ในฟิสิกส์ของทฤษฎีเกจการกำหนดเกจ (หรือเรียกว่าการเลือกเกจ ) หมายถึงกระบวนการทางคณิตศาสตร์สำหรับการจัดการกับระดับความเป็นอิสระ ที่ซ้ำซ้อน ใน ตัวแปร สนามตามคำนิยามทฤษฎีเกจแสดงถึงการกำหนดค่าทางกายภาพที่แตกต่างกันแต่ละแบบของระบบในฐานะชั้นสมมูลของการกำหนดค่าสนามเฉพาะที่โดยละเอียด การกำหนดค่าโดยละเอียดสองแบบใดๆ ในชั้นสมมูลเดียวกันจะมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงบางอย่าง ซึ่งเทียบเท่ากับการเฉือนตามแกนที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ในปริภูมิการกำหนดค่า การทำนายทางกายภาพเชิงปริมาณส่วนใหญ่ของทฤษฎีเกจสามารถได้มาภายใต้ข้อกำหนดที่สอดคล้องกันสำหรับการระงับหรือเพิกเฉยต่อระดับความเป็นอิสระที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์เหล่านี้เท่านั้น

แม้ว่าแกนที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ในพื้นที่ของการกำหนดค่าโดยละเอียดจะเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของแบบจำลองทางฟิสิกส์ แต่ก็ไม่มีชุดทิศทางพิเศษใดที่ "ตั้งฉาก" กับแกนเหล่านั้น ดังนั้นจึงมีความอิสระอย่างมากในการเลือก "ภาคตัดขวาง" ที่แสดงถึงการกำหนดค่าทางฟิสิกส์แต่ละแบบด้วย การกำหนดค่าโดยละเอียด เฉพาะ (หรือแม้แต่การกระจายแบบถ่วงน้ำหนัก) การกำหนดเกจอย่างรอบคอบสามารถลดความซับซ้อนของการคำนวณได้อย่างมาก แต่จะยากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อแบบจำลองทางฟิสิกส์มีความสมจริงมากขึ้น การประยุกต์ใช้กับทฤษฎีสนามควอนตัม นั้น เต็มไปด้วยความซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับการปรับค่าใหม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อการคำนวณดำเนินต่อไปในลำดับ ที่สูงขึ้น ในอดีต การค้นหา วิธีการกำหนดเกจ ที่สอดคล้องกับตรรกะและสามารถคำนวณได้ง่ายและความพยายามที่จะแสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกันของวิธีการเหล่านั้นเมื่อเผชิญกับความยากลำบากทางเทคนิคที่หลากหลาย เป็นแรงผลักดันสำคัญของฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่สิบเก้ามาจนถึงปัจจุบัน

ทฤษฎีเกจต้นแบบคือ สูตรของ เฮวิไซด์ - กิบบส์สำหรับพลศาสตร์ไฟฟ้า ต่อเนื่อง ในรูปของศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติซึ่งนำเสนอในที่นี้ในสัญกรณ์เฮวิไซด์แบบไม่สมมาตรในมิติเวลาและอวกาศ สนามไฟฟ้าEและสนามแม่เหล็กBในสมการของแม็กซ์เวลล์มีเพียงระดับความเป็นอิสระ "ทางกายภาพ" เท่านั้น ในแง่ที่ว่า ระดับความเป็นอิสระ ทางคณิตศาสตร์ ทุก ระดับในโครงสร้างสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีผลกระทบที่วัดได้แยกต่างหากต่อการเคลื่อนที่ของประจุทดสอบในบริเวณใกล้เคียง ตัวแปร "ความแรงสนาม" เหล่านี้สามารถแสดงได้ในรูปของศักย์สเกลาร์ไฟฟ้า${\displaystyle \varphi }$และศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กAผ่านความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

หากการแปลง

$${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }$$

1

เมื่อสร้างขึ้นแล้วBจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจาก (ด้วยเอกลักษณ์)${\displaystyle \nabla \times \nabla \psi =0}$) $${\displaystyle {\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงนี้ทำให้E เปลี่ยนแปลง ไปตาม $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\บางส่วน {\mathbf {A} }}{\บางส่วน t}}.}$$

