ทฤษฎีการรบกวน (กลศาสตร์ควอนตัม)

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ทฤษฎีการรบกวน (กลศาสตร์ควอนตัม)

ในกลศาสตร์ควอนตัมทฤษฎีการรบกวนคือชุดของวิธีการประมาณค่าที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับการรบกวน ทางคณิตศาสตร์ สำหรับการอธิบายระบบควอนตัม ที่ซับซ้อน ในแง่ของระบบที่ง่ายกว่าและเป็นที่รู้จัก

ในกลศาสตร์ควอนตัมทฤษฎีการรบกวนคือชุดของวิธีการประมาณค่าที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับการรบกวน ทางคณิตศาสตร์ สำหรับการอธิบายระบบควอนตัม ที่ซับซ้อน ในแง่ของระบบที่ง่ายกว่าและเป็นที่รู้จัก แนวคิดคือการเริ่มต้นด้วยระบบที่เรียบง่ายซึ่งทราบคำตอบทางคณิตศาสตร์แล้ว (เช่นสมการชโรดิงเกอร์ ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ) ${\hat {H}}|\Psi \rangle =E|\Psi \rangle$ ) และเพิ่ม แฮมิลโทเนียน "รบกวน" เพิ่มเติม( $H'$ ) แสดงถึงการรบกวนเล็กน้อยต่อระบบที่ทราบแล้วของแฮมิลโทเนียนดั้งเดิม ( $H_{0}$ ) ของระบบที่ทราบ (เช่น ${\hat {H}}=H_{0}+H'$ ถ้าการรบกวนมีขนาดเล็กระดับพลังงานและสถานะเฉพาะ ใหม่ ของระบบที่ถูกรบกวนสามารถแสดงได้ในรูปของ "การแก้ไข" ต่อระดับพลังงานและสถานะเฉพาะที่ทราบของระบบที่เรียบง่ายกว่า การแก้ไขเหล่านี้สามารถทำได้ในลำดับขนาดที่เล็กลงเรื่อยๆ จนถึงลำดับที่ n ซึ่งเป็นการแก้ไขที่เล็กมากจนไม่มีผลต่อความแม่นยำของการประมาณ

แฮมิลโทเนียนโดยประมาณ

ทฤษฎีการรบกวนเป็นเครื่องมือสำคัญในการอธิบาย ระบบ ควอนตัมที่ไม่มีคำตอบที่แน่นอน ระบบที่มีคำตอบที่แน่นอนที่ทราบแล้ว เช่นอะตอมไฮโดรเจน ตัวสั่นฮา ร์มอนิกควอนตัมและอนุภาคในกล่อง เป็นระบบในอุดมคติและอาจไม่สามารถอธิบายระบบที่เกี่ยวข้องได้อย่างเพียงพอ ทฤษฎีการรบกวนใช้คำตอบที่ทราบแล้วเพื่อสร้างคำตอบสำหรับระบบที่ซับซ้อนกว่า กระบวนการนี้ใช้การประมาณค่า แฮมิลโทเนียนของระบบ

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการรบกวน

ทฤษฎีการรบกวนสามารถนำมาใช้ได้หากปัญหาที่กำลังพิจารณาอยู่นั้นไม่สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ แต่สามารถกำหนดขึ้นได้โดยการเพิ่มพจน์ "เล็กๆ" เข้าไปในคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของปัญหาที่สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ

ตัวอย่างเช่น การเพิ่มศักย์ไฟฟ้า แบบรบกวน เข้าไปในแบบจำลองกลศาสตร์ควอนตัมของอะตอมไฮโดรเจนจะทำให้สามารถคำนวณการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเส้นสเปกตรัมของไฮโดรเจนที่เกิดจากการมีอยู่ของสนามไฟฟ้า ( ปรากฏการณ์สตาร์ก ) ได้ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น เพราะผลรวมของ ศักย์คูลอมบ์กับศักย์เชิงเส้นนั้นไม่เสถียร (ไม่มีสถานะผูกพันที่แท้จริง) แม้ว่าเวลาการทะลุผ่าน ( อัตราการสลายตัว ) จะยาวนานมากก็ตาม ความไม่เสถียรนี้ปรากฏให้เห็นเป็นการขยายตัวของเส้นสเปกตรัมพลังงาน ซึ่งทฤษฎีการรบกวนไม่สามารถจำลองได้อย่างสมบูรณ์

นิพจน์ที่สร้างขึ้นโดยทฤษฎีการรบกวนนั้นไม่แม่นยำ แต่สามารถนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แม่นยำได้ตราบใดที่พารามิเตอร์การขยาย เช่น $α$ มีค่าเล็กมาก โดยทั่วไป ผลลัพธ์จะแสดงในรูปของอนุกรม กำลังจำกัด ใน $α$ ซึ่งดูเหมือนจะลู่เข้าสู่ค่าที่แม่นยำเมื่อรวมกันในลำดับที่สูงขึ้น อย่างไรก็ตาม หลังจากลำดับ $n ~ 1/ α$ ผลลัพธ์จะแย่ลงเรื่อยๆ เนื่องจากอนุกรมมักจะลู่เข้า (เป็นอนุกรมเชิงเส้นกำกับ ) มีวิธีการแปลงอนุกรมเหล่านี้ให้เป็นอนุกรมลู่เข้า ซึ่งสามารถประเมินค่าสำหรับพารามิเตอร์การขยายขนาดใหญ่ได้อย่างมีประสิทธิภาพที่สุดโดยวิธีแปรผันในทางปฏิบัติ การขยายการรบกวนแบบลู่เข้ามักจะลู่เข้าช้า ในขณะที่การขยายการรบกวนแบบลู่เข้าบางครั้งให้ผลลัพธ์ที่ดี เช่น คำตอบที่แม่นยำ ในลำดับที่ต่ำกว่า^{[ 1 ]}

ในทฤษฎีควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) ซึ่ง ปฏิสัมพันธ์ระหว่าง อิเล็กตรอนและโฟตอน ได้รับการพิจารณาแบบรบกวน การคำนวณ โมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอนพบว่าสอดคล้องกับการทดลองถึงทศนิยมสิบเอ็ดตำแหน่ง^{[ 2 ]}ใน QED และทฤษฎีสนามควอนตัม อื่นๆ เทคนิคการคำนวณพิเศษที่เรียกว่าแผนภาพไฟน์แมนถูกนำมาใช้เพื่อรวมพจน์อนุกรมกำลังอย่างเป็นระบบ

ข้อจำกัด

การรบกวนขนาดใหญ่

บางระบบไม่สามารถอธิบายได้ด้วยการรบกวนเล็กน้อยที่เกิดขึ้นกับระบบง่ายๆ บางระบบ ทฤษฎีการรบกวนต้องการการรบกวนขนาดเล็ก ตัวอย่างเช่น ในควอนตัมโครโมไดนามิกส์ปฏิสัมพันธ์ของควาร์กกับ สนาม กลูออนไม่สามารถจัดการได้ด้วยทฤษฎีการรบกวนที่พลังงานต่ำ เนื่องจากค่าคงที่ของการเชื่อมต่อ (พารามิเตอร์การขยายตัว) จะมีค่ามากเกินไป ซึ่งขัดกับข้อกำหนดที่ว่าการแก้ไขจะต้องมีขนาดเล็ก

สถานะที่ไม่เป็นอะเดียแบติก

ทฤษฎีการรบกวนยังไม่สามารถอธิบายสถานะที่ไม่เกิดขึ้นแบบอะเดียแบติกจาก "แบบจำลองอิสระ" ได้ รวมถึงสถานะผูกพันและปรากฏการณ์รวมกลุ่มต่างๆ เช่นโซลิตอนระบบของอนุภาคอิสระ (เช่น อนุภาคที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์กัน) ที่มีการนำปฏิสัมพันธ์แบบดึงดูดเข้ามา อาจสร้างชุดสถานะเฉพาะใหม่ทั้งหมดที่สอดคล้องกับกลุ่มของอนุภาคที่ผูกพันกัน ตัวอย่างของปรากฏการณ์นี้สามารถพบได้ในสภาพนำยิ่งยวด แบบดั้งเดิม ซึ่งแรงดึงดูดระหว่างอิเล็กตรอนนำไฟฟ้า ที่เกิดจาก โฟนอนนำไปสู่การก่อตัวของคู่ของอิเล็กตรอนที่มีความสัมพันธ์กันที่เรียกว่าคู่คูเปอร์ทฤษฎีการรบกวนล้มเหลวเพราะไม่มีแบบจำลองของอนุภาคผูกพันในแบบจำลองที่ไม่ถูกรบกวน และพลังงานของโซลิตอนโดยทั่วไปจะแปรผกผัน กับ พารามิเตอร์การขยายตัว วิธี การประมาณอื่นๆ เช่นวิธีการแปรผันและวิธีการประมาณ WKBอาจใช้ได้กับกรณีเหล่านี้

การคำนวณที่ซับซ้อน

ปัญหาของ ระบบ ที่ไม่ใช่การรบกวนได้รับการบรรเทาลงบ้างแล้วด้วยการมาถึงของคอมพิวเตอร์ สมัยใหม่ การหาคำตอบเชิงตัวเลขที่ไม่ใช่การรบกวนสำหรับปัญหาบางอย่างเป็นไปได้ในทางปฏิบัติ โดยใช้วิธีการต่างๆ เช่นทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่นความก้าวหน้าเหล่านี้เป็นประโยชน์อย่างยิ่งต่อสาขาเคมีควอนตัม [ ^{3 ] คอมพิวเตอร์}ยังถูกใช้เพื่อดำเนินการคำนวณทฤษฎีการรบกวนด้วยความแม่นยำสูงเป็นพิเศษ ซึ่งพิสูจน์แล้วว่ามีความสำคัญในฟิสิกส์อนุภาคสำหรับการสร้างผลลัพธ์ทางทฤษฎีที่สามารถเปรียบเทียบกับการทดลองได้

ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลา

ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลาเป็นหนึ่งในสองประเภทของทฤษฎีการรบกวน อีกประเภทหนึ่งคือการรบกวนที่ขึ้นกับเวลา (ดูส่วนถัดไป) ในทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลา แฮมิลโทเนียนของการรบกวนเป็นแบบคงที่ (กล่าวคือ ไม่ขึ้นกับเวลา) ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลาถูกนำเสนอโดยเออร์วิน ชโรดิงเกอร์ในบทความปี 1926 ^{[ 4 ]}ไม่นานหลังจากที่เขาสร้างทฤษฎีของเขาในกลศาสตร์คลื่น ในบทความนี้ ชโรดิงเกอร์อ้างถึงงานก่อนหน้าของลอร์ด เรย์ลีย์ [ ⁵^]ผู้ซึ่งตรวจสอบการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกของสายที่ถูกรบกวนโดยความไม่สม่ำเสมอเล็กน้อย นี่คือเหตุผลที่ทฤษฎีการรบกวนนี้มักถูกเรียกว่าทฤษฎีการรบกวนของเรย์ลีย์-ชโรดิง เกอร์ ^[⁶^{] ทฤษฎีการรบกวนที่}^ไม่ขึ้นกับเวลาสามารถแยกออกเป็นทฤษฎีการรบกวนแบบไม่เสื่อมสภาพและแบบเสื่อมสภาพได้

ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่เสื่อมสภาพ

การแก้ไขลำดับแรก

กระบวนการเริ่มต้นด้วยแฮมิลโทเนียน $H$ ที่ไม่ถูกรบกวน ซึ่งถือว่าไม่มีการพึ่งพาเวลา^{[ 7 ]}มีระดับพลังงานและสถานะไอเกน ที่ทราบ ซึ่งเกิดขึ้นจากสมการชโรดิงเกอร์ ที่ไม่ขึ้นกับเวลา :

$H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\qquad n=1,2,3,\cdots$

เพื่อความง่าย ถือว่าพลังงานเป็นค่าไม่ต่อเนื่อง ตัวเลขยกกำลัง $(0)$ แสดงว่าปริมาณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับระบบที่ไม่ถูกรบกวน โปรดสังเกตการใช้สัญลักษณ์bra–ket

จากนั้นจึงนำการรบกวนมาใช้กับแฮมิลโทเนียน ให้ $V$ เป็นแฮมิลโทเนียนที่แสดงถึงการรบกวนทางกายภาพที่อ่อนแอ เช่น พลังงานศักย์ที่เกิดจากสนามภายนอก ดังนั้น $V$ จึงเป็นตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนใน เชิงรูปแบบ ให้ $λ$ เป็นพารามิเตอร์ไร้มิติที่สามารถมีค่าได้ต่อเนื่องตั้งแต่ 0 (ไม่มีการรบกวน) ถึง 1 (การรบกวนเต็มที่) แฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวนคือ:

$H=H_{0}+\แลมบ์ดา V$

ระดับพลังงานและสถานะเฉพาะของแฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวนจะได้รับจากสมการชโรดิงเกอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาอีกครั้ง $\left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .$

วัตถุประสงค์คือเพื่อแสดง $E$ และ $|n\rangle$ ในแง่ของระดับพลังงานและสถานะเฉพาะของแฮ มิ ลโทเนียนเดิม หากการรบกวนอ่อนมากพอ ก็สามารถเขียนได้ในรูปอนุกรมกำลัง (แมคลาลิน) ใน $λ$ ${\begin{aligned}E_{n}&=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \\[1ex]|n\rangle &=\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\lambda ^{2}\left|n^{(2)}\right\rangle +\cdots \end{aligned}}$ ที่ไหน ${\begin{aligned}E_{n}^{(k)}&={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}{\bigg |`{\lambda =0}\\[1ex]\left|n^{(k)}\right\rangle &=\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}\right|_{\lambda =0.}\end{aligned}}$

เมื่อ $k = 0$ ค่าเหล่านี้จะลดลงเหลือค่าที่ไม่ถูกรบกวน ซึ่งเป็นพจน์แรกในแต่ละอนุกรม เนื่องจากแรงรบกวนมีน้อย ระดับพลังงานและสถานะเฉพาะจึงไม่ควรเบี่ยงเบนไปจากค่าที่ไม่ถูกรบกวนมากนัก และพจน์ต่างๆ ควรจะลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อลำดับเพิ่มขึ้น

เมื่อแทนการกระจายอนุกรมกำลังลงในสมการชโรดิงเกอร์จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\cdots \right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right).$

เมื่อขยายสมการนี้และเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ของแต่ละกำลังของ $λ$ จะได้อนุกรมอนันต์ของสมการพร้อม กัน สม การอันดับศูนย์ก็คือสมการชโรดิงเกอร์สำหรับระบบที่ไม่ถูกรบกวนนั่นเอง $H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle .$

สมการอันดับแรกคือ $H_{0}\left|n^{(1)}\right\rangle +V\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle .$

ดำเนินการโดย $\langle n^{(0)}|$ พจน์แรกทางด้านซ้ายจะหักล้างกับพจน์แรกทางด้านขวา (โปรดจำไว้ว่าแฮมิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวนเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน ) ซึ่งนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงพลังงานอันดับแรก $E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .$ นี่คือค่าคาดหวังของแฮมิลโทเนียนการรบกวนในขณะที่ระบบอยู่ในสถานะไอเกนที่ไม่ถูกรบกวน

ผลลัพธ์นี้สามารถตีความได้ดังนี้: สมมติว่ามีการรบกวนเกิดขึ้น แต่ระบบยังคงอยู่ในสถานะควอนตัม $|n^{(0)}\rangle$ ซึ่งเป็นสถานะควอนตัมที่ถูกต้อง แม้ว่าจะไม่ใช่สถานะพลังงานเฉพาะอีกต่อไป การรบกวนทำให้พลังงานเฉลี่ยของสถานะนี้เพิ่มขึ้น $\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงพลังงานที่แท้จริงนั้นแตกต่างกันเล็กน้อย เนื่องจากสถานะไอเกนที่ถูกรบกวนนั้นไม่เหมือนกับอย่างแท้จริง $|n^{(0)}\rangle$ การเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมเหล่านี้ได้มาจากการแก้ไขลำดับที่สองและลำดับที่สูงกว่าของพลังงาน

ก่อนที่จะคำนวณค่าแก้ไขสำหรับสถานะพลังงานเฉพาะ เราต้องจัดการกับปัญหาการทำให้เป็นมาตรฐานเสียก่อน สมมติว่า $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =1,$ แต่ทฤษฎีการรบกวนก็ตั้งสมมติฐานไว้เช่นกันว่า $\langle n|n\rangle =1$ .

ดังนั้นในอันดับแรกของ $λ$ ข้อความต่อไปนี้จะต้องเป็นจริง: $\left(\left\langle n^{(0)}\right|+\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle \right)=1$ $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +{\cancel {\lambda ^{2}\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle }}=1$ $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =0.$

พจน์𝜆 ²จะถูกตัดทิ้งในการขยายลำดับที่หนึ่ง

เนื่องจากเฟสโดยรวมไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกลศาสตร์ควอนตัม ดังนั้นโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปในทฤษฎีที่ไม่ขึ้นกับเวลา จึงสามารถสันนิษฐานได้ว่า $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ เป็นของจริงล้วนๆ ดังนั้น $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =-\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle ,$ นำไปสู่ $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.$

เพื่อให้ได้การแก้ไขอันดับแรกสำหรับสถานะพลังงานเฉพาะ จะนำนิพจน์สำหรับการ แก้ไขพลังงานอันดับแรกกลับไปใส่ในผลลัพธ์ที่แสดงไว้ข้างต้น โดยเทียบสัมประสิทธิ์อันดับแรกของ $λ$

การแก้ไขอันดับแรกสำหรับสถานะพลังงานสามารถหาได้จากการพิจารณาดังต่อไปนี้ โดยใช้การแยกเอกลักษณ์ : ${\begin{aligned}V\left|n^{(0)}\right\rangle &=\left(\sum _{k}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle \\&=\left(\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle +\left(\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle \\&=\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\end{aligned}}$ ที่ซึ่ง $|k^{(0)}\rangle$ อยู่ในส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของ $|n^{(0)}\rangle$ กล่าวคือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอื่นๆ

ดังนั้นสมการอันดับแรกจึงสามารถแสดงได้ดังนี้ $\left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .$

สมมติว่าระดับพลังงานลำดับศูนย์ไม่เสื่อมสภาพกล่าวคือไม่มีสถานะเฉพาะของ $H$ ในส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของ $|n^{(0)}\rangle$ ด้วยพลังงาน $E_{n}^{(0)}$ หลังจากเปลี่ยนชื่อดัชนีจำลองผลรวมข้างต้นเป็น $k'$ , ใดๆ $k\neq n$ สามารถเลือกและคูณสมการอันดับแรกด้วย $\langle k^{(0)}|$ ให้ $\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left\langle k^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .$

ข้างต้น $\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ ตามนิยามแล้ว คือส่วนประกอบของการแก้ไขอันดับแรก $|n^{(1)}\rangle$ ตาม $|k^{(0)}\rangle$ ดังนั้น ในฐาน $H$ $|n^{(1)}\rangle$ สามารถแสดงได้ดังนี้: $\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\left|k^{(0)}\right\rangle .$

การเปลี่ยนแปลงอันดับแรกใน สถานะพลังงานลำดับที่ $n$ มีส่วนประกอบจากสถานะพลังงานอื่นๆ $k \neq n$ แต่ละเทอมเป็นสัดส่วนกับองค์ประกอบเมทริกซ์ $\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ ซึ่งเป็นการวัดว่าการรบกวนผสมไอเกนสเตต $n$ กับไอเกนสเตต $k$ มากน้อยเพียงใด นอกจากนี้ยังแปรผกผันกับความแตกต่างของพลังงานระหว่างไอเกนสเตต $k$ และ $n$ ซึ่งหมายความว่าการรบกวนจะทำให้ไอเกนสเตตเสียรูปมากขึ้นหากมีไอเกนสเตตจำนวนมากขึ้นที่พลังงานใกล้เคียงกัน นิพจน์นี้จะมีความผิดปกติหากสถานะใด ๆ เหล่านี้มีพลังงานเท่ากับสถานะ $n$ ซึ่งเป็นเหตุผลที่สันนิษฐานว่าไม่มีภาวะเสื่อม สูตรข้างต้นสำหรับไอเกนสเตตที่ถูกรบกวนยังบ่งชี้ว่าทฤษฎีการรบกวนสามารถนำมาใช้ได้อย่างถูกต้องก็ต่อเมื่อขนาดสัมบูรณ์ของเมทริกซ์องค์ประกอบของการรบกวนมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความแตกต่างที่สอดคล้องกันในระดับพลังงานที่ไม่ถูกรบกวน กล่าวคือ $|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$

