คณิตศาสตร์ฟัซซีเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ขยายทฤษฎีเซตและตรรกะแบบคลาสสิกเพื่อสร้างแบบจำลองการให้เหตุผลภายใต้ความไม่แน่นอน เริ่มต้นโดยLotfi Asker Zadehในปี 1965 ด้วยการแนะนำเซตฟัซซี^{[ 1 ]}สาขานี้ได้พัฒนามาเรื่อยๆ จนรวมถึงทฤษฎีเซตฟัซซีตรรกะฟัซซีและอนาล็อกฟัซซีต่างๆ ของโครงสร้าง ทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม

แตกต่างจากคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมซึ่งมักอาศัย การเป็นสมาชิก แบบไบนารี (องค์ประกอบหนึ่งๆ จะเป็นสมาชิกของกลุ่มหรือไม่เป็นสมาชิกเลย) คณิตศาสตร์แบบฟัซซีอนุญาตให้องค์ประกอบต่างๆ เป็นสมาชิกของกลุ่มได้บางส่วน โดยระดับการเป็นสมาชิกจะแสดงด้วยค่าในช่วง [0, 1] กรอบแนวคิดนี้ช่วยให้สามารถสร้างแบบจำลองที่ยืดหยุ่นมากขึ้นสำหรับแนวคิดที่ไม่แม่นยำหรือคลุมเครือได้

คณิตศาสตร์แบบฟัซซีได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขา รวมถึงทฤษฎีการควบคุมปัญญาประดิษฐ์ทฤษฎีการตัดสินใจการรู้จำรูปแบบและภาษาศาสตร์ซึ่งการสร้างแบบจำลองของระดับและความไม่แน่นอนนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง

เซตย่อยแบบฟัซซีAของเซตXถูกกำหนดโดยฟังก์ชันA : X → Lโดยที่Lโดยทั่วไปคือช่วง [0, 1] ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันสมาชิกภาพ ของเซตย่อยแบบฟัซซี และกำหนด ระดับสมาชิกภาพA ( x ) ให้กับแต่ละองค์ประกอบxในXในเซตฟัซซี A

ในทฤษฎีเซตแบบคลาสสิก เซตย่อยของXสามารถแทนได้ด้วยฟังก์ชันบ่งชี้ (หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ) ซึ่งแมปองค์ประกอบไปยัง 0 หรือ 1 โดยบ่งชี้ว่าไม่เป็นสมาชิกหรือเป็นสมาชิกอย่างสมบูรณ์ตามลำดับ เซตย่อยแบบฟัซซีขยายแนวคิดนี้โดยอนุญาตให้มีค่าจริงใดๆ ระหว่าง 0 และ 1 ซึ่งทำให้สามารถเป็นสมาชิกบางส่วนได้

โดยทั่วไปแล้ว โคโดเมนLของฟังก์ชันสมาชิกภาพสามารถแทนที่ด้วยแลตทิซที่สมบูรณ์ ใดๆ ก็ได้ ส่งผลให้กรอบงานที่กว้างขึ้นของเซต L-ฟัซซี^{[ 2 ]}

การพัฒนาของการทำให้เป็นฟัซซีในคณิตศาสตร์สามารถแบ่งออกได้เป็น 3 ขั้นตอนทางประวัติศาสตร์โดยทั่วไป: ^{[ 3 ]}

1. การแปลงค่าแบบฟัซซีในยุคแรกและแบบตรงไปตรงมา (ช่วงทศวรรษ 1960-1970)
2. การขยายขอบเขตของเทคนิคการสรุปความทั่วไป (ทศวรรษ 1980)
3. การกำหนดมาตรฐาน การกำหนดสัจพจน์ และ การทำให้เป็นฟัซซี แบบ L (ทศวรรษ 1990)

โดยทั่วไปแล้ว การทำให้เป็นฟัซซีเกี่ยวข้องกับการขยายแนวคิดทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมจากตรรกะไบนารี (ชัดเจน) ซึ่งการเป็นสมาชิกถูกกำหนดโดยฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ไปสู่ตรรกะฟัซซี ซึ่งการเป็นสมาชิกแสดงโดยค่าในช่วง [0, 1] ผ่านฟังก์ชันการเป็นสมาชิก