หากมีการเปลี่ยนแปลงอื่นอีก

$${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}}$$

2

เมื่อสร้างขึ้นแล้วEก็ยังคงเหมือนเดิม ดังนั้น ฟิลด์ EและBจะไม่เปลี่ยนแปลงหากใช้ฟังก์ชันψ ( r , t ) ใดๆ และแปลงAและφ พร้อมกัน ผ่านการแปลง ( 1 ) และ ( 2 )

การเลือกศักยภาพสเกลาร์และเวกเตอร์ที่เฉพาะเจาะจงเรียกว่าเกจ (หรือ เรียกให้แม่นยำยิ่งขึ้นว่าศักยภาพเกจ ) และฟังก์ชันสเกลาร์ψที่ใช้ในการเปลี่ยนเกจเรียกว่าฟังก์ชันเกจการมีอยู่ของฟังก์ชันเกจψ ( r , t ) จำนวนมากตามอำเภอใจนั้น สอดคล้องกับอิสรภาพเกจU(1)ของทฤษฎีนี้ การกำหนดเกจสามารถทำได้หลายวิธี ซึ่งเราจะแสดงบางส่วนไว้ด้านล่าง

แม้ว่าในปัจจุบันมักมีการกล่าวถึงแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกว่าเป็นทฤษฎีเกจ แต่เดิมนั้นไม่ได้ถูกคิดขึ้นมาในแง่นี้ การเคลื่อนที่ของประจุจุดแบบคลาสสิกจะได้รับผลกระทบจากความแรงของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก ณ จุดนั้นเท่านั้น และศักย์สามารถถือได้ว่าเป็นเพียงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพื่อลดความซับซ้อนของการพิสูจน์และการคำนวณบางอย่าง จนกระทั่งการมาถึงของทฤษฎีสนามควอนตัม จึงจะกล่าวได้ว่าศักย์นั้นเป็นส่วนหนึ่งของโครงสร้างทางกายภาพของระบบ ผลที่ตามมาแรกสุดที่ได้รับการทำนายอย่างแม่นยำและได้รับการตรวจสอบทางทดลองคือปรากฏการณ์อาฮาโรนอฟ-โบห์มซึ่งไม่มีคู่เทียบในทฤษฎีคลาสสิก อย่างไรก็ตาม ความเป็นอิสระของเกจยังคงเป็นจริงในทฤษฎีเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น ปรากฏการณ์อาฮาโรนอฟ-โบห์มขึ้นอยู่กับปริพันธ์เส้นของAรอบวงปิด และปริพันธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงโดย $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.}$$

การกำหนดเกจใน ทฤษฎีเกจ แบบไม่เชิงอะเบเลียนเช่นทฤษฎีหยาง-มิลส์และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างซับซ้อนกว่า สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่ความกำกวมของกริบอฟ , ผีของฟัดเดเยฟ-โปปอฟและบันเดิลเฟรม

ภาพประกอบ

เพื่อเป็นตัวอย่างของการกำหนดเกจ เราอาจพิจารณาแท่งทรงกระบอกและพยายามบอกว่ามันบิดหรือไม่ ถ้าแท่งนั้นเป็นทรงกระบอกสมบูรณ์แบบ ความสมมาตรแบบวงกลมของหน้าตัดจะทำให้ไม่สามารถบอกได้ว่ามันบิดหรือไม่ อย่างไรก็ตาม หากมีเส้นตรงลากไปตามความยาวของแท่งนั้น เราก็สามารถบอกได้ง่ายๆ ว่ามีการบิดหรือไม่โดยการดูสภาพของเส้นนั้น การลากเส้นตรงคือการกำหนดเกจ การลากเส้นตรงนั้นทำลายความสมมาตรของเกจ กล่าวคือ ความสมมาตรแบบวงกลมU(1)ของหน้าตัดที่แต่ละจุดของแท่ง เส้นตรงนั้นเทียบเท่ากับฟังก์ชันเกจมันไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรง เส้นตรงเกือบทุกเส้นเป็นการกำหนดเกจที่ถูกต้อง กล่าวคือ มีอิสระของเกจ มาก สรุปแล้ว ในการบอกว่าแท่งนั้นบิดหรือไม่ ต้องทราบเกจ ปริมาณทางกายภาพ เช่น พลังงานของการบิด ไม่ขึ้นอยู่กับเกจ กล่าวคือ มันไม่เปลี่ยนแปลงตามเกจ