การแก้ไขลำดับที่สองและลำดับที่สูงกว่า

ค่าเบี่ยงเบนลำดับสูงกว่าจะคำนวณโดยใช้ขั้นตอนที่คล้ายกัน แม้ว่าการคำนวณจะค่อนข้างยุ่งยากภายใต้สูตรนี้ก็ตาม ข้อตกลงการทำให้เป็นมาตรฐาน โดยที่เวกเตอร์สถานะทั้งหมดของสมการชโรดิงเกอร์ที่ถูกรบกวนเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกัน จะได้ว่า

$2\operatorname {Re} (\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(2)}\right\rangle )+\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.$

เราจะนำเฟสมาใช้กับเวกเตอร์สถานะทั้งหมดของสมการชโรดิงเกอร์ที่ถูกรบกวน ซึ่งจะทำให้เทอมแรกมีเพียงส่วนจริงเท่านั้น^{[ 8 ]}จนถึงอันดับที่สอง นิพจน์สำหรับพลังงานและสถานะเฉพาะ (ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน) คือ:

$E_{n}^{(2)}(\lambda )=E_{n}^{(0)}+\lambda \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}{\frac {\left|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+O(\lambda ^{3})$

${\begin{aligned}|n^{(2)}(\lambda )\rangle =\left|n^{(0)}\right\rangle &+\lambda \sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|\ell ^{(0)}\right\rangle \left\langle \ell ^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)}\right)}}\\[1ex]&-\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left|n^{(0)}\right\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}+O(\lambda ^{3}).\end{aligned}}$ หากมีการใช้การทำให้เป็นมาตรฐานขั้นกลาง (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หากจำเป็นต้องใช้) $\langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1$ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ที่เกือบจะเหมือนกันสำหรับการแก้ไขอันดับสองกับการแก้ไขที่ให้ไว้ข้างต้น กล่าวคือ สำหรับการปรับค่ามาตรฐานระดับกลาง พจน์สุดท้ายจะถูกละเว้น

เมื่อขยายกระบวนการต่อไป การแก้ไขพลังงานลำดับที่สามสามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 9 ]}

$E_{n}^{(3)}=\sum _{k\neq n}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle \langle m^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)}}-\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \sum _{m\neq n}{\frac {|\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)^{2}}}.$

การแก้ไขอันดับที่ห้า (พลังงาน) และอันดับที่สี่ (สถานะ) ในรูปแบบสัญลักษณ์ย่อ

ถ้าเรานำสัญลักษณ์นี้มาใช้

$V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle ,$ $E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)},$

จากนั้นจึงสามารถเขียนการแก้ไขพลังงานลำดับที่ห้าได้

${\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=V_{nn}\\E_{n}^{(2)}&={\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\E_{n}^{(3)}&={\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}-V_{nn}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}\\E_{n}^{(4)}&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}-2V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\E_{n}^{(5)}&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad -V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\&\quad +V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{3}}}-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\\&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-2E_{n}^{(2)}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad +V_{nn}\left(-2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}+{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}\right)\\&\quad +V_{nn}^{2}\left(2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}\right)-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\end{aligned}}$ และสามารถเขียนสถานะลำดับที่สี่ได้ ${\begin{aligned}|n^{(1)}\rangle &={\frac {V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}}}|k_{1}^{(0)}\rangle \\|n^{(2)}\rangle &=\left({\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}^{2}}}\right)|k_{1}^{(0)}\rangle -{\frac {1}{2}}{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{2}}}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(3)}\rangle &={\Bigg [}-{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}+{\frac {V_{nn}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{1}}}}+{\frac {1}{E_{nk_{2}}}}\right)-{\frac {|V_{nn}|^{2}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{3}}}+{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{1}}}}+{\frac {1}{2E_{nk_{2}}}}\right){\Bigg ]}|k_{1}^{(0)}\rangle \\&\quad +{\Bigg [}-{\frac {V_{nk_{2}}V_{k_{2}k_{1}}V_{k_{1}n}+V_{k_{2}n}V_{k_{1}k_{2}}V_{nk_{1}}}{2E_{nk_{2}}^{2}E_{nk_{1}}}}+{\frac {|V_{nk_{1}}|^{2}V_{nn}}{E_{nk_{1}}^{3}}}{\Bigg ]}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(4)}\rangle &={\Bigg [}{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}+V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{2}k_{4}}}{2E_{k_{1}n}E_{k_{2}k_{3}}^{2}E_{k_{2}k_{4}}}}-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{4}}V_{k_{4}n}V_{k_{1}k_{2}}}{E_{k_{1}n}E_{k_{2}n}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}+{\frac {V_{k_{1}k_{2}}}{E_{k_{1}n}}}\left({\frac {|V_{k_{2}k_{3}}|^{2}V_{k_{2}k_{2}}}{E_{k_{2}k_{3}}^{3}}}-{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}V_{k_{2}n}}{E_{k_{3}n}^{2}E_{k_{2}n}}}\right)\\&\quad +{\frac {V_{nn}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{3}n}V_{k_{2}k_{3}}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{3}}E_{k_{2}n}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{3}}}}+{\frac {1}{E_{k_{2}n}}}+{\frac {1}{E_{k_{1}n}}}\right)+{\frac {|V_{k_{2}n}|^{2}V_{k_{1}k_{3}}}{E_{nk_{2}}E_{k_{1}n}}}\left({\frac {V_{k_{3}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{3}}}}-{\frac {V_{k_{3}k_{1}}}{E_{k_{3}k_{1}}^{2}}}\right)-{\frac {V_{nn}\left(V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{1}k_{3}}V_{k_{2}k_{1}}+V_{k_{3}k_{1}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{1}k_{2}}\right)}{2E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{3}}^{2}E_{k_{1}k_{2}}}}\\&\quad +{\frac {|V_{nn}|^{2}}{E_{k_{1}n}}}\left({\frac {V_{k_{1}n}V_{nn}}{E_{k_{1}n}^{3}}}+{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{k_{2}n}^{3}}}\right)-{\frac {|V_{k_{1}k_{2}}|^{2}V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{2}}^{3}}}{\Bigg ]}|k_{1}^{(0)}\rangle +{\frac {1}{2}}\left[{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}k_{2}}}{E_{nk_{1}}E_{k_{2}n}^{2}}}\left({\frac {V_{k_{2}n}V_{nn}}{E_{k_{2}n}}}-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}}}\right)\right.\\&\quad \left.-{\frac {V_{k_{1}n}V_{k_{2}k_{1}}}{E_{k_{1}n}^{2}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {V_{k_{3}k_{2}}V_{nk_{3}}}{E_{nk_{3}}}}+{\frac {V_{nn}V_{nk_{2}}}{E_{nk_{2}}}}\right)+{\frac {|V_{nk_{1}}|^{2}}{E_{k_{1}n}^{2}}}\left({\frac {3|V_{nk_{2}}|^{2}}{4E_{k_{2}n}^{2}}}-{\frac {2|V_{nn}|^{2}}{E_{k_{1}n}^{2}}}\right)-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{1}}|V_{nk_{1}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}\right]|n^{(0)}\rangle \end{aligned}}$

ควรบวกพจน์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้อง กับ $k$ $เข้าด้วยกัน โดยที่ ตัว$ ต้องไม่เป็นศูนย์

เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยง การแก้ไขลำดับที่ kของพลังงาน $E$ กับฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่เชื่อมต่อจุด $k$ ของการรบกวน $V$ ในสถานะ $|n^{(0)}\rangle$ . สำหรับ $k=2$ จำเป็นต้องพิจารณาการแปลงลาปลาส ผกผันด้วย $\rho _{n,2}(s)$ ของตัวเชื่อมความสัมพันธ์แบบสองจุด: $\langle n^{(0)}|V(\tau )V(0)|n^{(0)}\rangle -\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle ^{2}=\mathrel {\mathop {:} } \int _{\mathbb {R} }\!ds\;\rho _{n,2}(s)\,e^{-(s-E_{n}^{(0)})\tau }$ ที่ไหน $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ คือตัวดำเนินการรบกวน $V$ ในภาพปฏิสัมพันธ์ ซึ่งวิวัฒนาการในเวลาแบบยุคลิด จากนั้น $E_{n}^{(2)}=-\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {ds}{s-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,2}(s).$

สูตรที่คล้ายกันนี้มีอยู่ในทฤษฎีการรบกวนทุกอันดับ ทำให้สามารถแสดงออกมาได้ $E_{n}^{(k)}$ ในแง่ของการแปลงลาปลาสผกผัน $\rho _{n,k}$ ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่เชื่อมต่อกัน $\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle -{\text{subtractions}}.$

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าเราเขียน $\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}ds_{i}\,e^{-(s_{i}-E_{n}^{(0)})\tau _{i}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1})\,$ จากนั้น การเปลี่ยนแปลงพลังงานลำดับที่ $k$ จะได้รับจาก^{[ 10 ]}

$E_{n}^{(k)}=(-1)^{k-1}\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}{\frac {ds_{i}}{s_{i}-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1}).$

ทฤษฎีการรบกวนแบบเสื่อมสภาพ

สมมติว่าสถานะพลังงานสองสถานะขึ้นไปของแฮมิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวนนั้นมีค่าเท่ากันการเปลี่ยนแปลงพลังงานอันดับแรกนั้นไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน เนื่องจากไม่มีวิธีใดวิธีหนึ่งที่เฉพาะเจาะจงในการเลือกฐานของสถานะพลังงานสำหรับระบบที่ไม่ถูกรบกวน สถานะพลังงานต่างๆ สำหรับพลังงานที่กำหนดจะถูกรบกวนด้วยพลังงานที่แตกต่างกัน หรืออาจไม่มีตระกูลการรบกวนที่ต่อเนื่องเลยก็ได้

