค่าบวก และด้วยเหตุนี้จึงประกอบด้วยจุดที่ไม่ต่อเนื่องทั้งหมด เนื่องจากทุกๆ $S_{i},\ i=1,2,\ldots$ สหภาพของพวกเขาสามารถนับได้มากที่สุด $S$ นอกจากนี้ ยังสามารถนับได้มากที่สุดอีกด้วย

ถ้า $f$ ถ้า ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น (หรือลดลง ) การพิสูจน์ก็จะคล้ายกัน นี่เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์กรณีพิเศษที่โดเมนของฟังก์ชันเป็นช่วงปิดและมีขอบเขต $\blacksquare$

หลักฐานที่ 2

สำหรับฟังก์ชันโมโนโทน $f$ , อนุญาต $f\nearrow$ หมายความว่า $f$ เป็นค่าที่ไม่ลดลงอย่างต่อเนื่อง และให้ $f\searrow$ หมายความว่า $f$ เป็นฟังก์ชันที่ไม่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ให้ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันโมโนโทนและให้ $D$ แทนเซตของจุดทั้งหมด $d\in [a,b]$ ในขอบเขตของ $f$ ซึ่ง $f$ ไม่ต่อเนื่อง (ซึ่งจำเป็นต้องเป็นความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด)

เพราะ $f$ มีจุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดที่ $d\in D,$ $f\left(d^{-}\right)\neq f\left(d^{+}\right)$ ดังนั้นจึงมีจำนวนตรรกยะอยู่จริง $y_{d}\in \mathbb {Q}$ ซึ่งอยู่ตรงกลางอย่างเคร่งครัด $f\left(d^{-}\right){\text{ and }}f\left(d^{+}\right)$ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $f\nearrow$ แล้วเลือก $y_{d}\in \mathbb {Q}$ ดังนั้น $f\left(d^{-}\right)<y_{d}<f\left(d^{+}\right)$ ในขณะที่ถ้า $f\searrow$ แล้วเลือก $y_{d}\in \mathbb {Q}$ ดังนั้น $f\left(d^{-}\right)>y_{d}>f\left(d^{+}\right)$ (ถือไว้)

ต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า ถ้า $d,e\in D$ แตกต่างกัน เช่น กับ $d<e,$ แล้ว $y_{d}\neq y_{e}.$ ถ้า $f\nearrow$ แล้ว $d<e$ หมายความว่า $f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)$ ดังนั้น $y_{d}<f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)<y_{e}.$ ในทางกลับกัน หากมองอีกมุมหนึ่ง $f\searrow$ แล้ว $d<e$ หมายความว่า $f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)$ ดังนั้น $y_{d}>f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)>y_{e}.$ ไม่ว่าจะทางใดก็ตาม $y_{d}\neq y_{e}.$

ดังนั้นทุกๆ $d\in D$ เกี่ยวข้องกับจำนวนตรรกยะที่ไม่ซ้ำกัน (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แผนที่) $D\to \mathbb {Q}$ กำหนดโดย $d\mapsto y_{d}$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective ) เนื่องจาก $\mathbb {Q}$ ถ้าเป็นคำที่นับได้ ก็ต้องเป็นเช่นเดียวกันกับ $D.$ $\blacksquare$