เกจคูลอมบ์ (เรียกอีกอย่างว่าเกจตามขวาง^{[ 1 ]}หรือเกจรังสี^{[ 2 ]} ) ใช้ในเคมีควอนตัมและฟิสิกส์สสารควบแน่นและกำหนดโดยเงื่อนไขเกจ (กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ เงื่อนไขการตรึงเกจ) $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.}$$

วิธีนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการคำนวณแบบ "กึ่งคลาสสิก" ในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งศักยภาพเวกเตอร์ถูกทำให้เป็นควอนตัมแต่ปฏิสัมพันธ์คูลอมบ์ไม่ได้ถูกทำให้เป็นควอนตัม

เกจคูลอมบ์มีคุณสมบัติหลายประการ:

มาตรวัดลอเรนซ์มีหน่วยวัดใน ระบบ SIดังนี้: $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$$ และในหน่วยเกาส์เซียนโดย: $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$ ที่ไหน${\displaystyle A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]}$∂μคือศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติและ คือ เกรเดียนต์สี่มิติ [โดยใช้ลายเซ็นเมตริก (+, −, −, −)]

เกจนี้ มีความโดดเด่นในบรรดาเกจข้อจำกัดอื่นๆ ตรงที่ยังคงรักษาคุณสมบัติการไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงลอเรนซ์ ไว้อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าเกจนี้เดิมทีตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวเดนมาร์กลุดวิก ลอเรนซ์ไม่ใช่เฮนดริก ลอเรนซ์และมักสะกดผิดเป็น "เกจลอเรนซ์" (ทั้งสองคนไม่ใช่คนแรกที่ใช้เกจนี้ในการคำนวณ เกจนี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกในปี 1888 โดยจอร์จ ฟรานซิส ฟิตซ์เจอรัลด์ )

เกจลอเรนซ์นำไปสู่สมการคลื่นที่ไม่เป็นเอกพันธ์ต่อไปนี้สำหรับศักยภาพ: $${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J} }$$

จากสมการเหล่านี้จะเห็นได้ว่า ในกรณีที่ไม่มีกระแสไฟฟ้าและประจุ คำตอบที่ได้จะเป็นศักย์ไฟฟ้าซึ่งแพร่กระจายด้วยความเร็วแสง

เกจลอเรนซ์ไม่สมบูรณ์ในบางแง่: ยังคงมีปริภูมิย่อยของการแปลงเกจที่สามารถรักษาข้อจำกัดไว้ได้ ระดับความเป็นอิสระที่เหลือเหล่านี้สอดคล้องกับฟังก์ชันเกจที่สอดคล้องกับสมการคลื่น$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi }$$

ระดับความเป็นอิสระของเกจที่เหลือเหล่านี้จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วแสง เพื่อให้ได้เกจที่คงที่อย่างสมบูรณ์ จำเป็นต้องเพิ่มเงื่อนไขขอบเขตตามแนวกรวยแสงของบริเวณทดลอง

สมการของแม็กซ์เวลล์ในเกจลอเรนซ์จะลดรูปเหลือดังนี้ $${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }}$$ ที่ไหน${\displaystyle j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]}$คือกระแสไฟฟ้าสี่กระแส