สิ่งนี้ปรากฏให้เห็นในการคำนวณสถานะไอเกนที่ถูกรบกวนผ่านข้อเท็จจริงที่ว่าตัวดำเนินการ $E_{n}^{(0)}-H_{0}$ ไม่มีตัวผกผันที่ชัดเจน

ให้ $D$ แทนปริภูมิย่อยที่เกิดจากสถานะไอเกนที่เสื่อมสภาพเหล่านี้ ไม่ว่าการรบกวนจะเล็กน้อยเพียงใด ในปริภูมิย่อยที่เสื่อมสภาพ $D$ ความแตกต่างของพลังงานระหว่างสถานะไอเกนของ $H$ จะไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงมั่นใจได้ว่ามีการผสมผสานอย่างสมบูรณ์ของสถานะเหล่านี้อย่างน้อยบางส่วน โดยทั่วไป ค่าไอเกนจะแยกออก และปริภูมิไอเก นจะกลายเป็นแบบง่าย (หนึ่งมิติ) หรืออย่างน้อยก็มีมิติเล็กกว่าD

การรบกวนที่ประสบความสำเร็จจะไม่ "เล็ก" เมื่อเทียบกับฐานD ที่เลือกไม่ดี แต่เราจะพิจารณาว่าการรบกวน "เล็ก" หากสถานะไอเกนใหม่นั้นอยู่ใกล้กับปริภูมิย่อย $D$ แฮมิลโทเนียนใหม่จะต้องถูกทำให้เป็นแนวทแยงใน $D$ หรือการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของDกล่าวได้ว่า สถานะไอเกนที่ถูกรบกวนเหล่านี้ใน $D$ จะเป็นฐานสำหรับการขยายการรบกวน $|n\rangle =\sum _{k\in D}\alpha _{nk}|k^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle .$

สำหรับการรบกวนอันดับแรก เราจำเป็นต้องแก้แฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวนซึ่งจำกัดอยู่ในปริภูมิย่อยเสื่อมสภาพ $D$ $V|k^{(0)}\rangle =\epsilon _{k}|k^{(0)}\rangle +{\text{small}}\qquad \forall |k^{(0)}\rangle \in D,$ พร้อมกันสำหรับสถานะไอเกนที่เสื่อมสภาพทั้งหมด โดยที่ $\epsilon _{k}$ เป็นการแก้ไขอันดับแรกสำหรับระดับพลังงานที่เสื่อมสภาพ และ "เล็ก" เป็นเวกเตอร์ของ $O(\lambda )$ ตั้งฉากกับDซึ่งเทียบเท่ากับการทำให้เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม $\langle k^{(0)}|V|l^{(0)}\rangle =V_{kl}\qquad \forall \;|k^{(0)}\rangle ,|l^{(0)}\rangle \in D.$

กระบวนการนี้เป็นเพียงการประมาณการ เนื่องจากเราละเลยสถานะที่อยู่นอก พื้นที่ย่อย $D$ ("เล็ก") การแยกพลังงานที่เสื่อมสภาพ $\epsilon _{k}$ โดยทั่วไปจะสังเกตเห็นได้ แม้ว่าการแยกตัวอาจมีขนาดเล็กก็ตาม $O(\lambda )$ เมื่อเปรียบเทียบกับช่วงพลังงานที่พบในระบบแล้ว สิ่งนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการทำความเข้าใจรายละเอียดบางอย่าง เช่น เส้นสเปกตรัมในการทดลองเรโซแนนซ์สปินอิเล็กตรอน

การแก้ไขลำดับที่สูงกว่าอันเนื่องมาจากสถานะเฉพาะอื่นๆ นอกเหนือจาก $D$ สามารถหาได้ในลักษณะเดียวกับกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพ $\left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}\left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \right)|k^{(0)}\rangle .$

ตัวดำเนินการทางด้านซ้ายมือจะไม่เป็นตัวดำเนินการเอกฐานเมื่อนำไปใช้กับสถานะเฉพาะที่อยู่นอก $D$ ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ว่า $|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle ,$ แต่ผลกระทบต่อสถานะที่เสื่อมสภาพนั้นคือ $O(\lambda )$ .

สถานะใกล้เคียงความเสื่อมควรได้รับการปฏิบัติในลักษณะเดียวกัน เมื่อการแยกแฮมิลโทเนียนดั้งเดิมไม่ใหญ่กว่าการรบกวนในพื้นที่ย่อยใกล้เคียงความเสื่อม ตัวอย่างการประยุกต์ใช้พบได้ในแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระเกือบสมบูรณ์ซึ่งหากได้รับการจัดการอย่างเหมาะสม ความใกล้เคียงความเสื่อมจะก่อให้เกิดช่องว่างพลังงานแม้สำหรับการรบกวนเล็กน้อย สถานะเฉพาะอื่นๆ จะเปลี่ยนพลังงานสัมบูรณ์ของสถานะใกล้เคียงความเสื่อมทั้งหมดพร้อมกันเท่านั้น

ความเสื่อมถอยถูกยกระดับขึ้นสู่ลำดับแรก

ให้เราพิจารณาสถานะพลังงานที่เสื่อมสภาพและการรบกวนที่ขจัดความเสื่อมสภาพนั้นอย่างสมบูรณ์ไปจนถึงลำดับการแก้ไขอันดับแรก

แฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวนจะถูกกำหนดโดย ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}}\,,$ ที่ไหน ${\hat {H}}_{0}$ คือแฮมิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน ${\hat {V}}$ คือตัวดำเนินการรบกวน และ $0<\lambda <1$ คือพารามิเตอร์ของการรบกวน

ขอให้เรามุ่งเน้นไปที่ความเสื่อมโทรมของ $n$ พลังงานที่ไม่ถูกรบกวนลำดับที่ - $E_{n}^{(0)}$ เราจะใช้สัญลักษณ์ แทนสถานะที่ไม่ถูกรบกวนในปริภูมิย่อยที่เสื่อมสภาพนี้ $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ และสถานะที่ไม่ถูกรบกวนอื่นๆ เช่น $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ , ที่ไหน $k$ คือดัชนีของสถานะที่ไม่ถูกรบกวนในปริภูมิย่อยที่เสื่อมสภาพ และ $m\neq n$ แสดงถึงสถานะพลังงานอื่นๆ ทั้งหมดที่มีพลังงานแตกต่างจาก $E_{n}^{(0)}$ ความเสื่อมถอยในที่สุดในหมู่รัฐอื่นๆ ด้วย $\forall m\neq n$ ไม่ได้เปลี่ยนแปลงข้อโต้แย้งของเรา ทุกรัฐ $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ โดยมีค่าต่างๆ ของ $k$ แบ่งปันพลังงานเดียวกัน $E_{n}^{(0)}$ เมื่อไม่มีการรบกวน กล่าวคือ เมื่อ $\lambda =0$ พลังงาน $E_{m}^{(0)}$ ของรัฐอื่นๆ $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ กับ $m\neq n$ ล้วนแตกต่างกัน $E_{n}^{(0)}$ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์ กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกันเสมอไปในหมู่พวกมัน

โดย $V_{nl,nk}$ และ $V_{m,nk}$ เราใช้สัญลักษณ์ แทนองค์ประกอบเมทริกซ์ของตัวดำเนินการรบกวน ${\hat {V}}$ ในฐานของสถานะเฉพาะที่ไม่ถูกรบกวน เราสมมติว่าเวกเตอร์ฐาน $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ ในปริภูมิย่อยที่เสื่อมสภาพนั้น จะถูกเลือกเพื่อให้องค์ประกอบของเมทริกซ์ $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ เป็นแนวทแยงมุม สมมติด้วยว่าความเสื่อมถูกยกเลิกอย่างสมบูรณ์ในอันดับแรก กล่าวคือ $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ ถ้า $l\neq k$ เรามีสูตรต่อไปนี้สำหรับการแก้ไขพลังงานในลำดับที่สอง $\lambda$ $E_{nk}=E_{n}^{0}+\lambda V_{nk,nk}+\lambda ^{2}\sum \limits _{m\neq n}{\frac {\left|V_{m,nk}\right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}+{\mathcal {O}}(\lambda ^{3})\,,$ และสำหรับการแก้ไขสถานะในลำดับแรกใน $\lambda$ $\left|\psi _{nk}\right\rangle =\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle +\lambda \sum \limits _{m\neq n}{\frac {V_{m,nk}}{E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}}}\left(-\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle +\sum \limits _{l\neq k}{\frac {V_{nl,m}}{E_{nl}^{(1)}-E_{nk}^{(1)}}}\left|\psi _{nl}^{(0)}\right\rangle \right)+{\mathcal {O}}(\lambda ^{2})\,.$

โปรดสังเกตว่า การแก้ไขอันดับแรกของสถานะในที่นี้ตั้งฉากกับสถานะที่ไม่ถูกรบกวน $\left\langle \psi _{nk}^{(0)}|\psi _{nk}^{(1)}\right\rangle =0\,.$

การสรุปทั่วไปสำหรับกรณีหลายพารามิเตอร์

การขยายทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลาไปสู่กรณีที่มีพารามิเตอร์ขนาดเล็กหลายตัว $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ แทนที่จะใช้ λ เราสามารถกำหนดสูตรได้อย่างเป็นระบบมากขึ้นโดยใช้ภาษาของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะกำหนดอนุพันธ์ของสถานะควอนตัมและคำนวณการแก้ไขการรบกวนโดยการหาอนุพันธ์ซ้ำๆ ณ จุดที่ไม่ถูกรบกวน