หลักฐานคดีทั่วไป

สมมติว่าโดเมนของ $f$ (ฟังก์ชันค่าจริงแบบเอกภาค) เท่ากับผลรวมของช่วงปิดและมีขอบเขตจำนวนนับได้ สมมติว่าโดเมนของมันคือ $\bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]$ (ไม่มีข้อกำหนดใด ๆ สำหรับช่วงปิดและมีขอบเขตเหล่านี้^{[ a ]} ) เป็นผลสืบเนื่องมาจากกรณีพิเศษที่พิสูจน์ไว้ข้างต้นว่าสำหรับทุกดัชนี $n,$ ข้อจำกัด $f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}:\left[a_{n},b_{n}\right]\to \mathbb {R}$ ของ $f$ ถึงช่วงเวลา $\left[a_{n},b_{n}\right]$ มีจุดไม่ต่อเนื่องอย่างมากที่สุดจำนวนนับได้ ให้ใช้สัญลักษณ์แทนเซตของจุดไม่ต่อเนื่อง (จำนวนนับได้) นี้ $D_{n}.$ ถ้า $f$ มีจุดที่ไม่ต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง $x_{0}\in \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]$ ในขอบเขตของมันแล้วจึงเป็นไปได้ทั้งสองอย่าง $x_{0}$ เท่ากับจุดปลายของช่วงใดช่วงหนึ่งเหล่านี้ (นั่นคือ $x_{0}\in \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}$ ) หรือไม่ก็มีดัชนีบางอย่างอยู่ $n$ โดยที่ $a_{n}<x_{0}<b_{n},$ ในกรณีนั้น $x_{0}$ จะต้องมีจุดที่ไม่ต่อเนื่องกันสำหรับ $f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}$ (นั่นคือ $x_{0}\in D_{n}$ ) ดังนั้นเซต $D$ ของทุกจุดที่ $f$ ไม่ต่อเนื่อง เป็นเซตย่อยของ $\left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}\cup \bigcup _{n}D_{n},$ ซึ่งเป็นเซตที่นับได้ (เพราะเป็นผลรวมของเซตที่นับได้จำนวนนับได้) ดังนั้นเซตย่อยของมันคือ $D$ นอกจากนี้เซตย่อยทุกเซตของเซตที่นับได้ก็จะเป็นเซตที่นับได้เช่นกัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากช่วงทุกช่วง (รวมถึงช่วงเปิดและช่วงครึ่งเปิด/ปิด) ของจำนวนจริงสามารถเขียนได้ในรูปของการรวมกันแบบนับได้ของช่วงปิดและมีขอบเขต จึงสรุปได้ว่าฟังก์ชันค่าจริงแบบเอกภาคใดๆ ที่กำหนดบนช่วงจะมีจุดไม่ต่อเนื่องอย่างมากที่สุดจำนวนนับได้

เพื่อให้ข้อโต้แย้งนี้ชัดเจนยิ่งขึ้น สมมติว่าโดเมนของ $f$ เป็นช่วงเวลา $I$ ซึ่งไม่ใช่ช่วงปิดและมีขอบเขต (และด้วยเหตุนี้ ตามทฤษฎีบทของไฮน์-โบเรลจึงไม่ใช่ช่วงกระชับ ) จากนั้นช่วงดังกล่าวสามารถเขียนได้ในรูปของการรวมกันแบบนับได้ของช่วงปิดและมีขอบเขต $I_{n}$ โดยมีคุณสมบัติว่าช่วงเวลาสองช่วงที่อยู่ติดกันจะมีจุดปลายร่วมกัน: $I=\cup _{n=1}^{\infty }I_{n}.$ ถ้า $I=(a,b]{\text{ with }}a\geq -\infty$ แล้ว $I_{1}=\left[\alpha _{1},b\right],\ I_{2}=\left[\alpha _{2},\alpha _{1}\right],\ldots ,I_{n}=\left[\alpha _{n},\alpha _{n-1}\right],\ldots$ ที่ไหน $\left(\alpha _{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ เป็นลำดับ ที่ลดลงอย่างเคร่งครัด โดยที่ $\alpha _{n}\rightarrow a.$ ในทำนองเดียวกัน ถ้า $I=[a,b),{\text{ with }}b\leq +\infty$ หรือถ้า $I=(a,b){\text{ with }}-\infty \leq a<b\leq \infty .$ ในช่วงเวลาใดๆ $I_{n},$ จุดที่ไม่ต่อเนื่องมีจำนวนมากที่สุดที่นับได้ และเนื่องจากการรวมกันของเซตที่นับได้มากที่สุดจำนวนหนึ่งนั้นมีจำนวนมากที่สุดที่นับได้ จึงสรุปได้ว่าเซตของจุดที่ไม่ต่อเนื่องทั้งหมดมีจำนวนมากที่สุดที่นับได้ $\blacksquare$

ฟังก์ชันการกระโดด

ตัวอย่างให้ $x$ < $x$ < $x$ < ⋅⋅⋅ เป็นเซตย่อยที่นับได้ของช่วงกระชับ [ $a$ , $b$ ] และให้ μ , μ , μ , ... เป็นลำดับบวกที่มีผลรวมจำกัด กำหนดให้

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}\chi _{[x_{n},b]}(x)