คำตอบสองข้อของสมการเหล่านี้สำหรับการกำหนดค่ากระแสไฟฟ้าเดียวกันนั้นแตกต่างกันด้วยคำตอบของสมการคลื่นสุญญากาศ $${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0.}$$ ในรูปแบบนี้ เป็นที่ชัดเจนว่าส่วนประกอบของศักยภาพแยกกันนั้นสอดคล้องกับสมการไคลน์-กอร์ดอนและด้วยเหตุนี้ เงื่อนไขเกจของลอเรนซ์จึงอนุญาตให้คลื่นโพลาไรซ์ตามแนวขวาง ตามแนวยาว และ "แบบเวลา" เกิดขึ้นในศักยภาพสี่มิติ การโพลาไรซ์ตามแนวขวางสอดคล้องกับการแผ่รังสีแบบคลาสสิก กล่าวคือ คลื่นโพลาไรซ์ตามแนวขวางในความแรงของสนาม เพื่อที่จะระงับสถานะโพลาไรซ์ตามแนวยาวและแบบเวลาที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ ซึ่งไม่พบในการทดลองที่ระดับระยะทางแบบคลาสสิก จำเป็นต้องใช้ข้อจำกัดเสริมที่เรียกว่าเอกลักษณ์ของวอร์ด ด้วย ในทางคลาสสิก เอกลักษณ์เหล่านี้เทียบเท่ากับสมการความต่อเนื่อง$${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0.}$$

ความแตกต่างหลายประการระหว่างอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบคลาสสิกและแบบควอนตัมสามารถอธิบายได้ด้วยบทบาทของโพลาไรเซชันตามแนวยาวและโพลาไรเซชันตามเวลาในการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคที่มีประจุในระยะทางระดับจุลภาค

เกจR เป็นการขยายความของเกจ Lorenz ที่ใช้ได้กับทฤษฎีที่แสดงในรูปของหลักการแอคชั่นที่มีความหนาแน่นแบบลากรางจ์${\displaystyle {\mathcal {L}}}$แทนที่จะแก้ไขเกจโดยการจำกัดสนามเกจล่วงหน้าผ่านสมการเสริม เราจะเพิ่ม เทอม การทำลาย เกจ เข้าไปในลากรางเจียน "ทางกายภาพ" (เกจอินวาเรียนต์) $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}}$$

การเลือกค่าพารามิเตอร์ξจะกำหนดการเลือกเกจ เกจR Landauนั้นเทียบเท่ากับเกจ Lorenz ในทางคลาสสิก กล่าวคือ ได้มาในลิมิตξ  →  0 แต่เป็นการเลื่อนการหาลิมิตนั้นไปจนกว่าทฤษฎีจะได้รับการควอนตัมแล้ว เกจนี้ช่วยเพิ่มความเข้มงวดของการพิสูจน์การมีอยู่และการเทียบเท่าบางอย่าง การคำนวณ ทฤษฎีสนามควอนตัมส่วนใหญ่ง่ายที่สุดในเกจ Feynman–'t Hooftซึ่งξ = 1ส่วนการคำนวณบางอย่างนั้นจัดการได้ง่ายกว่าใน เกจ R อื่นๆ เช่นเกจ Yennie ξ = 3 (ตั้งชื่อตามDonald R. Yennie )

สูตรที่เทียบเท่ากันของ เกจ R ใช้ฟิลด์เสริมซึ่งเป็นฟิลด์สเกลาร์Bที่ไม่มีไดนามิกอิสระ: $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}}$$

ฟิลด์เสริม ซึ่งบางครั้งเรียกว่าฟิลด์ Nakanishi–Lautrupสามารถกำจัดได้โดย "การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์" เพื่อให้ได้รูปแบบเดิม จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฟิลด์เสริมนี้เป็นอนุภาคGoldstone boson ชนิดหนึ่ง และการใช้งานมีข้อดีเมื่อระบุสถานะเชิงอะซิมโทติกของทฤษฎี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อขยายขอบเขตไปไกลกว่า QED