แฮมิลโทเนียนและตัวดำเนินการแรง

จากมุมมองทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ แฮมิลโทเนียนแบบพารามิเตอร์ถือเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนแมนิโฟลด์ พารามิเตอร์ ซึ่งแมปชุดพารามิเตอร์แต่ละชุดโดยเฉพาะ $(x^{1},x^{2},\cdots )$ ไปยังตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน $H (x μ)$ ที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตพารามิเตอร์ในที่นี้อาจเป็นสนามภายนอก ความแรงของการปฏิสัมพันธ์ หรือพารามิเตอร์ขับเคลื่อนในการเปลี่ยนเฟสควอนตัมให้ $E (x μ)$ และ $|n(x^{\mu })\rangle$ ให้เป็น พลังงานไอเกนลำดับที่ $n$ และสถานะไอเกนของ $H (x μ)$ ตามลำดับ ในภาษาของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ สถานะเหล่านี้ $|n(x^{\mu })\rangle$ สร้างกลุ่มเวกเตอร์บนแมนิโฟลด์พารามิเตอร์ ซึ่งสามารถกำหนดอนุพันธ์ของสถานะเหล่านี้ได้ ทฤษฎีการรบกวนมีไว้เพื่อตอบคำถามต่อไปนี้: กำหนดให้ $E_{n}(x_{0}^{\mu })$ และ $|n(x_{0}^{\mu })\rangle$ ณ จุดอ้างอิงที่ไม่ถูกรบกวน $x_{0}^{\mu }$ วิธีการประมาณค่า $E (x μ)$ และ $|n(x^{\mu })\rangle$ ที่ $x μ$ ใกล้กับจุดอ้างอิงนั้น

โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป ระบบพิกัดสามารถเลื่อนได้เพื่อให้จุดอ้างอิง $x_{0}^{\mu }=0$ กำหนดให้เป็นจุดกำเนิด แฮมิลโทเนียนแบบพารามิเตอร์เชิงเส้นต่อไปนี้มักถูกใช้บ่อย $H(x^{\mu })=H(0)+x^{\mu }F_{\mu }.$

หาก พิจารณาพารามิเตอร์ $x μ$ เป็น พิกัดทั่วไปแล้ว $F$ ควรถูกระบุว่าเป็นตัวดำเนินการแรงทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับพิกัดเหล่านั้น ดัชนี $μ$ ที่แตกต่างกัน จะกำกับแรงที่แตกต่างกันตามทิศทางต่างๆ ในกลุ่มพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่น หาก $x μ$ แทนสนามแม่เหล็กภายนอกใน ทิศทาง $μ$ แล้ว $F$ ควรเป็นค่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กในทิศทางเดียวกัน

ทฤษฎีการรบกวนในรูปแบบการขยายอนุกรมกำลัง

ความถูกต้องของทฤษฎีการรบกวนขึ้นอยู่กับสมมติฐานอะเดียแบติก ซึ่งถือว่าพลังงานเฉพาะและสถานะเฉพาะของแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันเรียบของพารามิเตอร์ โดยที่ค่าของพวกมันในบริเวณใกล้เคียงสามารถคำนวณได้ในรูปอนุกรมกำลัง (เช่นการกระจายเทย์เลอร์ ) ของพารามิเตอร์:

${\begin{aligned}E_{n}(x^{\mu })&=E_{n}+x^{\mu }\partial _{\mu }E_{n}+{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}+\cdots \\[1ex]\left|n(x^{\mu })\right\rangle &=\left|n\right\rangle +x^{\mu }\left|\partial _{\mu }n\right\rangle +{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }\left|\partial _{\mu }\partial _{\nu }n\right\rangle +\cdots \end{aligned}}$

ในที่นี้ $\partial$ หมายถึงอนุพันธ์เทียบกับ $x μ$ เมื่อนำไปใช้กับสถานะ $|\partial _{\mu }n\rangle$ ควรเข้าใจว่าเป็นอนุพันธ์โคแวเรียนต์หากเวกเตอร์บันเดิลมีการเชื่อมต่อ ที่ไม่เป็นศูนย์ เทอม ทั้งหมดทางด้านขวามือของอนุกรมจะถูกประเมินที่ $x μ = 0$ เช่น $E \equiv E (0)$ และ $|n\rangle \equiv |n(0)\rangle$ ในส่วนย่อยนี้จะใช้หลักการนี้ โดยถือว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่ไม่ได้ระบุการพึ่งพาพารามิเตอร์ไว้อย่างชัดเจนนั้น มีค่าอยู่ที่จุดกำเนิด อนุกรมกำลังอาจลู่เข้าช้าหรืออาจไม่ลู่เข้าเลยเมื่อระดับพลังงานอยู่ใกล้กันมาก สมมติฐานแบบอะเดียแบติกจะใช้ไม่ได้เมื่อเกิดภาวะเสื่อมของระดับพลังงาน ดังนั้นทฤษฎีการรบกวนจึงไม่สามารถนำมาใช้ได้ในกรณีนั้น

ทฤษฎีบทของเฮลล์มันน์-ไฟน์แมน

การขยายอนุกรมกำลังข้างต้นสามารถประเมินได้อย่างง่ายดายหากมีวิธีการที่เป็นระบบในการคำนวณอนุพันธ์ในลำดับใด ๆ โดยใช้กฎลูกโซ่อนุพันธ์สามารถแยกย่อยออกเป็นอนุพันธ์เดี่ยวของพลังงานหรือสถานะได้ทฤษฎีบทของเฮลล์มันน์-ไฟน์แมนใช้ในการคำนวณอนุพันธ์เดี่ยวเหล่านี้ ทฤษฎีบทแรกของเฮลล์มันน์-ไฟน์แมนให้ค่าอนุพันธ์ของพลังงาน $\partial _{\mu }E_{n}=\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle$

ทฤษฎีบทเฮลล์มันน์-ไฟน์แมนข้อที่สองให้ค่าอนุพันธ์ของสถานะ (ซึ่งได้รับการแก้ไขโดยฐานสมบูรณ์ที่มี $m \neq n$ ) $\langle m|\partial _{\mu }n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}},\qquad \langle \partial _{\mu }m|n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{n}}}.$

สำหรับแฮมิลโทเนียนที่กำหนดพารามิเตอร์เชิงเส้น∂ $μ หมาย$ ถึงตัวดำเนินการแรงทั่วไป $F$

ทฤษฎีบทเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยการใช้ตัวการเชิงอนุพันธ์ $\partialμ$ กับทั้งสองข้างของสมการชโรดิงเกอร์ $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$ ซึ่งมีข้อความว่า

$\partial _{\mu }H|n\rangle +H|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}|n\rangle +E_{n}|\partial _{\mu }n\rangle .$

จากนั้นจึงทับซ้อนกับรัฐ $\langle m|$ จากซ้ายไปขวาและใช้สมการชโรดิงเกอร์ $\langle m|H=\langle m|E_{m}$ อีกครั้ง,

$\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle +E_{m}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}\langle m|n\rangle +E_{n}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle .$

เนื่องจากสถานะเฉพาะของแฮมิลโทเนียนก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากปกติเสมอ $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$ กรณีของ $m = n$ และ $m \neq n$ สามารถพิจารณาแยกกันได้ กรณีแรกจะนำไปสู่ทฤษฎีบทแรก และกรณีที่สองจะนำไปสู่ทฤษฎีบทที่สอง ซึ่งสามารถแสดงได้ทันทีโดยการจัดเรียงพจน์ใหม่ ด้วยกฎเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดโดยทฤษฎีบทของเฮลล์มันน์-ไฟน์แมน การแก้ไขแบบรบกวนต่อพลังงานและสถานะสามารถคำนวณได้อย่างเป็นระบบ

การแก้ไขพลังงานและสถานะ

สำหรับลำดับที่สอง การแก้ไขพลังงานมีดังนี้

$E_{n}(x^{\mu })=\langle n|H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+\Re \sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}x^{\mu }x^{\nu }+\cdots ,$ ที่ไหน $\Re$ แสดงถึง ฟังก์ชัน ส่วนจริงอนุพันธ์อันดับแรก $\partial E$ หาได้โดยตรงจากทฤษฎีบทเฮลล์มันน์-ไฟน์แมนข้อแรก ในการหาอนุพันธ์อันดับสอง $\partial \partial E$ เพียงแค่ใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ $\partial$ กับผลลัพธ์ของอนุพันธ์อันดับแรก $\langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle$ ซึ่งมีใจความว่า

$\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\langle \partial _{\mu }n|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|\partial _{\mu }n\rangle .$

โปรดทราบว่าสำหรับแฮมิลโทเนียนที่กำหนดพารามิเตอร์เชิงเส้น จะไม่มีอนุพันธ์อันดับสอง $\partial \partial H = 0$ ในระดับตัวดำเนินการ แก้ไขอนุพันธ์ของสถานะโดยการแทรกชุดฐานที่สมบูรณ์ $\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\sum _{m}\left(\langle \partial _{\mu }n|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }n\rangle \right),$ จากนั้นจึงสามารถคำนวณทุกส่วนได้โดยใช้ทฤษฎีบทเฮลล์มันน์-ไฟน์แมน ในแง่ของอนุพันธ์ลี $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$ ตามนิยามของการเชื่อมต่อสำหรับเวกเตอร์บันเดิล ดังนั้น กรณี $m = n$ จึงสามารถแยกออกจากการรวมผลได้ ซึ่งจะช่วยหลีกเลี่ยงภาวะเอกฐานของตัวส่วนพลังงาน ขั้นตอนเดียวกันนี้สามารถดำเนินการได้สำหรับอนุพันธ์อันดับสูงกว่า ซึ่งจะทำให้ได้การแก้ไขอันดับสูงกว่า

สามารถใช้แผนการคำนวณเดียวกันนี้ในการแก้ไขสถานะได้ ผลลัพธ์ในลำดับที่สองมีดังนี้ ${\begin{aligned}\left|n\left(x^{\mu }\right)\right\rangle =|n\rangle &+\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle x^{\mu }\\&+\left(\sum _{m\neq n}\sum _{l\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{n}-E_{l})}}|m\rangle -\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle \langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|m\rangle -{\frac {1}{2}}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\mu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|n\rangle \right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .\end{aligned}}$