โดยที่ χ แทนฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของช่วงกระชับ $A$ แล้ว $f$ เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลงบน [ $a$ , $b$ ] ซึ่งต่อเนื่องยกเว้นจุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดที่ $x$ สำหรับ $n$ ≥ 1 ในกรณีที่มีจุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดจำนวนจำกัด $f$ จะเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดตัวอย่างข้างต้นเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดแบบทั่วไป ซึ่งเป็นกรณีพิเศษมากของสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันกระโดดหรือฟังก์ชันซอลตัส^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การวิเคราะห์ฟังก์ชันโมโนโทนได้รับการศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์หลายท่าน เริ่มตั้งแต่ Abel, Jordan และ Darboux ตามRiesz & Sz.-Nagy (1990)หากจำเป็นให้แทนฟังก์ชันด้วยค่าลบของฟังก์ชันนั้น จะต้องพิจารณาเฉพาะกรณีของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบและไม่ลดลงเท่านั้น โดเมน [ $a$ , $b$ ] อาจเป็นโดเมนจำกัด หรือมี ∞ หรือ −∞ เป็นจุดปลาย

งานหลักคือการสร้างฟังก์ชันโมโนโทน ซึ่งเป็นการขยายฟังก์ชันขั้นบันได โดยมีจุดไม่ต่อเนื่องที่เซตของจุดที่นับได้ และมีจุดไม่ต่อเนื่องทางซ้ายและขวาที่กำหนดไว้ที่แต่ละจุดเหล่านั้น ให้ $x$ ( $n$ ≥ 1) อยู่ใน ( $a$ , $b$ ) และเลือก λ , λ , λ , ... และ μ , μ , μ , ... เป็นค่าที่ไม่เป็นลบ มีผลรวมจำกัด และมี λ + μ > 0 สำหรับแต่ละ $n$ กำหนดให้

f_{n}(x)=0\,\,

สำหรับ

\,\,x<x_{n},\,\,f_{n}(x_{n})=\lambda _{n},\,\,f_{n}(x)=\lambda _{n}+\mu _{n}\,\,

สำหรับ

\,\,x>x_{n}.

จากนั้นฟังก์ชันกระโดดหรือฟังก์ชันซอลตัสจะถูกกำหนดโดย

f(x)=\,\,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\,\,\sum _{x_{n}\leq x}\lambda _{n}+\sum _{x_{n}<x}\mu _{n},

ไม่ลดลงบน [ $a$ , $b$ ] และต่อเนื่องยกเว้นความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดที่ $x$ สำหรับ $n$ ≥ 1 ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ โปรดสังเกตว่า sup | $f$ | = λ + μ ดังนั้น Σ $f$ จึงลู่เข้าสู่ $f$ อย่างสม่ำเสมอ เมื่อพิจารณาลิมิตแล้ว จะได้ว่า

f(x_{n})-f(x_{n}-0)=\lambda _{n},\,\,\,f(x_{n}+0)-f(x_{n})=\mu _{n},\,\,\,

และ

\,\,f(x\pm 0)=f(x)

ถ้า $x$ ไม่ใช่หนึ่ง^ใน $x$ ^[¹⁰ ]

ในทางกลับกัน ตามทฤษฎีบทการอนุพันธ์ของLebesgueฟังก์ชันการกระโดด $f$ ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 14 ]} (1) ไม่ลดลงและไม่เป็นบวก (2) มีข้อมูลการกระโดดที่จุดไม่ต่อเนื่อง $x$ (3) สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต $f$ ( $a$ ) = 0 และ (4) มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เกือบทุกที่

พิสูจน์ว่าฟังก์ชันกระโดดมีอนุพันธ์เป็นศูนย์เกือบทุกที่

คุณสมบัติ (4) สามารถตรวจสอบได้ตามRiesz & Sz.-Nagy (1990) , Rubel (1963)และKomornik (2016)โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป สามารถสมมติได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันกระโดดที่ไม่เป็นลบซึ่งกำหนดบนเซตกระชับ [ $a$ , $b$ ] โดยมีจุดไม่ต่อเนื่องเฉพาะใน ( $a$ , $b$ ) เท่านั้น

โปรดทราบว่าเซตเปิด $U$ ของ ( $a$ , $b$ ) เป็นผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของช่วงเปิด $I$ ไม่เกินจำนวนนับได้ ซึ่งทำให้สามารถคำนวณความยาวทั้งหมดได้เป็น ℓ( $U$ ) = Σ ℓ( $I$ ) จำได้ว่าเซตว่าง $A$ เป็นเซตย่อยที่สำหรับ ε' > 0 ที่มีค่าเล็กน้อยใดๆ จะมีเซตเปิด $U$ ที่มี $A$ อยู่ภายใน โดยที่ ℓ( $U$ ) < ε' คุณสมบัติที่สำคัญของความยาวคือ ถ้า $U$ และ $V$ เป็นเซตเปิดใน ( $a$ , $b$ ) แล้ว ℓ( $U$ ) + ℓ( $V$ ) = ℓ( $U$ ∪ $V$ ) + ℓ( $U$ ∩ $V$ ) ^{[ 15 ]}ซึ่งหมายความว่าผลรวมของเซตว่างสองเซตเป็นเซตว่าง และเซตจำกัดหรือเซตที่นับได้เป็นเซตว่าง^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