ในอดีต การใช้ เกจ R ถือเป็นความก้าวหน้าทางเทคนิคที่สำคัญในการขยาย การคำนวณ ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ให้เหนือกว่าระดับหนึ่งลูปนอกจากจะคงไว้ซึ่งความไม่แปรผันของลอเรนซ์ อย่างชัดเจนแล้ว วิธีการ ของ R ξ ทำลายสมมาตรภายใต้การแปลง เกจเฉพาะที่ ในขณะที่ยังคงรักษาสัดส่วนของการวัดเชิงฟังก์ชัน ของ โครงสร้างเกจสองแบบที่แตกต่างกันทางกายภาพสิ่งนี้อนุญาตให้มีการเปลี่ยนตัวแปรซึ่งการรบกวนเล็กน้อยตามทิศทาง "ทางกายภาพ" ในปริภูมิของโครงสร้างจะแยกออกจากกันอย่างสิ้นเชิงจากการรบกวนตามทิศทาง "ที่ไม่ใช่ทางกายภาพ" ทำให้สามารถดูดซับการรบกวนในทิศทางหลังเข้าไปในการทำให้เป็นมาตรฐาน ที่ไม่มีความหมายทางกายภาพ ของปริพันธ์เชิงฟังก์ชันได้ เมื่อ ξ มีค่าจำกัด โครงสร้างทางกายภาพแต่ละแบบ (วงโคจรของกลุ่มการแปลงเกจ) จะไม่ได้ถูกแทนด้วยคำตอบเดียวของสมการข้อจำกัด แต่จะถูกแทนด้วยการกระจายแบบเกาส์เซียนที่อยู่ตรงกลางที่ค่าสุดขั้วของเทอมที่ทำลายเกจ ในแง่ของกฎของไฟน์แมนในทฤษฎีเกจคงที่ สิ่งนี้ปรากฏเป็นส่วนสนับสนุนต่อตัวแพร่กระจายโฟตอนสำหรับเส้นภายในจากโฟตอนเสมือน ที่มี โพลาไรเซชันที่ไม่สมจริง

ตัวแพร่โฟตอน ซึ่งเป็นตัวคูณที่สอดคล้องกับโฟตอนภายในใน การขยาย แผนภาพไฟน์แมนของการคำนวณ QED นั้น ประกอบด้วยตัวประกอบg ที่สอดคล้องกับเมตริกมินคอฟสกี การขยายตัวประกอบนี้ในรูปผลรวมเหนือโพลาไรเซชันของโฟตอนเกี่ยวข้องกับพจน์ที่มีโพลาไรเซชันที่เป็นไปได้ทั้งสี่แบบ รังสีโพลาไรซ์ตามแนวขวางสามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ในรูปผลรวมเหนือ ฐาน โพลาไรซ์เชิงเส้นหรือ เชิงวงกลม ใน ทำนองเดียวกัน เราสามารถรวมโพลาไรเซชันเกจตามแนวยาวและเชิงเวลาเพื่อให้ได้โพลาไรเซชัน "ไปข้างหน้า" และ "ย้อนกลับ" ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของพิกัดกรวยแสงที่เมตริกอยู่นอกแนวทแยง การขยาย ตัวประกอบ g ในรูปของพิกัดโพลาไรซ์เชิงวงกลม (สปิน ±1) และพิกัดกรวยแสงเรียกว่าผลรวมสปินผลรวมสปินมีประโยชน์อย่างมากทั้งในการทำให้การแสดงออกง่ายขึ้นและในการทำความเข้าใจทางกายภาพของผลกระทบเชิงทดลองที่เกี่ยวข้องกับพจน์ต่างๆ ในการคำนวณทางทฤษฎี

ริชาร์ด ไฟน์แมนใช้เหตุผลในทำนองนี้เป็นหลักในการพิสูจน์ความถูกต้องของวิธีการคำนวณที่ให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน มีค่าจำกัด และมีความแม่นยำสูง สำหรับพารามิเตอร์ที่สำคัญที่สามารถสังเกตได้ เช่นโมเมนต์แม่เหล็กผิดปกติของอิเล็กตรอน แม้ว่าบางครั้งเหตุผลของเขาจะขาดความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์แม้แต่ในมาตรฐานของนักฟิสิกส์ และมองข้ามรายละเอียดต่างๆ เช่น การพิสูจน์เอกลักษณ์ของวอร์ด-ทาคาฮาชิในทฤษฎีควอนตัม แต่การคำนวณของเขาก็ได้ผล และ ในไม่ช้า ฟรีแมน ไดสันก็แสดงให้เห็นว่าวิธีการของเขานั้นเทียบเท่ากับวิธีการของจูเลียน ชวิงเกอร์และซิน-อิติโร โทโมนาคะ ซึ่งไฟน์แมนได้รับ รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ร่วมกับพวกเขาในปี1965

