ทฤษฎีบทของฟรุคท์เป็นผลลัพธ์ในทฤษฎีกราฟเชิงพีชคณิตซึ่งตั้งสมมติฐานโดยเดเนส โคนิกในปี 1936 ^{[ 1 ]}และพิสูจน์โดยโรเบิร์ต ฟรุคท์ในปี 1939 ^{[ 2 ]} ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า กลุ่มจำกัดทุก กลุ่ม เป็นกลุ่มสมมาตรของกราฟแบบไม่มี ทิศทางจำกัด ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับกลุ่มจำกัดใดๆจะมี กราฟ เชื่อมต่อแบบง่ายที่ไม่สมมาตรกัน จำนวนอนันต์ ซึ่งกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของแต่ละกราฟนั้น สมมาตรกับ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

แนวคิดหลักของการพิสูจน์คือการสังเกตว่ากราฟ CayleyของGซึ่งมีการเพิ่มสีและทิศทางบนขอบเพื่อแยกแยะตัวสร้างของGออกจากกัน จะมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่ต้องการ ดังนั้น หากขอบแต่ละขอบเหล่านี้ถูกแทนที่ด้วยกราฟย่อยที่เหมาะสม โดยที่กราฟย่อยที่แทนที่แต่ละอันนั้นไม่สมมาตร และการแทนที่สองอันจะสมมาตรกันก็ต่อเมื่อแทนที่ขอบที่มีสีเดียวกันเท่านั้น กราฟแบบไม่มีทิศทางที่สร้างขึ้นโดยการแทนที่เหล่านี้จะมีGเป็นกลุ่มสมมาตรเช่น กัน ^{[ 3 ]}

ยกเว้นสามกรณี – กลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับ 3, 4 และ 5 – ทุกกลุ่มสามารถแสดงได้ในรูปสมมาตรของกราฟที่มีจุดยอดเพียงสองวงโคจร เท่านั้น ดังนั้น จำนวนจุดยอดในกราฟจึงมีค่าไม่เกินสองเท่าของอันดับของกลุ่ม ยกเว้นกรณีอื่นๆ อีกจำนวนมาก กลุ่มจำกัดส่วนใหญ่สามารถแสดงได้ในรูปสมมาตรของกราฟที่จุดยอดสามารถ สลับตำแหน่งได้ โดยมีจำนวนจุดยอดเท่ากับอันดับของกลุ่ม^{[ 4 ]}

มีทฤษฎีบทของ Frucht เวอร์ชันที่แข็งแกร่งกว่าซึ่งแสดงให้เห็นว่าตระกูลกราฟที่จำกัดบางตระกูลยังคงมีกราฟเพียงพอที่จะสร้างกลุ่มสมมาตรใดๆ ได้ Frucht ^{[ 5 ]}พิสูจน์ว่าในความเป็นจริง มี กราฟ 3-ปกติที่มีคุณสมบัติที่ต้องการอยู่จำนวนนับได้ ตัวอย่างเช่นกราฟ Fruchtซึ่งเป็นกราฟ 3-ปกติที่มี 12 จุดยอดและ 18 ขอบ ไม่มีสมมาตรที่ไม่ใช่แบบธรรมดา ทำให้เกิดการสร้างกลุ่มแบบนี้สำหรับกลุ่มแบบธรรมดา Gert Sabidussi แสดงให้เห็นว่ากลุ่มใดๆ ก็สามารถสร้างขึ้นได้เป็นกลุ่มสมมาตรของกราฟ k-ปกติที่แตกต่างกันจำนวนนับได้ กราฟ k-จุดยอดที่เชื่อมต่อกันหรือกราฟk-สีสำหรับค่าจำนวนเต็มบวกk ทั้งหมด (โดยที่สำหรับกราฟปกติ และสำหรับ กราฟ k-สี) ^{[ 6 ]}จากข้อเท็จจริงที่ว่ากราฟทุกกราฟสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้จากลำดับการบรรจุบางส่วนของขอบและจุดยอด และลำดับบางส่วนจำกัดทุกอันเทียบเท่ากับแลตทิซกระจายจำกัด ตาม ทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Birkhoffจึงสรุปได้ว่ากลุ่มจำกัดทุกกลุ่มสามารถรับรู้ได้ในรูปสมมาตรของแลตทิซกระจาย และของกราฟของแลตทิซ ซึ่งก็คือกราฟมัธยฐาน^{[ 3 ]}เป็นไปได้ที่จะรับรู้กลุ่มจำกัดทุกกลุ่มในรูปกลุ่มสมมาตรของกราฟปกติอย่างเข้มแข็ง^{[ 7 ]}กลุ่มจำกัดทุกกลุ่มยังสามารถรับรู้ได้ในรูปสมมาตรของกราฟที่มีเลขแยกแยะสอง: เราสามารถ (อย่างไม่เหมาะสม) ระบายสีกราฟด้วยสองสีโดยที่ไม่มีสมมาตรใดของกราฟรักษาการระบายสีไว้^{[ 8 ]}${\displaystyle k\geq 3}$${\displaystyle k\geq 2}$