ข้อเสนอที่ 1.สำหรับ $c$ > 0 และฟังก์ชันกระโดดที่ไม่เป็นลบแบบนอร์มาไลซ์ $f$ ให้ $U$ ( $f$ ) เป็นเซตของจุด $x$ เช่นนั้น

{f(t)-f(s) \over t-s}>c

สำหรับบาง $s$ , $t$ โดยที่ $s$ < $x$ < $t$ แล้ว $U$ ( $f$ ) เป็นเซตเปิดและมีความยาวรวม ℓ( $U$ ( $f$ )) ≤ 4 $c$ ⁻¹ ( $f$ ( $b$ ) – $f$ ( $a$ ))

โปรดทราบว่า $U$ ( $f$ ) ประกอบด้วยจุด $x$ ที่ความชันของ $h$ มากกว่า $c$ ใกล้ $x$ ตามนิยาม $U$ ( $f$ ) เป็นเซตย่อยเปิดของ ( $a$ , $b$ ) ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้เป็นผลรวมที่ไม่ซ้ำกันของช่วงเปิด $I$ = ( $a$ , $b$ ) ที่มีจำนวนนับได้มากที่สุด ให้ $J$ เป็นช่วงที่มีการปิดใน $I$ และ ℓ( $J$ ) = ℓ( $I$ )/2 โดยคุณสมบัติความกะทัดรัด จะมีช่วงเปิดจำนวนจำกัดในรูปแบบ ( $s$ , $t$ ) ที่ครอบคลุมการปิดของ $J$ ในทางกลับกัน เป็นเรื่องพื้นฐานที่ว่า ถ้าช่วงเปิดที่มีขอบเขตสามช่วงคงที่มีจุดตัดร่วมกัน ผลรวมของช่วงเหล่านั้นจะประกอบด้วยหนึ่งในสามช่วงนั้น ที่จริงแล้ว เพียงแค่เลือกจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดเพื่อระบุจุดปลาย ดังนั้น การปกคลุมแบบจำกัดสามารถถือได้ว่าเป็นช่วงเปิดที่อยู่ติดกัน ( $s$ , $t$ ), ( $s$ , $t$ ), ... ที่ตัดกันเฉพาะในช่วงเวลาต่อเนื่องกันเท่านั้น^{[ 18 ]}ดังนั้น

\ell (J_{k})\leq \sum _{m}(t_{k,m}-s_{k,m})\leq \sum _{m}c^{-1}(f(t_{k,m})-f(s_{k,m}))\leq 2c^{-1}(f(b_{k})-f(a_{k})).

สุดท้ายรวมทั้งสองข้างเข้าด้วยกัน^{เหนือ} $k$ [ ¹⁶^]^[¹⁷^]

ข้อเสนอที่ 2.ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันกระโดด แล้ว $f$ '( $x$ ) = 0 เกือบทุกที่

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้กำหนดนิยาม

Df(x)=\limsup _{s,t\rightarrow x,\,\,s<x<t}{f(t)-f(s) \over t-s},

อนุพันธ์แบบ Diniของ $f$ เป็นรูปแบบ หนึ่ง เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าสำหรับค่า $c$ > 0 ใดๆ อนุพันธ์แบบ Dini จะสอดคล้องกับ $D$ $f$ ( $x$ ) ≤ $c$ เกือบทุกที่ กล่าวคือ บนเซตว่าง