รังสีโพลาไรซ์ไปข้างหน้าและย้อนกลับสามารถละเว้นได้ในสถานะเชิงอะซิมโทติกของทฤษฎีสนามควอนตัม (ดูเอกลักษณ์ของ Ward–Takahashi ) ด้วยเหตุนี้ และเนื่องจากการปรากฏของรังสีเหล่านี้ในผลรวมสปินสามารถมองได้ว่าเป็นเพียงกลไกทางคณิตศาสตร์ใน QED (คล้ายกับศักยภาพสี่มิติทางแม่เหล็กไฟฟ้าในอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบคลาสสิก) จึงมักถูกเรียกว่า "ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์" แต่แตกต่างจากขั้นตอนการแก้ไขเกจแบบอิงข้อจำกัดข้างต้น เกจ R สามารถขยายไปสู่ กลุ่มเกจแบบ ไม่เชิงอะเบเลียน ได้ดี เช่นSU(3)ของQCD การเชื่อมโยงระหว่างแกนการรบกวนทางกายภาพและไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ไม่ได้หายไปอย่างสิ้นเชิงภายใต้การเปลี่ยนตัวแปรที่สอดคล้องกัน เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง จะต้องคำนึงถึง Jacobianที่ไม่ธรรมดาของการฝังแกนอิสระของเกจภายในพื้นที่ของการกำหนดค่าโดยละเอียด สิ่งนี้ทำให้เกิดการปรากฏตัวอย่างชัดเจนของเกจโบซอนที่มีการโพลาไรซ์ไปข้างหน้าและย้อนกลับในไดอะแกรมของไฟน์แมน พร้อมกับผีของฟัดเดฟ-โปปอฟซึ่ง "ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์" มากยิ่งขึ้นไปอีก เนื่องจากมันละเมิดทฤษฎีบทสปิน-สถิติความสัมพันธ์ระหว่างเอนทิตีเหล่านี้ และเหตุผลที่พวกมันไม่ปรากฏเป็นอนุภาคในแง่ของกลศาสตร์ควอนตัม จะชัดเจนยิ่งขึ้นใน รูปแบบ การควอนตัมแบบBRST

ในทฤษฎีเกจที่ไม่ใช่แบบอาเบเลียน ใดๆ เกจอาเบเลียนสูงสุดใดๆ ก็ตามเป็น เกจ ที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งกำหนดอิสรภาพของเกจไว้นอกกลุ่มย่อยอาเบเลียนสูงสุดตัวอย่างเช่น

• สำหรับ ทฤษฎีเกจ SU(2)ในมิติ D กลุ่มย่อยอาเบเลียนสูงสุดคือกลุ่มย่อย U(1) หากเลือกกลุ่มย่อยนี้เป็นกลุ่มย่อยที่สร้างโดยเมทริกซ์ Pauli σ แล้ว เกจอาเบเลียนสูงสุดคือเกจที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,}$$ที่ไหน$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.}$$
• สำหรับ ทฤษฎีเกจ SU(3)ในมิติ D กลุ่มย่อยอาเบเลียนสูงสุดคือกลุ่มย่อย U(1)×U(1) หากเลือกกลุ่มย่อยนี้เป็นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยเมทริกซ์ Gell-Mann λ และλ แล้วเกจอาเบเลียนสูงสุดคือเกจที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,}$$ที่ไหน$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}}$$

สิ่งนี้ใช้ได้เป็นประจำในพีชคณิตขั้นสูง (ของกลุ่มในพีชคณิต) ตัวอย่างเช่น พีชคณิตคลิฟฟอร์ด และเป็นเช่นนั้นเป็นประจำ

มาตรวัดอื่นๆ ที่หลากหลายซึ่งอาจเป็นประโยชน์ในสถานการณ์เฉพาะต่างๆ ได้ปรากฏอยู่ในเอกสาร^{[ 1 ]}

• Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny (2007). ทฤษฎีคลาสสิกของสนาม . อัมสเตอร์ดัม: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• แจ็กสัน, เจดี (1999). อิเล็กโทรไดนามิกส์แบบคลาสสิก (  ฉบับที่ 3). นิวยอร์ก: ไวลีย์. ISBN 0-471-30932-X.