ให้AและBเป็นเซตย่อยแบบฟัซซีของเซตXโดยทั่วไปแล้ว การดำเนินการทางทฤษฎีเซตในรูปแบบฟัซซีจะถูกกำหนดดังนี้:

$${\displaystyle (A\cap B)(x)=\min(A(x),B(x))}$$$${\displaystyle (A\cup B)(x)=\max(A(x),B(x))}$$

สำหรับทั้งหมดการดำเนินการเหล่านี้สามารถสรุปได้โดยใช้t-normsและt-conormsตามลำดับ^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่น การดำเนินการขั้นต่ำสามารถแทนที่ด้วยการคูณได้: ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle (A\cap B)(x)=A(x)\cdot B(x)}$$

การทำให้โครงสร้างพีชคณิตเป็นฟัซซีมักอาศัยการขยายคุณสมบัติการปิดให้ เป็นการดำเนินการแบบไบนารีบนXและให้Aเป็นเซตย่อยแบบฟัซซีของXแล้วAจะกล่าวได้ว่าสอดคล้องกับคุณสมบัติการปิดแบบฟัซซี ถ้า: ${\displaystyle *}$

$${\displaystyle A(x*y)\geq \min(A(x),A(y))}$$ สำหรับทุกคน ${\displaystyle x,y\in X}$

ถ้าG เป็นกลุ่ม หนึ่ง แล้วเซตย่อยแบบฟัซซีAของGจะเป็นกลุ่มย่อยแบบฟัซซีก็ต่อเมื่อ: ${\displaystyle (G,*)}$

$${\displaystyle A(x*y^{-1})\geq \min(A(x),A(y^{-1}))}$$ สำหรับทุกคน ${\displaystyle x,y\in G}$

หลักการทั่วไปที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้กับคุณสมบัติเชิงสัมพันธ์ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับการทำให้ คุณสมบัติ การถ่ายทอดเป็น แบบ ฟัซซี ความสัมพันธ์แบบฟัซซีบน(เช่น เซตย่อยแบบฟัซซีของ) จะเรียกว่าเป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดแบบฟัซซีได้ก็ต่อเมื่อ: ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$

$${\displaystyle R(x,z)\geq \min(R(x,y),R(y,z))}$$ สำหรับทุกคน ${\displaystyle x,y,z\in X}$

กลุ่มย่อยแบบฟัซซีและกลุ่มย่อยแบบฟัซซีได้รับการแนะนำในปี พ.ศ. 2514 โดย A. Rosenfeld ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

อนาล็อกของวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ ได้ถูกแปลเป็นคณิตศาสตร์ฟัซซี เช่น ทฤษฎีสนามฟัซซีและทฤษฎีกาโลอิสฟัซ ซี ^{[ 8 ]}โทโพโลยีฟัซซี^{[ 9 ] [ 10 ]}เรขาคณิตฟัซซี^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}ลำดับฟัซซี^{[ 15 ]}และกราฟฟัซซี^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

• ทฤษฎีการวัดแบบฟัซซี
• พีชคณิตย่อยแบบฟัซซี
• ตรรกะ t-norm แบบโมโนอิดัล
• ทฤษฎีความเป็นไปได้
• ที-นอร์ม

• Zadeh, LA Fuzzy Logic - บทความในScholarpedia
• Hajek, P. ตรรกะคลุมเครือ - บทความในสารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
• Navara, M. บรรทัดฐานสามเหลี่ยมและบรรทัดฐานร่วม - บทความในScholarpedia
• Dubois, D., Prade H. ทฤษฎีความเป็นไปได้ - บทความในScholarpedia
• ศูนย์วิจัยคณิตศาสตร์แห่งความไม่แน่นอนคณิตศาสตร์คลุมเครือ (Fuzzy Math Research) เก็บถาวรเมื่อวันที่ 29 มิถุนายน 2552 ที่Wayback Machine - เว็บไซต์นี้โฮสต์อยู่ที่มหาวิทยาลัยเครตัน
• Seising, R. [1]หนังสือเกี่ยวกับประวัติศาสตร์ของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของเซตฟัซซี: การทำให้ระบบเป็นฟัซซี กำเนิดทฤษฎีเซตฟัซซีและการประยุกต์ใช้เบื้องต้น - การพัฒนาจนถึงทศวรรษ 1970 (การศึกษาเกี่ยวกับความคลุมเครือและการคำนวณแบบอ่อน เล่มที่ 216) เบอร์ลิน นิวยอร์ก [และอื่นๆ]: Springer 2007