เลือก ε > 0 ซึ่งมีค่าเล็กมากตามอำเภอใจ เริ่มจากนิยามของฟังก์ชันกระโดด $f$ = Σ $f$ เขียน $f$ = $g$ + $h$ โดยที่ $g$ = Σ $f$ และh = Σ $f$ โดยที่ $N$ ≥ 1 ดังนั้น $g$ เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดที่มีจุดไม่ต่อเนื่องเพียงจำนวนจำกัดที่ $x$ สำหรับ $n$ ≤ $N$ และ $h$ เป็นฟังก์ชันกระโดดที่ไม่เป็นลบ จึงสรุปได้ว่า $D$ $f$ = $g$ ' + $D$ $h$ = $D$ $h$ ยกเว้นที่ จุดไม่ต่อเนื่อง $N$ จุดของ $g$ การเลือก $N$ ให้ มีค่ามากพอที่ Σ λ + μ < ε จะได้ว่า $h$ เป็นฟังก์ชันกระโดดที่ $h$ ( $b$ ) − $h$ ( $a$ ) < ε และ $Dh$ ≤ $c$ นอกเซตเปิดที่มีความยาวน้อยกว่า 4ε / $c$

โดยการสร้าง $Df$ ≤ $c$ จากเซตเปิดที่มีความยาวน้อยกว่า 4ε/ $c$ ตอนนี้กำหนด ε' = 4ε/ $c$ — ดังนั้น ε' และ $c$ จะมีค่าเล็กมากตามอำเภอใจ และ $Df$ ≤ $c$ จากเซตเปิดที่มีความยาวน้อยกว่า ε' ดังนั้น $Df$ ≤ $c$ เกือบทุกที่ เนื่องจาก $c$ สามารถเลือกให้มีค่าเล็กมากตามอำเภอใจได้ $Df และ$ $f$ ' จึงต้องเป็นศูนย์เกือบทุกที่^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

ตามที่อธิบายไว้ในRiesz & Sz.-Nagy (1990)ฟังก์ชันที่ไม่ลดลงและไม่เป็นลบทุกฟังก์ชัน $F$ สามารถแยกออกได้อย่างเป็นเอกลักษณ์เป็นผลรวมของฟังก์ชันกระโดด $f$ และฟังก์ชันโมโนโทนต่อเนื่อง $g$ : ฟังก์ชันกระโดด $f$ ถูกสร้างขึ้นโดยใช้ข้อมูลกระโดดของฟังก์ชันโมโนโทนดั้งเดิม $F$ และสามารถตรวจสอบได้ง่ายว่า $g$ = $F$ − $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและโมโนโทน^{[ 10 ]}

ดูเพิ่มเติม

ฟังก์ชันต่อเนื่อง– ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลัน
ความแปรผันที่จำกัด– ฟังก์ชันจริงที่มีความแปรผันรวมจำกัด
ฟังก์ชันโมโนโทน

หมายเหตุ

↑ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องแยกจากกันเป็นคู่ๆและไม่จำเป็นต้องตัดกันเฉพาะที่จุดปลายเท่านั้น เป็นไปได้ด้วยซ้ำว่า $\left[a_{n},b_{n}\right]\subseteq \left[a_{n+1},b_{n+1}\right]$ สำหรับทุกคน $n$