ทั้งอนุพันธ์พลังงานและอนุพันธ์สถานะจะเกี่ยวข้องกับการอนุมาน เมื่อใดก็ตามที่พบอนุพันธ์สถานะ ให้แก้ไขโดยการใส่ชุดฐานที่สมบูรณ์ จากนั้นทฤษฎีบทเฮลล์มันน์-ไฟน์แมนจะสามารถนำมาใช้ได้ เนื่องจากสามารถคำนวณอนุพันธ์ได้อย่างเป็นระบบ วิธีการขยายอนุกรมสำหรับการแก้ไขแบบรบกวนจึงสามารถเขียนโค้ดบนคอมพิวเตอร์ด้วยซอฟต์แวร์ประมวลผลเชิงสัญลักษณ์ เช่นMathematicaได้

แฮมิลโทเนียนที่มีประสิทธิภาพ

ให้ $H (0)$ เป็นแฮมิลโทเนียนที่ถูกจำกัดอย่างสมบูรณ์ในปริภูมิย่อยพลังงานต่ำ ${\mathcal {H}}_{L}$ หรือในมิติย่อยพลังงานสูง ${\mathcal {H}}_{H}$ โดยที่ไม่มีองค์ประกอบเมทริกซ์ใน $H (0)$ ที่เชื่อมต่อระหว่างปริภูมิย่อยพลังงานต่ำและพลังงานสูง กล่าวคือ $\langle m|H(0)|l\rangle =0$ ถ้า $m\in {\mathcal {H}}_{L},l\in {\mathcal {H}}_{H}$ ให้ $F = \partial H$ เป็นเทอมคู่ควบที่เชื่อมต่อซับสเปซ จากนั้นเมื่อรวมระดับพลังงานสูงออกไปแล้ว แฮมิลโทเนียนที่มีประสิทธิภาพในซับสเปซพลังงานต่ำจะเป็นดังนี้^{[ 11 ]}

$H_{mn}^{\text{eff}}\left(x^{\mu }\right)=\langle m|H|n\rangle +\delta _{nm}\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+{\frac {1}{2!}}\sum _{l\in {\mathcal {H}}_{H}}\left({\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{l}}}+{\frac {\langle m|\partial _{\nu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{l}}}\right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .$

ที่นี่ $m,n\in {\mathcal {H}}_{L}$ ถูกจำกัดอยู่ในปริภูมิพลังงานต่ำ ผลลัพธ์ข้างต้นสามารถได้มาจากการขยายอนุกรมกำลังของ $\langle m|H(x^{\mu })|n\rangle$ .

ในทางที่เป็นทางการ สามารถกำหนดแฮมิลโทเนียนที่มีประสิทธิภาพซึ่งให้สถานะพลังงานต่ำและฟังก์ชันคลื่นได้อย่างแม่นยำ^{[ 12 ]}ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วจำเป็นต้องมีการประมาณบางอย่าง (ทฤษฎีการรบกวน)

ทฤษฎีการรบกวนที่ขึ้นอยู่กับเวลา

วิธีแปรผันค่าคงที่

ทฤษฎีการรบกวนแบบขึ้นอยู่กับเวลา ซึ่งริเริ่มโดยPaul Diracและได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยJohn Archibald Wheeler , Richard FeynmanและFreeman Dyson [ ^{13 ] ศึกษา}ผลของการรบกวนแบบขึ้นอยู่กับเวลา $V (t)$ ที่ใช้กับแฮมิลโทเนียน H 0 ที่ไม่ขึ้นกับเวลา[ $14$ ^{เป็นเครื่องมือที่}มีค่าอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณคุณสมบัติของระบบทางกายภาพ ใดๆ ใช้สำหรับการอธิบายเชิงปริมาณของปรากฏการณ์ที่หลากหลาย เช่น การกระเจิงของโปรตอน-โปรตอน การแตกตัวเป็นไอออนด้วยแสงของวัสดุ การกระเจิงของอิเล็กตรอนจากข้อบกพร่องของโครงสร้างในตัวนำ การกระเจิงของนิวตรอนจากนิวเคลียส ความไวต่อไฟฟ้าของวัสดุ พื้นที่หน้าตัดการดูดซับนิวตรอนในเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ และอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 13 ]}

เนื่องจากแฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวนนั้นขึ้นอยู่กับเวลา ระดับพลังงานและสถานะเฉพาะของมันจึงขึ้นอยู่กับเวลาด้วยเช่นกัน ดังนั้น เป้าหมายของทฤษฎีการรบกวนที่ขึ้นอยู่กับเวลาจึงแตกต่างจากทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นอยู่กับเวลาเล็กน้อย โดยเราสนใจปริมาณต่อไปนี้:

ค่าคาดหวังที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาของตัวแปรสังเกตได้ $A$ บางตัว สำหรับสถานะเริ่มต้นที่กำหนด
สัมประสิทธิ์การขยายตัวที่ขึ้นอยู่กับเวลา ( เทียบกับสถานะที่ขึ้นอยู่กับเวลาที่กำหนด) ของสถานะพื้นฐานเหล่านั้นซึ่งเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของพลังงาน (เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ) ในระบบที่ไม่ถูกรบกวน

ปริมาณแรกมีความสำคัญเพราะทำให้เกิด ผลลัพธ์ แบบคลาสสิกของ การวัดค่า $A$ ที่กระทำกับระบบที่ถูกรบกวนจำนวนมากในระดับมหภาค ตัวอย่างเช่น เราอาจกำหนดให้ $A$ เป็นการกระจัดใน ทิศทาง $x$ ของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งในกรณีนี้ ค่าที่คาดหวัง เมื่อคูณด้วยสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสม จะให้ค่าโพลาไรเซชันไดอิเล็กตริก ที่ขึ้นอยู่กับเวลา ของก๊าซไฮโดรเจน ด้วยการเลือกการรบกวนที่เหมาะสม (เช่น ศักย์ไฟฟ้าที่สั่น) จะทำให้สามารถคำนวณค่าสภาพยอม ทางไฟฟ้ากระแสสลับ ของก๊าซ ได้

ปริมาณที่สองพิจารณาความน่าจะเป็นของการครอบครองสถานะเฉพาะแต่ละสถานะที่ขึ้นอยู่กับเวลา ซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งใน ฟิสิกส์ เลเซอร์ที่เราสนใจจำนวนประชากรของสถานะอะตอมต่างๆ ในแก๊สเมื่อมีการใช้สนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ความน่าจะเป็นเหล่านี้ยังมีประโยชน์สำหรับการคำนวณ "การขยายตัวเชิงควอนตัม" ของเส้นสเปกตรัม (ดูการขยายตัวของเส้น ) และการสลายตัวของอนุภาคในฟิสิกส์อนุภาคและฟิสิกส์นิวเคลียร์

เราจะตรวจสอบวิธีการเบื้องหลังการกำหนดทฤษฎีการรบกวนแบบขึ้นอยู่กับเวลาของ Dirac โดยสังเขป เลือกฐานพลังงาน ${|n\rangle }$ สำหรับระบบที่ไม่ถูกรบกวน (เราละเว้นตัวยก (0) สำหรับสถานะไอเกน เนื่องจากไม่เป็นประโยชน์ที่จะพูดถึงระดับพลังงานและสถานะไอเกนสำหรับระบบที่ถูกรบกวน)

ถ้าหากระบบที่ไม่ถูกรบกวนเป็นสถานะเฉพาะ (ของแฮมิลโทเนียน) $|j\rangle$ ณ เวลา $t$ = 0 สถานะของมัน ณ เวลาต่อมาจะเปลี่ยนแปลงไปเพียงแค่เฟส เท่านั้น (ในภาพแบบชโรดิงเกอร์ซึ่งเวกเตอร์สถานะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาและตัวดำเนินการคงที่) $|j(t)\rangle =e^{-iE_{j}t/\hbar }|j\rangle ~.$

ต่อไปนี้ เราจะแนะนำแฮมิลโทเนียนรบกวนที่ขึ้นอยู่กับเวลา $V (t)$ แฮมิลโทเนียนของระบบที่ถูกรบกวนคือ $H=H_{0}+V(t)~.$ อนุญาต $|\psi (t)\rangle$ แทนสถานะควอนตัมของระบบที่ถูกรบกวน ณ เวลา $t$ โดยเป็นไปตามสมการชโรดิงเจอร์แบบขึ้นอยู่กับเวลา $H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ~.$

สถานะควอนตัม ณ แต่ละขณะสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของฐานค่าลักษณะเฉพาะที่สมบูรณ์ของ $|n\rangle$ :

|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle ~,

1

โดยที่ $c (t)$ s จะถูกกำหนดเป็น ฟังก์ชัน เชิงซ้อนของ $t$ ซึ่งเราจะเรียกว่าแอมพลิจูด (กล่าวอย่างเคร่งครัดแล้ว พวกมันคือแอมพลิจูดในภาพของ Dirac )

เราได้แยกปัจจัยเฟสเลขชี้กำลังออกมาอย่างชัดเจนแล้ว $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$ ทางด้านขวามือ นี่เป็นเพียงเรื่องของธรรมเนียมปฏิบัติ และสามารถทำได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เหตุผลที่เราต้องทำเช่นนี้ก็เพราะว่าเมื่อระบบเริ่มต้นในสถานะดังกล่าว $|j\rangle$ และไม่มีการรบกวนใดๆ เกิดขึ้น แอมพลิจูดจะมีคุณสมบัติที่สะดวกคือ สำหรับทุก $t$ , $c (t)$ = 1 และ $c (t)$ = 0 ถ้า $n \neq$ j

กำลังสองของค่าแอมพลิจูดสัมบูรณ์ $c (t)$ คือความน่าจะเป็นที่ระบบอยู่ในสถานะ $n$ ณ เวลา $t$ เนื่องจาก $\left|c_{n}(t)\right|^{2}=\left|\langle n|\psi (t)\rangle \right|^{2}~.$

เมื่อแทนค่าลงในสมการชโรดิงเกอร์และใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ∂/∂t ทำงานตามกฎผลคูณจะได้ $\sum _{n}\left(i\hbar {\frac {dc_{n}}{dt}}-c_{n}(t)V(t)\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle =0~.$

โดยการแก้เอกลักษณ์ที่อยู่หน้า $V$ และคูณด้วยบรา $\langle n|$ ทางด้านซ้าย สามารถลดรูปสมการนี้ให้เหลือชุดสมการเชิงอนุพันธ์ คู่กัน สำหรับแอมพลิจูดได้ ${\frac {dc_{n}}{dt}}={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\langle n|V(t)|k\rangle \,c_{k}(t)\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t/\hbar }~.$

โดยที่เราใช้สมการ ( 1 ) เพื่อประเมินผลรวมบน $n$ ในเทอมที่สอง จากนั้นใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ .

องค์ประกอบเมทริกซ์ของ $V$ มีบทบาทคล้ายคลึงกับในทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลา โดยเป็นสัดส่วนกับอัตราที่แอมพลิจูดเปลี่ยนแปลงระหว่างสถานะต่างๆ อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่าทิศทางของการเปลี่ยนแปลงจะถูกปรับเปลี่ยนโดยปัจจัยเฟสแบบเอกซ์โปเนนเชียล ในช่วงเวลาที่ยาวนานกว่าความแตกต่างของพลังงาน $E - E$ มาก เฟสจะหมุนรอบ 0 หลายครั้ง หากการเปลี่ยนแปลงของ $V$ ตามเวลา นั้นช้าเพียงพอ อาจทำให้แอมพลิจูดของสถานะเกิดการแกว่ง (ตัวอย่างเช่น การแกว่งดังกล่าวมีประโยชน์สำหรับการจัดการการเปลี่ยนผ่านการแผ่รังสีในเลเซอร์ )

มาถึงจุดนี้ เรายังไม่ได้ทำการประมาณค่าใดๆ ดังนั้นชุดสมการเชิงอนุพันธ์นี้จึงเป็นสมการที่แม่นยำ โดยการกำหนดค่าเริ่มต้นที่เหมาะสม $c (t)$ เราสามารถหาคำตอบที่แม่นยำ (กล่าวคือ ไม่ใช่คำตอบแบบรบกวน) ได้ในหลักการ ซึ่งทำได้ง่ายเมื่อมีระดับพลังงานเพียงสองระดับ ( $n$ = 1, 2) และคำตอบนี้มีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลองระบบต่างๆ เช่นโมเลกุลแอมโมเนีย

อย่างไรก็ตาม การหาคำตอบที่แน่นอนทำได้ยากเมื่อมีระดับพลังงานจำนวนมาก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมองหาคำตอบแบบรบกวนแทน ซึ่งสามารถหาได้โดยการแสดงสมการในรูปแบบปริพันธ์ $c_{n}(t)=c_{n}(0)-{\frac {i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(t')\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.$

การแทนค่านิพจน์นี้สำหรับ $c$ กลับเข้าไปในฝั่งขวามือซ้ำๆ จะได้คำตอบแบบวนซ้ำ $c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}+c_{n}^{(1)}+c_{n}^{(2)}+\cdots$ โดยที่พจน์อันดับแรกคือ ตัวอย่างเช่น $c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}^{(0)}\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.$ ในทำนองเดียวกัน ผลรวมในนิพจน์ข้างต้นสามารถตัดออกได้ เนื่องจากในสถานะที่ไม่ถูกรบกวน $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ เพื่อที่เราจะมี $c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.$

ผลลัพธ์อื่นๆ อีกหลายประการจึงเกิดขึ้นจากสิ่งนี้ เช่นกฎทองของเฟอร์มิซึ่งเชื่อมโยงอัตราการเปลี่ยนผ่านระหว่างสถานะควอนตัมกับความหนาแน่นของสถานะที่พลังงานเฉพาะ หรืออนุกรมไดสันซึ่งได้มาจากการประยุกต์ใช้วิธีการวนซ้ำกับตัวดำเนินการวิวัฒนาการตามเวลาซึ่งเป็นหนึ่งในจุดเริ่มต้นของวิธีการแผนภาพไฟน์แมน

วิธีการใช้งานของ Dyson series

การรบกวนที่ขึ้นอยู่กับเวลาสามารถจัดระเบียบใหม่ได้โดยใช้เทคนิคอนุกรมไดสัน สม การ ชโรดิงเกอร์ $H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}$ มีวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นทางการ $|\psi (t)\rangle =T\exp {\left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'H(t')\right]}|\psi (t_{0})\rangle ~,$ โดยที่ $T$ คือตัวดำเนินการเรียงลำดับเวลา $TA(t_{1})A(t_{2})={\begin{cases}A(t_{1})A(t_{2})&t_{1}>t_{2}\\A(t_{2})A(t_{1})&t_{2}>t_{1}\end{cases}}~.$ ดังนั้น เลขชี้กำลังจึงแสดงถึงอนุกรมไดสันดัง ต่อไปนี้ $|\psi (t)\rangle =\left[1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}H(t_{1})-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}H(t_{1})H(t_{2})+\ldots \right]|\psi (t_{0})\rangle ~.$ โปรดสังเกตว่าในเทอมที่สอง ตัวประกอบ 1/2! จะหักล้างกับการมีส่วนร่วมสองเท่าอันเนื่องมาจากตัวดำเนินการเรียงลำดับเวลา ฯลฯ อย่างพอดี

พิจารณาปัญหาการรบกวนต่อไปนี้ $[H_{0}+\lambda V(t)]|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}~,$ โดยสมมติว่าพารามิเตอร์ $λ$ มีค่าเล็ก และปัญหาดังกล่าว $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ทำการแปลงเอกภาพต่อไปนี้กับภาพปฏิสัมพันธ์ (หรือภาพของดิแรก) $|\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle ~.$ ดังนั้น สมการชโรดิงเกอร์ จึงลดรูปเหลือเพียง $\lambda e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}V(t)e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{I}(t)\rangle }{\partial t}}~,$ ดังนั้นจึงแก้ปัญหาได้โดยใช้ชุดทฤษฎีไดสันข้าง ต้น $|\psi _{I}(t)\rangle =\left[1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}-{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}V(t_{2})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}+\ldots \right]|\psi (t_{0})\rangle ~,$ ในรูปอนุกรมการรบกวนที่มีค่าλ $น้อย$

โดยใช้วิธีแก้ปัญหาที่ไม่ถูกรบกวน $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ และ $\sum _{n}|n\rangle \langle n|=1$ (เพื่อความง่าย ให้สมมติว่าเป็นสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องล้วนๆ) จะได้ผลลัพธ์ในลำดับแรกดังนี้ $|\psi _{I}(t)\rangle =\left[1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\sum _{m}\sum _{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\langle m|V(t_{1})|n\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}|m\rangle \langle n|+\ldots \right]|\psi (t_{0})\rangle ~.$

ดังนั้น ระบบจึงอยู่ในสถานะที่ไม่ถูกรบกวนตั้งแต่แรก $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ โดยอาศัยการรบกวนนั้น สามารถเข้าสู่สถานะดังกล่าวได้ $|\beta \rangle$ ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะที่สอดคล้องกันในอันดับแรกคือ $A_{\alpha \beta }=-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\langle \beta |V(t_{1})|\alpha \rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })(t_{1}-t_{0})}~,$ ดังที่ได้อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า ในขณะที่ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านไปยังสภาวะต่อเนื่องที่สอดคล้องกันนั้นได้มาจากกฎทองของเฟอร์มิ

อนึ่ง โปรดสังเกตว่าทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลาถูกจัดระเบียบอยู่ภายในอนุกรมไดสันของทฤษฎีการรบกวนที่ขึ้นกับเวลาด้วยเช่นกัน เพื่อให้เห็นภาพนี้ ให้เขียนตัวดำเนินการวิวัฒนาการเอกภาพที่ได้จากอนุกรมไดสัน ข้างต้น ดังนี้ $U(t)=1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}-{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}V(t_{2})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}+\cdots$ และถือว่าการรบกวน $V นั้น$ ไม่ขึ้นกับเวลา

การใช้การแก้ปัญหาเอกลักษณ์ $\sum _{n}|n\rangle \langle n|=1$ กับ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ สำหรับสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องที่บริสุทธิ์ ให้เขียนว่า ${\begin{aligned}U(t)=1&-\left[{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\sum _{m}\sum _{n}\langle m|V|n\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}|m\rangle \langle n|\right]\\[5mu]&-\left[{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\sum _{m}\sum _{n}\sum _{q}e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}\langle m|V|n\rangle \langle n|V|q\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{q}-E_{n})(t_{2}-t_{0})}|m\rangle \langle q|\right]+\cdots \end{aligned}}$

เป็นที่ชัดเจนว่า ในลำดับที่สอง เราต้องรวมผลลัพธ์จากสถานะกลางทั้งหมด สมมติว่า $t_{0}=0$ และขีดจำกัดเชิงอะซิมโทติกของเวลาที่มากขึ้น ซึ่งหมายความว่า ในแต่ละส่วนของอนุกรมการรบกวน จะต้องเพิ่มตัวคูณเข้าไปด้วย $e^{-\epsilon t}$ ในปริพันธ์สำหรับ $ε$ ที่มีค่าเล็กมากตามอำเภอใจ ดังนั้นลิมิต $t \to \infty$ จะคืนสถานะสุดท้ายของระบบโดยการกำจัดพจน์ที่แกว่งทั้งหมด แต่คงพจน์คงที่ไว้ ปริพันธ์จึงสามารถคำนวณได้ และการแยกพจน์แนวทแยงออกจากพจน์อื่น ๆ จะได้ ${\begin{aligned}U(t)=1&-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\sum _{n}\langle n|V|n\rangle t-{\frac {i\lambda ^{2}}{\hbar }}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}t-{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\sum _{m,n}\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle t^{2}+\cdots \\&+\lambda \sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle \langle n|+\lambda ^{2}\sum _{m\neq n}\sum _{q\neq n}\sum _{n}{\frac {\langle m|V|n\rangle \langle n|V|q\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{q}-E_{n})}}|m\rangle \langle q|+\cdots \end{aligned}}$ โดยที่อนุกรมเวลาแบบฆราวาสจะให้ค่าลักษณะเฉพาะของปัญหาที่ถูกรบกวนที่ระบุไว้ข้างต้นแบบเวียนซ้ำ ในขณะที่ส่วนคงที่ของเวลาที่เหลือจะให้การแก้ไขฟังก์ชันลักษณะเฉพาะแบบสถิตที่ระบุไว้ข้างต้นเช่นกัน ( $|n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )$ .)