อย่างไรก็ตาม กราฟบางประเภทที่สำคัญไม่สามารถแสดงกลุ่มทั้งหมดเป็นสมมาตรได้Camille Jordanได้จำแนกกลุ่มสมมาตรของต้นไม้ว่าเป็นเซตที่เล็กที่สุดของกลุ่มจำกัดที่มีกลุ่มที่ไม่สำคัญและปิดภายใต้ผลคูณโดยตรงซึ่งกันและกันและ ผล คูณ แบบ wreathกับกลุ่มสมมาตร^{[ 9 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มวัฏจักรอันดับสามไม่ใช่กลุ่มสมมาตรของต้นไม้กราฟระนาบก็ไม่สามารถสร้างกลุ่มทั้งหมดเป็นสมมาตรได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่นกลุ่มง่ายจำกัด เพียงกลุ่มเดียว ที่เป็นสมมาตรของกราฟระนาบคือกลุ่มวัฏจักรและกลุ่มสลับ^{[ 10 ]}โดยทั่วไปแล้วตระกูลกราฟที่ปิดไมเนอร์ ทุกตระกูล ไม่สามารถแสดงกลุ่มจำกัดทั้งหมดด้วยสมมาตรของกราฟได้^{[ 11 ]} László Babaiตั้งข้อสันนิษฐานที่เข้มงวดกว่าว่าแต่ละตระกูลที่ปิดไมเนอร์สามารถแสดงกลุ่มง่ายจำกัดที่ไม่ใช่วัฏจักรได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น^{[ 12 ]}${\displaystyle A_{5}}$

Izbicki ได้ขยายผลลัพธ์เหล่านี้ในปี 1959 และแสดงให้เห็นว่ามี กราฟ อนันต์จำนวนนับไม่ถ้วน ที่ทำให้เกิดกลุ่มสมมาตรจำกัดใดๆ^{[ 13 ]}ในที่สุดJohannes de GrootและGert Sabidussiในปี 1959/1960 ได้พิสูจน์โดยอิสระว่ากลุ่มใดๆ (โดยละทิ้งสมมติฐานที่ว่ากลุ่มนั้นต้องจำกัด แต่ใช้สมมติฐานของสัจพจน์ของการเลือก ) สามารถเกิดขึ้นได้ในฐานะกลุ่มสมมาตรของกราฟอนันต์ หรืออีกทางหนึ่งสัจพจน์ของความสม่ำเสมอจะขจัดความจำเป็นในการเลือก^{[ 14 ] [ 15 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ข้อสรุปนี้มีความเข้มงวด เนื่องจากมีแบบจำลองของ ZF ลบความสม่ำเสมอซึ่งทฤษฎีบทของ Frucht สำหรับกลุ่มอนันต์ล้มเหลว^{[ 16 ]}