บรรณานุกรม

Apostol, Tom M. (1957). การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: แนวทางสมัยใหม่สู่แคลคูลัสขั้นสูง . Addison-Wesley . หน้า162–163 . MR 0087718 .
Boas, Ralph P. Jr. (1961). "ความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกระโดด" (PDF) . Colloq. Math . 8 : 81– 82. doi : 10.4064/cm-8-1-81-82 . MR 0126513 .
โบอาส, ราล์ฟ พี. จูเนียร์ (1996) "22. ฟังก์ชันโมโนโทนิก" ไพรเมอร์แห่งฟังก์ชันที่แท้จริง เอกสารทางคณิตศาสตร์ของ Carus ฉบับที่ 13 ( ฉบับที่สี่). แมสซาชูเซตส์ หน้า158– 174. ไอเอสบีเอ็น 978-1-61444-013-0.(ต้องสมัครสมาชิก)
Burkill, JC (1951). อินทิกรัลของเลเบส . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. เล่มที่ 40. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . MR 0045196 .
เอ็ดการ์, เจอรัลด์ เอ. ( 2008). "มิติเชิงทอพอโลยี" การวัด ทอพอโลยี และเรขาคณิตแฟรกทัลตำราคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี ( ฉบับที่สอง) สปริงเกอร์-เวอร์แลกหน้า85–114 ISBN 978-0-387-74748-4MR 2356043
Gelbaum, Bernard R. ; Olmsted, John MH (1964), "18: ฟังก์ชันโมโนโทนิกที่มีจุดไม่ต่อเนื่องก่อตัวเป็นเซตที่นับได้ตามอำเภอใจ (อาจหนาแน่น)" , ตัวอย่างค้านในการวิเคราะห์ , ชุด Mathesis , ซานฟรานซิสโก, ลอนดอน, อัมสเตอร์ดัม: Holden-Day, หน้า 28, MR 0169961 ; พิมพ์ซ้ำโดย Dover, 2003
ฮอบสัน, เออร์เนสต์ ดับเบิลยู. (1907). ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริงและอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันเหล่านั้น . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . หน้า 245.
Komornik, Vilmos (2016). "4. ฟังก์ชันโมโนโทน". บรรยายเกี่ยวกับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและปริพันธ์เลเบส . Universitext. Springer-Verlag . หน้า151–164 . ISBN 978-1-4471-6810-2MR 3496354
ลิพินสกี้ เจเอส (1961) "Une การสาธิตที่เรียบง่าย du théorème sur la dérivée d'une fonction de sauts" (PDF ) คอลล็อก. คณิตศาสตร์. (ในภาษาฝรั่งเศส) 8 (2): 251– 255. ดอย : 10.4064/cm-8-2-251-255 . คุณ0158036 .
Łojasiewicz, Stanisław (1988). "1. ฟังก์ชันที่มีการแปรผันจำกัด" บทนำสู่ทฤษฎีฟังก์ชันจริงแปลโดย GH Lawden ( ฉบับที่สาม). ชิเชสเตอร์: John Wiley & Sons . หน้า10–30 . ISBN 0-471-91414-2MR 0952856
Natanson, Isidor P. (1955), "III. ฟังก์ชันของการแปรผันอันจำกัด ปริพันธ์ของ Stieltjes", ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริงเล่ม 1 ฉบับที่ 1 แปลโดยลีโอ เอฟ. โบรอน รัฐนิวยอร์ก: เฟรเดอริก อุนการ์ หน้า204–206 , MR 0067952
นิโคลสคู, ม. ; ดินคูเลอานู น.; Marcus, S. (1971), AnalizĎ Matematică (in โรมาเนีย), vol. I ( ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4), บูคาเรสต์: Editura Didactică şi Pedagogică, p. 783 คุณ0352352
Olmsted, John MH (1959), ตัวแปรจริง: บทนำสู่ทฤษฎีฟังก์ชัน , ชุดคณิตศาสตร์ Appleton-Century, นิวยอร์ก: Appleton-Century-Crofts, แบบฝึกหัดที่ 29, หน้า 59, MR 0117304
Riesz, ฟริกเยส ; Sz.-Nagy, เบลา (1990). "ฟังก์ชันซัลตัส" การวิเคราะห์เชิงหน้าที่ แปลโดยลีโอ เอฟ. โบรอน หนังสือโดเวอร์ หน้า13–15 . ไอเอสบีเอ็น 0-486-66289-6MR 1068530 พิมพ์ซ้ำจากฉบับดั้งเดิมปี 1955
Saks, Stanisław (1937). "III. ฟังก์ชันของการแปรผันที่มีขอบเขตและปริพันธ์ Lebesgue-Stieltjes" (PDF)ทฤษฎีของปริพันธ์ Monografie Matematyczne เล่มที่ VII แปลโดย LC Young นิวยอร์ก: GE Stechert หน้า96–98
Rubel, Lee A. (1963). "ความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโมโนโทนิก" (PDF) . Colloq. Math . 10 (2): 277– 279. doi : 10.4064/cm-10-2-277-279 . MR 0154954 .
รูดิน, วอลเตอร์ (1964), หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ( ฉบับที่ 2), นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์, MR 0166310
ฟอน นอยมันน์, จอห์น ( 1950). "IX. ฟังก์ชันโมโนโทนิก" ตัวดำเนินการเชิงฟังก์ชัน I. การวัดและปริพันธ์วารสารคณิตศาสตร์ศึกษา เล่มที่21 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันหน้า63–82 doi : 10.1515/9781400881895 ISBN 978-1-4008-8189-5. MR 0032011 . {{cite book}}: ความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
Young, William Henry; Young, Grace Chisholm (1911). "On the Existence of a Differential Coefficient" . Proc. London Math. Soc. 2. 9 (1): 325– 335. doi : 10.1112/plms/s2-9.1.325 .

[8] ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องแยกจากกันเป็นคู่ๆและไม่จำเป็นต้องตัดกันเฉพาะที่จุดปลายเท่านั้น เป็นไปได้ด้วยซ้ำว่า $\left[a_{n},b_{n}\right]\subseteq \left[a_{n+1},b_{n+1}\right]$ สำหรับทุกคน $n$

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ a ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]