ตัวดำเนินการวิวัฒนาการเอกภาพสามารถนำไปใช้กับสถานะเฉพาะใดๆ ของปัญหาที่ไม่ถูกรบกวน และในกรณีนี้ จะให้ผลลัพธ์เป็นอนุกรมระยะยาวที่ใช้ได้ในช่วงเวลาสั้นๆ

ทฤษฎีการรบกวนที่รุนแรง

ในทำนองเดียวกันกับกรณีการรบกวนเล็กน้อย เราสามารถพัฒนาทฤษฎีการรบกวนที่รุนแรงได้ ลองพิจารณาสมการชโรดิงเกอร์ ตามปกติ

$H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}$

และเราพิจารณาคำถามว่ามีอนุกรม Dyson คู่ที่ใช้ได้ในขีดจำกัดของการรบกวนที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ หรือไม่ คำถามนี้สามารถตอบได้ในเชิงบวก^{[ 15 ]}และอนุกรมนี้คืออนุกรมอะเดียแบติกที่รู้จักกันดี^{[ 16 ]}แนวทางนี้ค่อนข้างทั่วไปและสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้ พิจารณาปัญหาการรบกวน

$[H_{0}+\lambda V(t)]|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}$

โดยที่ $λ \to \infty$ เป้าหมายของเราคือการหาคำตอบในรูปแบบ

$|\psi \rangle =|\psi _{0}\rangle +{\frac {1}{\lambda }}|\psi _{1}\rangle +{\frac {1}{\lambda ^{2}}}|\psi _{2}\rangle +\ldots$

แต่การแทนค่าโดยตรงลงในสมการข้างต้นจะไม่ให้ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ สถานการณ์นี้สามารถแก้ไขได้โดยการปรับขนาดตัวแปรเวลาใหม่ดังนี้ $\tau =\lambda t$ ซึ่งก่อให้เกิดสมการที่มีความหมายดังต่อไปนี้

${\begin{aligned}V(t)|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{0}\rangle }{\partial \tau }}\\[1ex]V(t)|\psi _{1}\rangle +H_{0}|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{1}\rangle }{\partial \tau }}\\[1ex]&\;\,\vdots \end{aligned}}$

ปัญหานี้จะแก้ไขได้เมื่อเรารู้คำตอบของ สมการ อันดับแรกแล้วแต่เรารู้ว่าในกรณีนี้เราสามารถใช้การประมาณแบบอะเดียแบติกได้ เมื่อ $V(t)$ เมื่อไม่ขึ้นอยู่กับเวลา จะได้อนุกรมวิกเนอร์-เคิร์กวูดซึ่งมักใช้ในกลศาสตร์เชิงสถิติในกรณีนี้ เราจะแนะนำการแปลงเอกภาพ

$|\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle$

นั่นเป็นการกำหนดภาพที่เป็นอิสระเนื่องจากเราพยายามกำจัดพจน์ปฏิสัมพันธ์ ตอนนี้ ในทางคู่ขนานกับการรบกวนเล็กน้อย เราต้องแก้สมการชโรดิงเกอร์

$e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{F}(t)\rangle }{\partial t}}$

และเราพบว่าพารามิเตอร์การขยายตัว $λ$ ปรากฏเฉพาะในเลขชี้กำลังเท่านั้น ดังนั้นอนุกรมไดสัน ที่สอดคล้องกัน ซึ่งเป็นอนุกรมไดสันคู่จึงมีความหมายที่ค่า $λ$ มากๆ และ

$|\psi _{F}(t)\rangle =\left[1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{2}-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{2}-t_{0})}+\cdots \right]|\psi (t_{0})\rangle .$

หลังจากปรับขนาดตามเวลาแล้ว $\tau =\lambda t$ เราจะเห็นได้ว่านี่เป็นซีรีส์จริงๆ $1/\lambda$ ด้วยวิธีนี้จึงเป็นที่มาของชื่ออนุกรมไดสันคู่ (Dyson series ) เหตุผลก็คือเราได้อนุกรมนี้มาโดยการสลับ $H₀$ และ $V$ และเราสามารถเปลี่ยนจากอนุกรมหนึ่งไปอีกอนุกรมหนึ่งได้โดยใช้การสลับนี้ นี่เรียกว่าหลักการทวิภาวะ (duality principle) ทฤษฎีการรบกวน (perturbation theory) การเลือก $H_{0}=p^{2}/2m$ ^{ดังที่กล่าวมาแล้ว จะ}ให้ผลลัพธ์เป็นอนุกรม Wigner-Kirkwoodซึ่งเป็นการขยายแบบไล่ระดับ อนุกรมWigner-Kirkwoodเป็นอนุกรมกึ่งคลาสสิกที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำเช่นเดียวกับการประมาณ WKB [ ^{17 ]}

ตัวอย่าง

ตัวอย่างของทฤษฎีการรบกวนอันดับแรก – พลังงานสถานะพื้นฐานของออสซิลเลเตอร์ควอติก

พิจารณาควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ที่มีการรบกวนศักย์ควอติกและแฮมิลโทเนียน $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}+\lambda x^{4}.$

สถานะพื้นฐานของตัวสั่นฮาร์มอนิกคือ $\psi _{0}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-\alpha x^{2}/2}$ ( $\alpha =m\omega /\hbar$ ) และพลังงานของสถานะพื้นฐานที่ไม่ถูกรบกวนคือ $E_{0}^{(0)}={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega$

เมื่อใช้สูตรการแก้ไขอันดับแรก เราจะได้ $E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int e^{-\alpha x^{2}/2}x^{4}e^{-\alpha x^{2}/2}dx=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\int e^{-\alpha x^{2}}dx,$ หรือ $E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\left({\frac {\pi }{\alpha }}\right)^{\frac {1}{2}}=\lambda {\frac {3}{4}}{\frac {1}{\alpha ^{2}}}={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}\lambda }{m^{2}\omega ^{2}}}.$

ตัวอย่างของทฤษฎีการรบกวนอันดับที่หนึ่งและอันดับที่สอง – ลูกตุ้มควอนตัม

พิจารณาลูกตุ้มควอนตัมทางคณิตศาสตร์ที่มีแฮมิลโทเนียน $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}-\lambda \cos \phi$ ด้วยพลังงานศักยภาพ $-\lambda \cos \phi$ ถือเป็นการรบกวน เช่น $V=-\cos \phi .$

ฟังก์ชันคลื่นควอนตัมปกติที่ไม่ถูกรบกวนคือฟังก์ชันของโรเตอร์แข็ง และกำหนดโดย $\psi _{n}(\phi )={\frac {e^{in\phi }}{\sqrt {2\pi }}},$ และพลังงาน $E_{n}^{(0)}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}}{2ma^{2}}}.$

การแก้ไขพลังงานอันดับแรกของโรเตอร์เนื่องจากพลังงานศักยภาพคือ $E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2\pi }}\int e^{-in\phi }\cos \phi e^{in\phi }=-{\frac {1}{2\pi }}\int \cos \phi =0.$

เมื่อใช้สูตรสำหรับการแก้ไขลำดับที่สอง จะได้ $E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\int e^{-ik\phi }\cos \phi e^{in\phi }\,d\phi \right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},$ หรือ $E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\left(\delta _{n,1-k}+\delta _{n,-1-k}\right)\right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},$ หรือ $E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{2n-1}}+{\frac {1}{-2n-1}}\right)={\frac {ma^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4n^{2}-1}}.$

พลังงานศักยภาพในฐานะการรบกวน

เมื่อสถานะที่ไม่ถูกรบกวนคือการเคลื่อนที่อย่างอิสระของอนุภาคที่มีพลังงานจลน์ $E$ คำตอบของสมการชโรดิงเกอร์ $\nabla ^{2}\psi ^{(0)}+k^{2}\psi ^{(0)}=0$ สอดคล้องกับคลื่นระนาบที่มีเลขคลื่น ${\textstyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$ หากมีพลังงานศักย์อ่อน $U(x,y,z)$ ในขั้นประมาณค่าแรก สถานะที่ถูกรบกวนในอวกาศนั้น อธิบายได้ด้วยสมการ $\nabla ^{2}\psi ^{(1)}+k^{2}\psi ^{(1)}={\frac {2mU}{\hbar ^{2}}}\psi ^{(0)},$ ซึ่งอินทิกรัลเฉพาะคือ^{[ 18 ]} $\psi ^{(1)}(x,y,z)=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y',z'){\frac {e^{ikr}}{r}}\,dx'dy'dz',$ ที่ไหน $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ ในกรณีสองมิติ คำตอบคือ $\psi ^{(1)}(x,y)=-{\frac {im}{2\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y')H_{0}^{(1)}(kr)\,dx'dy',$ ที่ไหน $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ และ $H_{0}^{(1)}$ คือฟังก์ชันแฮงเคลชนิดแรกในกรณีหนึ่งมิติ คำตอบคือ $\psi ^{(1)}(x)=-{\frac {im}{\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x'){\frac {e^{ikr}}{k}}\,dx',$ ที่ไหน $r=|x-x'|$ .

แอปพลิเคชัน

ลิงก์ภายนอก

"L1.1 ปัญหาทั่วไป ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่เสื่อมสภาพ" YouTube MIT OpenCourseWare 14 กุมภาพันธ์ 2019 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 12 ธันวาคม 2021(บรรยายโดยบาร์ตัน ซวีบาค )
"L1.2 การตั้งค่าสมการรบกวน" YouTube MIT OpenCourseWare 14 กุมภาพันธ์ 2019 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 12 ธันวาคม 2021
ฟิสิกส์ควอนตัมออนไลน์ - ทฤษฎีการรบกวน

[ 1 ]

[ 2 ]

3 ] คอมพิวเตอร์

[ 4 ]

5

6

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

เป็นเครื่องมือที่

[ 15 ]

[ 16 ]

ดังที่กล่าวมาแล้ว จะ

[ 18 ]